UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIEˆNCIAS EXATAS E DA TERRA
DEPARTAMENTO DE FI´SICA TEO´RICA E EXPERIMENTAL
PROGRAMA DE PO´S-GRADUAC¸A˜O EM FI´SICA
Ana´lise do Efeito Goos-Ha¨nchen e Na˜o-Reciprocidade do Fluxo
de Poteˆncia em Antiferromagne´ticos
FRANCINETE DE LIMA
Orientador: Prof. Dr. Thomas Dumelow
Orientador: Prof. Dr. Eudenilson Lins Albuquerque
Tese de doutorado apresentada ao
Departamento de F´ısica Teo´rica e
Experimental da Universidade Federal do
Rio Grande do Norte como requisito parcial a`
obtenc¸a˜o do grau de Doutor em FI´SICA.
Natal, Junho de 2009
Para Pessoas Especiais:
Meus Pais
Francisco Batista de Lima - in memoriam
Maria Rita de Lima
Meu Filho
Mateus de Lima
e Meus Irma˜os
Betinha, Zezinho, Fa´tima, Diva, Genival e Lucinha.
“.........Ao Senhor nosso DEUS ......................”
(...... O u´nico que e´ digno de receber toda honra e toda glo´ria ......)
( ”LOUVAI ao Senhor.
Louvai a Deus no seu santua´rio;
Louvai-o no firmamento do seu poder.
Louvai-o pelos seus atos poderosos;
Louvai-o conforme a exceleˆncia da sua grandeza.
Louvai-o com o som de trombeta; louvai-o com o salte´rio e a harpa.
Louvai-o com o adufe e a flauta; louvai-o com instrumento de cordas e com o´rga˜o.
Louvai-o com os c´ımbalos sonoros; louvai-o com c´ımbalos altissonantes.
Tudo quanto tem foˆlego louve ao Senhor.
Louvai ao Senhor.”Sl. 150)
Agradecimentos
Agradec¸o ao nosso DEUS, pela vida, pela sua grac¸a.
Ao Professor Dr. Eudenilson Lins de Albuquerque pela sua orientac¸a˜o, repleta de
conhecimento, sabedoria e pacieˆncia, tendo sempre muita dedicac¸a˜o, eficieˆncia, zelo e
possuidor de e´tica profissional incontesta´vel. Reconhec¸o que sem a sua participac¸a˜o este
trabalho poderia na˜o ter sido conclu´ıdo. Admirado por todos os seus orientados, meu
muito obrigada. Deus esteja sempre com voceˆ e sua famı´lia.
Agradec¸o ao Professor Dr. Thomas Dumelow pela sua orientac¸a˜o.
Os meus sinceros agradecimentos ao Professor Dr. Jose´ Alzamir Pereira da Costa,
pelo apoio sempre presente, alicerc¸ada no conhecimento, na sabedoria e inteligeˆncia; no
equil´ıbrio e na disposic¸a˜o de sempre fazer as coisa com eficieˆncia e zelo. Em certos
momentos desta caminhada foi muito mais que um simples mestre, atuando como um
verdadeiro Pai, as vezes aconselhando, outras vezes chamando a minha atenc¸a˜o de volta
a` realidade. Muitas outras vezes me deu o apoio necessa´rio para eu seguir em frente
na˜o so´ na conclusa˜o desse trabalho, mas nas soluc¸o˜es dos obsta´culos postos pela vida.
Um exemplo de Educador(em todos os sentidos) e pesquisador. Estas suas caracter´ısticas
fazem-no merecedor da minha eterna admirac¸a˜o. Que Deus o abenc¸oe hoje e sempre.
Na˜o posso deixar de agradecer ao Professor Dr. Adaildo Gomes d’Assunc¸a˜o, um dos
Educadores do Departamento de Engenharia Ele´trica que traz na sua bagagem na˜o so´
conhecimentos de um cientista brilhante, mas o verdadeiro sentido de um profissional
competente, atuante e acima de tudo, possuidor de um corac¸a˜o repleto de bondade e
disposic¸a˜o em ajudar a todos. Que Deus o abenc¸oe sempre.
Aos professores do Departamento de Engenharia Ele´trica, Maria Rosa Medeiros Lins
de Albuquerque, Adria˜o Duarte Do´ria Neto, Ivonildo Reˆgo e do Departamento de F´ısica
Teo´rica e Experimental, Nilson Sena de Almeida, Liacir dos Santos Lucena, Luciano Ro-
drigues da Silva, Dory He´lio Aires de Lima, meus sinceros agradecimentos pelas inu´meras
contribuic¸o˜es.
Um agradecimento especial a` Dra.Maria Aparecida Cardoso de Souza, e a Dona Maria
Tereza, sua ma˜e, pelo apoio incondicional nos momentos em que eu precisei, mostrando
o que e´ ser verdadeiramente filho de Deus, tendo na alma a verdadeira bondade. Minha
eterna gratida˜o.
Jamais vou esquecer de verdadeiros amigos como Maria Tereza, Dona Lindalva Varela
e Ione Dantas, na˜o so´ pelos conselhos, mas por estarem sempre perto e dispostas a ajudar.
Aos grandes amigos Jose´ de Ribamar Oliveira, Carlos Avelino Barros, Eduardo Jansen,
Karina de Vasconcelos Leite e Maria Jose´. Jamais vou esquecer de voceˆs.
Aos companheiros do Departamento de F´ısica da UFRN, em especial Armando Arau´jo,
Charlie Salvador, Paulo Sesion, Jose´ Miranda, Carlos Barbosa e outros, por suas amizades.
Ao meu filho, Mateus de Lima, que sempre esteve presente, pois foi o grande incenti-
vador para a conclusa˜o deste trabalho. Mesmo sem saber, a sua vinda para o mundo so´
fez dar-me forc¸as para atingir todos os meus objetivos. A este pequeno, os meus sinceros
agradecimentos, que Deus te abenc¸oe, ilumine, e te acompanhe aonde voceˆ for, meu filho.
Aos meus pais Francisco Batista de Lima (in memoriam) e Maria Rita de Lima pela
educac¸a˜o pautada na verdade, no respeito, na coragem e na determinac¸a˜o, que me fez
alcanc¸ar os meus objetivos. Obrigada sempre.
Aos Funciona´rios do DFTE, Dona Ben´ıcia, Jacira, Celina, pelos servic¸os prestados.
Ao CNPq e a CAPES pelo apoio financeiro.
Resumo
Este estudo observa que, em certas situac¸o˜es, um raio de luz refletido pode ser
deslocado lateralmente em relac¸a˜o ao raio incidente com incideˆncia normal (efeito Goos-
Ha¨nchen). A na˜o-reciprocidade da reflexa˜o e´ a propriedade fundamental para se conseguir
este deslocamento lateral. Para isto, consideramos a reflexa˜o de um raio de luz em um an-
tiferromagne´tico na presenc¸a de um campo magne´tico externo, nas frequ¨eˆncias associadas
com os polaritons de magnons. Este sistema, mesmo na auseˆncia de absorc¸a˜o, mostra
na˜o-reciprocidade na fase da radiac¸a˜o refletida, nas regio˜es “reststrahl” (reflexa˜o total),
no fluxo de poteˆncia dentro do antiferromagne´tico.
Este fluxo se propaga paralelo a` superf´ıcie mesmo em incideˆncia normal. Em um mo-
delo simples, um raio finito pode ser considerado como uma soma Fourier de ondas planas.
Na reflexa˜o em um antiferromagneto, devido a` na˜o-reciprocidade na fase, a interfereˆncia
entre as ondas planas refletidas efetivamente gera um deslocamento lateral no raio re-
fletido em relac¸a˜o ao raio incidente. Nas regio˜es “reststrahl”, o efeito tambe´m pode ser
descrito em termos da propagac¸a˜o do fluxo de energia paralelo a` superf´ıcie dentro do an-
tiferromagneto. Para confirmar o efeito, e investiga´-lo com mais profundeza, as seguintes
simulac¸o˜es foram feitas:
• Simulac¸a˜o de reflexa˜o de um raio gaussiano incidente normalmente sobre o antifer-
romagneto MnF2. Um deslocamento do raio refletido e´ observado para frequ¨eˆncias
na regia˜o de “reststrahl” e tambe´m na regia˜o do volume. Os resultados esta˜o em
acordo com o modelo cla´ssico do efeito Goos-Ha¨nchen.
• Simulac¸a˜o do perfil do campo no plano xy, onde y e´ perpendicular a` superf´ıcie e z e´ a
direc¸a˜o do campo externo. A simulac¸a˜o mostra na˜o somente o deslocamento do raio
i
refletido, mas tambe´m o perfil do campo dentro do antiferromagneto (representando
essencialmente uma onda evanescente nas regio˜es de “reststrahl”) que tambe´m sofre
um deslocamento lateral.
• Simulac¸a˜o da transmissa˜o atrave´s de um filme antiferromagneto. Os ca´lculos
mostram que o raio transmitido na˜o sofre deslocamento. Este resultado esta´ as-
sociado com o fato que a fase transmitida e´ rec´ıproca.
• Simulac¸a˜o do fluxo de poteˆncia nas regio˜es “reststrahl” (reflexa˜o total) e regio˜es de
volume (transmissa˜o dentro da amostra), com o objetivo de analisar o comporta-
mento da energia nestas regio˜es.
ii
Abstract
This study notices that, in certain situations, a reflected beam can be displaced lat-
erally in relation to the incident beam in normal incidence (Goos-Hanchen shift). Non-
reciprocity in reflection is the fundamental property to achieve this lateral shift. Therefore
we consider external reflection off an antiferromagnet in the presence of an external mag-
netic field, in the frequencies associated with the magnons’ polaritons. This system, even
in the absence of absorption, shows non-reciprocity in the phase of the reflected radiation
and in the reststrahl regions (total reflection), in the power flow inside the antiferromag-
net.
This flow propagates parallel to the surface even with normal incidence. In a simple
model, a finite beam can be considered as a Fourier sum of plane waves. In the reflection
off an antiferromagnet, due to the non-reciprocity in the phase, the interference between
the effectively reflected plane waves generates a lateral shift upon the reflected beam in
relation to the incident beam. In the reststrahl regions, the effect can also be described
in terms of the propagation of the power flow parallel to the surface inside the antifer-
romagnet. To confirm the effect, and to investigate it further, the following simulations
were performed:
• Simulation of reflection of a normally incident Gaussian beam upon the antifer-
romagnet MnF2. A shift of the reflected beam is noticed for frequencies in the
reststrahl region and also in the bulk region. The results are in agreement with the
classical model of the Goos-Ha¨nchen shift.
• Simulation of the profile of the field in the xy plane, where y is perpendicular to the
surface and z is the direction of the external field. The simulation shows not only the
iii
shift of the reflected beam, but also the profile of the field inside the antiferromagnet
(representing essentially an evanescent wave in the reststrahl regions) which also
undergoes a lateral shift.
• Simulation of the transmission through a film of the antiferromagnet. The calcula-
tions show that the transmitted beam does not undergo a lateral shift. This result
is associated with the fact that the transmitted phase is reciprocal.
• Simulation of the power flow in the restrahl regions (total reflection) and bulk regions
(transmission inside the sample), with the aim of analyzing the behavior of the
energy in these regions.
iv
Suma´rio
Resumo i
Abstract iii
1 Introduc¸a˜o 5
2 Polaritons em Materiais Antiferromagne´ticos 7
2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Expresso˜es Ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Polaritons em Cristais Magne´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1 Polariton de Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.2 Polaritons de Superf´ıcie entre um material Antiferro-
magne´tico e um material Diele´trico . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Reflexa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Vetor de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6 Concluso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Na˜o Reciprocidade na Superf´ıcie do Cristal Anti-
ferromagne´tico 30
3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Permeabilidade do Antiferromagneto . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Na˜o reciprocidade em polariton de superf´ıcie . . . . . . . . . . . 33
3.4 Comportamento da Reflexa˜o em meios Antiferromagne´ticos . . 34
1
3.5 Na˜o Reciprocidade da fase em meios Antiferromagne´ticos . . . 39
3.6 Concluso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 O Efeito Go¨os-Hanchen 41
4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Teorias ba´sicas do efeito Goos-Ha¨nchen . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2.1 Teoria de Artmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.2 Teoria de Schaefer e Pich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2.3 Teoria de Hora - Mecaˆnica quaˆntica . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 Exemplo de aplicac¸a˜o do Efeito Goos Ha¨nchen . . . . . . . . . . 49
5 Efeito Go¨os-Hanchen em Incideˆncia Normal 50
5.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2 Modelo do Espectro Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3 Ana´lise das Expresso˜es do Deslocamento de Goos-Ha¨nchen . . 54
5.3.1 Deslocamento Goos Ha¨nchen na transmissa˜o . . . . . . . . 59
5.4 Ana´lise dos Perfis da Intensidade do Campo Eletromagnetico
atrave´s do Raio Gaussiano em uma Incideˆncia Normal nos An-
tiferromagnetos - MnF2 e FeF2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5 Ana´lise do Comportamento da Distribuic¸a˜o do Campo no
Plano xy na Estrutura com Duas Camadas: Va´cuo e Anti-
ferromagneto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.6 Comportamento do Raio Transmitido em um Filme . . . . . . . 68
5.7 Concluso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6 Fluxo de Poteˆncia de Onda Plana na Reflexa˜o no
Antiferromagne´tico 72
6.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.2 Expresso˜es do fluxo de poteˆncia na geometria de Voigt . . . . . 73
6.3 Na˜o-reciprocidade na direc¸a˜o do fluxo de poteˆncia . . . . . . . . 75
2
6.3.1 Ana´lise da na˜o-reciprocidade na direc¸a˜o do fluxo de
poteˆncia no caso de q2y real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.3.2 Ana´lise da na˜o reciprocidade na direc¸a˜o do fluxo de
poteˆncia no caso de q2y imagina´rio . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.3.3 Ana´lise da na˜o reciprocidade na direc¸a˜o do fluxo de
poteˆncia na presenc¸a de amortecimento (Γ 6= 0) . . . . . . 83
6.4 Concluso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7 Fluxo de Poteˆncia Associado com o Deslocamento
Goos-Ha¨nchen de um Raio Eletromagne´tico Nor-
malmente Incidente Refletido a partir de um An-
tiferromagneto 88
7.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.2 Deslocamento lateral de um raio refletido devido ao fluxo de
poteˆncia ao longo da interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.3 Fluxo de poteˆncia associado com a reflexa˜o de incideˆncia nor-
mal de um raio gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.4 Concluso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8 Concluso˜es 109
A Ca´lculo do Coeficiente de Reflexa˜o e Trans-
missa˜o em uma Estrutura de duas camadas
Diele´trico/Antiferromagneto 112
A.1 Coeficiente de Reflexa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
A.2 Coeficiente de Transmissa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
A.3 Ca´lculo do vetor de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
A.3.1 Aˆngulo de Refrac¸a˜o θ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3
A.4 Ca´lculo de Dr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
A.4.1 Ca´lculo de Dr na regia˜o de “reststrahl” . . . . . . . . . . . 122
A.4.2 Ca´lculo de Dr na regia˜o de volume . . . . . . . . . . . . . . 123
A.5 Ca´lculo de Dt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
A.5.1 Ca´lculo de Dt na regia˜o de volume . . . . . . . . . . . . . . . 125
A.5.2 Ca´lculo de Dt na regia˜o de “reststrahl” . . . . . . . . . . . . 126
B Artigos cient´ıficos baseados nesta tese de
doutorado 127
Refereˆncias Bibliogra´ficas 128
4
CAPI´TULO 1
Introduc¸a˜o
O presente trabalho trata do estudo do efeito Goos-Ha¨nchen em um material antifer-
romagne´tico para o caso da incideˆncia normal. Consideramos como aspecto fundamental
a ana´lise do comportamento dos raios eletromagne´ticos finitos que sa˜o refletidos e trans-
mitidos neste material, assim como o estudo do comportamento do fluxo de poteˆncia sob
este efeito, em uma estrutura de duas e treˆs camadas.
Analisaremos o deslocamento lateral do raio refletido em uma incideˆncia normal e,
usando um modelo de raio angular, relacionamos o fenoˆmeno diretamente a` na˜o recipro-
cidade na fase refletida. O deslocamento e´ confirmado usando uma simulac¸a˜o nume´rica
de raios Gaussianos, de va´rios larguras, refletindo no fluoreto de manganeˆs - MnF2, na
presenc¸a de um campo magne´tico externo.
Interpretamos o deslocamento em termos do fluxo de poteˆncia e comparamos com o
comportamento do fluxo de poteˆncia devido a uma onda plana em incideˆncia normal.
O deslocamento do raio suspeitado pela teoria corpuscular de Newton foi demonstrado
por Goos e Ha¨nchen[1] em 1947 atrave´s de um inteligente experimento. O deslocamento do
raio refletido observado neste experimento e´ conhecido atualmente como o deslocamento
Goos-Ha¨nchen.
Uma teoria do efeito Goos-Ha¨nchen foi formulada por Artmann [2], Von Fragstein
[3], e Wolter [4]. Artmann propoˆs uma teoria do fenoˆmeno ao considerar as expresso˜es
matema´ticas para os campos incidentes e refletidos. A partir da diferenc¸a de fase entre
os raios ele previu o deslocamento observado. Fragstein publicou um artigo baseado no
trabalho de Schaefer e Pich [5] para obter o deslocamento Goos-Ha¨nchen. Deste enta˜o
5
os estudos sobre este efeito foram extendidos para explicac¸a˜o de va´rios fenoˆmenos, como
por exemplo, sua reflexa˜o e propagac¸a˜o na atmosfera.
Este trabalho e´ estruturado da seguinte forma: no cap´ıtulo 2 faremos uma abordagem
sobre polaritons em cristais antiferromagne´ticos, utilizando as equac¸o˜es de Maxwell para
derivarmos a sua relac¸a˜o de dispersa˜o, na regia˜o de volume. No cap´ıtulo 3 trataremos
da propriedade qualitativa dos modos de superf´ıcie na presenc¸a de um campo magne´tico
externo, que e´ a na˜o-reciprocidade na relac¸a˜o de dispersa˜o, isto e´, ω (+~q) 6= ω (−~q). No
cap´ıtulo 4 faremos uma explanac¸a˜o do efeito Goos-Ha¨nchen, a partir dos primeiros estudos
deste efeito, incluindo aplicac¸o˜es. No cap´ıtulo 5 analisaremos o efeito Goos-Ha¨nchen em
uma incideˆncia normal em um material antiferromagne´tico, para uma estrutura de duas
e treˆs camadas. Apresentaremos de forma detalhada os resultados obtidos na reflexa˜o e
transmissa˜o para estas estruturas. Iremos apresentar no cap´ıtulo 6 a na˜o reciprocidade
do fluxo de poteˆncia em um material antiferromagne´tico. No cap´ıtulo 7 analisaremos este
efeito sob o ponto de vista do fluxo de poteˆncia em um material antiferromagnetico. As
concluso˜es e apresentac¸o˜es de futuras extenso˜es sa˜o tratadas no cap´ıtulo 8.
6
CAPI´TULO 2
Polaritons em Materiais Antiferromagne´ticos
2.1 Introduc¸a˜o
O pro´posito deste cap´ıtulo e´ apresentar um enfoque geral sobre as propriedades dos
polaritons [6]. Utilizaremos as expresso˜es ba´sicas a partir das equac¸o˜es de Maxwell,
exemplificando os polaritons atrave´s dos materiais antiferromagne´ticos [7-12], na auseˆncia
de campo externo esta´tico.
No estudo dos polaritons, lembramos que uma onda eletromagne´tica e´ quantizada em
energia. Isto significa que se ela tem frequ¨eˆncia υ, ela so´ pode ser gerada com valores dis-
cretos de energia nhυ, onde n e´ um numero inteiro e h e´ a constante de Planck (h=6.6262x
10−34J.s).
A energia da radiac¸a˜o eletromagne´tica e´ quantizada na forma de pacotes, chamados
fo´tons. Quando uma onda eletromagne´tica tem energia elevada, isto e´, muito maior
do que hν, o nu´mero de fo´tons e´ ta˜o grande que a natureza discreta da energia na˜o e´
percebida. Nesta situac¸a˜o, a onda se comporta classicamente. A energia de um fo´ton de
radiac¸a˜o de frequ¨eˆncia υ, ou de frequ¨eˆncia angular ω = 2piν, e´:
E = hν = ~ω, (2.1)
onde ~ = h/2pi
Os fo´tons teˆm, em muitas situac¸o˜es, comportamento tipo part´ıcula. No entanto, na˜o
sa˜o part´ıculas comuns, pois so´ se propagam com a velocidade da luz c e tem massa de
repouso nula.
7
Figura 2.1: Ilustrac¸a˜o de uma ce´lula unita´ria de um antiferromagneto e do movimento
dos momentos magne´ticos na auseˆncia de um campo magne´tico
A quantizac¸a˜o da onda eletromagne´tica e da onda de ele´tron sa˜o apenas dois exemplos
de um fenoˆmeno geral que ocorre com qualquer tipo de onda. Qualquer onda e´ formada
por “pacotes” de energia, chamados quanta(plural de quantum) de energia. Assim sendo,
a energia de uma onda e´ discreta e tem valor igual a um mu´ltiplo de ~.
Portanto, quando uma onda eletromagne´tica propaga-se em um cristal, os campos
eletromagne´ticos associados com esta onda excitam os graus de liberdade do meio. Em
um material diele´trico, o campo ele´trico acopla-se com os foˆnons o´ticos ativos na regia˜o
do infravermelho. Analogamente, as ondas de spin em um material magne´tico sera˜o exci-
tadas pelo campo magne´tico. Como consequ¨eˆncia, a func¸a˜o diele´trica e a susceptibilidade
magne´tica do meio sa˜o complicadas func¸o˜es dos paraˆmetros f´ısicos envolvidos, e a veloci-
dade de fase da onda difere de seu valor no va´cuo.
O modo misto assim formado: fo´ton + foˆnon o´tico e fo´ton + ondas de spin, recebem
o nome de polaritons. Polaritons sa˜o portanto modos mistos, onde uma de suas compo-
nentes, o fo´ton, esta acoplado a uma ou mais excitac¸a˜o elementar do cristal.
Para diferenciar estes diversos modos de polaritons, costuma-se denominar: - Polari-
8
ton de foˆnons para representar acoplamento do fo´ton com os foˆnons o´ticos. - Polariton
Magne´tico quando este acoplamento e´ feito com ondas de spin. - Polaritons de Plasmons
quando a excitac¸a˜o tipo plasmon e´ envolvida, etc.
Observamos que tambe´m podemos classificar os polaritons de acordo com a forma
de propagac¸a˜o, ou seja, polariton de volume ou de superf´ıcie. Estas classificac¸o˜es sera˜o
detalhadas na sec¸a˜o 2.4.
Usamos como exemplos os polaritons associados a`s excitac¸o˜es magne´ticas em materiais
antiferromagne´ticas uniaxiais do tipo mostrado na Fig. 2.1. Este arranjo cristalogra´fico
pode ser descrito considerando os ı´ons magne´ticos distribuidos em duas sub-redes ideˆnticas
[7].
Na auseˆncia de campo externo e em temperaturas muito menores que a temperatura
de Ne´el, os momentos magne´ticos das sub-redes esta˜o alinhados em uma mesma direc¸a˜o,
mas em sentidos opostos. Esta ordem magne´tica e´ estabelecida atrave´s da interac¸a˜o de
troca e, em muitos casos, e´ bem descrita considerando-se apenas as interac¸a˜o entre os
primeiros vizinhos. Em adic¸a˜o, a distribuic¸a˜o eletroˆnica gera uma anisotropia, devido
a interac¸a˜o spin-o´rbita, que favorece a orientac¸a˜o dos spins na direc¸a˜o do seu eixo fa´cil
c. Neste estudo, esta interac¸a˜o e´ descrita por um campo de anisotropia HA esta´tico e
paralelo ao eixo fa´cil c.
As grandezas fundamentais que determinam a interac¸a˜o de radiac¸a˜o com a mate´ria sa˜o
a permissividade ele´trica relativa ˜ e a permeabilidade magne´tica relativa µ˜ da mate´ria
(referidas simplesmente como permissividade e permeabilidade respectivamente nesta
tese), definidas como:
~D = 0 ~E + ~P , (2.2)
~B = µ0
(
~H + ~M
)
= µ0µ˜ ~H, (2.3)
onde ~E e ~H sa˜o os campos ele´tricos e magne´ticos respectivamente, ~B e´ o vetor de induc¸a˜o
magne´tica, ~D e´ o vetor de deslocamento ele´trico e ˜, µ˜ sa˜o tensores da permissividade e
permeabilidade respectivamente. No caso do antiferromagneto mostrado na Fig. 2.1, o
cristal tera´ simetria uniaxial.
Considerando z como o eixo de anisotropia, a permeabilidade e a permissividade tem
9
as seguintes formas respectivamente: (veja os detalhes na sec¸a˜o 3.2).

µ 0 0
µ˜ = 0 µ 0
0 0 1
. (2.4)

 0 0
˜ = 0  0
0 0 
. (2.5)
Neste cap´ıtulo, somente consideramos ~H no plano xy. Neste caso, por causa da forma
simplificada dos tensores nas equac¸o˜es, ambos a permissividade e a permeabilidade podem
ser tratados como escalares, ou seja:
~D = 0 ~E, (2.6)
~B = µ0µ ~H. (2.7)
2.2 Expresso˜es Ba´sicas
Neste cap´ıtulo abordaremos apenas os polaritons magne´ticos no antiferromagne´tico
(Fig. 2.1). O estudo dos polaritons magne´ticos neste material se inicia com a descric¸a˜o
da propagac¸a˜o da radiac¸a˜o eletromagne´tica feita atrave´s das equac¸o˜es de Maxwell.
∇ · ~D = ρ, (2.8)
∇ · ~B = 0, (2.9)
10
∇× ~E = −∂
~B
∂t
, (2.10)
∇× ~H = ~J + ∂
~D
∂t
, (2.11)
onde ρ e´ a densidade de carga livre e ~J e´ a densidade de corrente.
Na auseˆncia de cargas livres, teremos ρ = 0 e ~J = 0. No caso do antiferromagneto na
Fig. 2.1, com ~H no plano xy, podemos utilizar as eq. 2.6 e 2.7. Logo:
∇× ~H = ∂
~D
∂t
, (2.12)
∇×∇× ~H = 0 ∂
∂t
∇× ~E, (2.13)
∇× ~E = −∂
~B
∂t
= −µµ0∂
~H
∂t
, (2.14)
∇×∇× ~H = −µ0µ0 ∂
2
∂t2
~H. (2.15)
Usando a identidade abaixo:
∇×
(
∇× ~H
)
= ∇
(
∇ · ~H
)
−∇2 ~H, (2.16)
obtemos:
∇
(
∇ · ~H
)
−∇2 ~H = −µ0µ0 ∂
2
∂t2
~H. (2.17)
11
Desde que ∇ · ~H = 0, teremos:
∇2 ~H = 0µµ0 ∂
2
∂t2
~H. (2.18)
Se ρ = 0→ ∇ · ~E = 0, logo:
∇2 ~E = µ0µ0 ∂
2
∂t2
~E. (2.19)
Estas sa˜o as equac¸o˜es de onda para campos vetoriais em treˆs dimenso˜es. Elas relacionam
a variac¸a˜o espacial dos campos com sua variac¸a˜o temporal.
Para ondas planas, as equac¸o˜es 2.18 e 2.19, propagando na direc¸a˜o do eixo x de um
sistema de coordenadas, reduzem-se respectivamente a:
∂2 ~H (x, t)
∂x2
=
1
µ0µ0
∂ ~H (x, t)
∂t2
. (2.20)
∂2 ~E (x, t)
∂x2
=
1
µµ00
∂ ~E (x, t)
∂t2
. (2.21)
Uma das soluc¸o˜es da eq. 2.20 e 2.21, respectivamente, sa˜o:
~H (x, t) = ~H0 cos (qx− ωt) , (2.22)
~E (x, t) = ~E0 cos (qx− ωt) , (2.23)
onde ~H0 e´ um vetor constante e perpendicular a` direc¸a˜o de propagac¸a˜o x, isto e´, ~H0 fica
ao longo do eixo y. ~E0 e´ perpendicular a` direc¸a˜o de propagac¸a˜o x e ao campo ~H0, ou
12
seja, ~E0 e´ paralelo a direc¸a˜o z, sendo as amplitudes relacionadas por E0 = H0/
√
µ. q e´
o mo´dulo de vetor de onda ~q, na direc¸a˜o de propagac¸a˜o x, definido por:
q2 = 0µ0µω = µ
ω2
c2
= µq20, (2.24)
onde c = (0µ0)
−1/2 e´ a velocidade da luz no va´cuo.
Os campos ~E e ~H variam senoidalmente ao longo da direc¸a˜o de propagac¸a˜o, tendo sua
fase repetida a cada instante λ, chamada comprimento de onda. A relac¸a˜o entre q e λ e´:
λ =
2pi
q
. (2.25)
Podemos generalizar as eq. 2.21 e 2.23 para propagac¸a˜o em qualquer direc¸a˜o no plano
xy. Os componentes de ~q sa˜o relacionados por:
q2x + q
2
y = µ
ω2
c2
, (2.26)
e as equac¸o˜es do campo eletromagne´tico sa˜o:
~E (x, t) = ~E0 cos (~q.~r − ωt) = ~E0 cos (qxx+ qyy − ωt) , (2.27)
~H (x, t) = ~H0 cos (~q.~r − ωt) = ~H0 cos (qxx+ qyy − ωt) . (2.28)
Usando a convenc¸a˜o exponencial para ondas harmoˆnicas, podemos escrever estas
equac¸o˜es na forma:
~E = ~E0 exp [i (~q · ~r − ωt)] , (2.29)
~H = ~H0 exp [i (~q · ~r − ωt)] . (2.30)
Assumindo:∇ → i~q e ∂
∂t
→ −iω, as equac¸o˜es de Maxwell se tornam:
~q · ~D = 0, (2.31)
13
~q · ~B = 0, (2.32)
~q × ~E = ωµ ~H, (2.33)
~q × ~H = −ω ~E. (2.34)
2.3 Polaritons em Cristais Magne´ticos
A interac¸a˜o da radiac¸a˜o eletromagne´tica com a mate´ria tem sido motivo de estudo por
muitos pesquisadores atrave´s da ana´lise da propagac¸a˜o destas ondas nos meios materiais
[13-18]. Nos materiais so´lidos, com estrutura cristalina bem definida, o sistema pode ser
modelado por um conjunto de part´ıculas que interagem entre si e que sa˜o distribu´ıdas
de forma a obedecer regras de simetria estabelecidas. Este sistema apresenta excitac¸o˜es
intr´ınsecas (modos normais de vibrac¸a˜o) que podem produzir efeitos eletromagne´ticos.
Exemplo deste comportamento e´ observado em alguns diele´tricos onde as vibrac¸o˜es da rede
(foˆnons) produzem polarizac¸a˜o ele´trica oscilante no tempo. Em materiais magne´ticos, o
movimento ordenado dos spins (ondas de spins) e´ o responsa´vel pelo surgimento de uma
magnetizac¸a˜o oscilante no tempo que da´ origem a campos eletromagne´ticos dentro do
material. Os campos assim gerados carregam importantes informac¸o˜es sobre o material,
uma vez que suas caracter´ısticas esta˜o ligadas a sua estrutura e simetria. Portanto,
podemos afirmar que o estudo de ondas eletromagne´ticas em meios materias permite na˜o
apenas o entendimento do transporte de energia entre pontos deste meio, mas tambe´m a
obtenc¸a˜o de informac¸o˜es a respeito da sua estrutura interna.
Em cristais magne´ticos, o tensor de permeabilidade magne´tica varia rapidamente com
a frequ¨eˆncia nas imediac¸o˜es das ressonaˆncias magne´ticas do material. Neste cap´ıtulo
consideramos um antiferromagneto uniaxial de duas subredes, quando nenhum campo
magne´tico externo esta´ presente.
No antiferromagneto uniaxial, os ı´ons magne´ticos esta˜o arranjados em duas subredes
ideˆnticas. As subredes sa˜o denominadas de A e B. No estado magneticamente ordenado,
quando nenhum campo magne´tico esta´ presente, os spins em cada subrede ordenam-se
ferromagneticamente, isto e´, todos os spins em uma determinada subrede sa˜o paralelos
14
aos spins na subrede A na direc¸a˜o oposta a`queles na subrede B. Desta forma o momento
magne´tico total de cada ce´lula de unidade magne´tica e´ nulo.
Em um importante grupo de antiferromagnetos (MnF2, FeF2 e CoF2), as posic¸o˜es dos
ı´ons magne´ticos formam uma rede tetragonal de corpo centrado. No estado magnetica-
mente ordenado, a configurac¸a˜o de spins esta´ indicada na Fig. 2.1. Os spins nos cantos
apontam ao longo de −z, se o eixo z do sistema de coordenadas for diretamente paralelo
ao eixo c do cristal.
No estado magneticamente ordenado, as interac¸o˜es de troca entre spins em diferentes
subredes manteˆm as duas subredes de spin antiparalelas. Este acoplamento pode ser
descrito introduzindo-se um campo magne´tico eficaz HE.
A permeabilidade magne´tica do cristal e´ necessariamente anisotro´pica no estado or-
denado. Se um pequeno campo magne´tico e´ aplicado paralelo ao eixo z, os spins na˜o
sa˜o afetados, se o cristal esta´ a uma temperatura suficientemente baixa para ambas as
subredes serem saturadas. Neste caso, µzz = 1, independente da frequ¨eˆncia, quando as
fontes de polarizac¸a˜o forem ignoradas, e µxz = µzx = 0. Os modos de ressonaˆncia anti-
ferromagne´tica sa˜o excitados por um campo magne´tico no plano xy; como consequ¨eˆncia
µij(w) so´ pode ser diferente de zero quando i e j referem-se aos eixos x e y. Entre-
tanto, neste cap´ıtulo, consideramos o campo magne´tico externo aplicado nulo e portanto
so´ existem as componentes diagonais do tensor permeabilidade, ou seja, µxx e µyy 6= 0.
A expressa˜o para o tensor de permeabilidade magne´tica dependente da frequ¨eˆncia do
cristal antiferromagne´tico uniaxial de duas subredes, na auseˆncia do campo magne´tico
externo aplicado, foi dado por [7] e revisto em outros textos [8].
Consideramos que o cristal esta´ em uma temperatura suficientemente baixa de tal
forma que a magnetizac¸a˜o em cada subrede pode ser considerada como saturada. A
magnetizac¸a˜o dos spins na subrede A aponta na direc¸a˜o +z e a magnetizac¸a˜o da subrede
B e´ direcionada ao longo de −z. A magnetizac¸a˜o de saturac¸a˜o associada com cada subrede
sera´ chamada de Ms.
Para calcular esses elementos de µij(w), supomos que os spins esta˜o dispostos em um
campo magne´tico dependente do tempo no plano xy, descrito na forma:
~h(t) = (xˆhx + yˆhy) exp(iωt). (2.35)
15
O momento magne´tico induzido por este campo pode enta˜o ser obtido por meio das
equac¸o˜es de torque:
i
d ~MA
dt
= γ
(
~MA × ~H(A)EFF
)
, (2.36)
i
d ~MB
dt
= γ
(
~MB × ~H(B)EFF
)
, (2.37)
onde γ e´ a raza˜o giromagne´tica, e H
(A)
EFF , H
(B)
EFF sa˜o os campos magne´ticos eficazes que
atuam sobre a subrede A e B, respectivamente. Esses campos incluem os campos de
origem interna que atuam sobre os spins da amostra, bem como o campo externo h(t).
Ha´ dois campos eficazes de origem interna que atuam sobre cada subrede: o campo
de anisotropia HA atua para prender a magnetizac¸a˜o da subrede A ao longo da direc¸a˜o
+z, e da subrede B ao longo da direc¸a˜o −z no cristal. O campo de troca HE, que surge
das interac¸o˜es de troca entre os spins, mante´m os spins em diferentes subredes na direc¸a˜o
antiparalela um em relac¸a˜o ao outro, com MS = |MA| = |MB|. Os campos eficazes
possuem a forma :
~H
(A)
EFF =
(
~HA
)
zˆ −HE
~MB
MS
+ ~h (t) , (2.38)
~H
(B)
EFF = (HA) zˆ −HE
~MA
MS
+ ~h (t) . (2.39)
Supomos que as componentes transversais da magnetizac¸a˜o variam com o tempo como
exp(iωt), podemos linearizar as equac¸o˜es de movimento substituindo M zA e M
z
B por ±Ms.
As equac¸o˜es de torque enta˜o tornam-se:
iωMxA = γ (HA +HE)M
y
A + γHEM
y
B − γMshy, (2.40)
16
iωMyA = −γ (HA +HE)MxA − γHEMxB + γMshx, (2.41)
iωMxB = γ (−HA −HE)MyB − γHEMyA + γMshy, (2.42)
iωMyB = −γ (−HA −HE)MxB + γHEMxA − γMshx. (2.43)
Os elementos do tensor de susceptibilidade magne´tica χij(ω) sa˜o encontrados a partir
dessas equac¸o˜es, formando expresso˜es para o momento magne´tico total induzido na direc¸a˜o
i pelo j-e´simo componente cartesiano do campo magne´tico externo h(ω). Isto e´, se:
M iT = M
i
A +M
i
B, (2.44)
enta˜o
M iT =
∑
j
χij (ω)hj. (2.45)
As expresso˜es para MxT e M
y
T podem ser obtidas a partir das equac¸o˜es de torque
linearizadas mostradas acima, fornecendo as seguintes expresso˜es para o tensor da sus-
ceptibilidade magne´tica:
χxy (ω) = χyx (ω) = 0. (2.46)
χxx (ω) = χyy (ω) =
2γ2HAMs
γ2 (2HEHA +H2A)− ω2
(2.47)
A partir destas equac¸o˜es obtemos um tensor da forma de eq. 2.4, sendo que:
µ = 1 +
8piγ2HAMs
ω2 − ω2r
, (2.48)
onde HA e´ o campo de anisotropia, Ms e´ a magnetizac¸a˜o da subrede, γ e´ a raza˜o giro-
magne´tica. A frequ¨eˆncia de ressonaˆncia antiferromagne´tica ωr, e´ dada por:
ωr = µ0γ
(
2HAHE +H
2
A
)1/2
(2.49)
17
2.3.1 Polariton de Volume
Quando qy e´ real, polaritons podem se propagar dentro da amostra. Isto pode acon-
tecer sobre uma determinada faixa de frequ¨eˆncia. Quando isto ocorre, dizemos que ha´
polariton de volume [7, 19].
E´ bem conhecido na literatura que os polaritons de volume apresentam caracter´ısticas
bem distintas daquelas de superf´ıcie, sendo uma delas o fato que os de volume apresentam
comportamento rec´ıproco
[
ω(~q) = ω( ~−q)], isto e´, propagam-se com a mesma frequ¨eˆncia
na direc¸a˜o de ~q e ~−q, enquanto que os de superf´ıcie podem apresentar comportamento
na˜o rec´ıproco
[
ω(~q) 6= ω( ~−q)], ver Fig. 3.2.
A func¸a˜o de dispersa˜o de polariton de volume e´ dada pela expressa˜o:
|qx| ≤ 1/2µ1/2ω
c
(2.50)
A Fig. 2.2 ilustra a curva de dispersa˜o para o FeF2 a 4.2 K, com os seguintes dados:
= 5.5, Ms = 0.056 T, HA= 19.745 T, HE= 53.314 T e γ = 1.05 cm
−1 /T, para H0 = 0
(sem campo externo), e na presenc¸a do campo externo H0 [9].
18
Figura 2.2: Curva de dispersa˜o para polaritons de volume em um antiferromagne´tico semi-infinito.
(a) H0 = 0 (b) H0 = 0.5 T.
19
2.3.2 Polaritons de Superf´ıcie entre um material Antiferro-
magne´tico e um material Diele´trico
Polaritons de superf´ıcie sa˜o modos eletromagne´ticos envolvendo a radiac¸a˜o eletro-
magne´tica (fo´ton) acoplados a superf´ıcie por uma excitac¸a˜o do dipolo ele´trico ou
magne´tico, propagando-se ao longo da interface entre dois meios. Neste caso a sua am-
plitude decresce exponencialmente com a distaˆncia para dentro da interface, isto e´, os
polaritons de superf´ıcie propagam-se sobre a interface de dois meios semi-infinitos.
Os polaritons de superf´ıcie comumente estudados em meios diele´tricos tem modo
magne´tico transversal (TM - o campo magne´tico e´ perpendicular ao plano xy e o campo
ele´trico se encontra neste plano), enquanto no meio antiferromagne´tico, o polariton de
interesse e´ o modo ele´trico transversal (TE - o campo ele´trico e´ perpendicular ao plano
xy e o campo magne´tico se encontra neste plano).
Figura 2.3: Diagrama dos modos (a) TE - polarizac¸a˜o s e (b) TM - polarizac¸a˜o p[9]
A relac¸a˜o de dispersa˜o e as propriedades o´pticas lineares dos polaritons de superf´ıcie na
interface de dois meios semi-infinitos, como os polaritons de volume, podem ser formulados
de uma u´nica maneira em termos da frequ¨eˆncia e do vetor de onda ~q dependente da
constante diele´trica  (ω, ~q) e da permeabilidade magne´tica µ (ω, ~q) dos dois meios [30].
Como exemplo, vamos abordar os polaritons de superf´ıcie que se propagam na interface
20
entre o va´cuo e o meio antiferromagne´tico uniaxial da Fig. 2.4
Vamos considerar a interface entre o va´cuo e o antiferromagne´tico, como mostrado na
Fig. 2.3, onde o meio 1 e´ o va´cuo com permeabilidade µ = 1, ocupando o semi-espac¸o
y ≤ 0, e o meio 2 e´ o antiferromagne´tico que ocupa o semi espac¸o y ≥ 0. A direc¸a˜o de
propagac¸a˜o e´ o eixo x.
Para determinarmos a relac¸a˜o dos polaritons de superf´ıcie na interface de um material
magne´tico, vamos usar a equac¸a˜o de onda 2.18 e a condic¸a˜o de divergeˆncia.
A expressa˜o do campo magne´tico em cada regia˜o e´ a seguinte:
meio 1: y ≤ 0
~H = ~H1exp [i (qxx− qy1y − ωt)] . (2.51)
meio 2: y ≥ 0
~H = ~H2 exp [i (qxx+ qyby − ωt)] . (2.52)
Aplicando as condic¸o˜es de contorno, obtemos a seguinte relac¸a˜o de dispersa˜o para a
polarizac¸a˜o s[9]:
q2x =
ω2µ(− µ)
c2(1− µ2) . (2.53)
Este exemplo e´ ilustrado na Fig. 2.4, onde o antiferromagne´tico e´ o mesmo da Fig. 2.2,
no qual o polariton de superf´ıcie e de volume sa˜o rec´ıprocos, devido a auseˆncia de campo
externo, ou seja, ω(qx) = ω(−qx). No pro´ximo cap´ıtulo abordaremos a na˜o-reciprocidade
detalhadamente.
21
Figura 2.4: Curva de dispersa˜o para polaritons de superf´ıcie e volume em um antiferromagne´tico
semi-infinito (FeF2) na auseˆncia do campo externo aplicado, H0 =0
.
22
2.4 Reflexa˜o
Os fenoˆmenos de reflexa˜o, refrac¸a˜o e absorc¸a˜o da luz em materiais, podem ser descritos
macroscopicamente atrave´s das equac¸o˜es de Maxwell [20-23].
Figura 2.5: Representac¸a˜o geome´trica da estrutura em estudo
Vamos considerar nesta sec¸a˜o uma estrutura com duas camadas, conforme ilustrado
na Fig. 2.5.
Para obtermos a relac¸a˜o entre as intensidades das ondas e´ preciso utilizarmos as
condic¸o˜es de contorno na superf´ıcie decorrentes das equac¸o˜es de Maxwell.
Vamos considerar o caso mais simples de uma onda incidindo no meio 1 (a1l), sendo uma
parte refratada no meio 2 (a2l) e outra parte refletida no meio 1 (b1l), ou seja:.
a1l + b1l = a2l (2.54)
Resolvendo a eq. 2.33, demonstrado no apeˆndice A e aplicando-se as condic¸o˜es de
contorno, considerando-se a polarizac¸a˜o s, obtemos a seguinte relac¸a˜o [24]:
 anl
bnl
 = 1
X−n −X+n
 X−n+1 X−n+1 −X+n
X−n −X+n+1 X−n −X+n+1
 an+1
bn+1
 (2.55)
23
Figura 2.6: Onda refletida e refratada em uma estrutura com duas camadas.
onde
X±n = [(µxz/µxx) qx ± qny] /µv (2.56)
Para o exemplo de duas camadas [24](ver Fig. 2.6), uma onda de amplitude a1lE e´ re-
fletida e refratada com uma amplitude a2lE na superf´ıcie que separa os meios 1 e 2. A
amplitude da onda refletida e´ b2lE, sendo b2l e a2l os coeficientes de reflexa˜o e de trans-
missa˜o respectivamente. Em forma matricial temos:

a1l
b1l
 = R

a2l
0

Aqui R e´ a matriz transfereˆncia, dada por:
R =
1
X−n −X+n
 X−n+1 X−n+1 −X+n
X−n −X+n+1 X−n −X+n+1

Por definic¸a˜o, a refletividade e´ a frac¸a˜o da intensidade incidente sobre uma determinada
a´rea da interface que se reflete(porcentagem de reflexa˜o). Assim a refletividade e´ dada
por r(em notac¸a˜o complexa):
r˜ =
b1l
a1l
(2.57)
24
As regio˜es onde a refletividade R = rr∗ = ρ2, e´ igual a 1, sa˜o chamadas de regio˜es de
“reststrahl”, sendo ρ a amplitude. As regio˜es onde a refletividade e´ menor que 1, tendo
assim radiac¸a˜o dentro da amostra, sa˜o chamadas de regio˜es de volume. Estas regio˜es esta˜o
ilustradas nas figuras abaixo, onde as a´reas marcadas com R e V representam regio˜es de
“reststrahl” e de volume respectivamente.
25
Figura 2.7: Refletividade (a) H0=0, (b) H0 =± 0.5 T
26
2.5 Vetor de Poynting
Uma consequ¨eˆncia importante das equac¸a˜o de Maxwell e´ o fenoˆmeno relacionado a`
propagac¸a˜o de ondas eletromagne´ticas. As ondas eletromagne´ticas se propagam pelo
espac¸o, sendo formadas por campos ele´tricos e magne´ticos, sendo que as energias asso-
ciadas a estes campos devem se propagar pelo espac¸o de forma semelhante. Podemos
analisar o fluxo de energia eletromagne´tica, transportado atrave´s de um volume qualquer,
atrave´s de uma superf´ıcie gaussiana fechada, isto e´:
ΦS =
−∂
∂t
∫ [
0E
2
2
+
H2
2µ0
]
dV. (2.58)
Pelo teorema de Gauss, uma dada integral de volume esta´ sempre associada a uma integral
de superf´ıcie fechada, isto e´:
ΦS =
∮
~S.d ~A =
−∂
∂t
∫ [
0E
2
2
+
H2
2µ0
]
dV. (2.59)
Quando a energia do campo esta´ presente em forma de ondas eletromagne´ticas, ela
pode ser carregada para dentro ou para fora da fronteira delimitada por um volume.
Este transporte e´ representado pelo vetor de Poynting ~S, cujo mo´dulo e´ igual a energia
propagada por unidade de a´rea por unidade de tempo. O sentido do vetor ~S estabelece o
sentido da propagac¸a˜o da energia irradiada.
Para obter a energia que e´ propagada pela onda por unidade de a´rea e unidade de
tempo, iremos considerar que uma onda esta´ atravessando uma a´rea A perpendicular ao
eixo x, como mostra a Fig. 2.7. Em um tempo ∆t curto, a onda se move para a direita
em uma distaˆncia dx = cdt. A energia transportada nesse elemento de volume e´ dada
por,
dU = dUE + dUH = (UE + UH)Adx =
[
0E
2
2
+
H2
2µ0
]
Adx. (2.60)
Sabemos que as amplitudes dos campos E e H esta˜o relacionadas por, E = cH.
27
Figura 2.8: Onda Eletromagne´tica atravessando uma a´rea A.
Substituindo este resultado na eq. 2.55 temos que,
dU =
[
0E (cH)
2
+
H
2µ0
E
c
]
Adx =
(
µ00c
2 + 1
) EH
2µ0c
Adx. (2.61)
Como 0µ0c
2 = 1, a equac¸a˜o acima pode ser escrita por,
dU =
EH
µ0c
Adx. (2.62)
Essa e´ a quantidade de energia que atravessa a a´rea a por unidade de tempo. O fluxo
de energia por unidade de a´rea e por unidade de tempo e´ igual a:
S =
1
A
dU
dt
=
EHAdx
µ0c (dx/c)A
=
1
µ0
EH. (2.63)
Sabendo-se que E e H sa˜o vetores, podemos rescrever o produto E×H em sua forma
vetorial, isto e´:
~S =
1
µ0
~E × ~H. (2.64)
Este vetor e´ o vetor de Poynting, representando a densidade de corrente de energia
eletromagne´tica. Ele apresenta as seguintes propriedades:
• A direc¸a˜o de ~S e´ a direc¸a˜o de propagac¸a˜o da onda eletromagne´tica,
• O mo´dulo de ~S e´ proporcional a` energia transportada pela onda eletromagne´tica.
Temos que uma onda eletromagne´tica plana transporta energia, na direc¸a˜o e com a
velocidade da onda, de forma que o valor instantaˆneo da densidade de corrente de energia
28
oscila, como a onda. Portanto nos interessa a media temporal 〈S〉 de S, tomada sobre
um per´ıodo.
Nos cap´ıtulos VI e VII detalharemos o fluxo de poteˆncia considerando-o do ponto
de vista da onda plana de um raio gaussiano, na reflexa˜o de um antiferromagne´tico em
incideˆncia normal, respectivamente.
2.6 Concluso˜es
Os polaritons de superf´ıcie que se propagam na interface de um meio uniaxial giro-
magne´tico diferem dos polaritons de superf´ıcie na˜o-giromagne´tico, porque naqueles ha´
um pronunciado comportamento na˜o-rec´ıproco que surge porque as interac¸o˜es dos vetores
ele´tricos ou magne´ticos no plano com os magnons sa˜o diferentes para as duas direc¸o˜es de
propagac¸a˜o. Observe que os polaritons de volume na˜o apresentam diferenc¸as para as duas
direc¸o˜es de propagac¸a˜o (±qx).Observe tambe´m que na auseˆncia de campo magne´tico ex-
terno, os polaritons de volume e de superf´ıcie sa˜o rec´ıprocos, ou seja, na˜o diferem quando
ha´ mudanc¸a de direc¸a˜o.
29
CAPI´TULO 3
Na˜o Reciprocidade na Superf´ıcie do Cristal
Antiferromagne´tico
3.1 Introduc¸a˜o
Neste cap´ıtulo vamos abordar a mais importante propriedade qualitativa dos modos
de superf´ıcie na presenc¸a de um campo magne´tico externo, ou seja, a na˜o reciprocidade
na relac¸a˜o de dispersa˜o, isto e´, ω (+~q) 6= ω (−~q) [25].
Apesar de a`s vezes a na˜o reciprocidade seja devida ao so´lido ser anisotro´pico, no nosso
estudo nos interessamos com a propagac¸a˜o na˜o rec´ıproca devido a` influeˆncia de um campo
magne´tico. Este campo pode ser interno, como no caso de um ferromagneto, ou um campo
magne´tico aplicado externamente, como em cristais antiferromagne´ticos.
Outras caracter´ısticas, ale´m da frequ¨eˆncia, podem demonstrar comportamento na˜o-
rec´ıproco. Estas caracter´ısticas sa˜o a refletividade, a fase, o fluxo de poteˆncia e o efeito
Goos-Ha¨nchen (os dois u´ltimos sera˜o tratado nos cap´ıtulos seguintes, com maiores detalhes
por ser a principal prioridade deste trabalho).
Uma propriedade fundamental e importante de uma superf´ıcie e´ que a na˜o
rec´ıprocidade pode aparecer na reflexa˜o, estudada usando te´cnicas de termodinaˆmica
[26].
Neste cap´ıtulo iremos apresentar a na˜o reciprocidade na refletividade, cujos resultados
sa˜o obtidos atrave´s da matriz de transfereˆncia, considerando-se a geometria de Voigt. Sera´
ainda apresentado a na˜o reciprocidade na fase da onda transmitida e refletida, observando-
se que a fase comporta-se de uma forma diferente da intensidade da onda refletida e
30
transmitida. A intensidade refletida e´ rec´ıproca na auseˆncia de amortecimento; por outro
lado, a fase da onda refletida pode ser na˜o rec´ıproca ate´ mesmo sem amortecimento.
Alguns estudos [26], usaram argumentos termodinaˆmicos para mostrar que a energia
refletida e´ rec´ıproca na auseˆncia da absorc¸a˜o pela amostra, isto e´, quando o amorteci-
mento e´ zero. Na presenc¸a de amortecimento, entretanto, existe a na˜o reciprocidade na
refletividade.
No cap´ıtulo VI desse nosso trabalho, examinaremos um aspecto diferente da na˜o re-
ciprocidade na reflexa˜o, que e´ a direc¸a˜o do fluxo de poteˆncia, representada pelo vetor de
Poynting, dentro do pro´prio antiferromagne´tico. O fluxo de Potencia dentro de tal estru-
tura foi discutido por Stamps e Camley [27], mas essencialmente no contexto de modos de
superf´ıcie. Demonstraremos que uma simples ana´lise da refletividade pode conduzir a na˜o
reciprocidade na direc¸a˜o do fluxo de poteˆncia, ate´ mesmo na auseˆncia de amortecimento.
Ale´m disso a na˜o reciprocidade pode ser tambe´m observada em experieˆncias com aˆngulos
de incideˆncias normais.
3.2 Permeabilidade do Antiferromagneto
A permeabilidade magne´tica µ e´ uma grandeza macrosco´pica que mostra a facilidade
dos dipolos magne´ticos induzidos ou dos dipolos magne´ticos permanentes dos ele´trons
pertencentes a`s camadas incompletas nos interiores dos materiais em se alinharem ou na˜o
segundo a direc¸a˜o de um campo magne´tico externo, Hext, aplicado. Em termos das linhas
de fluxo magne´tico, µ e´ um paraˆmetro f´ısico que representa a facilidade que os materiais
apresentam a` passagem do fluxo magne´tico atrave´s de seus interiores. Sua unidade e´ o
Henry por metro (H.m−1).
No antiferromagneto os momentos antiparalelos sa˜o iguais, fazendo com que a magne-
tizac¸a˜o resultante seja nula, ver Fig. 2.1, embora os materiais antiferromagne´ticos tenham
uma forte interac¸a˜o entre os momentos magne´ticos.
Na presenc¸a de um campo magne´tico externo, o antiferromagneto e´ giromagne´tico,
tendo componentes do tensor de permeabilidade fora do eixo na forma [7]:
31

µ1 µ2 0
µ˜ = −iµ2 µ1 0
0 0 1
. (3.1)
Aqui, escolhemos o campo externo, H0, paralelo aos spins, na direc¸a˜o do campo de
anisotropia, ao longo do eixo y. No caso de antiferromagneto uniaxial suas componentes
sa˜o dadas pela equac¸o˜es:
µ1 = 1− γ2HAMs
[
Y + + Y −
]
, (3.2)
µ2 = iγ
2HAMs
[
Y + + Y −
]
, (3.3)
Y ± =
[
ω2r − (ω ± γH0 + iΓ)2
]−1
. (3.4)
A derivac¸a˜o da permeabilidade e´ demonstrada em [9], [7]. As ana´lises ficam, muitas
vezes, mais simples quando o amortecimento e´ nulo (Γ = 0, seria uma aproximac¸a˜o).
Assim µ1 e´ totalmente real e µ2 e´ totalmente imagina´rio.
Na auseˆncia de campo externo (H0 = 0), µ2 tambe´m e´ zero, e o tensor permeabilidade
fica diagonal. Quando H0 for diferente de zero, existira´ duas ressonaˆncias (po´los em µ1 e
µ2).
32
3.3 Na˜o reciprocidade em polariton de superf´ıcie
Na ana´lise de polariton antiferromagne´tico deveremos usar o tensor permeabilidade
demonstrado na eq. 3.1. Observamos que a propagac¸a˜o no antiferromagneto na auseˆncia
de campo externo, onde µ2 e´ nulo, pode ser rec´ıproca, caso ilustrado na Fig. 2.4. Neste
exemplo, observamos que ha´ duas regio˜es onde os polaritons de volume propagam-se,
e entre elas encontram-se os polaritons de superf´ıcie rec´ıprocos. Em ambos os lados
positivo e negativo, as frequ¨eˆncias dos polaritons de superf´ıcie aproximam-se do limite a`
medida que q vai crescendo.
Na presenc¸a de um campo externo aplicado, a situac¸a˜o e´ totalmente alterada, como
se pode ver na Fig. 3.2. Agora ha´ treˆs regio˜es onde os polaritons de volume propagam-se,
e os polaritons de superf´ıcie tornam-se na˜o reciprocos, passando a existir em frequ¨eˆncias
mais altas, na˜o se prolongando para q crescente. Na˜o ha´ polariton de superf´ıcie no limite
esta´tico.
Figura 3.1: Geometria para o ca´lculo da Refletividade
33
Figura 3.2: Curva de dispersa˜o [9] para polaritons de superf´ıcie e volume em um antiferromagne´tico
semi-infinito, na presenc¸a de um campo externo aplicado de 300G, com as frequeˆncias das ondas de
superf´ıcie ωsm+ e ωsm−.
3.4 Comportamento da Reflexa˜o em meios
Antiferromagne´ticos
Uma das caracter´ısticas mais interessantes na interac¸a˜o de ondas eletromagne´ticas com
materiais magne´ticos e´ o da reflexa˜o na˜o-rec´ıproca. Neste efeito uma simples inversa˜o
do sentido das ondas incidentes e refletidas leva a diferentes coeficientes de reflexa˜o e
de transmissa˜o. Uma se´rie de estudos experimentais e teo´ricos acerca da reflexa˜o de
radiac¸a˜o infravermelha a partir dos antiferromagnetos MnF2 [20], [26] e FeF2 [21-23],
[29-30], documentaram este efeito.
A geometria mais simples para tais estudos e´ a geometria de Voigt, na qual tanto o eixo
fa´cil do antiferromagneto quanto o campo externo situam-se perpendiculares ao plano de
incideˆncia, em polarizac¸a˜o s. Este arranjo evita quaisquer complicac¸o˜es devido a` mistura
de polarizac¸o˜es. Ale´m disso, em termos da permeabilidade da amostra, todas as direc¸o˜es
dentro do plano de incideˆncia sa˜o equivalentes. Em tais casos tem-se demonstrado, tanto
34
utilizando-se argumentos termodinaˆmicos quanto analisando-se a expressa˜o expl´ıcita para
o coeficiente de reflexa˜o, que a refletividade e´ rec´ıproca na auseˆncia de absorc¸a˜o mas pode
ser na˜o-rec´ıproca na presenc¸a de absorc¸a˜o.
Neste estudo, no´s consideramos, como o material antiferromagne´tico, MnF2 em 4.2 K,
para o qual os paraˆmetros relevantes sa˜o [28]: Ms=6,0x10
5 A/m, HA=0,787 T, HE=53,0
T e γ=0,975 cm−1/ T, correspondendo a ωr= 8,94 cm−1 . O fator de amortecimento e´
Γ=0,0007 cm−1 e a constante diele´trica e´ =5,5 .
Na geometria Voigt o coeficiente de reflexa˜o na polarizac¸a˜o-s em onda plana, onde um
dos meios e´ o va´cuo, e´ dada pela equac¸a˜o[10]:
r˜ =
q1yµv − q2y − iqx (µ2/µ1)
q1yµv + q2y + iqx (µ2/µ1)
. (3.5)
Aqui, µv e´ a permeabilidade de Voigt dada por:
µv =
(
µ21 − µ22
)
/µ1. (3.6)
O coeficiente de transmissa˜o e´ dado por:
t =
2q1yµv (µ2/µ1)
q1yµv + q2y + iqx (µ2/µ1)
. (3.7)
Os ca´lculos para obtermos o coeficiente de reflexa˜o sa˜o demonstrados no Apeˆndice A.
A onda eletromagne´tica no experimento de reflexa˜o e´ caracterizada por um vetor de
onda em cada meio. A componente do vetor de onda paralelo a` superf´ıcie qx e´ o mesmo
em cada meio e e´ determinado pelo aˆngulo de incideˆncia:
qx = 1 (ω/c) sin θ, (3.8)
onde 1 e´ a constante diele´trica do meio 1 (geralmente va´cuo) e θ e´ o aˆngulo incidente em
um experimento de reflexa˜o. Os componentes do vetor de onda perpendicular a` superf´ıcie
sa˜o dados por q1y no meio 1 e q2y no meio 2 (o antiferromagneto):
q1y =
[
1 (ω/c)
2 − q2x
]1/2
, (3.9)
35
q2y =
[
2µv (ω/c)
2 − q2x
]1/2
(3.10)
Ao discutirmos as propriedades na˜o-rec´ıprocas de r˜, iremos representa´-lo em termos de
uma amplitude ρ e uma fase φ, isto e´:
r˜ = ρ exp (iφ) (3.11)
Para a ana´lise da na˜o-reciprocidade em r˜, comparamos os resultados para o coeficiente
de reflexa˜o quando a onda incidente viaja da direita para a esquerda atrave´s do campo
magne´tico, isto e´, r˜(+θ), com aqueles para o caso onde a onda incidente e´ invertida, r˜(−θ).
A geometria esta´ ilustrada na Fig. 3.1. A u´nica diferenc¸a entre esses dois resultados vem
do fato de que o sinal de qx na eq. 3.5 e´ diferente para os dois casos. Primeiro discutiremos
o caso quando o paraˆmetro de amortecimento Γ e´ zero, isto e´, quando nenhuma absorc¸a˜o
ocorre. Neste caso todos os termos na eq. 3.5, com a excec¸a˜o de q2y, sa˜o reais; q2y pode ser
tanto real como imagina´rio, dependendo da frequ¨eˆncia. Vamos considerar os dois casos
separadamente.
i) q2y real
Isto corresponde a`s regio˜es de volume de antiferromagneto, para as quais a radiac¸a˜o
pode propagar-se para dentro da amostra. Se pusermos q2y real na eq. 3.5 e separarmos
r˜ em sua parte real e imagina´ria, obtemos:
Re [r˜ (+θ)] = Re [r˜ (−θ)] , (3.12)
Im [r˜ (+θ)] = −Im [r˜ (−θ)] . (3.13)
Em termos da amplitude ρ e fase φ, obtemos:
ρ (+θ) = ρ (−θ) , (3.14)
φ (+θ) = −φ (−θ) + 2pim, (3.15)
36
onde m e´ um inteiro arbitra´rio. A partir das eqs. 3.14 e 3.15 observamos que a amplitude
(e assim a intensidade) e´ rec´ıproca. O comportamento da fase sera´ analisado na pro´xima
sec¸a˜o.
ii) q2y e´ imagina´rio
Neste caso os campos eletromagne´ticos simplesmente decaem para dentro da amostra,
sem que ocorra nenhuma propagac¸a˜o. Calculando a amplitude ρ a partir da eq. 3.5,
obtemos:
ρ (+θ) = ρ (−θ) = 1, (3.16)
isto e´, toda a radiac¸a˜o e´ refletida. Em ambos os casos, a amplitude refletida e´ rec´ıproca
mas a fase refletida e´ na˜o-rec´ıproca. Se na˜o houver amortecimento, esses resultados devem
manter-se por todo o espectro. A reciprocidade da amplitude refletida esta´ ilustrada na
Fig. 3.3, confirmando que a amplitude de reflexa˜o e´ rec´ıproca em todas regio˜es [r (θ) =
r (−θ)]. As regio˜es marcadas por V correspondem a q2y real, e aquelas marcadas R
correspondem a q2y imagina´rio. Neste u´ltimo caso a amplitude de reflexa˜o pode ser vista
como sendo 1, em acordo com a eq. 3.14.
Podemos concluir que, na auseˆncia de amortecimento (Γ = 0), no qual qx se restringe
ao intervalo −q0 ≤ qx ≤ q0 , quase todos os termos da equac¸a˜o da refletividade sa˜o reais,
com excec¸a˜o de q2y que pode ser real ou imagina´rio dependendo da frequ¨eˆncia. Para as
frequ¨eˆncias em que q2y e´ imagina´rio, a refletividade e´ igual a 1, e esta a´rea chamamos de
regio˜es de “reststrahl”. Para as frequ¨eˆncias onde q2y e´ real, a refletividade e´ menor que
1, tendo assim radiac¸a˜o dentro da amostra: estas a´reas chamamos de regia˜o de volume.
O espectro da refletividade sem amortecimento esta´ demonstrado na Fig. 3.3, que apre-
senta as duas regio˜es de “reststrahl”(R) e volume(V) para o caso de incideˆncia obl´ıqua
(θ = 450) refletido no MnF2, na presenc¸a de um campo magne´tico externo de 0.1T.
Na presenc¸a do amortecimento na˜o ha´ separac¸a˜o das regio˜es de “reststrahl” e volume,
demonstrado tambe´m na Fig. 3.4. No caso do amortecimento nulo, a separac¸a˜o dos ter-
mos real e imagina´rio da expressa˜o da refletividade, eq. 3.1 nos mostra que a refletividade
e´ rec´ıproca, isto e´, r˜(θ) = r˜(−θ) em concordaˆncia com argumentos termodinaˆmicos gerais
expostos por Remer et al, [26] e T. Dumelow et al, [24].
37
Figura 3.3: Espectros de Refletividade para uma camada diele´trica sobre um substrato
antiferromagne´tico semi-infinito MnF2, na presenc¸a de um campo externo de 0.1 T, Γ = 0.
A curva tracejada e´ para θ = -450 e a curva so´lida e´ para θ = 450.
Figura 3.4: Espectros de Refletividade para uma camada diele´trica sobre um substrato
antiferromagne´tico semi-infinito MnF2, na presenc¸a de um campo externo de 0.1 T, Γ=
0.0007 cm−1. A curva tracejada e´ para θ = -450 e a curva so´lida e´ para θ = 450.
38
3.5 Na˜o Reciprocidade da fase em meios Antiferromagne´ticos
Para a ana´lise do comportamento na˜o rec´ıproco da fase da reflexa˜o em um antiferro-
magneto e´ considerada a geometria de Voigt representada na Fig. 3.1., isto e´, o campo
aplicado paralelo a` superf´ıcie e ao longo da direc¸a˜o uniaxial. A onda eletromagne´tica
incidente apresenta polarizac¸a˜o s e o plano de incideˆncia e´ perpendicular ao campo apli-
cado. Pode-se mostrar com facilidade, ver Fig. 3.3, que a intensidade refletida e´ rec´ıproca
a menos que haja algum mecanismo de absorc¸a˜o dentro do antiferromagneto. Se hou-
ver absorc¸a˜o, enta˜o a intensidade da onda refletida e´ na˜o-rec´ıproca mas a intensidade
da onda transmitida e´ sempre rec´ıproca. Nesta sec¸a˜o nos concentramos em uma nova
caracter´ıstica do antiferromagneto, a fase na˜o-rec´ıproca das ondas refletidas e transmi-
tidas. A fase pode comportar-se muito diferente da intensidade. Por exemplo, quando
consideramos a geometria de reflexa˜o discutida na sec¸a˜o anterior, a intensidade refletida
e´ rec´ıproca na auseˆncia de amortecimento. Em contraste, a fase da onda refletida pode
ser na˜o-rec´ıproca ate´ mesmo sem amortecimento. Observamos que a fase na˜o-rec´ıproca
de ondas refletidas e transmitidas acontece devido a` interfereˆncia que ocorre na fase da
onda transmitida e refletida, ver Fig. 3.5, demonstrada na eq. 3.15.
3.6 Concluso˜es
Neste trabalho confirmamos que algumas ondas que se propagam na superf´ıcie e
no interior de um material, neste caso antiferromagne´tico, teˆm a propriedade de que
ω (~q) = ω
(
~−q), isto e´, a mudanc¸a no sinal do vetor de onda ~q, na˜o muda o valor da
frequeˆncia ω. Dizemos que ondas com esta propriedade sa˜o rec´ıprocas. Confirmamos
tambe´m neste estudo que na presenc¸a de um campo magne´tico estas ondas de superf´ıcie
apresentam a na˜o-reciprocidade, sendo que as que se propagam no interior da amostra
independem do campo aplicado. Analisamos o espectro da refletividade a partir de um
antiferromagnetico e observamos que a intensidade refletida apresenta reciprocidade na
auseˆncia de amortecimento, sendo que a fase da onda refletida e´ na˜o-rec´ıproca com ou
sem amortecimento.
39
Figura 3.5: Espectros de fase calculados para reflexa˜o polarizac¸a˜o s, a partir de uma
amostra de MnF2 semi-infinita na geometria de Voigt na presenc¸a de um campo externo
de 0.5T . (a) Γ = 0; (b) Γ = 0, 0007. Curvas so´lidas, θ = +45◦; curvas tracejadas,
θ = −45◦.
40
CAPI´TULO 4
O Efeito Go¨os-Hanchen
4.1 Introduc¸a˜o
O efeito Goos-Ha¨nchen [1] e´ o deslocamento em relac¸a˜o a` reflexa˜o geome´trica, de um
raio (polarizac¸a˜o s ou p) refletido por um meio com um coeficiente de reflexa˜o complexo
e dependente do aˆngulo.
A teoria deste efeito tem sido tratada amplamente a partir de diferentes pontos de
vista [31− 55]. Este fenoˆmeno, representando um deslocamento lateral do raio incidente,
surge na reflexa˜o total de um raio paralelo linearmente polarizado. Ele foi descoberto
originalmente na o´tica cla´ssica, mas e´ encontrado tambe´m em outros ramos da f´ısica,
[56].
Goos e Ha¨nchen [1] demonstraram experimentalmente em 1943 que, no plano de in-
cideˆncia, o raio de luz linearmente polarizado e totalmente refletido e´ deslocado paralelo
a um raio que seria refletido geometricamente na interface entre os dois meios oticamente
transparentes, homogeˆneos e isotro´picos. Eles conclu´ıram, como Newton ja´ suspeitava
[57] ha´ cerca de treˆs se´culos atra´s, que mesmo em reflexa˜o total, o raio incidente pene-
tra no meio oticamente menos denso mas em seguida ressurge no meio oticamente mais
denso; em outras palavras, o raio e´ refletido em alguma superf´ıcie virtual localizada a
uma pequena distaˆncia do meio menos denso. Este fenoˆmeno, ilustrado na Fig. 4.1, foi
chamado de “efeito Goos-Ha¨nchen” por H. Wolter [4].
41
Figura 4.1: Diagrama do Deslocamento Goos-Ha¨nchen
4.2 Teorias ba´sicas do efeito Goos-Ha¨nchen
Consideramos uma onda plana infinita incidente partindo de um meio mais denso para
um meio menos denso. Os ı´ndices refrativos dos meios sa˜o n1 e n2 para os meios mais e
menos densos respectivamente.
A reflexa˜o total ocorre quando o aˆngulo de incideˆncia θ e´ maior do que o aˆngulo cr´ıtico
θc, isto e´:
sin θ > sin θc =
n2
n1
(4.1)
Em seguida apresentaremos a teoria de Artman [2] para deslocamento do raio, re-
sultante da mudanc¸a de fase em reflexa˜o total. Em seguida apresentaremos a teo´ria de
Schaefer e Pich que trata do deslocamento do raio sob o ponto de vista do fluxo de energia
na interface em reflexa˜o interna total. Por u´ltimo apresentaremos a teoria de Hora [56],
onde este efeito e´ analisado atrave´s da mecaˆnica quaˆntica.
42
4.2.1 Teoria de Artmann
Pouco tempo depois que Goos e Ha¨nchen terminaram seu primeiro trabalho, Artmann
[2] propoˆs uma teoria para este fenoˆmeno. A partir das equac¸o˜es de Fresnel-Maxwell, ele
considerou apenas a expressa˜o matema´tica para os raios incidente e totalmente refletido.
Figura 4.2: Deslocamento do raio (D) no caso de reflexa˜o total. Os raios mostrados por
linhas tracejadas correspondem a` reflexa˜o geome´trica em uma superf´ıcie coberta por prata
(Ag). As linhas refletidas so´lidas corresponde a` reflexa˜o total [58-61]
.
43
Artmann [2], considerou que uma onda plana atravessava uma fenda de largura 2H em
um meio mais denso (n1) para um meio menos denso (n2), como mostrado na Fig. 4.2, onde
n1 e n2 sa˜o os ı´ndices refrativos e λ1 e λ2 sa˜o os comprimentos de onda correspondentes.
Ele supoˆs que a direc¸a˜o de propagac¸a˜o de uma das ondas elementares esta´ pro´ximo ao
aˆngulo cr´ıtico (θ ≈ θc), onde o vetor de onda e´ dada por:
qx =
2pi
λ1
sin θ. (4.2)
Esta onda e´ representada por exp (iqxx), sendo que a correspondente onda refletida apre-
senta uma mudanc¸a de fase φ, dada por: exp [i (qxx+ φ)]. Considerando por razo˜es de
simplicidade apenas duas ondas planas passando atrave´s da fenda, o aˆngulo de incideˆncia
da segunda onda sera´ (θ + ∆θ), sendo o seu vetor de onda dado por: qx+∆qx. Desta forma
a segunda onda incidente sera´ representada por exp [i (qx + ∆qx)x], com a sua correspon-
dente onda refletida apresentando a seguinte mudanc¸a de fase: (φ+ ∆φ). Portanto a onda
refletida, correspondente da segunda onda incidente, e´: exp {i [(qx + ∆qx)x+ φ+ ∆φ]}.
A sobreposic¸a˜o de ambas as ondas refletidas ao longo da superf´ıcie de interface e´ dada
por:
Ψ = (exp [i (qxx+ φ)] + exp {i [qx + ∆qx]x+ ∆φ} =
= exp [i (qxx+ φ)] {1 + exp [i (∆qxx+ ∆φ)]} , (4.3)
considerando-se ondas de intensidade unita´ria. A partir da eq.4.2 temos:
∆qxx+ ∆φ = 2piν, (4.4)
onde ν e´ um nu´mero inteiro. Consideramos que estas reflexo˜es descritas acima acontecem
sobre uma superf´ıcie perfeitamente coberta por prata (Ag). Enta˜o ∆φ = 0, e portanto a
eq. 4.4 torna-se:
∆qxxAg = 2piν. (4.5)
Subtraindo as eqs. 4.4 e 4.5, obtemos a expressa˜o para o deslocamento do raio no caso
de reflexa˜o total:
X = x− xAg = − ∆φ
∆qx
. (4.6)
44
No limite, ∆qx → dqx, ∆φ→ dφ,
X = − dφ
dqx
. (4.7)
O deslocamento do raio (deslocamento de Goos Ha¨nchen) e´ dado por:
D = X cos θ. (4.8)
Assim a eq. 4.7 pode ser escrita como:
D = − cos θdφ
dθ
. (4.9)
Com esta teoria ele previu duas expresso˜es para o deslocamento, uma para a polar-
izac¸a˜o da onda paralela ao plano de incideˆncia, a outra para a polarizac¸a˜o perpendicular,
ou seja:
DE =
1
pin1
n2λ1(
sin2 θ − sin2 θc
)1/2 , (4.10)
DH =
(
n1
n2
)2
1
pin1
n2λ1(
sin2 θ − sin2 θc
)1/2 . (4.11)
45
4.2.2 Teoria de Schaefer e Pich
Goos e Ha¨nchen fizeram novas medic¸o˜es [62] e confirmaram o fato de que havia uma
dependeˆncia em relac¸a˜o a` polarizac¸a˜o da luz. Va´rios meses depois, Fragstein [3] publicou
outra teoria baseada no trabalho muito importante de Picht [63-65] e de Schaefer e Pich
[5].
Schaefer e Pich consideraram um raio limitado, uma onda plana de largura arbitra´ria
e limitada por uma onda com decaimento em ambos os lados. A representac¸a˜o do fluxo
de energia na interface em reflexa˜o total e´ discutado em detalhes por Lotsch [66]. A
geometria usada por eles esta´ mostrada na Fig. 4.3. Uma frac¸a˜o Br da energia incidente
entra no meio menos denso, sendo usada para estabelecer a onda evanescente no meio mais
rarefeito. Esta energia e´ levada de volta (Br) atrave´s da onda refletida. Isto representa
basicamente o mecanismo de transporte de energia na interface em reflexa˜o interna total.
A energia flui do meio (2) para o meio (1), produzindo o deslocamento Goos-Ha¨nchen.
Ao fazer as aproximac¸o˜es contidas na teoria de Schaefer e Pich, Fragstein descobriu as
mesmas duas expresso˜es para o deslocamento, calculado por Artmann.
46
Figura 4.3: Deslocamento do raio (D) no caso de reflexa˜o total. Os raios mostrados por
linhas tracejadas correspondem a` reflexa˜o geome´trica (Ag). As linhas refletidas so´lidas
correspondem a` reflexa˜o total [58].
47
4.2.3 Teoria de Hora - Mecaˆnica quaˆntica
Usando a mecaˆnica quaˆntica, Hora [56] realizou o tratamento de Artmann para um
feixe de part´ıculas totalmente refletido em uma barreira potencial. Ele obteve uma ex-
pressa˜o para o deslocamento com a mesma aproximac¸a˜o.
A dualidade onda-part´ıcula da luz suporta o fato de que um feixe de part´ıculas, ao
ser refletido totalmente em uma barreira potencial, deve tambe´m exibir o efeito Goos-
Ha¨nchen. Hora investigou este problema com base na mecaˆnica quaˆntica. Ele resolveu
a equac¸a˜o de Schro¨dinger separadamente para os dois semi-espac¸os da Fig. 4.1 com
as energias potenciais respectivas V1(n > 1) e V2(n = 1), e combinou as condic¸o˜es de
contorno em toda a interface em z = 0. Uma onda incidente com a energia E > V2 > V1
e´ totalmente refletida se o aˆngulo de incideˆncia exceder o aˆngulo cr´ıtico definido por
ΦQM =
√
E − V2
√
E − V1, com deslocamento de fase δr. Utilizando uma expansa˜o de
onda plana para o feixe de part´ıculas refletido, e seguindo o me´todo de Schoch de avaliac¸a˜o
assinto´tica, Hora obteve o deslocamento do raio:
DH =
~
2pi
√
2m(E − V1)
d
dϕ
|δr| . (4.12)
Aqui o H subscrito refere-se a Hora, ~ e´ a constante de Planck, e m denota a massa
de uma part´ıcula. Introduzindo o comprimento de onda de De Broglie λdB =
~√
2m(E−V1)
chega-se a expressa˜o de Artmann-Wolter.
Obviamente, o resultado de Hora tambe´m e´ va´lido para aˆngulos pro´ximos do aˆngulo
cr´ıtico para reflexa˜o total. Renard [67] posteriormente demonstrou que ampliando o
tratamento de Hora com o princ´ıpio da conservac¸a˜o de part´ıculas obteremos a expressa˜o
geral, eq. 4.10.
48
4.3 Exemplo de aplicac¸a˜o do Efeito Goos Ha¨nchen
O efeito Goos-Ha¨nchen e´ encontrado em uma variedade de aplicac¸o˜es, como em
medic¸o˜es de plasma [68], holografia de reflexa˜o total [65-70], espectroscopia de reflexa˜o
interna [71-78], assim como em fenoˆmenos de reflexa˜o em frequeˆncias de ra´dio [79-85].
Harrick [86] sugeriu que a f´ısica e a qu´ımica de superf´ıcies de semicondutores podem ser
estudadas atrave´s da ana´lise do espectro da reflexa˜o interna total. Isto parecia plaus´ıvel
porque um raio totalmente refletido penetra no meio mais denso a uma profundidade
proporcional a (sin θ − sin θc)−1/2. A profundidade de penetrac¸a˜o e´ de cerca de 0.1 λ, e
ela torna-se grande pro´ximo do aˆngulo cr´ıtico.
A amostra usada para estudos de mu´ltipla reflexa˜o neste experimento e´ Ge tipo p.
O aˆngulo de incideˆncia e´ de cerca de 45o. Este experimento demonstra que a radiac¸a˜o
infravermelha que penetra na superf´ıcie interage com impurezas sobre a superf´ıcie em
frequ¨eˆncias de ressonaˆncia molecular, e a interac¸a˜o e´ compara´vel com o que seria observado
em uma mensurac¸a˜o de transmissa˜o para pel´ıculas de impureza sobre uma superf´ıcie mais
fina do que a profundidade de penetrac¸a˜o. No experimento, polietileno foi dissolvido em
xileno e borrifado sobre a superf´ıcie de amostra. Mensurac¸o˜es de transmissa˜o e de reflexa˜o
foram feitas como func¸o˜es da espessura do polietileno.
A profundidade de penetrac¸a˜o foi medida como uma func¸a˜o do aˆngulo de incideˆncia.
Experimentos foram realizados tambe´m com uma superf´ıcie livre e com a´gua sobre a su-
perf´ıcie. Os espectros de reflexa˜o foram registrados. Acontece que te´cnicas de reflexa˜o
interna possuem uma vantagem sobre as te´cnicas de transmissa˜o, uma vez que as reflexo˜es
internas sa˜o totais e com perdas minimizadas. Esses resultados sugerem de modo muito
claro que de 1 a 10 camadas atoˆmicas podem ser detectadas estudando-se a qu´ımica da su-
perf´ıcie usando-se o deslocamento do raio em reflexa˜o interna total. Assim o experimento
Goos-Ha¨nchen abriu as portas para o estudo de pel´ıculas finas usando-se os deslocamentos
do raio em reflexa˜o interna total.
49
CAPI´TULO 5
Efeito Go¨os-Hanchen em Incideˆncia Normal
5.1 Introduc¸a˜o
Quando uma onda eletromagne´tica e´ refletida a partir de uma superf´ıcie plana, espera-
se geralmente que os raios incidentes e refletidos estejam centrados no mesmo ponto sobre
a superf´ıcie, como seria previsto a partir da o´tica geome´trica. Demonstraremos neste
cap´ıtulo que isso nem sempre acontece. Existem va´rios exemplos nos quais um raio
obliquamente incidente e´ deslocado lateralmente em reflexa˜o. Deslocamentos deste tipo
envolvem geralmente uma onda evanescente no segundo meio, e tendem a ocorrer quando
a reflexa˜o e´ quase total.
O exemplo cla´ssico e´ o deslocamento em reflexa˜o interna total observado por Goos e
Ha¨nchen [1]. Todos os deslocamentos laterais em reflexa˜o agora tendem a ser descritos
como deslocamentos Goos-Ha¨nchen, incluindo deslocamentos em reflexa˜o externa. Por
exemplo, em reflexa˜o a partir de um metal, deveria haver um deslocamento Goos-Ha¨nchen
cuja direc¸a˜o depende da polarizac¸a˜o da luz incidente [87, 88]. Em todos esses casos, a
questa˜o essencial e´ que qualquer raio incidente de largura finita pode ser considerado
como uma soma de ondas planas, cada uma delas com um aˆngulo incidente ligeiramente
diferente, e se a mudanc¸a de fase em reflexa˜o depender do aˆngulo incidente, a interfereˆncia
mu´tua entre essas ondas planas ira´ mudar na reflexa˜o, afetando o perfil do raio refletido.
Esta mudanc¸a no perfil manifesta-se como um deslocamento lateral [2, 89, 90]. Uma
vez que, no caso de reflexa˜o total, um deslocamento lateral implica um fluxo de energia
ao longo da superf´ıcie associado com a onda evanescente no segundo meio, uma ana´lise
50
alternativa baseada no fluxo de energia tambe´m e´ poss´ıvel. Ele sera´ mais um dos pontos
analisados nesta tese, a partir do pro´ximo cap´ıtulo.
Ate´ o presente momento, os deslocamentos Goos-Ha¨nchen teˆm em geral sido conside-
rados como fenoˆmenos de incideˆncia obl´ıqua. Neste estudo, mostraremos que dados os
materiais certos, tais deslocamentos sa˜o poss´ıveis tambe´m em incideˆncia normal.
Consideramos como nosso modelo a reflexa˜o externa a partir de um antiferromagneto,
com um campo magne´tico externo apontando na direc¸a˜o demonstrada na Fig. 5.1.
5.2 Modelo do Espectro Angular
Iniciamos com a ana´lise geral das condic¸o˜es necessa´rias para se obter o deslocamento
Goos-Ha¨nchen ao refletir um raio incidente normal em um meio semi-infinito, usando um
modelo bi-dimensional semelhante ao usado por McGuik e Carniglia [90]. Consideramos
o raio incidente de espessura finita como um raio gaussiano, expresso como uma soma
Fourier de ondas planas no plano xy, de acordo com o sistema de coordenadas da Fig.
5.1.
Figura 5.1: Geometria utilizada neste trabalho
51
Considerando o vetor campo ele´trico perpendicular ao plano de incideˆncia com po-
larizac¸a˜o s, o centro do raio e´ ao longo do eixo y, em x = 0. A componente do campo Ez
e´ dada por:
Ez (x, y) =
∫ q0
−q0
ψ (qx) exp [i (qxx+ q1yy)] dqx, (5.1)
onde ψ(qx) e´ uma func¸a˜o de distribuic¸a˜o que representa a forma do raio, θ e´ o aˆngulo
de incideˆncia e q0 = ω/c e´ o mo´dulo do vetor de onda na camada incidente, considerada
como sendo o va´cuo para esta ana´lise. As componentes de q0 nesta camada satisfazem a
equac¸a˜o:
q20 = q
2
x + q
2
1y. (5.2)
Na interface consideramos que y = 0, de tal maneira que os campos incidente e refletido
sa˜o respectivamente:
Ei (x) =
∫ q0
−q0
ψ (qx) exp (iqxx) dqx, (5.3)
Er (x) =
∫ q0
−q0
r (qx)ψ (qx) exp (iqxx) dqx, (5.4)
onde r(qx) representa o coeficiente de reflexa˜o complexo de uma onda plana, com o vetor
de onda qx no plano definido por:
r (qx) = ρ (qx) exp [iφ (qx)] . (5.5)
Aqui ρ(qx) e´ a amplitude da reflexa˜o e φ(qx) e´ a mudanc¸a de fase associada a` reflexa˜o.
No caso de um raio com espessura suficiente, havera´ somente contribuic¸o˜es significati-
vas ate´ a primeira ordem de qx nas integrac¸o˜es das eqs. (5.3) e (5.4) em uma distribuic¸a˜o
de qx, para o caso de incideˆncia normal (em torno de qx = 0). Usando a se´rie de Taylor
expandimos ρ(qx) e φ(qx), e desconsiderando os termos em q
2
x e acima, temos:
ρ (qx) ≈ ρ (0) + qx dρ
dqx
∣∣∣
qx=0
, (5.6)
φ (qx) ≈ φ (0) + qx dφ
dqx
∣∣∣
qx=0
. (5.7)
52
Substituindo estes resultados na eq. (5.4), obtemos:
Er (0) = r (0)
∫ q0
−q0
ψ (qx) exp (iqxX) dqx + r
′
(0)
∫ q0
−q0
qxψ (qx) exp (iqxX) dqx, (5.8)
onde
r (0) = ρ (0) exp (iφ (0)) , (5.9)
r
′
(0) =
dρ
dqx
∣∣∣
qx=0
exp (iφ (0)) , (5.10)
X = x+
dφ
dqx
∣∣∣
qx=0
. (5.11)
Observe que r(0) e´ o coeficiente de reflexa˜o de incideˆncia normal para uma onda plana.
Para uma distribuic¸a˜o limitada dos valores de qx, o primeiro termo da eq. 5.8 devera´
ser dominante. Podemos enta˜o, em uma primeira aproximac¸a˜o, ignorar o segundo termo
da eq. 5.8, ou seja, a integral que representa a forma do raio refletido e´ igual a`quela do
raio incidente expressa pela eq. 5.3, exceto que x foi substituido por X. Portanto, o
formato do raio refletido e´ o mesmo do raio incidente, mas deslocado do eixo x por uma
distancia D, dado por:
D = − dφ
dqx
∣∣∣
qx=0
. (5.12)
Observe que a eq. 5.12 e´ equivalente a expressa˜o cla´ssica de Artmann [2]. Para ocorrer o
deslocamento D na reflexa˜o, e´ essencial que se tenha a na˜o-reciprocidade na fase do raio
refletido, isto e´, φ (qx) 6= φ (−qx) . Este tipo de na˜o reciprocidade e´ poss´ıvel quando se
considera reflexa˜o em um antiferromagneto uniaxial na presenc¸a de um campo externo
[91], como discutido no cap´ıtulo 3.
53
5.3 Ana´lise das Expresso˜es do Deslocamento de Goos-Ha¨nchen
A ana´lise da eq. 5.12 mostra que, para que se tenha o deslocamento D no raio re-
fletido, a na˜o-reciprocidade na fase refletida e´ essencial. Uma vez que este tipo de na˜o-
reciprocidade e´ perfeitamente poss´ıvel no caso de meios girotro´picos [92], consideramos
a reflexa˜o a partir de um antiferromagneto uniaxial, que e´ giromagne´tico na presenc¸a de
um campo externo.
Consideramos para ana´lise a reflexa˜o de um raio incidente finito, como representado
pela eq. 5.3, em um antiferromagneto. A geometria de Voigt e´ considerada, na qual o
plano de incideˆncia e´ xy, e tanto o eixo fa´cil do antiferromagneto quanto o campo externo
H0 situam-se ao longo do eixo z, paralelos a` superf´ıcie de amostra. Neste caso o tensor
de permeabilidade magne´tica do antiferromagneto em frequ¨eˆncia ω e´ dado pela expressa˜o
3.1[7].
Neste estudo, consideramos como o material antiferromagne´tico, MnF2 em 4.2 K, para
o qual os paraˆmetros relevantes sa˜o [28]: Ms=6.0x10
5A/m, BA=0.787 T, BE=53.0 T e
γ=0.975 cm−1/T, correspondente a ωr=8.94 cm−1 . O fator de amortecimento e´ Γ=0.0007
cm−1 e a constante diele´trica ε=5.5.
Na geometria de Voigt, o coeficiente de reflexa˜o de uma onda plana s-polarizada a
partir do va´cuo e´ dado pela expressa˜o 3.5, [10], demonstrado no apeˆndice A. A componente
de vetor de onda q2y no antiferromagneto e´ dado pela eq. 3.10.
Na auseˆncia de amortecimento (Γ = 0), com qx restrito ao intervalo −q0 ≤ qx ≤ q0,
todos os termos na eq. 3.5 sa˜o reais, exceto para q2y, que pode ser tanto real quanto
imagina´rio, dependendo da frequ¨eˆncia. Para frequ¨eˆncias para as quais q2y e´ imagina´rio,
a refletividade R = rr∗ = ρ e´ igual a` unidade, caracterizando a regia˜o de “reststrahl”.
Para frequ¨eˆncias para as quais q2y e´ real, por outro lado, a refletividade e´ menos do que a
unidade, com uma certa quantidade de radiac¸a˜o propagando-se para dentro da amostra,
caracterizando a regia˜o de volume.
O espectro de refletividade de amortecimento zero (linha so´lida vermelha) na figura
5.2 mostra essas duas regio˜es para o caso de reflexa˜o de incideˆncia normal a partir de um
campo magne´tico externo de 0.1 T. Na presenc¸a de amortecimento (linha tracejada azul),
54
entretanto, na˜o ha´ uma divisa˜o clara entre as regio˜es de volume e as “reststrahl”.
Figura 5.2: Variac¸a˜o da refletividade com frequ¨eˆncia (expressa em nu´mero de onda ω/2 ) para reflexa˜o
de incideˆncia normal a partir de em um campo magne´tico externo de 0.1 T. Curvas vermelhas so´lidas:
Γ = 0; curvas tracejadas azuis: Γ= 0.0007 cm−1. As letras R e V representam as regio˜es “reststrahl” e
de volume respectivamente.
No caso de amortecimento zero, a simples separac¸a˜o na eq. 3.5 nos seus termos real
e imagina´rio mostra que, em geral, a amplitude refletida e´ rec´ıproca, isto e´, ρ(qx) =
ρ(−qx) (de acordo com argumentos termodinaˆmicos gerais expostos por Remer et al [26]),
enquanto que a fase refletida φ e´ na˜o-rec´ıproca tanto nas regio˜es de volume quanto nas
“reststrahl” [92], como mostrada na Fig. 5.3.
As curvas vermelhas so´lidas na Fig. 5.3 mostram os valores de ρ(qx) e φ(qx) com
amortecimento nulo, calculados nas duas frequ¨eˆncias marcadas por flechas na Fig. 5.4,
correspondendo a 8.872 cm−1 (regia˜o “reststrahl” inferior) e 9.0705 cm−1(regia˜o de vo-
lume). Essas curvas mostram que ρ(kx) e´ rec´ıproca e que φ(qx) e´ na˜o-rec´ıproca, a` medida
que as curvas ρ(qx) sa˜o sime´tricas em torno de qx = 0, diferentemente das curvas φ(qx).
Assim dρ/dqx
∣∣∣
qx=0
= 0 e dφ/dqx
∣∣∣
qx=0
6= 0 em ambas as frequ¨eˆncias.
Quando existe amortecimento, observe que a linha azul tracejada da Fig. 5.3, dρ
dqx
∣∣∣
qx=0
e´ diferente de zero. Logo o segundo termo da eq. 5.8 e´ diferente de zero fornecendo uma
contribuic¸a˜o para o raio refletido, sendo este efeito mı´nimo.
55
Figura 5.3: Variac¸a˜o da amplitude de reflexa˜o ρ e fase φ com o vetor de onda qx para reflexa˜o a partir
de MnF2 em um campo magne´tico externo de 0.1 T.
(a) ρ(qx) com frequ¨eˆncia 8.872 cm−1 (regia˜o “reststrahl”)
(b)φ(qx) com frequ¨eˆncia 8.872 cm−1
(c) ρ(qx) em frequ¨eˆncia 9.0705 cm−1 (regia˜o de volume)
(d) φ(qx) em frequ¨eˆncia 9.0705 cm−1. Curvas vermelhas so´lidas: Γ = 0;
curvas tracejadas azuis: Γ = 0.0007 cm−1. Observe que em (b) ambas as curvas sa˜o quase coincidentes.
56
Para uma reflexa˜o de um raio finito, podemos observar que na auseˆncia de amorteci-
mento, o segundo termo da equac¸a˜o 5.8 e´ igual a zero desde que r
′
(0) = 0.
A expressa˜o para este estudo de dφ
dκx
|qx=0 foi calculado analiticamente, a partir da
equac¸a˜o do coeficiente de refletividade, equac¸a˜o 3.5, separando os termos real e imagina´rio,
resultando na seguinte expressa˜o:
dφ
dqx
=
2 (µ2/µ1)
q0 (− µv) , (5.13)
ou seja, o deslocamento do raio refletido e´ dado por:
Dr =
2 (µ2/µ1)
q0 (µv − ) , (5.14)
onde os ca´lculos detalhados esta˜o demonstrados no Apeˆndice A, em total acordo com a
equac¸a˜o de Artman [2](5.12)(ver Fig. 5.5). A Fig. 5.4 mostra os valores calculados de
dφ/dqx|qx=0 em func¸a˜o da frequ¨eˆncia. Observe que as curvas com e sem amortecimento sa˜o
quase ideˆnticas. Vemos que um deslocamento Dr, dado aproximadamente pela eq. 5.12,
deveria ser observado tanto nas regio˜es de volume quanto nas “reststrahl”. Entretanto,
ha´ descontinuidades nos mı´nimos de refletividade, e o tipo de ana´lise dada na derivac¸a˜o
da eq. 5.12 na˜o se aplica nessas frequ¨eˆncias.
Observamos que um deslocamento tambe´m deveria ocorrer em frequ¨eˆncias correspon-
dentes a`s regio˜es de volume, e que tal deslocamento tambe´m deveria ser dado pela eq.
5.12. A Fig. 5.5 mostra o deslocamento Dr calculado tanto nas regio˜es “reststrahl” quanto
de volume pro´ximas a` regia˜o “reststrahl” superior. A Fig. 5.2 mostra o esquema de re-
fletividade na mesma regia˜o para fins de comparac¸a˜o. Deslocamentos sa˜o observados em
ambas as regio˜es. A Fig. 5.5 apresenta ainda a comparac¸a˜o do deslocamento obtido a
partir da eq. 5.12 (linha cont´ınua) e os deslocamento a partir da diferenc¸a entre os perfis
dos raios incidentes e refletidos.
57
Figura 5.4: Variac¸a˜o de dφ/dqx|qx=0 com frequ¨eˆncia (expressa em nu´mero de onda ω/2pic ) para
reflexa˜o de incideˆncia normal no MnF2 com um campo magne´tico externo de 0.1 T. Curvas vermelhas
so´lidas: Γ = 0; curvas tracejadas azuis: Γ= 0.0007 cm−1. As letras R e V representam as regio˜es
“reststrahl” e de volume respectivamente.
Figura 5.5: Variac¸a˜o de dφ/dqx|qx=0 com frequ¨eˆncia (expressa em nu´mero de onda ω/2pic ) para
reflexa˜o de incideˆncia normal no MnF2 com um campo magne´tico externo de -0.1 T.
Curva so´lida: Expressa˜o de Artmann [2]; S´ımbolos: Obtidos a partir da comparac¸a˜o entre os perfis dos
raios incidentes e refletidos.
58
5.3.1 Deslocamento Goos Ha¨nchen na transmissa˜o
O mesmo argumento usado para prever um deslocamento Dr do campo refletido
tambe´m preveˆ um deslocamento Dt do campo transmitido para a amostra. Este desloca-
mento e´ dado, por:
Dt = −dφt
dqx
|qx=0, (5.15)
onde φt e´ a mudanc¸a de fase no campo transmitida pela interface. Na auseˆncia de amor-
tecimento teremos nas regio˜es “reststrahl”:
Dt =
(µ2/µ1)
q0 (µv − ) , (5.16)
e nas regio˜es de volume:
Dt =
(µ2/µ1)
q0
[
µv + (µv)
1/2
] . (5.17)
Consideramos raios gaussianos nas treˆs frequ¨eˆncias marcadas como A (9.0769 cm−1),
B (9.0994 cm−1), e C (9.0705 cm−1) na Fig. 5.6a, na presenc¸a de um campo magne´tico
externo de 0.1 T (H0). Em todas as treˆs frequ¨eˆncias o deslocamento lateral do raio refletido
deveria ser negativo, como visto a partir da Fig. 5.6b. A frequ¨eˆncia A mostra o tipo de
comportamento esperado nas regio˜es “reststrahl”. O deslocamento lateral do perfil de
campo ele´trico neste caso esta´ na mesma direc¸a˜o que a`quele do raio refletido (Dr e Dt
possuem o mesmo sinal). A frequ¨eˆncia B e´ representante da maior parte das frequ¨eˆncias
da regia˜o de volume, com Dr e Dt possuindo sinais opostos. A frequ¨eˆncia C representa
a regia˜o estreita entre o mı´nimo da reflexa˜o e a regia˜o “reststrahl”. Esta tambe´m e´ uma
frequ¨eˆncia de regia˜o de volume, mas neste caso Dr e Dt possuem o mesmo sinal. A
variac¸a˜o de Dt com a frequ¨eˆncia e´ mostrada na Fig. 5.6(c). Observe que a eq. 5.16,
aplica´vel a`s regio˜es “reststrahl”, da´ um perfil de campo no antiferromagneto centrado a
meio caminho entre os raios incidentes e refletidos, de modo que Dr e Dt possuem o mesmo
sinal. Isto pode ser visto comparando-se as Fig. 5.6(b) e 5.6(c) em frequ¨eˆncias de regia˜o
“reststrahl”. Entretanto, para a maioria (mas na˜o todas) das frequ¨eˆncias correspondentes
a`s regio˜es de volume, Dr e Dt possuem sinais opostos, isto e´, o deslocamento lateral do
campo transmitido esta´ na direc¸a˜o oposta a`quela do campo refletido. Esses efeitos sera˜o
interpretados em termos de fluxo de poteˆncia no cap´ıtulo 7.
59
Figura 5.6: (a) Refletividade, (b) deslocamento lateral de campo refletido Dr, e (c) deslocamento lateral
de campo transmitido Dt, em func¸a˜o da frequ¨eˆncia para reflexa˜o de incideˆncia normal a partir de MnF2
em um campo magne´tico externo de ±0.1 T. Em (b) e (c) as curvas vermelhas so´lidas sa˜o para H0=0.1
T, e as curvas tracejadas azuis sa˜o para H0=−0.1 T.
As linhas tracejadas verdes verticais marcam as extremidades das regio˜es “reststrahl”. As frequ¨eˆncias
marcadas sa˜o A:9.0769 cm−1 ;B: 9.0994 cm−1 ; C: 9.0705 cm−1 .
60
5.4 Ana´lise dos Perfis da Intensidade do Campo Eletromag-
netico atrave´s do Raio Gaussiano em uma Incideˆncia Nor-
mal nos Antiferromagnetos - MnF2 e FeF2
Na obtenc¸a˜o do deslocamento em incideˆncia normal, consideramos a reflexa˜o devido
a um raio gaussiano que incide normalmente em uma superf´ıcie de um material antifer-
romagne´tico. O valor de ψ(qx) normalizado, usado nas equac¸o˜es 5.3 e 5.4, e´ dado por:
ψ (qx) = − g
2
√
pi
exp
(
−g
2q2x
4
)
, (5.18)
onde 2g representa a espessura do raio, quando este incide na superf´ıcie da amostra.
No caso do raio gaussiano, a integral tem limites de ±∞. Entretanto a componente
|qx| > q0 corresponde a onda evanescente, e o limite de ±q0 e´ f´ısico [93]. Na Fig. 5.7
calculamos a partir de um raio gaussiano, a intensidade dos raios incidente e refletido
para as duas frequ¨eˆncias usadas na Fig. 5.3, com e sem amortecimento. Treˆs valores de
g sa˜o considerados, correspondendo a g = λ , g = 2λ, e g = 4λ, onde λ representa o
comprimento de onda no espac¸o livre ( corresponde a 0.1127 cm para a frequ¨eˆncia 8.872
cm−1 e 0.1102 cm para a frequ¨eˆncia 9.0705 cm−1 ). Observamos na Fig. 5.4 que na
frequ¨eˆncia 8.872 cm−1, dφ
dqx
|qx=0 e´ negativo. Entretanto obtemos que um deslocamento
do raio refletido ao longo do eixo x e´ positivo, devido o sinal que pode ser observado na
eq. 5.12. Na frequ¨eˆncia 9.0705 cm−1 , dφ
dqx
e´ positivo, portanto o deslocamento do raio
refletido e´ negativo. Observamos ainda que se invertermos o campo magne´tico, as direc¸o˜es
destes deslocamentos tambe´m inverteriam. Os resultados obtidos mostrados na Fig. 5.7
concordam com os calculados na eq. 5.12, representadas no gra´fico por uma linha vertical.
61
Figura 5.7: Perfil da intensidade ao longo da superf´ıcie da amostra da reflexa˜o de um raio gaussiano
em incideˆncia normal no MnF2 com um campo magne´tico externo 0.1 T. As curvas com linhas cont´ınuas
representam os raios incidentes e as curvas tracejadas representam as curvas dos raios refletidos. A curva
em vermelha e´ para g= λ , em azul g=2λ e em verde g=4λ.
(a) Frequ¨eˆncia 8.872 cm−1, regia˜o de “reststrahl”, Γ = 0 cm−1 ;
(b) Frequ¨eˆncia 8.872 cm−1 , regia˜o de “reststrahl”, Γ = 0.0007 cm−1 ;
(c) Frequ¨eˆncia 9.0705 cm−1, regia˜o de volume, Γ = 0 cm−1 ;
(d) Frequ¨eˆncia 9.0705 cm−1, regia˜o de volume, Γ = 0.0007 cm−1
Este estudo iniciou com a ana´lise do FeF2 em 4.2 K, para o qual os paraˆmetros rele-
vantes sa˜o [92]: Ms=0.056 T, HA=19.745 T, HE=53.313 T e γ=1.05 cm
−1/ T, que apre-
senta um deslocamento menor do que a amostra de MnF2, devido o campo de anisotropia
(FeF2) ser maior, ver Fig. 5.9.
62
As frequ¨eˆncias foram obtidas a partir dos ca´lculos demonstrados atrave´s do gra´fico 5.8
da refletividade para o FeF2.
Figura 5.8: Espectro da refletividade para FeF2 na presenc¸a de um campo externo de 0.5 T, com θ = 00,
na auseˆncia do amortecimento, onde R e V delimitam as regio˜es de “reststrahl” e volume respectivamente.
63
Figura 5.9: Perfil da intensidade do raio gaussiano incidente (linha so´lida) e a reflexa˜o(linha tracejada)
de FeF2, na presenc¸a de um campo externo de 0.5 T, com g=0.04 cm (linha vermelho), g=0.02 cm (linha
azul) e Γ=0.0 .
(a) Frequ¨eˆncia de 53.22 cm−1 para regia˜o de “reststrahl”.
(b) Frequ¨eˆncia de 52.68 cm−1 para regia˜o de volume. O raio refletido e´ ligeiramente deslocado no
antiferromagne´tico, nas regio˜es de volume e “reststrahl”.
64
5.5 Ana´lise do Comportamento da Distribuic¸a˜o do Campo no
Plano xy na Estrutura com Duas Camadas: Va´cuo e An-
tiferromagneto
Analisaremos agora a distribuic¸a˜o de campo no plano xy tanto dentro quanto fora do
antiferromagneto. Em um sistema de camadas, o campo Ez em qualquer ponto pode ser
resolvido pelas seguintes componentes:
ER(x, y) =
∫ q0
−q0
anR (qx) exp [i (qxx+ qnyy)] dqx, (5.19)
EL(x, y) =
∫ q0
−q0
anL (qx) exp [i (qxx− qnyy)] dqx, (5.20)
onde n representa o nu´mero da camada. Assim, no sistema de duas camadas, n = 1 na
regia˜o y < 0 e n = 2 na regia˜o y > 0. Na primeira regia˜o ( y < 0 ), ER (x, y) representa o
campo da onda incidente e EL (x, y) a onda refletida. Os dois coeficientes correspondentes
sa˜o dados por:
a1R = ψ (qx) , (5.21)
a1L (qx) = r (qx)ψ (qx) . (5.22)
Na regia˜o y > 0, ER (x, y) e´ o campo da onda transmitida para o antiferrromagneto,
mas EL (x, y) e´ zero, uma vez que na˜o ha´ onda refletida pois esta estrutura e´ formada por
duas camadas. Os dois coeficientes nesta regia˜o sa˜o dados por:
a2R (qx) = t (qx)ψ (qx) , (5.23)
a2L (qx) = 0, (5.24)
onde t (qx) e´ o coeficiente de transmissa˜o expressa pela equac¸a˜o:
t (qx) = 1 + r (qx) .
65
Os campos resultantes das equac¸o˜es 5.17 e 5.18 sa˜o mostrados na figura 5.10, que
apresenta na primeira coluna a amplitude de ER (x, y)(os campos das ondas incidentes
e transmitidas), e a segunda coluna mostra a amplitude de EL (x, y) (o campo da onda
refletida). Na Fig. 5.10a mostramos como na regia˜o “reststrahl” o campo ER (x, y)
dentro do antiferromagneto decai como uma onda evanescente ao longo da interface, mas
que, devido a` na˜o-reciprocidade na fase de t (qx), ele e´ deslocado ao longo da superf´ıcie
na mesma direc¸a˜o que o raio refletido e´ visto no perfil EL (x, y). Observamos que o
amortecimento tem muito pouco efeito na regia˜o “reststrahl”, como visto na Fig. 5.10b.
A Fig. 5.10c mostra a propagac¸a˜o do raio transmitido para dentro do antiferromagneto
na regia˜o de volume. Este raio transmitido e´ deslocado lateralmente, mostrando que os
campos evanescentes na˜o sa˜o necessa´rios para tal deslocamento.
Quando o amortecimento esta´ considerado, Fig. 5.10d, existe um decaimento de campo
semelhante a`quele na regia˜o “reststrahl”, mas isto na˜o afeta os deslocamentos tanto dos
campos refletidos quanto transmitidos. A linha so´lida vertical, cor preta, representa
a superf´ıcie da amostra, e a linha tracejada horizontal mostra o eixo central do raio
incidente.
66
Figura 5.10: Comportamento da amplitude de ER e EL para a reflexa˜o de um raio gaussiano que incide
normalmente, com largura g = λ, em uma amostra semi-infinita de MnF2, na presenc¸a de um campo
magne´tico externo aplicado de 0.1 T.
(a)Freˆquencia 8.872 cm−1, regia˜o de “reststrahl”, sem amortecimento;
(b)Freˆquencia 8.872 cm−1, regia˜o de “reststrahl”, com amortecimento
(c)Freˆquencia 9.0705 cm−1, regia˜o de volume, sem amortecimento;
(d)Freˆquencia 9.0705 cm−1, regia˜o de volume, com amortecimento.
67
5.6 Comportamento do Raio Transmitido em um Filme
Neste estudo consideramos uma estrutura conforme a Fig. 5.11, formada por treˆs
camadas: Va´cuo, MnF2 e Va´cuo.
Figura 5.11: Geometria para raio transmitido em uma estrutura com treˆs camadas.
A ana´lise feita nesta pesquisa mostra claramente que ha´ um deslocamento lateral de
um raio refletido a partir de um material adequado, tal como um antiferromagneto em um
campo externo. Observamos que ha´ um deslocamento lateral no perfil do campo dentro
do antiferromagneto. Portanto iremos extender os nossos estudos para analisar se este
deslocamento ocorre tambe´m em transmissa˜o de um raio finito normalmente incidente
atrave´s de um filme composto deste material.
Baseado nos estudos demonstrados nas sec¸o˜es anteriores, a condic¸a˜o ba´sica para um
deslocamento lateral no raio transmitido e´ que deveria haver na˜o-reciprocidade na fase
associada. Entretanto, Dumelow et al [92] utilizaram argumentos de simetria para mostrar
que, para transmissa˜o atrave´s de um filme, tanto a amplitude quanto a fase transmitida sa˜o
rec´ıprocas, ate´ mesmo na presenc¸a de amortecimento. Isto sugere que o raio transmitido
na˜o deveria ser deslocado lateralmente. A fim de confirmar isto, calculamos o perfil de
campo em todo o plano xy no caso de transmissa˜o de um raio gaussiano normalmente
incidente atrave´s de um filme de MnF2 na presenc¸a de um campo magne´tico externo.
68
Consideramos a geometria mostrada na Fig. 5.11. Mais uma vez, consideramos um
raio gaussiano focado na superf´ıcie da amostra em y = 0. Como antes, podemos represen-
tar as componentes Ez no plano xy por meio das equac¸o˜es 5.17 e 5.18 respectivamente.
Temos agora a1R = ψ (qx) e a3L = 0; os outros coeficientes anR e anL sendo determinados
usando-se te´cnicas de matriz de transfereˆncia [91] dada por:
 anT
bnT
=
 exp (−iqnydn) 0
0 exp (iqnydn)
 a(n+1)
b(n+1)
. (5.25)
As componentes do vetor de onda q1y e q2y sa˜o dados pelas equac¸o˜es 3.6 e 3.7 respec-
tivamente, com q3y = q1y. Vamos analisar as amplitudes das componentes dos campos
ER (x, y) e EL (x, y) para o caso de transmissa˜o de um raio gaussiano atrave´s de um
filme de MnF2 de espessura 0.002 cm. Os resultados sa˜o mostrados na Fig. 5.12 para
as duas frequ¨eˆncias anteriormente consideradas, com e sem amortecimento. Pode-se ver
claramente que em todos os casos existe um deslocamento lateral tanto no raio refletido
quanto no campo interno dentro do filme. Entretanto, o raio transmitido no outro lado
do filme retorna para sua posic¸a˜o original ao longo de x, e e´ sime´trico em torno de x = 0.
Na˜o existe, portanto, nenhum deslocamento lateral em transmissa˜o por um filme, seja nas
regio˜es “reststrahl” ou nas regio˜es de volume. Este resultado e´ independente de amorte-
cimento. A linha so´lida vertical, cor preta, representa a superf´ıcie da amostra, e a linha
tracejada horizontal mostra o eixo central do raio incidente.
69
Figura 5.12: Perfis das amplitudes de ER (x, y) e EL (x, y) para transmissa˜o de um raio gaussiano com
incideˆncia normal, de largura g = λ, atrave´s de uma amostra de MnF2com espessura de 0.002 cm.
(a) 8.872 cm−1, regia˜o de “reststrahl”, sem amortecimento;
(b) 8.872 cm−1, regia˜o de “reststrahl”, com amortecimento (Γ = 0.0007 cm−1)
(c) 9.0705 cm−1, regia˜o de volume, sem amortecimento; (Γ = 0)
(d) 9.0705 cm−1, regia˜o de volume, com amortecimento (Γ = 0.0007cm−1).
70
5.7 Concluso˜es
O deslocamento lateral do raio incidente em uma incideˆncia obl´ıqua tinha sido o u´nico
estudo realizado ate´ o momento. Neste trabalho, mostramos que, dados os materiais
certos, tais deslocamentos sa˜o poss´ıveis tambe´m em incideˆncia normal. Consideramos
como nosso modelo a reflexa˜o externa a partir de um antiferromagneto cujo o eixo e´
paralelo a` superf´ıcie, com um campo magne´tico externo apontando na mesma direc¸a˜o.
Nesta ana´lise consideramos a reflexa˜o de um raio em uma interface plana usando a
representac¸a˜o do espectro angular. Observamos um deslocamento lateral, semelhante
a um deslocamento Goos-Ha¨nchen, de um raio eletromagne´tico normalmente incidente
refletido a partir de um antiferromagneto na presenc¸a de um campo magne´tico externo.
Este deslocamento e´ interpretado em termos de na˜o-reciprocidade da fase refletida, e e´
confirmado usando-se simulac¸a˜o nume´rica.
Observamos ainda que o campo interno dentro do antiferromagne´tico tambe´m apre-
senta este deslocamento, mas um raio transmitido atrave´s de um filme na˜o sofre desloca-
mento.
71
CAPI´TULO 6
Fluxo de Poteˆncia de Onda Plana na Reflexa˜o no
Antiferromagne´tico
6.1 Introduc¸a˜o
A na˜o-reciprocidade em reflexa˜o a partir de meios magne´ticos na presenc¸a de um
campo externo ja´ e´ conhecida ha´ um certo tempo.
Assim, para uma determinada geometria de reflexa˜o de incideˆncia obl´ıqua que inclui um
campo externo H0 aplicado ao longo de uma direc¸a˜o particular, a refletividade a partir
do meio na˜o e´ necessariamente a mesma daquela obtida com um campo externo −H0.
Experimentos em amostras antiferromagne´ticas na presenc¸a de um campo magne´tico ex-
terno teˆm confirmado isto [20, 21, 22, 94, 95, 96], e va´rios artigos adicionais teˆm discutido
este fenoˆmeno teoricamente [26, 97, 91, 92]. Reviso˜es u´teis sa˜o dadas por Camley [9] e
por Abraha e Tilley [10]. A geometria mais simples para este estudo e´ a geometria de
Voigt, na qual tanto o eixo fa´cil do antiferromagneto quanto o campo externo situam-se
perpendiculares ao plano de incideˆncia, na polarizac¸a˜o s. Este arranjo evita quaisquer
complicac¸o˜es devido a` mistura de polarizac¸o˜es. Ale´m disso, em termos da permeabilidade
da amostra, todas as direc¸o˜es dentro do plano de incideˆncia sa˜o equivalentes.
Em tais casos tem-se demonstrado, tanto utilizando-se argumentos termodinaˆmicos
[26, 97] quanto analisando-se a expressa˜o expl´ıcita para o coeficiente de reflexa˜o [92, 10],
que a refletividade e´ rec´ıproca na auseˆncia de amortecimento mas pode ser na˜o-rec´ıproca
na presenc¸a deste. Na˜o obstante, a fase da onda refletida pode ser na˜o-rec´ıproca ate´
mesmo na auseˆncia de amortecimento [92].
72
Neste cap´ıtulo analisamos um aspecto diferente da na˜o-reciprocidade em reflexa˜o,
que e´ a direc¸a˜o do fluxo de energia, representado pelo vetor de Poynting, dentro do
antiferromagneto. O fluxo de energia dentro de tais estruturas tem na verdade sido
discutido ate´ certo ponto por Stamps e Camley [27, 98], mas essencialmente no contexto
de modos de superf´ıcie. Mostramos que um simples experimento de refletividade pode
levar a` na˜o-reciprocidade na direc¸a˜o do fluxo de poteˆncia, ate´ mesmo na auseˆncia de
amortecimento, e que a na˜o-reciprocidade pode ate´ mesmo estender-se a experimentos de
incideˆncia normal.
6.2 Expresso˜es do fluxo de poteˆncia na geometria de Voigt
Consideramos a geometria de Voigt para obter as expresso˜es para o fluxo de energia
no caso de polarizac¸a˜o s, com incideˆncia partindo do va´cuo sobre um antiferromagneto
semi-infinito. Supomos o eixo z ao longo da direc¸a˜o de anisotropia, e que um campo
externo H0 tambe´m situa-se ao longo desta direc¸a˜o. O raio incidente esta´ no plano xy
[ver Fig. 6.1(a)], com y normal em relac¸a˜o a` superf´ıcie da amostra, de modo que para
a polarizac¸a˜o s a contribuic¸a˜o do campo ele´trico para a radiac¸a˜o eletromagne´tica fique
ao longo do eixo z. O tensor de permeabilidade magne´tica nesta geometria e´ dado, na
frequ¨eˆncia ω pela eq. 3.1, e o coeficiente de reflexa˜o complexo e´ dado pela equac¸a˜o 3.5,
sendo a refletividade global dada por R = r˜r˜∗.
O fluxo de poteˆncia, e´ representado pelo valor me´dio do vetor de Poynting, isto e´:
〈S〉 = 1/2Re 〈E ×H∗〉 [102].
Na geometria de Voigt, o campo ~E esta´ ao longo do eixo z, de modo que o vetor de
Poynting e´ mais facilmente representado em termos do campo Ez. As componentes do
valor me´dio do vetor de Poynting sa˜o:
〈S2x〉 = 1
2
|Ez|2Re
[
qx − iq2y (µ2/µ1)
ωµ0µv
]
, (6.1)
〈S2y〉 = 1
2
|Ez|2Re
[
q2y + iqx (µ2/µ1)
ωµ0µv
]
. (6.2)
A direc¸a˜o do fluxo de poteˆncia, ou aˆngulo de refrac¸a˜o, e´ obtido por:
tan θ2 = 〈S2x〉 / 〈S2y〉 , (6.3)
73
com θ2 demonstrado na Figura 6.1(a).
Figura 6.1: Fluxo de poteˆncia a partir de um antiferromagne´tico na geometria de Voigt.
(a) Fluxo de poteˆncia nas regio˜es de volume (q2y real, Γ = 0), (b) H0 = 0, q2y imagina´rio, µv > 0,
Γ = 0; (c) H0= 0, q2y imagina´rio, µv < 0, Γ = 0; (d) regia˜o “reststrahl” inferior, H0 = ±0.5 T, Γ = 0;
(e) regia˜o “reststrahl” superior, H0 = ±0.5 T, Γ = 0; (f) regia˜o de “reststrahl” superior, H0 = ±0.5 T,
Γ = 0, incideˆncia normal; (g) ω = 52.04 cm−1, H0 = ±0.5 T, θ1 = 450, Γ = 0.05 cm−1; (h) ω = 53.15
cm−1,H0 = ±0.5 T, θ1 = 450, Γ= 0.05 cm−1.
74
6.3 Na˜o-reciprocidade na direc¸a˜o do fluxo de poteˆncia
Iniciamos a ana´lise da na˜o-reciprocidade na direc¸a˜o do fluxo de poteˆncia no antiferro-
magneto, considerando o fluxo de poteˆncia como na˜o-rec´ıproco se:
θ2 (−H0) 6= θ2 (H0) . (6.4)
A figura 6.1(a), representa o fluxo de poteˆncia rec´ıproco, ou refrac¸a˜o rec´ıproca. A
partir das equac¸o˜es 3.3 e 3.4, obtemos µ2(−H0) = −µ2(H0), de modo que a permeabilidade
de Voigt, dada pela eq. 3.6, seja independente do sinal de H0. Imediatamente vemos a
partir da eq. 3.9 que q2y(−H0) = q2y(H0). Assim, uma vez que qx e´ cont´ınuo, a direc¸a˜o
do vetor de onda na camada do antiferromagneto e´ independente do sinal de H0. O vetor
de onda q2 pode, portanto, ser considerado como exibindo comportamento rec´ıproco, ate´
mesmo na presenc¸a do amortecimento.
A fim de considerar o fluxo de poteˆncia, limitamos inicialmente ao caso onde na˜o ha´
amortecimento no sistema. Este ana´lise foi utilizada anteriormente no cap´ıtulo 3 com a
eq. 3.4 para mostrar que na auseˆncia de amortecimento, a amplitude refletida e´ rec´ıproca,
mas a fase refletida pode ser na˜o-rec´ıproca. Neste cap´ıtulo analisamos o valor me´dio do
vetor de Poynting da mesma maneira. Para isto utilizareemos exemplos para reflexa˜o a
partir de FeF2 em 4.2 K, supondo Γ = 0 com os mesmos dados ja´ citados nos cap´ıtulos
anteriores.
75
Figura 6.2: (a) refletividade calculada e (b) valores θ2 da reflexa˜o a partir de FeF2 em campo zero,
para θ1 = 450, Γ = 0. As linhas tracejadas verticais em (a) separam as regio˜es de µv > 0 (marcadas + )
daquelas de µv < 0 (marcadas -).
76
Para amortecimento zero, µ1, µ2 e µv sa˜o todos totalmente reais, e q2y pode ser to-
talmente real ou totalmente imagina´rio. A eq. 3.10 mostra que, em incideˆncia normal
(qx = 0 ou θ1 = 0), q2y e´ real em regio˜es onde µv e´ positivo, e imagina´rio em regio˜es onde
µv e´ negativo (as regio˜es “reststrahl”). No primeiro caso a radiac¸a˜o ira´ se propagar para
dentro da amostra, mas no u´ltimo caso ela sera´ totalmente refletida.
O efeito sobre os espectros de refletividade e´ mostrado na Fig. 6.2(a) para campo
nulo, e na Fig. 6.3(a) para um campo de ±0.5 T. As regio˜es para as quais R < 1 sa˜o as
regio˜es de volume onde q2y e´ real. As regio˜es de reflexa˜o total, R = 1, correspondem a q2y
imagina´rio. No caso de campo nulo [Figura 6.2(a)], ha´ somente uma regia˜o assim, entre
52.45 cm−1 e 52.77 cm−1, enquanto que para H0 = ±0.5 T, ha´ duas regio˜es, entre 52.05
cm−1 e 52.23 cm−1 e entre 53.14 cm−1 e 53.28 cm−1.
77
Figura 6.3: (a) Refletividade calculada e (b) valores θ2 da reflexa˜o a partir de FeF2 em um campo de
H0=±0.5 T, para θ1 = 450, Γ = 0 . Linha so´lida: H0=+0.5 T, linha tracejada: H0=−0.5 T. Ambas as
curvas coincidem no todo de (a) e nas regio˜es de grande volume de (b). As linhas tracejadas verticais em
(a) separam as regio˜es de µv > 0 (marcadas +) daquelas de µv < 0 (marcadas -).
78
6.3.1 Ana´lise da na˜o-reciprocidade na direc¸a˜o do fluxo de
poteˆncia no caso de q2y real
Considerando o fluxo de poteˆncia para q2y real (isto e´, nas regio˜es de volume), as compo-
nentes do vetor de Poynting se tornam:
〈S2x〉 = 1
2
|Ez|2
[
qx
ωµ0µv
]
, (6.5)
〈S2y〉 = 1
2
|Ez|2
[
q2y
ωµ0µv
]
. (6.6)
Portanto, uma vez que nenhum dos termos nas equac¸o˜es 6.5 e 6.6 dependem do sinal
de H0, obtemos que a direc¸a˜o do fluxo de poteˆncia e´ rec´ıproco [θ2(−H0) = θ2(H0)]. Ale´m
disso, 〈S2x〉 / 〈S2y〉 = qx/q2y, logo S2 sera´ paralelo a q2. No geral, o fluxo de poteˆncia
segue o tipo de comportamente mostrado na figura 6.1(a), sendo confirmado a partir dos
ca´lculos de θ2 mostrados nas figuras 6.2(b) com o campo aplicado nulo ( H0 = 0) e 6.3(b)
com campo aplicado H0 = ±0.5 T, nas regio˜es de volume. Observe que nessas regio˜es a
radiac¸a˜o pode, em princ´ıpio, fluir uma distaˆncia infinita para dentro do antiferromagneto,
e ela assim na˜o e´ afetada pela radiac¸a˜o na superf´ıcie da amostra. Nosso resultado de
que o fluxo de poteˆncia e´ rec´ıproco neste caso e´ assim consistente com os argumentos de
simetria elaborados por Scott e Mills [99] e Camley [9] que sugerem que a radiac¸a˜o deve
exibir comportamento rec´ıproco no interior de uma amostra.
6.3.2 Ana´lise da na˜o reciprocidade na direc¸a˜o do fluxo de
poteˆncia no caso de q2y imagina´rio
Considerando o caso quando q2y e´ imagina´rio, as componentes do vetor de Poynting
sera´:
〈S2x〉 = 1
2
|Ez|2Re
[
qx − iq2y (µ2/µ1)
ωµ0µv
]
, (6.7)
〈S2y〉 = 0. (6.8)
79
Na˜o existe, portanto, nenhuma propagac¸a˜o para dentro do antiferromagneto, mas a
energia pode viajar ao longo da superf´ıcie na forma de uma onda evanescente dentro do
antiferromagneto. Em tais casos, que sa˜o caracterizados por θ2 = ±900 , o aˆngulo θ2 na˜o
descreve a refrac¸a˜o no sentido normal da palavra, uma vez que a radiac¸a˜o associada possui
um componente evanescente. A direc¸a˜o do fluxo de poteˆncia pode ser ou na˜o rec´ıproca,
dependendo das grandezas relativas dos dois termos no numerador da eq. 6.7.
Na auseˆncia de um campo externo, apenas o primeiro termo contribui, e o sinal de
S2x e´ o mesmo daquele de qx em regio˜es de µv positivo [figura 6.1(b)], e oposto a`quele
de qx em regio˜es de µv negativo [Fig. 6.1(c)]. Portanto, para θ1 positivo, θ2 = 90
0 no
primeiro caso e θ2 = −900 no u´ltimo. Isto e´ confirmado pelos ca´lculos da Fig. 6.2(b). A
situac¸a˜o na regia˜o [figura 6.1(c)] e´ na verdade muito semelhante a`quela esperada a partir
da reflexa˜o de polarizac¸a˜o p a partir de um metal perfeito, isto e´, um metal para o qual
Re() < 0 e Im() = 0.
Na presenc¸a de um campo externo, o segundo termo no numerador da eq. 6.7 contribui.
De fato, se o campo externo for suficientemente grande, este termo domina ambas as
regio˜es “reststrahl”. No presente exemplo, para H0 = ±0.5 T, isto resulta em θ2 = ±900
na regia˜o “reststrahl” inferior [Fig. 6.1(d)] e θ2 = ∓900 na regia˜o “reststrahl” superior
[Fig. 6.1(e)], como mostrado na Fig. 6.3(b).
A Fig. 6.4 mostra que, em regio˜es de q2y imagina´rio, o fluxo de poteˆncia e´ paralelo
a` superf´ıcie da amostra e acontece ate´ mesmo quando θ1 = 0 [ver Fig. 6.1(f)], e que
a direc¸a˜o do fluxo de poteˆncia depende do sinal do campo externo. Ambas as curvas
coincidem totalmente em 6.4(a) e apenas nas regio˜es de volume de 6.4(b), para θ2 = 0.
As linhas tracejadas verticais em (a) separam as regio˜es de µv > 0 (marcadas +) daquelas
de µv < 0 (marcadas -). Estendemos esta ana´lise para a amostra MnF2, em 4.2 K,
demonstrado na Fig. 6.5, com os seguintes paraˆmetros [28]: Ms=6.0x10
5A/m, HA=0.787
T, HE=53.0 T e γ = 0.975 cm
−1/T, correspodendo a ωr=8.94 cm−1. Observamos que
este comportamento e´ ana´logo ao do FeF2.
80
Figura 6.4: (a) Refletividade calculada e (b) valores θ2 em reflexa˜o a partir de FeF2 em um campo de
H0 = ±0.5 T, para θ1 = 0 (incideˆncia normal), Γ = 0. Linha so´lida: H0 = +0.5 T, linha tracejada: H0=
-0.5 T.
81
Figura 6.5: (a) Refletividade e (b) valores θ2 em reflexa˜o a partir de MnF2 em um campo de H0 = ±0.1
T, para θ1 = 0 (incideˆncia normal), Γ = 0. Linha so´lida: H0 = +0.1 T, linha tracejada:H0= -0.1 T.
82
6.3.3 Ana´lise da na˜o reciprocidade na direc¸a˜o do fluxo de
poteˆncia na presenc¸a de amortecimento (Γ 6= 0)
Nesta sec¸a˜o analisaremos o caso onde o amortecimento esta´ presente. Agora q2y deve-
ria, em geral, ser complexo, com sua parte imagina´ria maior perto das regio˜es “reststrahl”.
Uma vez que q2y imagina´rio resulta em um fluxo de poteˆncia na˜o-rec´ıproco, dever´ıamos
esperar isto tambe´m na presenc¸a do amortecimento. Na Fig. 6.6 mostramos a refletivi-
dade e as direc¸o˜es de fluxo de poteˆncia em um aˆngulo de incideˆncia de 45o, supondo
Γ = 0.05 cm−1. Ambos sa˜o vistos agora como sendo na˜o-rec´ıprocos dentro e fora das
regio˜es “reststrahl”. A na˜o-reciprocidade em reflexa˜o e´ naturalmente bem conhecida, e
tem sido estudada em uma se´rie de artigos [20, 21, 22, 26, 91, 92, 94, 95, 96, 97].
Uma maior na˜o-reciprocidade na direc¸a˜o do fluxo de poteˆncia esta´ presente resultando,
em certas regio˜es, em refrac¸a˜o negativa.
E´ evidente que em frequ¨eˆncias nas quais a refletividade e´ na˜o-rec´ıproca, existe tambe´m
um alto grau de na˜o-reciprocidade no fluxo de poteˆncia. Observamos particularmente
a na˜o-reciprocidade em fluxo de poteˆncia nas frequ¨eˆncias nas quais apresentou a na˜o-
reciprocidade (geralmente descritas como ressonaˆncias de superf´ıcie) nos espectros de
refletividade. Tal inclinac¸a˜o ocorre em 52.04 cm−1 para H0 = 0.5 T e 53.15 cm−1 para
H0 = −0.5 T . As direc¸o˜es de fluxo de poteˆncia correspondentes sa˜o mostradas nas Fig.
6.1(g) e 6.1(h) respectivamente. Assim no´s vemos que as inclinac¸o˜es de refletividade
sa˜o em geral associadas com refrac¸a˜o positiva, embora refrac¸a˜o negativa nas mesmas
frequ¨eˆncias possa ocorrer quando o campo e´ revertido. A Fig. 6.7 mostra o comporta-
mento da refletividade e da direc¸a˜o do fluxo de poteˆncia em incideˆncia normal. Aqui a
refletividade e´ rec´ıproca (como ela deve ser mesmo, a partir da simetria), mas a direc¸a˜o
do fluxo de poteˆncia ainda e´ na˜o-rec´ıproca, seguindo o comportamento observado na Fig.
6.4 para amortecimento zero. Entretanto, as direc¸o˜es do fluxo de poteˆncia ja´ na˜o esta˜o
mais restritas a θ2 = 0
0 e a θ2 =±900. Uma vez que θ2 e´ diferente de zero, implicando na˜o-
reciprocidade, os campos associados devem ser ate´ certo ponto limitados a` superf´ıcie de
amostra em todas as regio˜es para as quais θ2 6= 00. Este comportamento e´ visto tambe´m
na amostra MnF2 apresentado na Fig. 6.8.
83
Figura 6.6: (a) Ca´lculo da Refletividade e (b) valores θ2 em reflexa˜o a partir de FeF2 em um campo
de H0 = ±0.5 T, para θ1 = 450, Γ= 0.05 cm−1. Linha so´lida:H0 = +0.5 T, linha tracejada: H0= -0.5 T.
84
Figura 6.7: (a) Ca´lculo da refletividade; (b) valores θ2 em reflexa˜o a partir de FeF2 em um campo de
H0 = ± 0.5 T , para θ1 = 00 (incideˆncia normal), Γ = 0.05 cm−1 . Linha so´lida:H0 = ±0.5 T, linha
tracejada: H0=0.5 T. Ambas as curvas coincidem no caso do espectro de refletividade.
85
Figura 6.8: (a) Ca´lculo da refletividade; (b) valores θ2 em reflexa˜o a partir de MnF2 em um campo
H0 = ± 0.5 T , para θ1 = 00 (incideˆncia normal), Γ = 0.05 cm−1. Linha so´lida: H0 = ±0.1 T, linha
tracejada: H0 = 0.1T . Ambas as curvas coincidem no caso do espectro de refletividade.
86
6.4 Concluso˜es
Neste cap´ıtulo examinamos um aspecto diferente da na˜o-reciprocidade em reflexa˜o, ou
seja, a direc¸a˜o do fluxo de poteˆncia, representado pelo vetor de Poynting, dentro do an-
tiferromagneto FeF2 e MnF2. Esta propriedade da reflexa˜o a partir de meios magne´ticos
na presenc¸a de um campo externo ja´ e´ conhecida ha´ um certo tempo. Para uma de-
terminada geometria de reflexa˜o de incideˆncia obl´ıqua, que inclui um campo externo H0
aplicado ao longo de uma direc¸a˜o particular, a refletividade a partir do meio na˜o e´ neces-
sariamente a mesma daquela obtida com um campo externo - H0, caracterizando assim a
na˜o-reciprocidade na direc¸a˜o do fluxo de poteˆncia.
Demonstramos neste cap´ıtulo que o fluxo de poteˆncia na˜o-rec´ıproco pode existir em
reflexa˜o a partir de um antiferromagneto na geometria de Voigt.
Na auseˆncia de amortecimento, tal comportamento na˜o-rec´ıproco ocorre apenas em regio˜es
de reflexa˜o total, em cujo caso ele corresponde ao fluxo de poteˆncia paralelo a` superf´ıcie e
esta´ presente ate´ mesmo em incideˆncia normal. Na presenc¸a de amortecimento, o fluxo de
poteˆncia na˜o-rec´ıproco e´ poss´ıvel fora dessas regio˜es, e a refrac¸a˜o pode ser tanto positiva
quanto negativa.
87
CAPI´TULO 7
Fluxo de Poteˆncia Associado com o Deslocamento
Goos-Ha¨nchen de um Raio Eletromagne´tico
Normalmente Incidente Refletido a partir de um
Antiferromagneto
7.1 Introduc¸a˜o
Neste cap´ıtulo analisaremos o deslocamento lateral previsto em um raio eletro-
magne´tico normalmente incidente [100], em reflexa˜o a partir de um antiferromagneto
em um campo magne´tico externo, associado com o fluxo de poteˆncia. Na auseˆncia de
amortecimento, ha´ fluxo de energia ao longo da interface nas regio˜es “reststrahl”, ate´
mesmo em incideˆncia normal, e isto leva diretamente a um deslocamento semelhante ao
deslocamento Goos-Ha¨nchen, normalmente associado com radiac¸a˜o de incideˆncia obl´ıqua.
Nas regio˜es de volume, o raio transmitido para o antiferromagneto e´ deslocado na direc¸a˜o
oposta a`quela do raio refletido, assegurando assim uma continuidade de fluxo total.
No cap´ıtulo 5 analisamos o deslocamento Goos-Ha¨nchen de incideˆncia normal. Os
resultados foram interpretados usando-se um modelo de espectro angular baseado no
trabalho de McGuirk e Carniglia [90]. Este modelo mostra que a na˜o-reciprocidade na
fase da radiac¸a˜o refletida e´ necessa´ria para induzir tal deslocamento. Este tipo de na˜o-
reciprocidade existe na verdade no caso de reflexa˜o externa a partir de um antiferromag-
neto na presenc¸a de um campo magne´tico externo, podendo ocorrer dentro das regio˜es
“reststrahl”, para as quais a reflexa˜o e´ total (auseˆncia de amortecimento), e nas regio˜es
88
de volume, para as quais uma proporc¸a˜o da radiac¸a˜o incidente propaga-se para dentro da
amostra. Um deslocamento Goos-Ha¨nchen de incideˆncia normal e´, portanto, previsto em
ambos os tipos de regia˜o.
No modelo de conservac¸a˜o de energia tradicional de Renard [67], os deslocamentos
Goos-Ha¨nchen esta˜o associados com o fluxo de poteˆncia, via campos evanescentes, ao
longo da interface. No caso presente de reflexa˜o de incideˆncia normal a partir de um
antiferromagneto, tais campos evanescentes existem nas regio˜es “reststrahl”, mas na˜o nas
regio˜es de volume. Uma compreensa˜o completa do deslocamento Goos-Ha¨nchen associ-
ado requer, portanto, uma ana´lise detalhada do fluxo de poteˆncia tanto nas regia˜o de
“reststrahl” quanto na de volume, sendo este o objetivo deste cap´ıtulo.
Este cap´ıtulo, portanto, discute o modelamento do deslocamento lateral nas regio˜es
“reststrahl”, na auseˆncia do amortecimento, de um raio incidente finito, usando princ´ıpios
de conservac¸a˜o de energia a partir das expresso˜es obtidas no cap´ıtulo 6, que analisa o fluxo
de poteˆncia associado com uma onda plana normalmente incidente sobre um antiferro-
magneto na presenc¸a de um campo magne´tico externo. Em seguida examinamos o fluxo
de poteˆncia associado com a reflexa˜o de um raio gaussiano normalmente incidente, com-
parando o comportamento nas regio˜es “reststrahl” com a`quele nas regio˜es de volume. Na
maior parte da ana´lise ignoramos o amortecimento, de modo que possamos acompanhar
diretamente as linhas de fluxo, de uma maneira semelhante a`quela empregada por Lai et
al [101]. Na˜o obstante, iremos discutir tambe´m o efeito do amortecimento sobre o fluxo
de poteˆncia.
7.2 Deslocamento lateral de um raio refletido devido ao fluxo
de poteˆncia ao longo da interface
Como discutido na sec¸a˜o anterior, em frequ¨eˆncias correspondentes as regio˜es
“reststrahl”, a radiac¸a˜o de onda plana normalmente incidente induz o fluxo de poteˆncia,
dentro do antiferromagneto, ao longo da interface va´cuo/antiferromagneto. Isto sugere
que deveria haver um deslocamento lateral correspondente, semelhante ao deslocamento
Goos-Ha¨nchen, de um raio finito em reflexa˜o. Nesta sec¸a˜o analisamos como o fluxo de
89
poteˆncia associado com a onda evanescente no antiferromagneto induz a este desloca-
mento. Nosso modelo e´ semelhante a`quele empregado por Renard [67] para descrever o
cla´ssico deslocamento Goos-Ha¨nchen em reflexa˜o interna total.
A reflexa˜o de um raio incidente amplo, gradualmente decaindo em intensidade em
direc¸a˜o a`s extremidades, esta´ representada na Fig. 7.1. Supomos uma porc¸a˜o central,
entre x2 e x3, de intensidade constante, com a intensidade decaindo para zero entre x2 e
x1 e entre x3 e x4. Obviamente, na pra´tica as posic¸o˜es x1, x2, x3, e x4 na˜o sa˜o ta˜o claras
como mostrado na figura, mas isto na˜o afeta o modelo geral. Consideramos o caso do
amortecimento nulo, para o qual devemos ter conservac¸a˜o de fluxo de poteˆncia. Portanto,
a fim de ter um fluxo de poteˆncia P2 (tido como positivo na Fig. 7.1) ao longo da interface,
deve haver um fluxo l´ıquido P1 entrando na regia˜o pro´xima de uma extremidade do raio e
um fluxo l´ıquido P3 saindo da superf´ıcie na regia˜o pro´xima da outra (extremidade). Isto
e´ equivalente a um deslocamento lateral Dr do raio refletido em relac¸a˜o ao raio incidente.
Assim P1 entra na regia˜o entre x1 e x2 + Dr e P3 sai na regia˜o entre x3 e x4+ Dr. Na
regia˜o entre x2 + Dr e x3 os fluxos incidentes e refletidos cancelam-se mutuamente, de
modo que o fluxo l´ıquido e´ zero.
90
Figura 7.1: Modelo do deslocamento lateral do raio refletido nas regio˜es “reststrahl” em termos do
fluxo de poteˆncia ao longo da superf´ıcie do antiferromagne´tico.
Consideramos o fluxo de poteˆncia dentro de uma faixa de espessura ∆z no plano xy.
Uma vez que todo o fluxo de poteˆncia ocorre no plano xy, deve haver conservac¸a˜o de
energia dentro desta faixa, isto e´, P1 = P2 = P3. A partir da Fig. 7.1, pode-se ver que o
fluxo l´ıquido P1 que entra na extremidade inferior do raio incidente e´ dado por:
P1 =
∫ x2
x1
〈Si (x)〉∆zdx+
∫ x2+Dr
x2
〈Si (x)〉∆zdx+
∫ x2+Dr
x1+Dr
〈Sr (x)〉∆zdx (7.1)
onde 〈Si (x)〉 e 〈Sr (x)〉 sa˜o as intensidades que representam os valores me´dios do vetor
de Poynting ao longo de y, das ondas incidentes e refletidas, respectivamente. Agora,
91
supondo um deslocamento lateral simples Dr do raio refletido, obtemos:
〈Si (x)〉 = −〈Sr (x+Dr)〉 (7.2)
de modo que ao substituir a eq. 7.2 na eq. 7.1, o primeiro e o u´ltimo termos da eq. 7.1
cancelam-se. A integral restante e´ calculada dentro da faixa x2 ate´ x2 + Dr, correspon-
dendo a` porc¸a˜o central do raio incidente. Nesta regia˜o o valor me´dio do vetor de Poynting
incidente e´ ma´ximo e possui um valor constante 〈Smax〉. A Equac¸a˜o 7.1 reduz-se assim
para:
P1 = 〈Smax〉∆zDr, (7.3)
onde 〈Smax〉 e´ dado, em termos do campo incidente Emax dentro da regia˜o central do raio,
por:
〈Smax〉 = q0 |Emax|
2
2ωµ0
. (7.4)
Dentro do antiferromagneto, o fluxo de poteˆncia global P2 ao longo de x e´ dado por:
P2 =
∫ ∞
0
〈S2x (y)〉∆zdy, (7.5)
onde consideramos y = 0 como estando na superf´ıcie do antiferromagneto. Agora P2
e´ simplesmente o fluxo ao longo da superf´ıcie devido a uma onda plana normalmente
incidente de intensidade 〈Smax〉. 〈S2y (y)〉 e´ dado, portanto, pela eq. 6.1 com qx = 0 e Ez
igual a:
Ez (y) = tEmax exp (iq2yy) . (7.6)
Ao se fazer as substituic¸o˜es apropriadas nas equac¸o˜es 7.3 e 7.5, e colocando P1 = P2,
obtemos, depois de um pouco de a´lgebra, o deslocamento (Dr) ja´ analisado no cap´ıtulo
5, eq. 5.14.
Assim vemos que, na auseˆncia de absorc¸a˜o, princ´ıpios simples de conservac¸a˜o de ener-
gia podem ser utilizados para prever um deslocamento lateral do raio refletido dentro das
regio˜es “reststrahl”.
92
7.3 Fluxo de poteˆncia associado com a reflexa˜o de incideˆncia
normal de um raio gaussiano
De acordo com a ana´lise feita, demonstrada no cap´ıtulo 6, observamos que nas regio˜es
“reststrahl”, o modelo de espectro angular esta´ em acordo exato com o resultado espe-
rado do modelo de conservac¸a˜o de energia, demonstrado na sec¸a˜o anterior, desde que o
amortecimento seja nulo.
A fim de analisarmos o fluxo de poteˆncia nas regio˜es “reststrahl” em maiores detalhes,
e ampliar o estudo do fluxo de poteˆncia para as regio˜es de volume, consideramos o caso
espec´ıfico da reflexa˜o em incideˆncia normal de um raio gaussiano. O comportamento
ba´sico e´ analisado supondo amortecimento nulo, uma vez que teremos absorc¸a˜o zero e
assim continuidade de fluxo. Entretanto, tambe´m discutiremos brevemente as mudanc¸as
que ocorrem quando o amortecimento e´ levado em considerac¸a˜o. Consideramos um raio
gaussiano incidente, focado para dentro da amostra, na forma da eq. 5.1.
Na superf´ıcie da amostra, o perfil do raio incidente e´ representado pela equac¸a˜o 5.3
e o perfil do raio refletido pela eq. 5.4. Em geral, usaremos os limites de ±q0 para as
integrais, uma vez que os limites ±∞, que dariam raios gaussianos restritos, envolveriam
campos evanescentes de dimenso˜es na˜o-realistas para y < 0 [93].
Uma vez que os efeitos sa˜o mais facilmente demonstrado para raios estreitos, consi-
deramos g = λ. Deve-se notar, entretanto, que as teorias ja´ demonstrado nos cap´ıtulos
anteriores supo˜em raios mais amplos. Na˜o obstante, desde que a refletividade na˜o seja
muito pequena, os resultados teo´ricos teˆm, na pra´tica, demonstrado que conseguem se
manter bons ate´ mesmo para raios ta˜o estreitos quanto este [100].
Na camada (va´cuo) incidente, os perfis de intensidade de raio esta˜o bem representados
por |E|2. Os perfis calculados dos raios incidentes e refletidos na superf´ıcie da amostra
nas frequeˆncias apresentadas na Fig. 5.6, esta˜o mostrados na Fig. 7.2, com e sem amorte-
cimento. Pode-se ver que ha´ um deslocamento do raio refletido em excelente acordo com
o resultado teo´rico previsto pela eq. 5.14 (linhas tracejadas verticais) em todos os casos,
apesar do raio gaussiano usado na simulac¸a˜o ser bem estreito. Observamos tambe´m que
o amortecimento na˜o possui efeito significativo sobre este deslocamento, embora em geral
93
ele reduza a intensidade do raio refletido, devido a` absorc¸a˜o (no caso da frequ¨eˆncia B,
entretanto, as curvas amortecidas e na˜o-amortecidas sa˜o quase coincidentes).
Pode-se ver que, na regia˜o “reststrahl”, o raio e´ totalmente refletido na auseˆncia do
amortecimento, mas parcialmente absorvido na presenc¸a do amortecimento [Fig. 7.2a].
Nas regio˜es de volume, o raio refletido e´ menor do que o raio incidente em todos os casos.
94
Figura 7.2: Perfis de intensidade, ao longo da superf´ıcie da amostra do MnF2, no caso de reflexa˜o de um
raio gaussiano normalmente incidente, de largura g = λ, em um campo magne´tico externo de 0.1T. Curva
vermelha so´lida: raio incidente; curva azul so´lida: raio refletido na auseˆncia de amortecimento; curva
azul tracejada: raios refletidos com Γ = 0.0007cm−1. (a) Frequ¨eˆncia A (9.0769 cm−1); (b) Frequ¨eˆncia
B (9.0994 cm−1); (c) Frequ¨eˆncia C (9.0705 cm−1). Em cada caso a linha verde vertical so´lida em
x = 0 representa o centro do raio incidente, e a linha tracejada vertical representa o centro do raio
refletido previsto pela equac¸a˜o 5.14. Em (b) as intensidades refletidas com e sem amortecimento sa˜o
quase ideˆnticas, e as curvas na˜o podem ser separadas.
95
A fim de analisarmos o fluxo de poteˆncia no plano xy, devemos primeiro calcular a
distribuic¸a˜o de campo por todo o plano. O perfil do campo ele´trico incidente e´ dado pela
equac¸a˜o 5.1, com os perfis dos campos ele´tricos refletidos e transmitidos dados respecti-
vamente pelas expresso˜es:
Er(x, y) =
∫ q0
−q0
r (qx)ψ (qx) exp [i (qxx− q1yy)] dqx, (7.7)
Et(x, y) =
∫ q0
−q0
t (qx)ψ (qx) exp [i (qxx+ q2yy)] dqx. (7.8)
Os perfis das amplitudes de campo resultantes, supondo amortecimento zero, para as
treˆs frequ¨eˆncias A, B, e C sa˜o mostrados na Fig. 7.3. Em cada caso o painel no lado
esquerdo mostra tanto o perfil do campo incidente Ei (na regia˜o y < 0) como a`quele
do campo transmitido Et (na regia˜o y > 0). O painel do lado direito mostra o perfil
do campo refletido Er, deslocado ao longo de x na maneira ja´ vista na Fig. 7.2. Veˆ-se
tambe´m que os campos transmitidos sa˜o deslocados como previsto pelas equac¸o˜es 5.16
e 5.17 e em acordo com os ca´lculos da Fig. 7.2c. A figura tambe´m confirma que nas
regio˜es “reststrahl” [Fig. 7.3a] o campo transmitido e´ evanescente, decaindo para longe
da interface, enquanto que nas regio˜es de volume [figuras 7.3b e 7.3c] na˜o ha´ decaimento
na auseˆncia de amortecimento.
Para calcular o fluxo de poteˆncia, precisamos tambe´m da componente H do campo
magne´tico. Este pode ser obtido em qualquer posic¸a˜o no plano xy aplicando qE =
ωµ0µH a qualquer componente de onda plana nas integrais das equac¸o˜es 5.1, 7.7 ou 7.8
e realizando a integrac¸a˜o apropriada em termos do campo H.
Na pra´tica, nosso interesse principal esta´ no fluxo de poteˆncia total. Assim sendo,
enta˜o calculamos o vetor de Poynting a partir dos campos totais. Portanto, na regia˜o
y < 0 o vetor de Poynting e´ obtido a partir da soma dos campos incidentes e refletidos,
enquanto que na regia˜o y > 0, ele e´ obtido apenas pelo campo transmitido.
O vetor de Poynting calculado desta maneira fornece tanto a intensidade do fluxo
de poteˆncia quanto a direc¸a˜o deste fluxo em cada ponto. Isto nos permite na˜o apenas
esquematizar a intensidade do vetor de Poynting, mas tambe´m, na auseˆncia de absorc¸a˜o,
96
Figura 7.3: Perfis das amplitudes dos campos E incidentes, transmitidos e refletidos (Ei, Et, e Er
respectivamente) no caso de reflexa˜o de um raio gaussiano normalmente incidente, de largura g = λ, a
partir de uma amostra semi-infinita de MnF2 em um campo magne´tico externo de 0.1T, na auseˆncia de
amortecimento. (a) frequ¨eˆncia A (9.0769 cm−1); (b) frequ¨eˆncia B (9.0994 cm−1); (c) frequ¨eˆncia C (9.0705
cm−1). A linha preta vertical so´lida representa a superf´ıcie da amostra, e a linha tracejada horizontal
em x = 0 e´ um guia para mostrar o eixo central do raio incidente. Observe que, para fins de clareza, a
escala horizontal (y) esta´ expandida em relac¸a˜o a` escala vertical (x)
97
rastrear as linhas de fluxo associadas. Isto leva a um padra˜o de fluxo ana´logo a`quele
calculado por Lai et al [101] para o deslocamento Goos-Ha¨nchen mais convencional .
Apresentamos tanto a intensidade do fluxo de poteˆncia como o padra˜o da linha de
fluxo na Fig. 7.4. Em cada caso, o espac¸amento da linha e´ inversamente proporcional a`
intensidade do fluxo de poteˆncia, levando-se em conta as diferentes escalas horizontais e
verticais usadas na figura. A linha preta vertical so´lida representa a superf´ıcie da amostra.
Observe que, para fins de simplificac¸a˜o, a escala horizontal (y) e´ expandida em relac¸a˜o
a` escala vertical (x). As setas na metade inferior da Fig. 7.4c teˆm o intuito apenas de
mostrar a direc¸a˜o (sentido) do fluxo de poteˆncia, e na˜o foram obtidas diretamente de uma
continuac¸a˜o das linhas de fluxo. O padra˜o de fluxo de poteˆncia na frequ¨eˆncia A, na regia˜o
“reststrahl”, e´ mostrado na Fig. 7.4a, sendo semelhante a`quela mostrada na Fig. 7.1,
embora no presente caso, o fluxo de poteˆncia dentro do antiferromagneto esta´ na direc¸a˜o
de x negativo(ver Fig. 6.5), quando comparado com a direc¸a˜o positiva de x mostrada na
Fig. 7.1. Ale´m disso, o raio e´ muito estreito, como mencionado acima, de modo que a
suposic¸a˜o de uma regia˜o central de intensidade constante na Fig. 7.1 na˜o e´ estritamente
va´lida. Na˜o obstante, os princ´ıpios ba´sicos na˜o sa˜o fundamentalmente afetados.
Para x ≥ −0.01 cm, na regia˜o superior da figura, a intensidade do raio incidente e´
maior do que a intensidade do raio refletido [ver Fig. 7.2a], de modo que o fluxo de
poteˆncia total esta´ direcionado para a direita. Em x ≈ −0.01 cm, os raios incidentes
e refletidos cancelam-se mutuamente, enquanto que para x ≤ −0.01 cm, o raio refletido
domina e o fluxo de poteˆncia total esta´ direcionado para a esquerda. Este comportamento
e´ consistente com a continuidade do fluxo se tivermos o fluxo de poteˆncia ao longo da
superf´ıcie dentro do antiferromagneto na direc¸a˜o de x negativo, acompanhando o padra˜o
de linha de fluxo na Fig. 7.4a. Observa-se que, uma vez que o raio incidente na˜o e´
uma onda plana u´nica, as linhas de fluxo dentro do antiferromagneto na˜o sa˜o, em geral,
exatamente paralelas a` superf´ıcie. Entretanto, deve-se lembrar que a escala horizontal
esta´ consideravelmente expandida em relac¸a˜o a` escala vertical, de modo que as linhas de
fluxo sejam na˜o obstante, quase paralelas a` superf´ıcie.
98
Figura 7.4: Intensidade da poteˆncia total, normalizada em relac¸a˜o ao centro do raio incidente, e linhas
de fluxo no caso de reflexa˜o de um raio gaussiano normalmente incidente, de largura g=λ a partir de uma
amostra semi-infinita de MnF2 em um campo magne´tico externo de 0.1T, na auseˆncia de amortecimento.
(a) Frequ¨eˆncia A (9.0769 cm−1); (b) frequ¨eˆncia B (9.0994 cm−1); (c) frequ¨eˆncia C (9.0705 cm−1).
99
Observa-se tambe´m que o espac¸amento da linha de fluxo, levando-se em considerac¸a˜o a
diferenc¸a entre as escalas horizontal e vertical, e´ muito menor dentro do antiferromagneto
do que no meio incidente (va´cuo). Isto e´ consistente com uma intensidade de fluxo de
poteˆncia mais elevada dentro do antiferromagneto, decaindo rapidamente para longe da
superf´ıcie, como mostrado no esquema de contorno.
A Fig. 7.4b mostra que o fluxo de poteˆncia na frequ¨eˆncia B (regia˜o de volume)
e´ perpendicular a` superf´ıcie da amostra, como previsto pela Fig. 6.5b. Observa-se a
partir da Fig. 7.2b que, nesta frequ¨eˆncia, o raio refletido e´ menos intenso do que o raio
incidente para todos os valores de x. Assim, o fluxo de poteˆncia l´ıquido no va´cuo esta´
sempre para a direita. Uma vez que ha´ um leve deslocamento negativo do raio refletido
ao longo de x, o perfil do fluxo total (fluxo incidente menos fluxo refletido) sofre um
deslocamento positivo em relac¸a˜o ao raio incidente. A continuidade de fluxo implica que
este deslocamento tambe´m deve ser transferido para o raio transmitido, e isto e´ na verdade
o que e´ observado na Fig. 6.5b. Isto e´ qualitativamente consistente com um deslocamento
positivo do campo E transmitido como visto na Fig. 7.3b.
Embora tanto o perfil do campo E na Fig. 7.3b como o perfil da intensidade de
energia na Fig. 7.4b mostrem um deslocamento lateral positivo do raio transmitido, o
deslocamento na figura 7.4b e´ de algum modo menos do que a`quele mostrado na Fig.
7.3b. Isto sugere que, dentro do antiferromagneto, um exame simples da distribuic¸a˜o do
campo E na˜o fornece um quadro completo do deslocamento do raio.
Nas regio˜es de volume, nas quais o fluxo de poteˆncia transmitido e´ normal em relac¸a˜o a`
superf´ıcie, a grandeza do valor me´dio do vetor de Poynting 〈Sy〉 e´ dada por 1/2Re (EzH∗x).
Na pra´tica, tanto Ez como Hx sa˜o totalmente reais nessas frequ¨eˆncias. Uma boa com-
preensa˜o das contribuic¸o˜es de campo para o fluxo de poteˆncia pode, portanto, ser obtida
comparando-se Re (Ez) com Re (Hz), uma vez que 〈Sy〉 varia conforme o produto dessas
duas quantidades. Tal comparac¸a˜o dos perfis de campo transmitido esta´ apresentada na
Fig. 7.5a. Observa-se que os dois perfis sa˜o significativamente diferentes. Assim, embora
o perfil de campo Ez seja deslocado ao longo da interface na direc¸a˜o de x positivo, o perfil
de campo Hx na˜o se apresenta do mesmo modo. Na verdade, ele e´ ligeiramente deslo-
cado na direc¸a˜o negativa de x. Isto explica por que o deslocamento do raio transmitido,
expresso em termos de fluxo de poteˆncia, e´ de certo modo menor do que seria previsto a
100
partir do perfil de campo E.
A Fig. 7.4c mostra o fluxo de poteˆncia na frequ¨eˆncia C, entre o mı´nimo de reflexa˜o e a
extremidade inferior da regia˜o “reststrahl”. Esta frequ¨eˆncia situa-se dentro da regia˜o de
volume, sendo o fluxo de poteˆncia dentro do antiferromagneto perpendicular a` superf´ıcie.
O comportamento predominante e´ o mesmo daquele observado na frequ¨eˆncia B. Assim,
para x ≥ −0.08 cm, ha´ um fluxo de poteˆncia total para a direita, deslocado lateralmente
na direc¸a˜o oposta ao deslocamento do raio refletido. Para x ≤ −0.08 cm, entretanto, o
fluxo de poteˆncia total esta´ para a esquerda, como mostrado pelas setas na parte inferior
da figura. Observa-se que essas setas sa˜o simplesmente indicativas da direc¸a˜o do fluxo de
poteˆncia. Este comportamento e´ consistente com os perfis dos raios incidentes e refletidos
mostrados na figura 7.2c, possuindo uma intensidade do raio incidente maior do que a
intensidade do raio refletida para x ≥ −0.08 cm e uma intensidade do raio refletida maior
do que a intensidade incidente para x ≤ −0.08 cm.
101
Figura 7.5: Perfis, ao longo da superf´ıcie da amostra, das partes reais dos campos Ez (linha vermelha
so´lida) e Hx (linha azul tracejada) transmitidos, em unidades arbitra´rias, em frequ¨eˆncias da regia˜o de
volume.
(a) Frequ¨eˆncia B (9.0994 cm−1); (b) frequ¨eˆncia C (9.0705 cm−1). Observe-se que esses campos na˜o
possuem partes imagina´rias.
102
Dentro do antiferromagneto, o perfil da intensidade do fluxo de poteˆncia na Fig. 7.4c e´
agora muito diferente daquele do campo ele´trico, observando-se uma pequena quantidade
de energia retornando ao longo de −y para x ≤ −0.08cm (ver Fig. 7.6). Podemos mais
uma vez reconciliar esta diferenc¸a comparando os campos Ez e Hx transmitidos. Os perfis,
ao longo do eixo x, das partes reais desses campos sa˜o mostrados na Fig. 7.5b. Como
antes, na˜o ha´ partes imagina´rias. Vemos agora que, embora o perfil Ez retenha sua forma
conforme um raio gaussiano, o campo Hx e´ completamente diferente, mudando de sinal
em x ≈ −0.08 cm, de modo que 〈Sy〉 e´ positivo para x ≥ −0.08 cm e negativo para
x ≤ −0.08 cm, correspondendo ao fluxo de poteˆncia para a direita e para a esquerda
respectivamente, em acordo com os resultados mostrados na Fig. 7.4c.
103
Figura 7.6: Detalhes de intensidade e linhas do fluxo de poteˆncia pro´ximas a x = −0.08cm dentro
uma amostra semi-infinita de MnF2. Nesta figura, a escala vertical (x) e´ expandida em relac¸a˜o a` escala
horizontal (y).
Um aspecto da Fig. 7.4c requerendo atenc¸a˜o especial e´ que o fluxo de poteˆncia para
a esquerda, mostrado para x ≤ −0.08 cm , parece estar em conflito com o princ´ıpio de
causalidade, uma vez que na˜o ha´ fonte o´bvia para esta energia e o fluxo de poteˆncia e´
estritamente normal em relac¸a˜o a` superf´ıcie em y = 0 (correspondendo ao plano focal
do raio gaussiano). Entretanto, se examinarmos os valores de x pro´ximos a x = −0.08
cm e olharmos va´rios cent´ımetros para dentro da amostra (isto e´, uma grande distaˆncia
a partir do plano focal), descobrimos que algumas linhas de fluxo retornam ao longo da
104
direc¸a˜o y negativa para x ≤ −0.08 cm. Isto e´ visto a partir da Fig. 7.6, que mostra o
fluxo de poteˆncia no antiferromagneto dentro de uma faixa de x estreita, estendendo-se
bem mais em relac¸a˜o ao eixo y. Observe que as integrais usadas no ca´lculo da Fig. 7.6
tem limites de ±10q0 (em comparac¸a˜o com ±q0 usado nos outros ca´lculos) a fim de evitar
efeitos espu´rios associados com o truncamento da integral.
A Fig. 7.6 mostra claramente que o fluxo de poteˆncia para a esquerda, visto na
Fig. 7.4, na˜o viola nenhum princ´ıpio de conservac¸a˜o de energia. Entretanto, deve-se
enfatizar que esta ana´lise e´ baseada em um sistema na˜o-amortecido. Uma vez que a
frequ¨eˆncia C esta´ muito pro´xima da frequ¨eˆncia de ressonaˆncia na extremidade inferior
da regia˜o “reststrahl” [ver Fig. 5.6a], a absorc¸a˜o de energia sera´, na verdade, um tanto
considera´vel na presenc¸a do amortecimento, e a penetrac¸a˜o de va´rios cent´ımetros para
dentro da amostra na˜o e´ realista. Na˜o obstante, veremos em breve, o comportamento
nesta frequ¨eˆncia quando efeitos de amortecimento sa˜o inclu´ıdos e´ um tanto diferente, e o
fluxo de poteˆncia para a esquerda ainda e´ poss´ıvel.
A figura 7.7 mostra o fluxo de poteˆncia na presenc¸a de amortecimento para todas as
treˆs frequ¨eˆncias. Na˜o tentamos seguir as linhas de fluxo uma vez que agora ja´ na˜o ha´ mais
continuidade de fluxo. O comprimento das setas do fluxo de energia tem, entretanto, a
intenc¸a˜o de indicar a intensidade do fluxo de poteˆncia, em uma escala logar´ıtmica.
A Fig. 7.7a mostra o fluxo de poteˆncia na frequ¨eˆncia A, na regia˜o “reststrahl”. Este
fluxo e´ semelhante a`quele visto sem amortecimento. Vemos agora que, dentro do antifer-
romagneto, a direc¸a˜o do fluxo de poteˆncia ja´ na˜o esta´ ao longo das linhas de contorno.
Acima de tudo ha´ menos energia retornando ao longo da direc¸a˜o −y do que no caso na˜o-
amortecido. Na˜o obstante, ha´ fluxo de poteˆncia total para a esquerda para x ≤ −0.03 cm
, como esperado a partir da Fig. 7.2. Deve-se lembrar, entretanto, que o MnF2 apresenta
amortecimento extremamente baixo em comparac¸a˜o com a maioria dos sistemas, em que
provavelmente na˜o ha´ fluxo de energia para a esquerda para qualquer valor de x.
Na frequ¨eˆncia B, mostrada na figura 7.7b, o comportamento e´ quase ideˆntico a`quele
visto na figura 7.4b sem nenhum amortecimento presente. Esta frequ¨eˆncia esta´ suficiente-
mente distante da frequ¨eˆncia de ressonaˆncia para o amortecimento na˜o ser importante.
A situac¸a˜o na frequ¨eˆncia C na presenc¸a de amortecimento [figura 7.7c] e´ notadamente
diferente do caso na˜o-amortecido [figura 7.4c]. A energia transmitida para o antiferromag-
105
neto ja´ na˜o e´ mais perpendicular a` superf´ıcie. Este comportamento e´ o mesmo que aquele
previsto para ondas planas na figura 6.6b. Um efeito disto e´ que pode haver um fluxo de
poteˆncia total para a esquerda na parte inferior da figura sem a necessidade da grande
penetrac¸a˜o para dentro do antiferromagneto que ocorre para amortecimento zero (figura
7.6). O comportamento total e´ agora muito semelhante a`quele na regia˜o “reststrahl”,
a distinc¸a˜o entre as regio˜es de volume e “reststrahl” sendo mal-definida na presenc¸a de
amortecimento.
106
Figura 7.7: Intensidade do fluxo total e direc¸a˜o no caso de reflexa˜o de um raio gaussiano normalmente
incidente, de largura g = λ, a partir de uma amostra semi-infinita de MnF2 em um campo magne´tico
externo de 0.1T, com Γ = 0.0007 cm−1. (a) Frequ¨eˆncia A (9.0769 cm−1); (b) frequ¨eˆncia B (9.0994 cm−1);
(c) frequ¨eˆncia C (9.0705 cm−1). A linha preta vertical so´lida representa a superf´ıcie da amostra. Observe
que, para fins de clareza, a escala horizontal (y) e´ expandida em relac¸a˜o a` escala vertical (x).
107
7.4 Concluso˜es
O presente estudo do fluxo de poteˆncia em reflexa˜o foram realizados a partir de anti-
ferromagnetos na geometria de Voigt. Nesta etapa, nosso interesse principal esta´ no fluxo
de poteˆncia resultante da radiac¸a˜o normalmente incidente, isto e´, o aˆngulo de incideˆncia
θ e´ igual a zero. Na˜o obstante, consideramos expresso˜es para um aˆngulo de incideˆncia
geral(θ 6= 0), uma vez que, quando considerarmos posteriormente raios finitos, devemos
incluir componentes de onda plana com θ 6= 0.
A nossa ana´lise demostrou que o fluxo de poteˆncia em reflexa˜o de um raio normalmente
incidente a partir de um antiferromagneto e´ consistente com o resultado de onda plana,
que fornece o fluxo de poteˆncia paralelo a` superf´ıcie nas regio˜es “reststrahl” e normal em
relac¸a˜o a` superf´ıcie nas regio˜es de volume [103]. Um deslocamento lateral do raio refletido
e´ poss´ıvel em qualquer das regio˜es.
Nas regio˜es “reststrahl”, este deslocamento esta´ na direc¸a˜o do fluxo de poteˆncia ao
longo da interface, e pode ser previsto usando-se princ´ıpios de conservac¸a˜o de energia.
Nas regio˜es de volume um deslocamento do raio transmitido, na direc¸a˜o oposta a`quela
do raio refletido, e´ necessa´ria para garantir continuidade do fluxo. O comportamento
incomum do fluxo de energia encontrado na auseˆncia de amortecimento, entre o mı´nimo
de reflexa˜o e a base da regia˜o “reststrahl” (representada aqui pela frequ¨eˆncia C) na˜o
parece afinal violar nenhum princ´ıpio de conservac¸a˜o de energia. Entretanto, a situac¸a˜o e´
um tanto mais simples na presenc¸a de amortecimento, e o fluxo de poteˆncia e´, neste caso,
semelhante a`quele nas regio˜es “reststrahl”.
108
CAPI´TULO 8
Concluso˜es
O deslocamento lateral da reflexa˜o em uma interface em relac¸a˜o ao raio incidente
define-se como sendo efeito Goos-Hanchen. Ate´ recentemente acreditava-se que este efeito
estava restrito apenas aos casos relacionados com a incideˆncia obl´ıqua, sem contrapartida
para a incideˆncia normal. Nesta tese demonstramos que um raio refletido pode ser deslo-
cado lateralmente em relac¸a˜o ao raio incidente, mesmo no caso da incideˆncia normal.
Para isto, analisamos a reflexa˜o normal de um raio, de espessura finita, da superf´ıcie de
um antiferromagneto nas regio˜es “reststrahls”. Devido ao fluxo de poteˆncia ser paralelo
a` superf´ıcie, o raio refletido e´ deslocado lateralmente, em relac¸a˜o ao raio incidente, na
direc¸a˜o deste fluxo. Este deslocamento e´ semelhante ao efeito Goos-Ha¨nchen para reflexa˜o
total interna, ate´ enta˜o nunca observado em incideˆncia normal.
Para simular este efeito, consideramos o raio de espessura finita como raio gaussiano,
expressado como uma soma Fourier de ondas planas. Esta simulac¸a˜o foi feita, mostrando
o deslocamento desejado para o caso do antiferromagneto MnF2.
Simulamos o campo no plano xy, com o eixo y perpendicular a` superf´ıcie do antiferro-
magneto e o eixo z sendo definido como direc¸a˜o do campo externo. A simulac¸a˜o mostra
na˜o somente o deslocamento do raio refletido, mas tambe´m o perfil do campo dentro
do antiferromagneto (representando essencialmente uma onda evanescente) que tambe´m
sofre um deslocamento lateral.
Realizamos uma comparac¸a˜o da grandeza do deslocamento com o modelo cla´ssico
do efeito Goos-Ha¨nchen e estendemos nossos modelos para um filme antiferromagne´tico,
investigando tambe´m a propriedade da transmissa˜o do raio incidente. Mostramos que o
109
raio transmitido na˜o sofre um deslocamento. Este resultado esta´ associado com o fato
que a fase transmitida e´ rec´ıproca.
Investigamos a reflexa˜o de raios gaussianos nas regio˜es de volume e os ca´lculos
expl´ıcitos mostram que nestas regio˜es o raio refletido tambe´m pode sofrer um deslo-
camento, mesmo na auseˆncia de amortecimento. Interpretamos o deslocamento nesta
situac¸a˜o em termos do fluxo de poteˆncia e comparamos com o comportamento do fluxo
de poteˆncia devido a uma onda plana em incideˆncia normal. Na auseˆncia do amorteci-
mento, o fluxo de poteˆncia dentro do antiferromagneto devido a` onda plana e´ paralelo
a` superf´ıcie nas regio˜es “reststrahl” (onde a radiac¸a˜o e´ totalmente refletida) e normal a`
superf´ıcie nas regio˜es de volume (onde a radiac¸a˜o e´ parcialmente refletido e parcialmente
transmitida).
Um deslocamento lateral de um raio finito pode acontecer em ambas as regio˜es. Nas
regio˜es de “reststrahl”, o deslocamento pode ser interpretado a partir do fluxo de potencia
ao longo da superf´ıcie. Nas regio˜es de volume, o raio transmitido dentro do antiferromag-
neto e´ deslocado lateralmente no sentido aposto a`quele do raio refletido, deixando o fluxo
total cont´ınuo.
As poss´ıveis extenso˜es deste trabalho sa˜o as seguintes:
• Estudo do efeito Goos-Ha¨nchen em incideˆncia obl´ıqua, extendendo esta ana´lise para
o fluxo de poteˆncia. Outra possibilidade de estudo e´ que este efeito poderia ser
investigado experimentalmente usando-se, por exemplo, raios focados a partir de
lasers de infra-vermelho distantes [104] ou osciladores de onda reversa [105], em
conjunto com um arranjo de divisor de raio adequado.
• Observar experimentalmente o deslocamento lateral do raio em uma incideˆncia nor-
mal. Para melhorar a precisa˜o da medida, sera´ u´til medir a posic¸a˜o lateral do raio
no ponto focal, devendo arranjar que o raio gaussiano atinja o ponto focal apo´s a
reflexa˜o do antiferromagneto.
• Realizar medic¸o˜es experimentais tambe´m no caso de incideˆncia obl´ıqua.
• Ampliar este estudo do efeito Goos-Ha¨nchen em outros materiais, como por exem-
plo as Ferritas, pois estes materiais sa˜o convenientes para uso em frequeˆncias de mi-
croondas, por apresentar propriedades ele´tricas na˜o-rec´ıprocas. Em outras palavras,
110
o coeficiente de transmissa˜o atrave´s do dispositivo com ferritas, convenientemente
magnetizado, na˜o e´ o mesmo para diferentes sentidos de propagac¸a˜o, sendo que um
entendimento da operac¸a˜o dos dispositivos com ferrite pode ser conseguido desde
que se compreenda tambe´m a natureza ba´sica da propagac¸a˜o das microondas em
um meio infinito com ferrita.
111
Apeˆndice A
Ca´lculo do Coeficiente de Reflexa˜o e Transmissa˜o
em uma Estrutura de duas camadas
Diele´trico/Antiferromagneto
A.1 Coeficiente de Reflexa˜o
Iniciaremos utilizando as equac¸o˜es de Maxwell:
∇ · ~D = ρ, (A.1)
∇ · ~B = 0, (A.2)
∇× ~E = −∂
~B
∂t
, (A.3)
∇× ~H = ~J + ∂
~D
∂t
, (A.4)
112
onde:
– E e´ o Campo ele´trico
– D e´ a Intensidade do campo ele´trico
– H e´ o Campo magne´tico
– J e´ a Densidade de corrente
– ρ e´ a Densidade de carga
As intensidades dos campos ele´trico e magne´tico sa˜o dadas pelas expresso˜es:
~D =  ~E, (A.5)
~B = µ ~H. (A.6)
Substituindo as equac¸o˜es A.5 e A.6 nas equac¸o˜es de Maxwell obtemos:
∇× ~H = ~J + ∂
~E
∂t
. (A.7)
Para o meio isotro´pico ρ = 0, ~J = 0
Aplicando o operador ∇ na equac¸a˜o A.7, obtemos:
∇×∇× ~H = 0 ∂
∂t
∇× ~E. (A.8)
Mas,
∇× ~E = −∂
~B
∂t
= −µµ0∂
~H
∂t
. (A.9)
Substituindo na equac¸a˜o A.8, obtemos:
∇×∇× ~H = −µ0µ0∂
2
∂2
~H. (A.10)
113
Usando a identidade:
∇×
(
∇× ~H
)
= ∇
(
∇ · ~H
)
−∇2 ~H, (A.11)
obtemos:
∇
(
∇ · ~H
)
−∇2 ~H = −µ0µ0 ∂
2
∂t2
~H. (A.12)
Desde que ∇ · ~H = 0, teremos:
∇2 ~H = 0µµ0 ∂
2
∂t2
~H. (A.13)
Considerando a reciprocidade para o campo ele´trico e se ρ = 0⇒ ∇ · ~E = 0, enta˜o:
∇2 ~E = 0µµ0 ∂
2
∂t2
~E. (A.14)
A equac¸a˜o geral da onda e´:
∇2ψ = 1
ν2
∂2
∂t2
ψ. (A.15)
A velocidade da onda eletromagne´tica em um meio e´:
ν =
1√
0µ0µ
. (A.16)
A velocidade da luz no va´cuo:
c =
1√
µ00
. (A.17)
Temos que:
ν =
c
n
, (A.18)
onde n e´ o ı´ndice de refrac¸a˜o. Logo:
n =
√
µ. (A.19)
A equac¸a˜o da onda plana que satisfaz as equac¸o˜es A.14 e A.15 e´:
~H = ~H0 exp [i (qx− ωt)] , (A.20)
114
~H = ~H0 exp [i (qx− ωt)] . (A.21)
onde ~q e´ o vetor de onda e ω e´ a frequeˆncia.
CA´LCULO DO VETOR DE ONDA:
Calculando a segunda derivada do campo magne´tico (A.21), obtemos:
∂2H
∂t2
= −H0ω2 exp [i (qx− ωt)] . (A.22)
Substituindo a segunda derivada do campo magne´tico na equac¸a˜o A.14, temos:
∇2 ~H = −0µ0µω2H0 exp [i (qx− ωt)] . (A.23)
Logo:
∇2 ~H = −0µ0µω2 ~H. (A.24)
Fazendo ∇2 ⇒ i2q2, teremos:
i2q2 ~H = −0µ0µω2 ~H, (A.25)
q2 = 0µ0µω
2, (A.26)
q2 = µ
ω2
c2
. (A.27)
Em um meio magne´tico anisotro´pico a permeabilidade magne´tica (µ) e´ um tensor
dependente da frequeˆncia, na forma:

µ1 iµ2 0
µ (ω) = −iµ2 µ1 0
0 0 1
, (A.28)
onde:
µ1 = 1− γ2HAMs
[
Y + + Y −
]
, (A.29)
µ2 = iγ
2HAMs
[
Y + + Y −
]
, (A.30)
Y ± =
[
ω2r − (ω ± γH0 + iΓ)2
]−1
, (A.31)
115
ωr = µ0γ
(
2HAHE +H
2
A
)1/2
. (A.32)
As componentes do vetor de onda ~q sa˜o:
qx = 
1/2
1 (ω/c) sin θ, (A.33)
qny =
[
nµvn (ω/c)
2 − q2x
]1/2
, (A.34)
onde µvn e´ a permeabilidade de Voigt para nth camada, dada pela expressa˜o:
µvn =
(µ21n + µ
2
2n)
µ1n
. (A.35)
Observem que µ1n e µ2n representam µ1 e µ2 respectivmente para a nth camada.
Considerando ∇ e a seguinte forma dos vetores:
q = (qx, 0, qy) , (A.36)
H = (Hx, Hy, Hz) , (A.37)
a equac¸a˜o A.9, nos fornece:

µ1 iµ2 0
∇× ~E = iωµ0 −iµ2 µ1 0
0 0 1


Hx
Hy
Hz
, (A.38)
∇× ~E = iωµ0

µ1Hx + iµ2Hy
−iµ2Hx + µ1Hy
Hz
, (A.39)
∇× ~E = i
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
qx qy 0
0 0 Ez
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = i (qyEz) xˆ− i (qxEz) yˆ. (A.40)
Substituindo A.33 em A.34, temos:
116
 qyEz = iωµ0 (µ1Hx + iµ2Hy) ,−qxEz = iωµ0 (−iµ2Hx + µ1Hy) . (A.41)
Apo´s a soluc¸a˜o do sistema alge´brico da equac¸a˜o A.41, obtemos as componentes do
campo magnetico, ou seja:
Hx =
qyµ1 + iqxµ2nEz
ωµ0 (µ21n − µ22n)
, (A.42)
e substituindo a equac¸a˜o A.42 na equac¸a˜o A.41, obtemos:
Hy =
[
iqyµ2
ωµ0 (µ21 − µ22)
− qxµ1
ωµ0 (µ21 − µ22)
]
Ez. (A.43)
Para uma estrutura com 3 camadas, conforme a figura abaixo, teremos:
 anT
bnT
 =
 exp (−iqnydn) 0
0 exp (iqnydn)
 anl
bnl
 (A.44)
anl + bnl = a(n+1)u + b(n+1)u, (A.45)
Logo:
bnl = a(n+1)u + b(n+1)u − anl, (A.46)
anl = a(n+1)u + b(n+1)u − bnl. (A.47)
De acordo com a geometria abaixo:
117
anlHx − bnlHx = −a(n+1)uHx + b(n+1)uHx (A.48)
anl
−qnyµ1n + iqxµ2nEz
ωµ0 (µ21n − µ22n)
− bnl qnyµ1 + iqxµ2nEz
ωµ0 (µ21n − µ22n)
=
a(n+1)u
−qnyµ1 + iqxµ2nEz
ωµ0 (µ21n − µ22n)
+ b(n+1)u
qnyµ1 + iqxµ2nEz
ωµ0 (µ21n − µ22n)
(A.49)
Fazendo:
X1 =
iqxµ2n − qnyµ1n
ωµ0 (µ21n − µ22n)
, (A.50)
X2 =
iqxµ2n + qnyµ1n
ωµ0 (µ21n − µ22n)
, (A.51)
X3 =
iqxµ2(n+1) − q(n+1)yµ1(n+1)
ωµ0
(
µ21(n+1) − µ22(n+1)
) , (A.52)
X4 =
iqxµ2n + q(n+1)yµ1(n+1)
ωµ0
(
µ21(n+1) − µ22(n+1)
) . (A.53)
Portanto:
anlX1 + bnlX2 = a(n+1)uX3 + b(n+1)uX4. (A.54)
Substituindo a equac¸a˜o A.46 em A.54:
anlX1 +
[
a(n+1)u + b(n+1)u − anl
]
X2 = a(n+1)uX3 + b(n+1)uX4. (A.55)
A expressa˜o para anl e´:
anl (X1 −X2) = a(n+1)u [X3 −X2] + b(n+1)u [X4 −X2] . (A.56)
Substituindo a equac¸a˜o A.47 em A.54 obtemos:[
a(n+1)u + b(n+1)u − bnl
]
X1 + bnlX2 = a(n+1)uX3 + b(n+1)uX4. (A.57)
A expressa˜o para bnl e´:
bnl (X2 −X1) = a(n+1)u [X3 −X1] + b(n+1)u [X4 −X1] . (A.58)
Desta forma:
118
 anl
bnl
 = 1
X−n −X+n
 X−n+1 X−n+1 −X+n
X−n −X+n+1 X−n −X+n+1
 a(n+1)
b(n+1)
 . (A.59)
Substituindo a equac¸a˜o A.44 na equac¸a˜o A.59 obtemos:
 anT
bnT
=

exp (−iqnydn) 0
0 exp (iqnydn
 1X−n −X+n ×
×
 X−n+1 X−n+1 −X+n
X−n −X+n+1 X−n −X+n+1
 a(n+1)
b(n+1)
 . (A.60)
X±n = [(µxz/µxx) qx ± qny] /µv (A.61)
Aplicando as condic¸o˜es de contorno para o sistema da figura abaixo, temos que:
y = 0 → µv = µ1 = 1 ;µ2 = 0, de acordo com a equac¸a˜o A.45 teremos:
a1Hx1 − b1Hx1 = a2Hx2, (A.62)
onde:
119
Hx1 =
qy1
ωµ0
, (A.63)
Hx2 =
qy2
ωµ0µv
+
iqxµ2
ωµ0 (µ21 − µ22)
. (A.64)
Substituindo na equac¸a˜o A.62:
qy1
ωµ0
a1 − qy1
ωµ0
b1 =
(
qy2
ωµ0µv
+
iqxµ2
ωµ0 (µ21 − µ22)
)
a2, (A.65)
Substituindo o valor de a2 na equac¸a˜o A.65:
qy1
ωµ0
a1 − qy1
ωµ0
b1 =
(
qy2
ωµ0µv
+
iqxµ2
ωµ0 (µ21 − µ22)
)
(a1 + b1) , (A.66)
logo:
a1
(
qy1 − qy2
µv
− iqxµ2
(µ21 − µ22)
)
=
(
qy2
µv
+
iqxµ2
(µ21 − µ22)
)
b1, (A.67)
Temos que a refletividade e´:
r˜ =
b1
a1
, (A.68)
Portanto a refletividade e´ dada por:
r˜ =
q1yµv − q2y − iqx (µ2/µ1)
q1yµv + q2y + iqx (µ2/µ1)
. (A.69)
120
A.2 Coeficiente de Transmissa˜o
O coeficente de transmissa˜o e´ dado por:
t = 1 + r˜ (A.70)
Substituindo a equac¸a˜o A.69 na equac¸a˜o A.70 obtemos:
t = 1 +
q1yµv − q2y − iqx (µ2/µ1)
q1yµv + q2y + iqx (µ2/µ1)
. (A.71)
Logo:
t =
2q1yµv
(q1yµv + q2y) + iqx (µ2/µ1)
. (A.72)
A.3 Ca´lculo do vetor de Poynting
O vetor de Poynting e´ dado por:
~S = ~E × ~H, (A.73)
onde:
~E × ~H =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
xˆ yˆ zˆ
0 0 Ez
Hx Hy 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ . (A.74)
Logo:
S = EzHxyˆ − EzHyxˆ. (A.75)
Assim:
Sx = −EzHy, (A.76)
121
Sy = EzHx, (A.77)
〈Sx〉 = 1
2
Re
{|Ez|2 [−Hy]} , (A.78)
〈Sy〉 = 1
2
Re
{|Ez|2 [Hx]} . (A.79)
Substituindo as componentes campo magne´tico, obtemos :
〈S2x〉 = 1
2
{
|Ez|2 qx − iqy (µ2/µ1)
ωµ0µv
}
, (A.80)
〈S2y〉 = 1
2
{
|Ez|2 q2y + iqx (µ2/µ1)
ωµ0µv
}
. (A.81)
A.3.1 Aˆngulo de Refrac¸a˜o θ2
tan θ2 =
〈S2x〉
〈S2y〉 , (A.82)
θ2 = arctan
[
qx − iqy (µ1/µ2)
q2y + iqx (µ2/µ1)
]
. (A.83)
A.4 Ca´lculo de Dr
O deslocamento do raio refletido e´ dado por:
Dr = − dφ
dqx
. (A.84)
A.4.1 Ca´lculo de Dr na regia˜o de “reststrahl”
Na regia˜o de “reststrahl” q2y e´ imagina´rio:
q2y = iα2, (A.85)
Substituindo a equac¸a˜o A.85 na equac¸a˜o A.69, obtemos:
122
r˜ =
q1yµv − α2 − iqx (µ2/µ1)
q1yµv + α2 + iqx (µ2/µ1)
, (A.86)
onde:
α2 = (−µv)1/2 q0, (A.87)
q1y = q0. (A.88)
Logo:
r˜ =
q1yµv − i
[
(−µv)1/2 q0 + qxµ2/µ1
]
q0µv + i
[
(−µv)1/2 q0 + qxµ2/µ1
] . (A.89)
A expressa˜o de φ e´ dada por:
φ =
−2q0µv
[
(−µv)1/2 q0 + qx µ2µ1
]
q20µ
2
v −
[
(−µv) q20 + q2x µ
2
2
µ21
+ 2 (−µV )1/2 q0qxµ2/µ1
] , (A.90)
∂φ
∂qx
=
−2q30µ3vµ2/µ1 − 2q30µ2vµ2/µ1 + 4q30µ2vµ2/µ1
−4q40µ3v+ q40µ4v + 2q40µ3v+ 2µ2vq40
, (A.91)
Apo´s algumas manipulac¸o˜es alge´bricas, obtemos:
∂φ
∂qx
= − 2µ2/µ1
q0 (− µv) , (A.92)
ou seja,
Dr =
2µ2/µ1
q0 (− µv) . (A.93)
A.4.2 Ca´lculo de Dr na regia˜o de volume
Na regia˜o de volume q2y e´ real.
φ =
−2qxq1yµv (µ2/µ1)
q21yµ
2
v − q22y − q2x (µ2/µ1)
, (A.94)
123
q1y =
[
q20 − q2x
]1/2 ≈ q0 [1− q2x
q20
]1/2
, (A.95)
q22y = µvq
2
0 − q2x. (A.96)
A se´rie de Taylor e´ dada por:
(a+ x)n = an + nan−1x+
n (n− 1)
2!
an−2x2 + ... (A.97)
Aplicando a se´rie de Taylor na equac¸a˜o A.95:
q1y ≈ q0
[
1− q
2
x
2q20
+ ...
]
, (A.98)
q1y ≈ q0 − q
2
x
2q0
. (A.99)
Substituindo o valor de q1y na equac¸a˜o A.94:
φ =
− (2qxµ2/µ1)
q0 (− µv) , (A.100)
e derivando φ obtemos:
∂φ
∂qx
=
−2µ2/µ1
q0 (− µv) . (A.101)
A.5 Ca´lculo de Dt
O deslocamento no raio transmitido e´ dado por:
Dt =
−∂φt
∂qx
. (A.102)
O coeficiente de transmissa˜o e´ dado pela equac¸a˜o A.72.
124
A.5.1 Ca´lculo de Dt na regia˜o de volume
φt, a mudanc¸a de fase do campo transmitido, obtido a partir da equac¸a˜o A.72 e´ dado por:
φt = arctan
2q0µv
q0µv + i
[
(−µv)1/2 q0 + qxµ2/µ1
] , (A.103)
Logo:
φt =
−qxµ2/µ1
q1yµv + q2y
. (A.104)
Considerando que:
q1y =
(
q20 − q2x
)1/2 ≈ q0, (A.105)
q2y =
(
µvq
2
0 − q2x
)1/2 ≈ q0 (µv)1/2 . (A.106)
Substituindo as equac¸o˜es A.105, A.106 em A.104:
φt =
−qxµ2/µ1
q0µv + q0 (µv)
1/2
. (A.107)
Considerando ate´ a primeira ordem de qx, temos:
∂φt
∂qx
=
−µ2/µ1
q0
[
µv + (µv)
1/2
] , (A.108)
Portanto:
Dt =
µ2/µ1
q0
[
µv + (µv)
1/2
] . (A.109)
125
A.5.2 Ca´lculo de Dt na regia˜o de “reststrahl”
Substituindo as equac¸o˜es A.87 e A.88 em A.72, obtemos:
t =
2q0µv
q0µv + i
[
(−µv)1/2 q0 + qxµ2/µ1
] , (A.110)
logo:
φt =
−
[
q0 (−µv)1/2 + qxµ2/µ1
]
q0µv
. (A.111)
Derivando a equac¸a˜o A.111, obtemos:
∂φt
∂qx
=
−µ2/µ1
q0 (µv − ) , (A.112)
Portanto:
Dt =
µ2/µ1
q0 (µv − ) . (A.113)
126
Apeˆndice B
Artigos cient´ıficos baseados nesta tese de doutorado
A1: F. Lima, T. Dumelow, J. A. P. da Costa, and E. L. Albuquerque, Europhys. Lett.
83, 17003 (2008).
A2: F. Lima, T. Dumelow, E. L. Albuquerque and J. A. P. da Costa,Phys. Rev.B, 79,
155124 (2009).
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