UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA
UM ESTUDO SOBRE A VIOLAÇÃO DE
CAUSALIDADE EM TEORIAS f (R) DE GRAVIDADE
Thiago Bruno Rafael de Freitas Oliveira
Orientador: Prof. Dr. Janilo Santos
Tese apresentada ao Departa-
mento de Física Teórica e Expe-
rimental da Universidade Federal
do Rio Grande do Norte como re-
quisito parcial à obtenção do grau
de DOUTOR em FÍSICA.
Natal, Fevereiro de 2015
Para Pessoas Especiais:
Minha Mãe e Minha Vó
Maria de Fátima Rafael de Freitas (in memorian)
Creuza de Melo Freitas (in memorian)
Minha Filha
Letícia Morais Rafael de Freitas
i
“[...] Somente aqueles que podem avaliar os gigantescos esforços e, antes
de tudo, a paixão sem os quais as criações intelectuais científicas
inovadoras não existiriam, pode pesar a força do sentimento, único a criar
um trabalho totalmente desligado da vida prática. [...] Aquele que só
conhece a pesquisa científica por seus efeitos práticos vê depressa demais
e incompletamente a mentalidade de homens que, rodeados de
contemporâneos céticos, indicaram caminhos aos indivíduos que
pensavam como eles. [...] ”
Albert Einstein. Como vejo o mundo, Pág. 22, 14aed.
AGRADECIMENTOS
• Ao meu DEUS, criador dos céus e da Terra e idealizador de tudo
o que penso, sinto e sou.
• Ao meu orientador Professor Dr. Janilo Santos, pelas instruções,
ensinamentos e direcionamentos, não só nessa Tese mas também durante
toda a minha vida acadêmica na UFRN. Muito obrigado, professor, por
essa dedicação. Esta Tese fará parte de nossa história.
• A minha mãe in memorian Maria de Fátima Rafael de Freitas pelo
carinho, respeito, cuidado e admiração por tudo o que eu aventurava fazer,
por acreditar em mim mesmo não tendo mais forças e por estar comigo
sempre, até neste momento. A você, minha mãe, receba todos os louros
dessa conquista, pois és a maior responsável por esse triunfo.
• A minha Vó in memorian Creuza de Melo Freitas por ter me mos-
trado os verdadeiros valores da vida e me amado incondicionalmente. Essa
vitória é nossa.
•A minha filha Letícia Morais Rafael de Freitas, pois mesmo sendo
ainda um feto, tem mudado minha vida e incentivado, indiretamente, a
finalizar este trabalho. Te amo, filha, obrigado por você existir e já fazer a
diferença na minha vida.
• A minha companheira Cristina de Morais Bezerra por crescer co-
migo, me apoiar, estar ao meu lado em momentos cruciais, pela compre-
ensão para a construção de um sonho, pela cumplicidade diante de tudo
e pelo maior presente que eu poderia ganhar: nossa Letícia; a você, com
carinho, também dedico esta obra.
• Aos meus tios, Ronaldo Rafael de Freitas, Robson Rafael de Frei-
iii
tas, Pedro Rafael de Freitas pelos conselhos que sempre são bem-vindos,
pelos incentivos recorrentes na minha vida pessoal e profissional e pelos
exemplos que vocês me passam diariamente. A todos vocês agradeço de
coração.
• A todos os meus primos: Pablo Rafael, Michel Rafael, Martucha
Rafael, Marina Rafael, Robson Rafael Filho, Vitória Alves Rafael, Vítor Al-
ves Rafael, Hugo Rafael, Hudson Rafael, Maria Heloíza Rafael, Jeferson
Marçal, Lélio Teodósio, Lidiane Teodósio, Vera Teodósio, Kaléo Teodósio
pelos momentos de lazer e distração a mim proporcionados diante de um
trabalho árduo que é fazer uma Tese de Doutorado.
•Aos meus amigos do DFTE/UFRN, em particular, Jefferson Soares
pela parceria e cumplicidade de sempre; a Pedro Ferreira pela simpatia e
apoio sempre quando foi necessário; Irenaldo Pessoa pela verdade conta-
giante que sempre lhe é peculiar. Enfim, agradeço a todos os meus colegas
pelo encorajamento para finalizar esse trabalho.
• Aos meus professores das séries inicias, em especial Nivaldo Ma-
rinho Lopes, Lena Aniceto e Raimundo Nonato de Moraes (1o incentivador
para a área de Física), por acreditarem em mim e me estimularem no co-
meço de tudo.
• A todos os professores do DFTE/UFRN pelo saber compartilhado
e pela oportunidade de ter sido aluno de vocês, o meu muito obrigado.
• Aos amigos externos ao ambiente acadêmico: Rafael Fernandes,
Ruan Silva, Lucinano Damasceno e Rejanilson Moura pela descontração e
grande conhecimento de mundo que compartilham comigo durante esta
estada na Terra. Esta obra também é dedicada a vocês.
• Ao professor Doutor Marcelo José Rebouças do Centro Brasileiro
iv
de Pesquisas Físicas - CBPF, pela coautoria da seção 3.2 desta tese.
• Finalmente, a Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Ní-
vel Superior - CAPES, pelo apoio financeiro concedido durante os meus
anos como discente da UFRN.
v
NOTAÇÃO E CONVENÇÕES
• A assinatura da métrica ( - , +, +, +)
• Considere a velocidade da luz sempre com valor unitário (c = 1) e a
constante de acoplamento gravitacional κ2 = 8piG.
• Os índices gregos variam de 0 a 3 e os latinos de 1 a 3. Índices repetidos
obedecem à convenção de Einstein.
• Métrica Conforme: hµν
• Determinante de hµν : h
• Conexões de Levi-Civita Generalizadas na Métrica hµν : Γαµν
• Conexões Levi-Civita na Métrica gµν :
{
α
µν
}
• Tensor de Curvatura Generalizado: R˜αµβν
• Escalar de Ricci Generalizado: R˜
• Derivada Covariante na Base de Tetrada θA: Φ|A
• D’lambertiano de Φ na Base de Tetrada: Φ = ηAB∇A∇BΦ
vi
• Derivada Covariante com Respeito a {αµν}: ∇µ
• Derivada Covariante com Respeito a Γαµν : ∇˜µ
• Campo Escalar (genérico): φ
• Campos de Matéria (coletivamente): ψ
• Tensor de Einstein Modificado : Gµν
• Todas as palavras em outros idiomas (exceto o Inglês) são escritas em
itálico.
vii
RESUMO
A observação atual da expansão acelerada do universo, bem como
o tão conhecido problema da matéria escura em astrofísica, têm forneci-
dos muitas discussões e algumas dúvidas sobre a bem testada teoria de
gravitação de Einstein, conhecida como Relatividade Geral. Várias modifi-
cações, assim como teorias extendidas de gravidade, têm sido formuladas
nos últimos 15 anos, e alguns autores tem feito surgir um novo aspecto.
Nesta tese, apresentamos e discutimos, em classe de gravidade extendida,
a teoria alternativa conhecida como gravidade f(R). Essas teorias surgem
quando substituímos na ação de Einstein-Hilbert o escalar de curvatura R
por alguma bem comportada função não linear f(R). Elas fornecem uma
maneira alternativa para explicar a aceleração cósmica atual sem necessi-
tar invocar qualquer componente de energia escura ou a existência de di-
mensões espaciais extras. Ao lidar com a teoria de gravidade f(R), duas
diferentes abordagens podem ser seguidas, a saber, o formalismo métrico
e o de Palatini. Na abordagem métrica, as conexões são assumidas, desde
o princípio, como sendo as conexões de Levi-Civita e a variação da ação
é feita com respeito à métrica apenas, enquanto que na abordagem de Pa-
latini a métrica e as conexões são tratadas como campos independentes
sendo que a variação da ação é feita com respeito a ambos. Apesar de for-
necer as mesmas equações para a ação de Einstein-Hilbert, para um termo
geral não-linear f(R) na ação, as duas abordagens dar-se, no entanto, ori-
gem a equações de movimento muito diferentes. Para os dois formalismos,
fizemos uma sistemática e detalhada derivação das equações de campo,
com generalização das equações de Einstein da Relatividade Geral e exa-
viii
minamos a conservação covariante destas equações. Nessa consideração,
detectamos e chamamos atenção para a conservação covariante das equa-
ções de Palatini para a gravidade f(R), que, em nosso ponto de vista, a
relevância física de seus aspectos conformes, na abordagem de Palatini,
merece um pouco mais de debate.
Afim de lançar alguma luz sobre o debate do papel da gravidade
f(R), examinamos, também, a questão de como essas teorias permitem
espaços-tempo nas quais a causalidade, um resultado fundamental em qual-
quer teoria física, é violada. No âmbito da gravidade f(R), a estrutura
causal do espaço-tempo quadridimensional tem, localmente, a mesma na-
tureza qualitativa como o espaço-tempo plano da relatividade especial: a
causalidade é permitida localmente. A questão não-local, entretanto, é dei-
xada em aberto, e a violação de causalidade pode ocorrer. Como bem se
sabe, na Relatividade Geral existem soluções para as equações de campo
que têm anomalias causais na forma de curvas de tipo-tempo fechadas, o
renomado modelo de Gödel, que é o exemplo mais conhecido de uma solu-
ção deste tipo. Aqui mostramos que para a gravidade f(R) satisfazendo a
condição df/dR > 0, independentemente de ser formulada no formalismo
métrico ou de Palatini, cada solução do tipo-Gödel para um fluido do tipo
perfeito com densidade ρ e pressão p que satisfaz a condição de energia
forte (ρ + p ≥ 0) é necessariamente isométrica à geometria de Gödel. Isso
demonstra que essas teorias apresentam anomalias causais na forma de
curvas tipo-tempo fechadas. Também derivamos uma expressão para o
raio crítico rc, além do qual a causalidade é violada, para uma teoria f(R)
de gravidade arbitrária de Palatini assim como métrica. As expressões tor-
nam evidente que a violação da causalidade depende da forma de f(R) e
dos componentes de matéria. Como um exemplo, examinamos a solução
tipo-Gödel de fluido do tipo perfeito na classe f(R) = R− β/Rn de teorias
ix
de gravidade de Palatini, e mostramos que para a densidade de matéria
positiva e para β e n no intervalo permitido pelas observações, essas teo-
rias não admitem a geometria de Gödel como solução para um fluido do
tipo perfeito de suas equações. Também examinamos a violação de cau-
salidade do tipo-Gödel considerando um campo escalar como conteúdo
material. Para essa fonte, mostramos que a gravidade f(R) de Palatini dá
surgimento a uma única solução do tipo-Gödel sem nenhuma violação de
causalidade. Finalmente mostramos pela combinação de um fluido do tipo
perfeito com um campo escalar como fontes da geometria do tipo-Gödel,
obtemos tanto soluções na forma de curvas do tipo-tempo fechadas como
soluções sem nenhuma violação de causalidade. No formalismo métrico,
consideramos outro exemplo, a gravidade f(R) = R − αR∗ ln(1 + R/R∗),
que é livre de singularidades do escalar de Ricci e é cosmologicamente viá-
vel. Aqui também mostramos que combinando fluido do tipo perfeito com
campo escalar como fontes da geometria de Gödel, essa classe de teorias
acomoda tanto soluções causais e não-causais para a faixa de parâmetros
permitidos cosmologicamente. Nossa conclusão são que a gravidade f(R)
pode remediar a patologia causal na forma de curvas do tipo-tempo fecha-
das que são permitidas na Relatividade Geral.
x
ABSTRACT
The currently observed accelerated expansion of the Universe, as
well as the so called dark mater problem in astrophysics, has raised many
discussions and some doubts about the very well tested Einstein’s theory
of gravitation, known as General Relativity. Several modified, as well as
extended gravity theories, have been formulated in the last 15 years, and
some others been resuscitated in new aspect. In this thesis, we present and
discuss, in the class of extended gravity, the alternative theories known
as f(R) gravity. These theories come about when one substitute in the
Einstein-Hilbert action the Ricci scalar curvature R by some well behaved
nonlinear function f(R). They provide an alternative way to explain the
current cosmic acceleration with no need of invoking either a dark energy
component or the existence of an extra spatial dimension. In dealing with
f(R) gravity, two different variational approaches may be followed, na-
mely the metric and the Palatini formalisms. In the metric approach the
connections are assumed, ab initio, to be the Levi-Civita connections and
variation of the action is taken with respect to the metric only, whereas in
the Palatini approach the metric and the connections are treated as inde-
pendent fields and the variation of the action is taken with respect to both.
Although they give the same equations for the Einstein-Hilbert action, for
a general f(R) nonlinear term in the action they give rise to very diffe-
rent equations of motion. For both formalisms, we make a systematic and
detailed derivation of the field equations, which generalize the Einstein’s
equations of General Relativity and examine the covariant conservation of
this equations. In this regard, we detect and call attention for the covariant
conservation of the equations in Palatini f(R) gravity, which, in our view,
xi
deserves some more debate on the physical relevance of conformal aspects
of the Palatini approach.
In order to shed some light on the debate about the role of f(R)
gravity, we also examine the question as to whether this theories permit
space-times in which the causality, a fundamental issue in any physical
theory, is violated. In the framework of f(R) gravity, the causal structure
of four-dimensional space-time has locally the same qualitative nature as
the flat space-time of special relativity: causality holds locally. The nonlo-
cal question, however, is left open, and violation of causality can occur. As
is well known, in General Relativity there are solutions to the field equati-
ons that have causal anomalies in the form of closed time-like curves, the
renowned Gödel model being the best known example of such a solution.
Here we show that for f(R) gravity satisfying the condition df/dR > 0,
independently of being formulated in metric or Palatini formalism, every
perfect type-fluid Gödel-type solution with density ρ and pressure p that
satisfy the weak energy condition (ρ + p ≥ 0) is necessarily isometric to
the Gödel geometry. This demonstrate that these theories present causal
anomalies in the form of closed time-like curves. We also derive expres-
sions for critical radius rc, beyond which the causality is violated, for an
arbitrary Palatini, as well as metric f(R) theory of gravity. The expres-
sions make apparent that the violation of causality depends on the form
of f(R) and on the matter content components. As an example, we exa-
mine the Gödel-type perfect type-fluid solutions in the f(R) = R − β/Rn
class of Palatini gravity theories, and show that for positive matter density
and for β and n in the range permitted by the observations, these theories
does not admit the Gödel geometry as a perfect type-fluid solution of its
field equations. We also examine the violation of causality of Gödel-type
by considering a single scalar field as the matter content. For this source
xii
we show that Palatini f(R) gravity gives rise to a unique Gödel-type so-
lution with no violation of causality. Finally we show that by combining
a perfect type-fluid plus a scalar field as source of Gödel-type geometries,
we obtain either solutions in the form of closed time-like curves as well as
solutions with no violation of causality. In the metric formalism we take
another example, the f(R) = R − αR∗ ln(1 + R/R∗) gravity, which is free
from singularities of the Ricci scalar and is cosmologically viable. Here we
also show that combining perfect type-fluid with a scalar field as source
of the Gödel geometry, this class of theories accommodate both causal and
noncausal solutions for the range of cosmologically allowed parameters.
Our conclusion is that f(R) gravity theory may remedies the causal patho-
logy in the form of closed time-like curves which is allowed in General
Relativity.
xiii
SUMÁRIO
AGRADECIMENTOS ii
NOTAÇÃO E CONVENÇÕES vi
RESUMO viii
ABSTRACT xi
1 Teorias Extendidas de Gravidade 1
1.1 Introdução - Equações de Campo para a Teoria da Relativi-
dade Geral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Breve Histórico - Teorias Extendidas de Gravidade . . . . . . 5
2 Teorias f(R) de Gravidade 13
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Teorias f(R) de Gravidade no Formalismo Métrico . . . . . . 15
a
2.2.1 Equações de Campo no Formalismo Métrico de Gra-
vidade f(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2 Conservação Covariante do Tensor Energia-Momento
no Formalismo Métrico da Gravidade f(R). . . . . . 17
2.3 Teorias f(R) de Gravidade na Formulação de Palatini . . . . 19
2.3.1 Equações de Campo na Formulação de Palatini de
Gravidade f(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.2 Conservação Covariante do Tensor Energia-Momento
na Formulação de Palatini da Gravidade f(R). . . . . 25
3 Curvas Tipo-Tempo Fechadas - CTCs 27
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 CTC em gravidade f(R) na Formulação de Palatini1 . . . . . 30
3.2.1 Causalidade em um Universo Tipo-Gödel. . . . . . . 33
3.2.2 Fluido do tipo Perfeito. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.3 Campo Escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.4 Fluido do tipo Perfeito + Campo Escalar. . . . . . . . 38
3.3 CTC em gravidade f(R) no Formalismo Métrico. . . . . . . . 44
3.3.1 Fluido do tipo Perfeito. . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.2 Campo Escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.3 Fluido do tipo Perfeito + Campo Escalar. . . . . . . . 49
4 Conclusões e Perspectivas 51
4.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
b
4.2 Perspectiva - 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3 Perspectiva - 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Apêndices 55
A Equações de movimento no formalismo métrico de gravidade f(R). 55
B Equações de movimento na formulação de Palatini de gravidade
f(R) 69
C A Variação de Rµν . 75
D Equações de Einstein Generalizadas. 78
E Demonstração da igualdade∇µG˜µν = −∇
µf ′
f ′
R˜µν 83
Bibliografia vii
c
LISTA DE FIGURAS
3.1 Algumas soluções da equação (3.38) para β = 3.45 . . . . . . 40
3.2 Algumas soluções da equação (3.43) para β = 3.45 . . . . . . 42
d
CAPÍTULO 1
TEORIAS EXTENDIDAS DE GRAVIDADE
1.1 Introdução - Equações de Campo para a Teoria da Rela-
tividade Geral.
A Teoria da Relatividade Geral - TRG - interpreta a interação gra-
vitacional como sendo uma consequência da modificação da geometria
do espaço-tempo por qualquer forma de matéria e energia. Nessa nova
ótica, a força newtoniana que um corpo exerce sobre uma partícula-teste é
substituída pela identificação do caminho da partícula (geodésica) em uma
geometria riemanniana específica, isto é, além de um tensor métrico, gµν ,
existe uma conexão dependente da métrica Γαµν , resultantes da distribuição
de matéria e energia sob qualquer forma. Além dessa hipótese, de natu-
reza cinemática, existe uma segunda, de natureza dinâmica, que relaciona
a distribuição de matéria-energia à curvatura associada à geometria [1].
Para encontrar as equações de campo da TRG usaremos o forma-
lismo de Lagrange e daremos duas motivações para isso, embora Einstein
não tenha seguido este caminho inicialmente. Antes disso, notamos que
1
Capítulo 1. Teorias Extendidas de Gravidade 2
a TRG é uma teoria clássica e uma menção a uma ação é fisicamente des-
necessária. Suas equações de campo existem independentes de uma for-
mulação Lagrangeana. Porém, esse tipo de formulação para a TRG tem
seus méritos1. Embora possua uma elegância própria em sua estrutura,
não contaremos isso como vantagem para motivar essa abordagem.
Diante do exposto, existem pelo menos duas razões para torná-la
padrão:
• Em um nível quântico, a ação de fato adquire um significado físico e
há a expectativa de se ter uma teoria física da gravidade mais funda-
mental, dando uma efetiva ação gravitacional de baixa energia em um
limite apropriado.
• É mais fácil comparar teorias alternativas de gravidade por meio de
uma ação, do que simplesmente por suas equações de campo, já que
estas são mais complicadas. Além disso, parece que, em muitos casos,
temos um alcance melhor do entendimento físico quando estas teorias
são descritas por uma ação (termos cinéticos, dinâmicos e acoplados)
[2].
Assim sendo, apresentaremos a ação que será capaz de nos fornecer
as equações de campo para a relatividade geral. Para um pouco mais de
detalhes e motivações que levaram a esta representação veja [3].
A ação conhecida como ação de Eistein-Hilbert para o campo gravi-
tacional é dado por 2:
1Na verdade, quando Einstein estava em busca dessas equações ele utilizava analogias com a equação
de Poisson; tal equação relaciona o potencial gravitacional em um dado ponto do espaço e a distribuição de
matéria no entorno desse ponto.
2Na verdade, David Hilbert, considerado grande matemático do sec. XIX, enviou um artigo sobre re-
latividade geral cerca de dois dias antes de Einstein. Os dois continham resultados semelhantes referentes
às equações de campo. Apesar disso, Hilbert nunca disputou o pioneirismo da teoria da Relatividade Ge-
Capítulo 1. Teorias Extendidas de Gravidade 3
SEH =
1
2κ2
∫
d4x
√−gR. (1.1)
Na eq.(1.1), κ2 = 8piG é a constante de acoplamento gravitacional;
R é o escalar de Ricci; g é o determinante da métrica gµν que representa
os potenciais gravitacionais (análogo aos potencias de Poisson); d4x é o
elemento invariante de quadri-volume e G é a constante de gravitação uni-
versal Newtoniana.
Tecnicamente essa representação da ação gravitacional tem relação
direta com o princípio da equivalência, uma vez que o princípio pressupõe
um acoplamento mínimo entre a geometria do espaço-tempo e a gravita-
ção.
A ação (1.1) deve-se à atividade gravitacional. Como o objetivo é
obter uma relação entre a parte geométrica e a parte de matéria-energia,
falta-nos caracterizar a ação da matéria. Para isso, precisamos que a varia-
ção do conteúdo material com respeito à métrica forneça o tensor energia-
momento da matéria. Portanto definimos
Tµν ≡ − 2√−g
δSM
δgµν
, (1.2)
onde δ/δgµν é a derivada funcional com respeito à métrica,
SM =
∫
d4x
√−gLM(gµν, ψ) (1.3)
é a ação da matéria; LM é a densidade Lagrangeana da matéria e ψ refere-
ral, pois considerava Einstein o seu grande arquiteto e muitas das informações contidas no seu artigo eram
oriundas de cartas trocadas entre os dois [4]
Capítulo 1. Teorias Extendidas de Gravidade 4
se coletivamente aos campos de matéria. Extremizando a ação total S =
SEH + SM , isto é, fazendo δS/δgµν = 0 obtemos as equações da dinâmica
Rµν − R
2
gµν = κ
2Tµν, (1.4)
onde Rµν é o tensor de Ricci o qual é obtido a partir da contração do tensor
de curvatura. Essas são as equações do movimento/campo da Teoria da
Relatividade Geral.
Acrescentando-se ao resultado da eq.(1.4) a condição de metrici-
dade, isto é,
∇αgµν = 0, (1.5)
temos, então, as conexões Levi-Civita para a métrica gµν , isto é,
{
α
µν
}
=
1
2
gασ(∂µgσν + ∂νgµσ − ∂σgµν). (1.6)
É importante destacar que entre as eqçs (1.5) e (1.6), existe uma re-
lação de necessidade e suficiência. Além disso, a eq.(1.4) é constituída de
duas partes. Do lado esquerdo, há um conjunto de termos que se referem à
geometria do espaço-tempo. Do lado direito, o termo em questão descreve
a distribuição de energia e momento. Portanto o lado esquerdo é geome-
tria, o direito é matéria. Como o físico John Wheeler gostava de observar,
lendo da esquerda para a direita, temos o espaço-tempo dizendo como a
matéria deve se mover; lendo da direita para a esquerda, temos a maté-
ria e energia dizendo como o espaço-tempo deve se encurvar. Nesse novo
Universo, não há, portanto, espaço e tempo absolutos, e a gravidade não é
Capítulo 1. Teorias Extendidas de Gravidade 5
uma força - não é um puxão entre dois objetos -, mas uma propriedade do
espaço-tempo [5].
Formalizamos, dessa forma, as ferramentas para o estudo cinemá-
tico e dinâmico da interação gravitacional em termos da geometria na es-
trutura da Relatividade Geral.
Na seção seguinte e no capítulo 2, mostraremos algumas aborda-
gens alternativas à TRG, fornecendo um apanhado histórico dessas novas
roupagens como motivação bem como alguns problemas do ponto de vista
astrofísico e cosmológico que o modo canônico da TRG apresenta. Entre-
tanto daremos ênfase, nesta Tese, às chamadas teorias f(R) de gravidade,
como alternativa à TRG, tanto na formulação métrica quanto no forma-
lismo da Palatini.
1.2 Breve Histórico - Teorias Extendidas de Gravidade
A descrição da interação gravitacional a partir da TRG de Einstein
forneceu uma mudança significativa de paradigma quando se trata da na-
tureza do espaço e do tempo. Apesar de sua elegância própria do ponto
de vista matemático, cabia à natureza revelar se tanto esforço merecia ter
seus méritos. Para que pudesse demonstrar sua capacidade de explorar o
Universo, a TRG deveria não só fazer previsões e, em certos limites, re-
cuperar resultados que a teoria da Gravitação Universal Newtoniana já
apresentava, mas também deveria resolver o dilema vigente que não era
solucionado pela teoria de Newton, isto é, o deslocamento do periélio de
Mercúrio.
Nessas circunstâncias, ao esboçar geometricamente a gravitação, Eins-
tein e Hilbert produziram as equações de campo para o tensor métrica gµν ,
Capítulo 1. Teorias Extendidas de Gravidade 6
representadas pela eq.(1.4).
Entretanto, essa escolha foi totalmente arbitrária [6], porém foi a
mais simples do ponto de vista matemático. De fato, não existiu uma mo-
tivação matemática e/ou fenomenológica que favorecesse a obtenção de
equações de movimento mais gerais [7], ou seja, que partisse não só do in-
variante linear do escalar de Ricci com acoplamento mínimo entre matéria
e geometria, mas também de outros invariantes e outros tipos de acopla-
mentos. Pode-se construir, por exemplo, alguns invariantes utilizando o
R, a saber: R2,RR, RkR. Todas essas opções poderiam fazer parte do
arcabouço inicial de Einstein e Hilbert para o desenvolvimento da TRG,
além da sugestão de se fazer acoplamentos não-mínimos entre matéria e
geometria. Não seria surpresa alguma se, a posteriori, fossem analisadas
essas outras possibilidades.
De fato, logo em seguida ao desenvolvimento da TRG, algumas ten-
tativas de sua generalização foram desenvolvidas. No entanto, não houve
motivações fenomenológicas mas apenas pura curiosidade humana de en-
tender a teoria vigente. O início dessas modificações ocorreu em 1919 com
Weyl [8] e continuou em 1923 com Eddington [9] ao considerar a inclusão
de invariantes de curvatura de ordem superior na ação de Einstein-Hilbert.
A tentativa de se estabelecer uma teoria quântica de gravidade mos-
trou que a TRG não era renormalizável e que, portanto, não poderia ser
quantizada convencionalmente.
Tentativas de renormalização levaram à necessidade de se inserir
termos na TRG, especificamente na ação gravitacional, de tal forma a pro-
duzir, não as equações de campo de 2a ordem, como se desejava a priori,
mas equações de 4a ordem. Fisicamente isso significava introduzir mais
graus de liberdade ao sistema tornando-o cada vez mais desafiador. Mais
Capítulo 1. Teorias Extendidas de Gravidade 7
tarde, foi verificado que uma ação de ordem superior realmente renorma-
lizaria a Teoria da Relatividade Geral [10].
A correção introduzida pela renormalização consistia, inicialmente,
em introduzir termos quadráticos R2 do escalar de Ricci na Lagrangeana
gravitacional. Essa ação teve grande êxito no tocante ao período inflacio-
nário do universo [11, 12, 13]. Outras motivações também fizeram parte da
tentativa de renormalização da TRG, como por exemplo a experiência de
eliminar singularidades cosmológicas e de buracos negros [14, 15, 16, 17,
18, 19, 20].
Seja por conter somente correções quadráticas do escalar de Ricci R
ou, por extensão, correções que são funções não lineares mais gerais de R
(não motivados apenas pela renormalização) foi desenvolvida uma classe
denominada de Teorias f(R) de Gravidade que estudaremos com mais de-
talhes posteriormente.
Além do critério de renormalização para a TRG, sua posterior quan-
tização e construção de uma teoria quântica da gravitação, a física de altas
energias esperava obter a TRG quando saísse do cenário de altas energias
para o de baixas energia; porém o modelo de teoria de cordas que se can-
didata a ser a principal teoria quântica de gravidade e também unifica as
interações, quando levada a limites de baixa energia, novamente não re-
produz a TRG mas, de fato, fornece a conhecida teoria de Brans-Dicke [21].
A teoria de Brans-Dicke é um teoria escalar tensorial (a interação
gravitacional é mediada não só pela métrica, mas também por um campo
escalar). Seu surgimento teve como motivação a necessidade de se im-
plementar o Princípio de Mach que não estava completamente contem-
plado na TRG. Além disso, a TRG continha soluções explicitamente anti-
Machiana, tais como o universo de Gödel [22]. De acordo com o princípio
Capítulo 1. Teorias Extendidas de Gravidade 8
de Mach, um referencial local é determinado pelo movimento médio de
objetos astronomicamentes distantes [23]. Essa característica implica que o
acoplamento gravitacional em um dado ponto do espaço-tempo não é ab-
soluto mas sim determinado pela matéria vizinha e que, portanto, torna-
se uma função da localização do ponto do espaço-tempo, um campo es-
calar. Como consequência, o conceito de inércia e o Principio da Equi-
valência tem sido revisado. A teoria de Brans-Dicke foi a primeira teo-
ria alternativa a possuir um conjunto de dados significativos tornando-a,
portanto, o protótipo de teorias alternativas de gravidade. Nesse cenário,
a "constante"gravitacional variável corresponde a um campo escalar aco-
plado não-minimamente à geometria e constitui a mais satisfatória imple-
mentação do princípio de Mach desde a TRG [24, 25, 26].
Após a teoria de Brans-Dicke surgir, pesquisas sobre o Principio de
Mach foram despertadas. Na verdade, o interesse dos físicos modernos
em gravidade escalar tensorial surgiu mais da teoria de cordas do que do
Principio de Mach. De fato, campos dilaton e acoplamentos não-mínimos
para a curvatura do espaço-tempo são características inevitáveis da teoria
de cordas que estão associadas à gravidade escalar tensorial.
Além disso, muitos esquemas de unificação das interações funda-
mentais, tais como super cordas, super gravidade, ou Teorias da Grande
Unificação (TGU) produzem ações efetivas nas quais o acoplamento não-
mínimo para a geometria ou termos de ordem superior do invariante de
curvatura estão necessariamente presentes. Todas essas abordagens cer-
tamente não constituem uma teoria da gravidade quântica completa, mas
são necessárias como um esquema temporário que direcionam à verda-
deira Teoria.
Contudo tem sido mostrado também que, por meio de transforma-
Capítulo 1. Teorias Extendidas de Gravidade 9
ções conformes, existe a possibilidade de os termos acoplados não-minimamente
e os termos de ordem superior sempre corresponderem à gravidade de
Einstein com um (ou mais) campo(s) escalar(es) minimamente acoplado(s)
à curvatura [27, 28, 29, 30]. Mais precisamente, termos de ordem superior
sempre aparecem como contribuições de segunda ordem para as equações
de campo quando são substituídas por campos escalares equivalentes. Por
exemplo, termos de R2 na Lagrangiana fornecem equações de movimento
de 4a ordem [31], RR fornece equações de 6a ordem [29, 32], R2R for-
nece equações de 8a ordem [33] e assim por diante. Por meio de uma trans-
formação conforme, qualquer termo de derivada de segunda ordem corres-
ponde a um campo escalar 3. Por exemplo, é possível mostrar que gravi-
dade f(R) é equivalente não só a uma teoria escalar tensorial, mas também
a teoria de Einstein juntamente com um fluido do tipo perfeito [34]. Essa
propriedade é útil se múltiplos eventos inflacionários são requeridos na te-
oria; a ideia é que cada era inflacionária está relacionado a uma dinâmica
do campo escalar. Finalmente, esses esquemas estendidos de gravidade,
como a f(R), naturalmente resolveriam problemas de maneira elegante,
evitando as falhas de modelos inflacionários [35, 36, 37].
Embora seja, a princípio, desvantajoso inserir outros invariantes de
Ricci na ação gravitacional por fazer surgir equações de campo de ordem
cada vez maiores, e consequentemente necessitar de várias condições ini-
ciais, é possível, como foi descrito, através de transformações conformes,
obter equações de campo de segunda ordem fazendo uma transformação
de Legendre conveniente dos campos.
Do ponto de vista astrofísico e cosmológico existe também motiva-
ções para se alterar a TRG e se empenhar nos modelos, por exemplo, de te-
3A dinâmica de todos estes campos são geralmente determinadas por uma equação de segunda ordem
do tipo Klein-Gordon.
Capítulo 1. Teorias Extendidas de Gravidade 10
orias f(R) de gravidade. De fato, ao se ter acesso a uma maior quantidade
de dados, conseguiu-se observar fenômenos cujas tentativas de explicações
usando a TRG falharam. Pode-se citar os resultados obtidos de análise das
supernovas do tipo Ia(SNeIa) [38, 39] que evidenciaram, de modo inde-
pendente, a expansão acelerada do Universo. É possível notar também os
dados dos projetos BOOMERANG [40] e MAXIMA [41] que detectaram os
primeiros dois picos Doppler no espectro de anisotropia do CMB, suge-
rindo, com isso, um universo com seção espacial plana. Combinando com
os vínculos dos parâmetros ΩM de densidade dos aglomerados de galaxias,
estes dados indicam que o universo é dominado por um fluido tênue que
não se aglomera com nada, que corresponde a 75% da energia do universo,
não detectado em laboratório, com pressão negativa e que é genericamente
denominada de Energia Escura ou quintessência. Essa energia seria, então,
responsável pela atual aceleração do universo.
Devido a isso, muitas tentativas têm sido propostas para decifrar o
que verdadeiramente está por trás da expansão acelerada do Universo. A
explicação mais simples fornecida, utilizando ainda a TRG, é a conhecida
constante cosmológica, Λ[42]. Embora seja a candidata mais imediata, essa
proposta tem encontrado dificuldades para se efetivar devido à discrepân-
cia entre o modelo ΛCDM que falha ao fornecer o valor de Λ no infraver-
melho (120 ordens de grandeza menor) em comparação com os valores
típicos de densidade de energia do vácuo prevista pela Física de partícu-
las, conhecida como o problema da constante cosmológica. Além disso,
existe o problema da coincidência cósmica devido ao seu valor atual ser
comparável à densidade de matéria (para mais detalhes sobre esse tema -
Problema da Coincidência Cósmica - veja [43, 44]).
Para solucionar esse problema, muitos autores têm substituído a
Capítulo 1. Teorias Extendidas de Gravidade 11
constante cosmológica, considerada como o campo de vácuo, por um campo
escalar dinâmico que evolui lentamente. Esse modelo é conhecido como
Quintessência [45, 46], porém a origem do campo escalar de quintessência
é misteriosa uma vez que existe uma grande incerteza na escolha do poten-
cial V (Φ) necessário para a atual aceleração do universo. A natureza deli-
cada e sutil da energia escura tem induzido muitos autores a procurar uma
explicação completamente diferente para o comportamento acelerado do
cosmos sem introduzir um componente anti-gravitante nele. Como existe
uma equação de estado que caracteriza esse fluido misterioso, seria possí-
vel, então, explicar essa expansão acelerada como um único fluido cósmico
que atua como matéria escura em alta densidade e como energia escura em
baixa densidade. Um atrativo desse modelo é que o problema da coinci-
dência cósmica é resolvido, pelo menos fenomenologicamente. Exemplos
desse tipo de fluido é o gás de Chaplygin (quartessência) [47].
Todas as tentativas expostas até agora para descrever a aceleração
do universo estão fundamentadas na TRG, e nota-se que a inserção de flui-
dos exóticos, como alternativa para explicar essa aceleração, faz a questão
apenas mudar de foco, ou seja, os problemas tornam-se recorrentes, pois se
continua não sabendo a natureza desses fluidos.
Conforme se percebe, a energia escura parece ser mais uma proposta
ad hoc que a TRG utiliza para descrever a expansão acelerada. No entanto,
existe um caminho alternativo para a resolução desse dilema. É possível
analisar, por exemplo, a aceleração observada não como um fluido exó-
tico que permeia todo o universo, mas sim como um primeiro sinal de
quebra, no regime do infravermelho, da interação gravitacional da forma
como a entendemos [48]. Desse ponto de vista, somos tentados a modifi-
car as equações de Einstein-Friedmann afim de verificar a possibilidade de
Capítulo 1. Teorias Extendidas de Gravidade 12
ajustar os dados astrofísicos com os modelos contendo somente a matéria
padrão sem componentes estranhos. Como exemplos desses modelos tem-
se a proposta da expansão Cardassian [49], a própria teoria de Brans-Dicke
[21], teorias de branas, sendo a mais conhecida a chamada gravidade DGP
(Dvali-Gabadadze-Porrati) [50], teorias f(T) e suas extensões ou gravidade
tele-paralela [51, 52], teorias f(G) ou teorias de Gauss-Bonnet [53], teorias
de Weyll [8], e as teorias tensoriais-vetorial-escalares (TeVeS) [54].
Além das alternativas citadas e propostas na literatura para a re-
solução dessa característica atual do universo, existem as Teorias f(R) de
gravidade, que pelos motivos já expostos, tem sido bastante utilizada como
alternativa à TRG para a descrição dinâmica e cinemática do Universo, sem
remeter à qualquer tipo fluido seja ele padrão ou não.
Dito tudo isso, nesta Tese vamos nos concentrar, a partir de agora,
nas teorias f(R) de gravidade, tanto no formalismo métrico quanto na for-
mulação de Palatini, as quais têm recebido considerável atenção nos últi-
mos anos no tocante à Física de altas energias, Cosmologia e Astrofísica.
CAPÍTULO 2
TEORIAS F (R) DE GRAVIDADE
2.1 Introdução
Recentemente, a descoberta da expansão acelerada do Universo le-
vou alguns físicos a rever a TRG, conforme explanamos anteriormente. A
forma mais simples e promissora de alterar a TRG, é substituir o escalar de
Ricci R, na ação de Einstein-Hilbert, por uma função não linear f(R) (para
bons artigos de revisão sobre Teorias f(R) veja [55, 56, 57, 58]).
Nas teorias f(R) de gravidade, é possível interpretar que uma dada
distribuição de matéria/energia provoca uma deformação do espaço-tempo
diferente da que seria provocada pela TRG. Dessa forma, podemos obter
equações de movimento mais gerais que as de costume e, posteriormente, é
possível vinculá-las a partir de dados observacionais de tal forma a ajustar
ao processo de expansão acelerada do Universo sem a necessidade de com-
ponentes exóticos que a TRG necessita, apenas utilizando uma deformação
geométrica diferente da proposta pela TRG.
No estudo de teorias f(R) de gravidade, duas abordagens variaci-
13
Capítulo 2. Teorias f(R) de Gravidade 14
onais podem ser seguidas, a saber, o formalismo métrico e o formalismo
de Palatini. Na abordagem métrica, assume-se que as conexões são as de
Levi-Civita e a variação da ação é feita com respeito à métrica, enquanto no
formalismo de Palatini a métrica e as conexões são tratadas como campos
independentes e a variação da ação é feita com relação a ambos os campos.
É interessante notar que na TRG tal particularidade é desnecessária, pois
deixando os campos (conexões e métrica) livres ou não, o resultado será o
mesmo! Assim vemos que a relação guardada entre as conexões e a métrica
será de fundamental importância no estudo dessas teorias.
É importante salientar que à análise da TRG são impostas algumas
características consideradas gerais e que é importante também destacar: (1)
O Princípio da Relatividade, (2) O Princípio da Equivalência, (3) O Princí-
pio da Covariância Geral e (4) O Princípio da Causalidade. Essas peculi-
aridades requerem que a estrutura do espaço-tempo seja determinada so-
mente por um ou ambos os campos, isto é, a métrica Lorentzinana gµν e a
conexão linear Γαµν assumida ser sem torção, por simplicidade. A métrica
gµν fixa a estrutura causal do espaço-tempo (os cones de luz) bem como
as relações de medidas de relógios e comprimentos de réguas. Por ou-
tro lado, as conexões Γαµν determinam as leis de queda livre, as trajetórias
espaço-tempo quadridimensionais seguidas por observadores localmente
inerciais. Estes, é claro, devem satisfazer um número de relações compatí-
veis incluindo a necessidade de que fótons sigam geodésicas nulas de Γαµν ,
tal que Γαµν e gµν podem , a priori ser independentes, mas vinculadas a poste-
riori pela Física. Esse vínculo físico, entretanto, não impõe necessariamente
que Γαµν sejam as conexões de Levi-Civita da métrica gµν [59].
Capítulo 2. Teorias f(R) de Gravidade 15
2.2 Teorias f (R) de Gravidade no Formalismo Métrico
Para o formalismo métrico das teorias f(R) de gravidade, as cone-
xões Γαµν estão vinculadas à métrica gµν e são as conexões de Levi-Civita
dessa métrica dadas pela eq.(1.6). Por causa disso, para obtermos as equa-
ções de campo nessa abordagem, é suficiente fazer a variação da ação gra-
vitacional e da matéria somente com respeito à métrica gµν , já que esta cons-
titui o único campo independente desse formalismo.
2.2.1 Equações de Campo no Formalismo Métrico de Gravidade f(R)
Na ação de Einstein-Hilbert eq. (1.1), vamos substituir o escalar de
Ricci R por uma função mais geral deste, isto é, uma f(R), e acrescentamos
a densidade de Lagrangeana da matéria LM.Temos então
S =
1
2κ2
∫ √−gd4x [f(R) + LM] . (2.1)
Usando o princípio variacional sobre a ação (2.1) (observe que esta-
mos supondo que a variação é feita, exclusivamente, com respeito a mé-
trica, único campo independente) de tal forma que,
δS =
1
2κ2
δ
∫
d4x
[√−gf(R) +√−gLM] = 0, (2.2)
e assim, desenvolvendo, obtemos (Veja apêndice A):
f ′Rµν − f
2
gµν − (∇ν∇µ − gµν)f ′ = κ2Tµν, (2.3)
Capítulo 2. Teorias f(R) de Gravidade 16
onde  = gασ∇α∇σ e Tµν ≡ − 2√−g
δ(
√−gLM)
δgµν
.
O primeiro detalhe perceptível na eq.(2.3), é que se f(R) = R, re-
cuperamos o resultado contido na TRG. Além disso, ao se fazer mais uma
leitura das equações (2.3) e (1.4), percebemos que as equações de campo do
formalismo métrico são de 4a ordem na métrica gµν . Isso requer para a re-
solução dessas equações uma quantidade de condições inicias mais nume-
rosa que a proposta pela TRG, que apresenta equações de 2a ordem nessa
métrica. Além disso o traço da eq.(2.3), que fornece um vínculo importante
para a resolução das equações de campo, é bastante diferente daquele apre-
sentado pela TRG. Vejamos o que fornece o traço da eq.(2.3):
3f ′ + f ′R− 2f = κ2T, (2.4)
onde T é o traço do tensor energia-momento.
Observe que, enquanto a eq.(1.4) fornece uma equação algébrica
para o traço, ou seja, R = −κ2T , a eq.(2.4) leva a uma equação diferen-
cial para R, o que naturalmente é mais complicado.
Isolando Rµν na eq.(2.3) e subtraindo de ambos os lados o termo
R
2
gµν , obteremos
Gµν = Rµν − R
2
gµν =
κ2Tµν
f ′
+
1
f ′
[
∇ν∇µf ′ − gµνf ′ + gµν
(
f − f ′R
2
)]
,
(2.5)
que é uma forma, muito usada na literatura científica, de apresentar as
Capítulo 2. Teorias f(R) de Gravidade 17
equações de movimento (2.3) usando o tensor de Einstein Gµν .
2.2.2 Conservação Covariante do Tensor Energia-Momento no Forma-
lismo Métrico da Gravidade f(R).
Obtidas as equações de movimento no formalismo métrico de gravi-
dade f(R), vamos agora tomar a divergência covariante do lado esquerdo
da eq.(2.3) para verificar se essa divergência se anula, garantindo, assim, as
leis de conservação do tensor energia-momento Tµν .
Vamos escrever a eq.(2.3) na forma
Gµν = κ2Tµν (2.6)
onde Gµν ≡ f ′Rµν − f
2
gµν −Hµνf ′ e Hµν ≡ ∇µ∇ν − gµν.
Tomando a divergência de Gµν , temos
∇µGµν = Rµν∇µf ′ + f ′∇µRµν − f
′
2
gµν∇µR−∇µHµνf ′, (2.7)
onde usamos a condição de metricidade ∇αgµν = 0. Podemos reescrever a
equação acima como
∇µGµν = Rµν∇µf ′ −∇µHµνf ′ + f ′∇µ
(
Rµν − R
2
gµν
)
. (2.8)
Das identidades de Bianchi obtemos ∇µ
(
Rµν − R
2
gµν
)
= 0 e pode-
se mostrar (veja logo em seguida) que ∇µHµνf ′ = Rµν∇µf ′. Portanto obte-
mos que
Capítulo 2. Teorias f(R) de Gravidade 18
∇µGµν = 0, (2.9)
o que é coerente com a conservação do tensor energia-momento.
Sobre a divergência do operador Hµν , podemos escrevê-la como
∇µHµνf ′ = ∇µ∇µ∇νf ′ −∇νf ′, (2.10)
= ∇νf ′ −∇νf ′
.
Além disso, sabemos que o tensor de curvatura de Riemann pode
ser escrito em termos do comutador da derivada covariante:
[∇µ,∇ν]V λ = RλσµνV σ (2.11)
onde V σ é um quadrivetor qualquer. Fazendo V σ = ∇σf ′, temos, fazendo
a contração µ = λ,
∇µ∇ν∇µf ′ −∇ν∇µ∇µf ′ = Rσν∇σf ′, (2.12)
e, devido a condição de metricidade, podemos escrever essa última relação
como
∇µ∇ν∇µf ′ −∇νf ′ = Rµν∇µf ′. (2.13)
Porém ∇ν∇µf ′ = ∇µ∇νf ′ e assim temos finalmente
∇νf ′ −∇νf ′ = Rµν∇µf ′, (2.14)
Capítulo 2. Teorias f(R) de Gravidade 19
o que mostra que∇µHµνf ′ = Rµν∇µf ′.
Vemos, então, que a divergência do lado esquerdo das equações de
campo no formalismo métrico é nula e as leis de conservação da matéria
continuam sem alteração nesse tipo de gravidade, ou seja,
∇µ
(
f ′Rµν − f
2
gµν −Hµνf ′
)
= ∇µTµν = 0 (2.15)
2.3 Teorias f (R) de Gravidade na Formulação de Palatini
Na abordagem de Palatini para a descrição geométrica da gravita-
ção, utilizamos a independência que pode existir entre as conexões, que
definem o transporte paralelo de vetores, e a métrica que caracteriza a dis-
tância entre pontos do espaço-tempo. Dessa maneira o procedimento vari-
acional permite extremizar a ação com relação a ambos os campos. Explo-
rando isso, encontramos equações mais gerais que aquelas apresentadas
por Einstein-Hilbert e diferente das que foram demonstradas pelo forma-
lismo métrico de gravidade f(R). Uma das vantagens da formulação de
Palatini é que as equações de campo obtidas são de segunda ordem na
métrica, enquanto que no formalismo métrico surgem equações de quarta
ordem na métrica gµν . Outra questão importante diz respeito a modelos
com termos do tipo
1
R
que apresentam problemas quando usado o for-
malismo métrico em detrimento do formalismo de Palatini no regime de
campo fraco [60]. Uma instabilidade nas equações que governam a dinâ-
mica do escalar de curvatura R foi descoberta por Dolgov e Kawasaki [61]
na presença de matéria para o modelo específico f(R) = R − µ
4
R
. Esse
problema não é apenas uma característica dessa representação, mas ocorre
em uma classe de modelos mais gerais [62]. Entretanto, tal instabilidade
Capítulo 2. Teorias f(R) de Gravidade 20
não aparece no formalismo de Palatini [63], tornando mais relevante o seu
estudo. De modo mais abrangente percebe-se que a abordagem de Pala-
tini deve ser seriamente considerada não apenas para explorar uma nova
extensão fenomenológica da TRG visando a uma explicação das estruturas
em larga escala no universo, mas também como uma maneira em potencial
para fazer contato com a fenomenologia da gravidade quântica.
2.3.1 Equações de Campo na Formulação de Palatini de Gravidade f(R)
Seja a ação dada por
S =
1
2κ2
∫
d4x[LG + LM], (2.16)
onde, LG = √−gf(R˜), R˜ = gµνR˜µν , onde R˜µν é escrito em termos das cone-
xões que são ainda desconhecidas; LM representa a densidade Lagrange-
ana da matéria.
Destacamos aqui a maneira pela qual grande parte da literatura ci-
entífica vigente define o R˜, ou seja, em termo do tensor métrico gµν e do
novo tensor de curvatura R˜µν (por exemplo veja [2, 55] e a maior parte das
referências aí contidas). Entretanto, como veremos, na abordagem de Pala-
tini surge outra métrica hµν e posteriormente faremos uma discussão sobre
a utilização da métrica antiga ou da nova métrica no tocante a definição de
R˜ [64, 65]. Por enquanto vamos adotar a definição mais praticada.
Dito isso e fazendo a variação da ação (2.16) com respeito à métrica
tem-se
Capítulo 2. Teorias f(R) de Gravidade 21
δS =
1
2κ2
∫
d4x[δLG + δLM]. (2.17)
Fazendo a extremização
δS
δgµν
= 0, obtemos (Veja apêndice B)
f ′R˜(µν) − f
2
gµν = κ
2Tµν, (2.18)
que proporciona a generalização das equações de campo de Einstein-Hilbert
para esta formulação de gravidade.
Já a variação da ação (2.16) com relação as conexões nos dá
−∇˜α(
√−gf ′gµν) + ∇˜σ(
√−gf ′gσ(µ)δν)α = 0, (2.19)
que é a equação responsável pela dinâmica dos campos Γαµν , cuja solução
deve fornecer esses campos. Observe que, para as equações (2.18) e (2.19),
se f(R˜) = R, que é a Lagrangeana de Einstein-Hilbert, recuperamos as
equações de campo da Relatividade Geral assim como a condição de me-
tricidade, que na TRG é imposta ad hoc. Contraindo os índices α e ν da
equação (2.19) obtemos
−∇˜α(
√−gf ′gµα) + 1
2
[∇˜σ(
√−gf ′gσµ)δαα + ∇˜σ(
√−gf ′gσα)δµα] = 0, (2.20)
ou, mais precisamente,
3
2
∇˜σ(√−gf ′gσµ) = 0. Usando esse resultado a equa-
ção (2.19) se reduz à
Capítulo 2. Teorias f(R) de Gravidade 22
∇˜α(
√−gf ′gµν) = 0. (2.21)
Alternativamente, podemos definir uma métrica hµν , tal que,
hµν = f
′gµν. (2.22)
Observe que definindo h = det(hµν) e g = det(gµν), então g =
h
(f ′)4
. A
inversa de hµν é hµν =
gµν
f ′
onde gµν é a inversa de gµν . Substituindo esses
resultados na eq.(2.21), obtemos
∇˜α(
√−gf ′gµν) = ∇˜α
(√−hf ′
(f ′)2
f ′hµν
)
= 0, (2.23)
ou seja
∇˜α(
√−hhµν) = 0. (2.24)
É fácil ver que a eq.(2.24) implica que as conexões Γαµν procuradas
são as de Levi-Civita para a métrica hµν , isto é,
Γαµν =
1
2
hασ(∂µhσν + ∂νhµσ − ∂σhµν). (2.25)
Substituindo hµν = f ′gµν na eq.(2.25), podemos escrever essas cone-
xões como
Γαµν =
{
α
µν
}
+
1
2f ′
(δαµ∂νf
′ + δαν ∂µf
′ − gµνgαβ∂βf ′), (2.26)
Capítulo 2. Teorias f(R) de Gravidade 23
onde
{
α
µν
}
=
1
2
gασ(∂µgσν + ∂νgµσ − ∂σgµν) são as conexões de Levi-Civita
para a métrica gµν .
Dessa maneira, é importante frisar que as eqçs. (2.18), (2.26) são as
equações que “completam” a solução no formalismo de Palatini. Em um
primeiro momento, poderia parecer que a eq.(2.26) não definiria realmente
as conexões, já que f ′ contém derivadas das conexões. Entretanto se con-
trairmos a equação de campo (2.18), obtemos
f ′R˜− 2f = κ2T. (2.27)
A eq.(2.27) pode ser resolvida para R˜ = R˜(T ), como pretenderíamos
aqui. Então, os termos da eq.(2.26) envolvendo f ′ podem ser expressos
como derivadas de T . Uma vez que T contém apenas a métrica e não suas
derivadas, a conexão envolverá somente as primeiras derivadas da mé-
trica, de modo que a equação de campo será de segunda ordem na métrica
gµν .
Outro ponto a destacar é que da eq.(2.27) percebemos que objetos
geométricos, tais como o escalar R, são algebricamente relacionados com
as fontes de matéria de uma maneira que depende da forma da Lagrange-
ana f(R). Na TRG, esta relação é linear, R = −κ2T , mas em outras teorias
isso pode não ser linear, R = R(T ). Na verdade, essa relação pode for-
necer vínculos sobre a geometria, que obviamente pode impor condições
sobre a dinâmica de campos de matéria. Esta interpretação é naturalmente
extendida para teorias de Palatini mais gerais que não admitem uma repre-
sentação escalar tensorial [66, 67].
Portanto, uma observação é que na versão de Palatini de teorias
Capítulo 2. Teorias f(R) de Gravidade 24
f(R) de gravidade, diferentemente do formalismo métrico, a conexão in-
dependente não introduz novos graus de liberdade dinâmicos ao sistema.
Para reescrever as eqçs.(2.18) na forma que envolva o tensor de Eins-
tein, vamos usar o tensor de Ricci R˜µν transformado para as novas cone-
xões, isto é, (veja apêndice D)
R˜µν = Rµν +
3∇µf ′∇νf ′
2f ′2
− 1
f ′
[∇µ∇ν + 1
2
gµν]f ′. (2.28)
onde R˜µν é o tensor de Ricci para as conexões Γαµν e as derivadas covariantes
∇µ devem agora ser efetuadas com a conexão métrica de Levi-Civita. Ao
calcular o traço desta equação obtemos o escalar de Ricci generalizado, isto
é
R˜ = R +
3(∇µf ′)(∇µf ′)
2f ′2
− 3f
′
f ′
. (2.29)
Entretanto percebemos uma mistura, recorrente na literatura, nas
definições de R˜ e R. Note que R˜ = gµνR˜µν enquanto que R = gµνRµν . De
fato, a construção de R˜ deveria, em princípio, fazer uso da nova métrica hµν
da mesma forma que R utiliza-se da antiga métrica gµν , já que no forma-
lismo de Palatini duas métricas estão presentes. Essas caracterizações do
escalar de Ricci, embora elementar, tem consequências bastante significati-
vas quando o representamos na forma generalizada utilizando hµν ou gµν .
Para deixar claro esse fato vamos em breve verificar, por exemplo, quais as
consequências no que se refere a divergência das equações de movimento,
quando utilizamos uma ou outra construção.
Da definição do tensor de Einstein, podemos obter de maneira equi-
valente as equações de Einstein generalizadas (veja apêndice D)
Capítulo 2. Teorias f(R) de Gravidade 25
Gµν =
κ2
f ′
Tµν−gµν
2
(R˜− f
f ′
)+
1
f ′
(∇µ∇ν−gµν)f ′− 3
2f ′2
[(∇µf ′)(∇νf ′)−gµν
2
(∇αf ′)2].
(2.30)
Note que Gµν é o tensor de Einstein calculado com a métrica gµν .
2.3.2 Conservação Covariante do Tensor Energia-Momento na Formu-
lação de Palatini da Gravidade f(R).
A conservação covariante das equações de movimento na formula-
ção de Palatini é um tema complexo e tem sido motivo de intensos debates
nos últimos anos [68, 69, 70, 71, 72]. Isso se deve ao fato de que na formula-
ção de Palatini surgem duas métricas, as quais estão relacionadas por uma
transformação conforme, ou seja, nas equações de movimento
f ′R˜(µν) − f
2
gµν = κ
2Tµν, (2.31)
R˜µν é descrito em termos das conexões Γαµν e suas derivadas, as quais são
descritas pela métrica hµν = g˜µν e suas derivadas, enquanto o tensor Tµν
envolve a métrica gµν . Conforme vimos anteriormente, as duas métricas
estão relacionadas por g˜µν = f ′gµν .
No nosso estudo da conservação covariante, seguiremos o trata-
mento mais aceito atualmente na literatura científica, mas chamamos a
atenção, sempre que necessário para alguns problemas existentes. Tomando
a divergência covariante (na métrica gµν) da equação (2.31), temos
κ2∇µTµν = ∇µf ′R˜µν + f ′∇µR˜µν − f
′
2
gµν∇µR˜. (2.32)
Capítulo 2. Teorias f(R) de Gravidade 26
Pode-se mostrar (veja apêndice E) que
∇µf ′R˜µν = −f ′∇µG˜µν. (2.33)
Ficamos, então, com
κ2∇µTµν = −f ′
[
∇µG˜µν −∇µ
(
R˜µν − R˜
2
gµν
)]
. (2.34)
Vê-se, então, que se definirmos
G˜µν ≡ R˜µν − R˜
2
gµν, (2.35)
teremos a conservação covariante das equações (2.31), isto é, ∇µTµν = 0 na
formulação de Palatini. Entretanto, a definição da eq.(2.35) não é razoável
pois, se o tensor G˜µν é para ser construído inteiramente com as conexões
Γαµν dadas em termos da métrica g˜µν , o mais razoável seria definir
G˜µν ≡ R˜µν − R˜
2
g˜µν. (2.36)
Além disso, existe a definição do escalar de Ricci, R˜ = gµνR˜µν , con-
forme mencionamos antes, o que também gera controvérsias. Mais adiante
voltaremos a esse assunto.
CAPÍTULO 3
CURVAS TIPO-TEMPO FECHADAS - CTCS
3.1 Introdução
Nas duas versões apresentadas da teoria de gravidade f(R), a es-
trutura causal do espaço-tempo em quatro dimensões tem, localmente, a
mesma natureza qualitativa que aquela do espaço-tempo plano da Relati-
vidade Especial - localmente a causalidade é mantida. A análise não-local,
entretanto, é deixada em aberto e a violação da causalidade pode ocorrer.
No entanto, se a gravidade é governada por uma teoria f(R) ao invés da
Relatividade Geral, vários resultados, tanto de natureza teórica quanto ob-
servacional devem ser reexaminados na estrutura de gravidade f(R). Uma
questão em aberto, a qual examinamos aqui, é se essas teorias permitem so-
luções nas quais a causalidade é violada. Na Relatividade Geral, sabemos
que existem soluções para as equações de campo que têm anomalias cau-
sais na forma de curvas do tipo-tempo fechadas (Closed Timelike Curves) -
CTC’s. O famoso modelo de Kurt Gödel em 1949 [22] é o mais bem conhe-
cido exemplo de tais soluções, tornando evidente que a Relatividade Geral
27
Capítulo 3. Curvas Tipo-Tempo Fechadas - CTCs 28
não exclui a existência de soluções com linhas de universo do tipo-tempo
fechadas, apesar do seu caráter lorentziano que leva à validade local do
princípio da causalidade. Esses resultados também foram denominadas
de soluções rotatórias de Gödel. A motivação de Gödel em achar soluções
rotatórias das equações da Relatividade Geral está fortemente calcada na
sua tentativa de mostrar que a mesma admite um conceito de tempo ligado
à filosofia idealista, mais exatamente ao conceito kantiano de tempo [73].
A idéia de Gödel é assim negar a existência de um tempo real (no sentido
de objetivamente definido independentemente do observador). Para Gö-
del, a Teoria da Relatividade assevera a visão kantiana na medida em que
ela nega a existência de um tempo objetivo newtoniano, pois todos conhe-
cemos o resultado da relatividade da simultaneidade. No entanto, para
ele o resultado da relatividade da simultaneidade não é um argumento
forte para a negação da objetividade do tempo, pois quando relativisamos
o tempo,o fazemos em relação a observadores específicos, assumindo que
estes se movem com velocidades relativas v (para mais detalhes veja [74]).
Tecnicamente, o modelo de Gödel é uma solução das equações de
Einstein com constante cosmológica Λ mais uma matéria de densidade ρ,
todavia também pode ser interpretado como uma solução de um fluido do
tipo perfeito (com pressão p = ρ) sem constante cosmológica. Neste con-
texto, foi mostrado por Bampi e Zordan [75] (para generalização veja [76])
que toda solução do tipo Gödel das equações de Einstein com tensor ener-
gia momento de um fluido do tipo perfeito é necessariamente isométrica
ao espaço-tempo de Gödel. Para um melhor entendimento dessa solução
perceba que todos os modelos cosmológicos que descrevem tanto a geome-
tria do espaço-tempo, quanto a matéria responsável pela modificação desta
estrutura, constituem configurações idealizadas. O projeto de Gödel para
a construção de sua geometria não difere dos demais, que em geral são
Capítulo 3. Curvas Tipo-Tempo Fechadas - CTCs 29
detentores de alguma forma de simetria, para facilitar os cálculos, e gover-
nadas por algum fluido do tipo perfeito, ideal e livre de qualquer forma de
ação externa. Além disso, é acrescentado a essas geometrias a energia do
vácuo que representa todos os campos de matéria existentes em seus esta-
dos fundamentais. Assim, a geometria de Gödel, que se estabelece a partir
de uma teoria de gravitação, possui como fontes principais os seguintes
componentes:
• um fluido do tipo perfeito, sem nenhuma interação entre suas partes;
• a energia do vácuo, representada por Λ.
Apesar de não encontrarmos nada de novo nesta geometria, ao ana-
lisarmos as características cinemáticas dos observadores que se locomovem
com a matéria, observamos que o fluido cósmico que gera a geometria de
Gödel possui uma rotação intrínseca, ou seja, existe uma vorticidade local.
Isso tem como consequência a existência de CTC. De forma geral, a linha de
universo de um observador é caracterizada por uma curva do tipo-tempo
aberta e contínua no espaço-tempo, de modo que encontrar curvas do tipo-
tempo fechadas - CTC’s - se evidencia como algo incomum. A existência
dessa CTC representa uma violação explícita das idéias que caracterizam
o tempo e consequentemente a relação causa e efeito. No entanto, se mos-
trava em consonância com a motivação de Gödel. De uma perspectiva
minkowskiana, em curvas do tipo-tempo, se aproximar do futuro significa
se afastar do passado. Porém, na geometria de Gödel, embora todos os cor-
pos materiais viagem sempre dentro do limite do cone de luz, estes podem
passar infinitas vezes por um mesmo ponto do espaço-tempo permitindo
aos observadores voltarem ao passado [77]!
Uma vez que estamos tratando de teorias alternativas de gravita-
Capítulo 3. Curvas Tipo-Tempo Fechadas - CTCs 30
ção, uma pergunta é pertinente: será que em outra formulação da gravi-
dade é possível encontrar CTC’s e consequentemente estas gerarem situ-
ações acausais? Se positivo, em que condições podemos evitar a violação
da causalidade, se é que podemos? Com a nova proposta de generaliza-
ção das equações de campo de Einstein verificaremos sob que condições a
noção de causalidade é recuperada quando utilizamos as teorias f(R) de
gravidade no formalismo de Palatini posto que em qualquer teoria física o
conceito de causalidade é de fundamental importância [65].
3.2 CTC em gravidade f (R) na Formulação de Palatini.1
A métrica tipo-Gödel do espaço-tempo que focamos atenção é dada
em coordenadas cilíndricas [coordenadas (r, φ, z)] por [78]
ds2 = [dt+H(r)dφ]2 −D2(r)dφ2 − dr2 − dz2, (3.1)
onde
H(r) =
4ω
m2
sinh2(
mr
2
), D(r) =
1
m
sinh(mr). (3.2)
com ω e m sendo parâmetros constantes tais que ω2 > 0 e −∞ ≤ m2 ≤
+∞.2 Todas as métricas tipo-Gödel são caracterizadas por dois parâmetros
m e ω: pares idênticos de (m2, ω2) descrevem espaços-tempos isométricos
1Nesta secção, e na seguinte, usaremos a assinatura da métrica como sendo (+ - - -), pois foi a métrica
utilizada na construção do artigo autoral.
2Para m2 = −µ2 as funções métricas H(r) e D(r) tornam-se funções circulares, isto é, H(r) =
(4ω/µ2) sin2(µr/2) e D(r) = µ−1 sinµr, enquanto que no caso limite m = 0 elas tornam-se H(r) = ωr2
e D(r) = r.
Capítulo 3. Curvas Tipo-Tempo Fechadas - CTCs 31
[79, 80]. Soluções de Gödel são um caso particular de m2 > 0 das classes de
espaço-tempo na qual m2 = 2ω2.
O elemento de linha da métrica (3.1) pode também ser escrito como
ds2 = dt2 + 2H(r)dtdφ− dr2 −G(r)dφ2 − dz2 (3.3)
onde G(r) = D2 −H2. Dessa forma fica claro a existência de CTC do tipo-
Gödel, isto é, círculos definidos por t, z, r = const dependente do com-
portamento da função G(r). Se G(r) < 0 para um certo intervalo de r
(r1 < r < r2, por exemplo), círculos de Gödel definidos por t, z, r = const
são CTC’s. É fácil mostrar que as características causais de espaços-tempos
do tipo-Gödel dependem dos dois parâmetros independentes m e ω. Para
m = 0 existe um raio crítico, definido por ωrc = 13, tal que para todo
r > rc existem círculos de Gödel não-causais. Para m2 = −µ2 < 0, existe
uma sequência infinita alternando entre regiões causais e não-causais para
t, z, r = const com e sem círculos de Gödel. Para 0 < m2 < 4ω2, círculos de
Gödel não-causais ocorrem para r > rc4 tal que
sinh2
(mrc
2
)
=
[
4ω2
m2
− 1
]−1
. (3.4)
Quando m2 = 4ω2, o raio crítico rc → ∞. Então, para m2 ≥ 4ω2 não
existem CTC, e, portanto, a quebra de causalidade do tipo-Gödel é evitada.
Usando as equações (3.1) e (3.2) é possível mostrar que o escalar de
Ricci para a métrica tipo-Gödel tem um valor constanteR = 2(m2−ω2)5. Os
3Basta fazermos o limite das funções H(r) e D(r) quando m → 0 e igualarmos o resultado por questões
de homogeneidade do universo do tipo-Gödel.
4Por critérios de homogeneidade do universo do tipo-Gödel, a obtenção da eq.(3.4) é feita igualando as
equações de H(r) e D(r) e usando algumas relações trigonométricas das funções hiperbólicas.
5Além disso, usando condição necessária e suficiente para o critério de homogeneidade dos universos
Capítulo 3. Curvas Tipo-Tempo Fechadas - CTCs 32
cálculos podem ser simplificados se fizermos a seguinte escolha de base:
θ0 = dt+H(r)dφ, θ1 = dr, (3.5)
θ2 = D(r)dφ, θ3 = dz, (3.6)
relativamente a qual o elemento de linha (3.1) tem a forma
ds2 = ηABθ
AθB = (θ0)2 − (θ1)2 − (θ2)2 − (θ3)2. (3.7)
Nesta base, as equações de campo generalizadas (2.30) são escritas
como
f ′GAB = κ2TAB − 1
2
(κ2T + f)ηAB, (3.8)
onde levamos em conta que para universos tipo-Gödel o escalar de Ricci
tem valor constante.
Um cálculo direto das componentes diferentes de zero do tensor de
Einstein fornece
G00 = 3ω
2 −m2, G11 = G22 = ω2, G33 = m2 − ω2. (3.9)
Tendo estabelecido os ingredientes base do problema da causali-
dade em gravidade f(R) de Palatini, examinaremos a seguir se estas teorias
tipo-Gödel, teremos:
H ′
D
= cte. = −2ω e D
′′
D
= cte. = m2. Nesse ponto, o escalar de curvatura se reduz à:
R = 2
(
D′′
D
)
− 1
2
(
H ′
D
)2
, implicando em R = 2(m2 − ω2).
Capítulo 3. Curvas Tipo-Tempo Fechadas - CTCs 33
permitem soluções causais ou não causais.
3.2.1 Causalidade em um Universo Tipo-Gödel.
Um importante elemento relacionado ao problema da causalidade
em universos tipo-Gödel é a fonte de matéria. Nesta seção examinaremos
a questão de como fontes de matéria poderiam gerar soluções causais do
tipo-Gödel em gravidade f(R) de Palatini. Consideraremos três fontes dis-
tintas de matéria, a saber, um fluido do tipo perfeito, um campo escalar e a
combinação de um fluido do tipo perfeito com um campo escalar.
3.2.2 Fluido do tipo Perfeito.
Primeiramente consideraremos como fonte de matéria um fluido do
tipo perfeito de densidade ρ e pressão p cujo tensor energia-momento (es-
crito na base de tetradas) é
T
(M)
AB = (ρ+ p)uAuB − pηAB. (3.10)
Substituindo em (3.8) e usando (3.9) as equações de campo reduzem-
se à
2(3ω2 −m2)f ′ + f = κ2(ρ+ 3p), (3.11)
2ω2f ′ − f = κ2(ρ− p), (3.12)
2(m2 − ω2)f ′ − f = κ2(ρ− p). (3.13)
Combinando as equações (3.12) e (3.13), obtemos a expressão (m2 −
Capítulo 3. Curvas Tipo-Tempo Fechadas - CTCs 34
2ω2)f ′ = 0. Geralmente se exige das teorias f(R) que f ′ 6= 0 e positivo.
Essa é a condição para manter inalterado o sinal da constante de gravitação
de Newton efetiva (veja por exemplo [81, 82, 83]). Portanto, devemos ter
m2 = 2ω2 o que define a métrica de Gödel. Então as equações de campo
são reescritas como
m2 = 2ω2, (3.14)
κ2p =
f
2
, (3.15)
κ2ρ = m2f ′ − f
2
, (3.16)
onde f e f ′ são avaliados em R = m2. Este resultado pode ser visto como
uma extensão dos resultados da Relatividade Geral de Bampi e Zordan [75]
para o contexto da gravidade f(R) no formalismo de Palatini, no sentido
de que, para ρ e p arbitrários (com p 6= −ρ), toda solução de fluido perfeito
da gravidade f(R) de Palatini, que satisfaz a condição f ′ > 0, é necessaria-
mente isométrico à geometria de Gödel.
A respeito das característica causais dessas soluções, primeiro no-
taremos que, desde que sejam isométricas à geometria de Gödel, elas exi-
bem CTC’s, isto é, círculos não-causais na qual o raio crítico rc é dado pela
equação (3.4). Entretanto, levando-se em conta as equações (3.15) e (3.16),
obtemos que, em uma teoria de gravidade f(R), rc é dado por
rc = 2 sinh
−1(1)
√
2f ′
2κ2ρ+ f
, (3.17)
mostrando-se evidente que o raio crítico, acima do qual existe um círculo
Capítulo 3. Curvas Tipo-Tempo Fechadas - CTCs 35
não-causal, depende tanto da teoria de gravidade como do conteúdo ma-
terial.
Investigando a causalidade para uma específica teoria de gravidade
f(R) na formulação de Palatini, notamos que, na Relatividade Geral, as
equações (3.15) e (3.16) reduzem-se à κ2p = κ2ρ = m2/2, implicando que
tanto a densidade quanto a pressão serão positivas. Entretanto, para uma
teoria descrita por uma dada f(R) e um valor fixo dem2, as equações (3.15)
e (3.16) definem a pressão e a densidade de energia, não necessariamente
positivas. Desde que para um fluido do tipo perfeito essas quantidades es-
tejam relacionadas, gostaríamos que elas obedecessem à condição de ener-
gia fraca (WEC), ou seja, impomos que
m2f ′(m2)− f(m
2)
2
≥ 0. (3.18)
Uma vez que todas as quantidades da desigualdade (3.18) são ava-
liadas em R = m2, elas podem, naturalmente, limitar, para uma dada f(R),
os valores possíveis de m2. Esse limite se revela dentro do limite do raio
crítico, dado por
rc =
2
m
sinh−1(1), (3.19)
e também dentro do limite da “rotação” ω.
Para exemplificar, investigaremos a existência de CTC no modelo
f(R) = R − β
Rn
sugerido por Carrol e et al [60] como exemplo bastante
eficiente para explicar as várias fazes do universo nesta formulação de gra-
vidade.
Na aproximação de Palatini, a análise da evolução cosmológica pelo
Capítulo 3. Curvas Tipo-Tempo Fechadas - CTCs 36
estudo dos pontos fixos e estabilidade contra pertubações, mostraram que,
com n > −1 e β > 0 essas teorias admitem os três cenários de fase in-
flacionária do modelo cosmológico padrão [84]. De fato, a compatibili-
dade com os dados observacionais, tais como os de supernovas do tipo
Ia (SNeIa), os picos da oscilação acústica de bárions (BAO) bem como os
resultados da radiação cósmica de fundo (CMBR) examinados nas referên-
cias [84, 85, 86, 87, 88], vinculam os parâmetros n e β para esta teoria no
intervalo n ∈ [−0.3, 0.3] e β ∈ [1.3, 7.1] em um nível de confiança de 99.7%.
Impondo a condição de energia fraca (WEC), equação (3.18), encon-
tramos que os valores de m estão vinculados pela desigualdade
m2n+2 + (2n+ 1)β ≥ 0. (3.20)
Levando-se em conta a análise de estabilidade, a qual exige β > 0 e
n > −1 [84], raízes reais dem para a equação (3.20) podem ocorrer somente
no intervalo −1 < n < −0.5. No entanto, como vimos acima, n = −0.3 é o
limite inferior encontrado para este parâmetro. Então, concluímos que não
existe m real que satisfaça a equação (3.19), isto é, de acordo com os dados
observacionais e análise de estabilidade, a gravidade f(R) de Palatini dada
por f(R) = R− β
Rn
juntamente com um fluido do tipo perfeito como fonte
da geometria de Gödel, não pode obedecer à condição de energia positiva
(3.18). Neste sentido, estas teorias remediam a patologia causal na forma
de curvas do tipo-tempo fechadas as quais são permitidas na Relatividade
Geral.
3.2.3 Campo Escalar.
Consideremos, agora, como fonte da geometria um campo escalar
Capítulo 3. Curvas Tipo-Tempo Fechadas - CTCs 37
Φ(z) com um tensor energia-momento dado por
T
(S)
AB = Φ|AΦ|B −
1
2
ηABΦ|MΦ|NηMN , (3.21)
onde a barra vertical denota componentes da derivada covariante relativa-
mente a base local θA = e(A)α dxα [veja equação (3.5)].
É fácil mostrar que o campo escalar da forma Φ(z) = ez+const satis-
faz a equação do campo escalarΦ = ηAB∇A∇BΦ = 0 para uma amplitude
constante e de Φ(z) [78]. Então, as componente diferentes de zero do tensor
energia-momento para este campo são
T
(S)
00 = −T (S)11 = −T (S)22 = T (S)33 =
e2
2
, (3.22)
e as equações de campo (3.8) para esta fonte de matéria são
(3ω2 −m2)f ′ + f
2
= 0, (3.23)
ω2f ′ − f
2
= 0, (3.24)
(m2 − ω2)f ′ − f
2
= κ2e2. (3.25)
Combinando a equação (3.23) com a equação (3.24), obtemos a rela-
ção (4ω2−m2)f ′ = 0. Consideramos teorias f(R) que satisfazem a condição
f ′ > 0; e portanto, devemos ter m2 = 4ω2. Essas condições fazem surgir
uma classe única de soluções tipo-Gödel dada por
m2 = 4ω2, (3.26)
Capítulo 3. Curvas Tipo-Tempo Fechadas - CTCs 38
f ′ =
κ2e2
2ω2
, (3.27)
f = κ2e2, (3.28)
onde f e f ′ são avaliados em R = 3m2/2. Claramente, temos uma classe
de soluções sem violação da causalidade do tipo-Gödel (rc →∞). Observe
que para esse tipo de fonte, a teoria f(R) descrita por [60] dá a seguinte
equação para m2
m2 =
2
3
[
β
2
(n+ 3)
]1/(n+1)
, (3.29)
que é independente do valor da intensidade do campo escalar. Para o
intervalo de n ∈ [−0.3, 0.3] e o valor particular de β = 3.45, obtemos
m ∈ [1.6, 2.5], fornecendo, portanto, várias “rotações” ω, sem violação de
causalidade. Para valores diferentes de β teremos outros intervalos de m
sem violação da causalidade no universo de Gödel.
Destacamos que os resultados dessas duas últimas seções fazem
parte do artigo publicado em [89].
3.2.4 Fluido do tipo Perfeito + Campo Escalar.
Neste momento, consideraremos, para a fonte de matéria na geome-
tria de Gödel, a combinação de um tensor-energia momento dado por
TAB = T
(M)
AB + T
(S)
AB , (3.30)
Capítulo 3. Curvas Tipo-Tempo Fechadas - CTCs 39
onde T (M)AB , corresponde a um fluido do tipo perfeito expresso por (3.10) e
T
(S)
AB é dado por (3.21).
As equações de campo (3.8) para esta combinação são dadas por
κ2e2 = (m2 − 2ω2)f ′, (3.31)
κ2p =
1
2
(2ω2 −m2)f ′ + f
2
, (3.32)
κ2ρ =
1
2
(6ω2 −m2)f ′ − f
2
, (3.33)
onde f e f ′ são avaliados em R = 2(m2 − ω2).
Uma classe de soluções causais tipo-Gödel para estas equações que
satisfaz a condição f ′ > 0 é dado por
m2 = 4ω2, (3.34)
κ2ρ = −κ2p = ω2f ′ − f
2
, (3.35)
κ2e2 = 2ω2f ′, (3.36)
tal que das equações (3.4) e (3.34), claramente observamos que rc → ∞.
Portanto, para esta combinação de campos materiais podemos encontrar
soluções sem violação da causalidade do tipo-Gödel (círculos de Gödel).
Como ilustração, agora examinaremos se teorias descritas por f(R) =
R − β
Rn
admitem esses tipos de soluções causais. Utilizando a equação
(3.35) e considerando válida a WEC, facilmente obtemos que a densidade
de energia deve obedecer a seguinte desigualdade
Capítulo 3. Curvas Tipo-Tempo Fechadas - CTCs 40
Figura 3.1: Algumas soluções da equação (3.38) para β = 3.45 e diferentes intensidades do campo
escalar: x0 = 1.45 (linha pontilhada) e x0 = 3.45 (linha contínua).
(n+ 3)β − 2xn+1 ≥ 0, (3.37)
onde x = 3m2/2. Considerando que β > 0, essas equações admitem so-
luções reais se n ≥ −3. Então, de acordo com os dados observacionais,
o intervalo encontrado para n satisfaz o vínculo (3.37). Além da restrição
(3.37), os valores de n e β também satisfazem a equação
xn+1 − x0xn + nβ = 0, (3.38)
Capítulo 3. Curvas Tipo-Tempo Fechadas - CTCs 41
que resulta de (3.36) e a dada f(R). Aqui x0 = 3κ2e2 é o valor de x para
n = 0. No intervalo de n ∈ [−0.3, 0.3] determinado das observação [84, 85,
86, 87, 88], a equação (3.38) apresenta uma ou mais soluções para cada n
dependendo da intensidade do campo escalar (vinculado por x0) e o parâ-
metro β da teoria. Na figura (3.1), mostramos algumas dessas soluções para
o valor particular de β = 3.45 (melhor ajuste encontrado para β em [85]) e
duas diferentes amplitudes do campo escalar: x0 = 1.45 linha pontilhada
e x0 = 3.45 linha contínua. Como pode ser visto, para cada intensidade
do campo escalar existe uma única solução para n ≤ 0, enquanto existem
dois diferentes valores de x, ou seja, dois valores possíveis de m2 para cada
valor de n > 0. Isso significa que neste último limite obtemos causalidade
para duas diferentes “rotações” ω.
Soluções não-causais do tipo-Gödel são dadas pelo parâmetro m e
ω tal que 0 < m2 < 4ω2. A seguir examinaremos uma classe de soluções
não-causais do tipo-Gödel das equações (3.31)-(3.33) dadas por
m2 = 3ω2, (3.39)
κ2p = −ω
2
2
f ′ +
f
2
, (3.40)
κ2ρ =
3ω2
2
f ′ − f
2
, (3.41)
κ2e2 = ω2f ′, (3.42)
onde aqui f e f ′ são calculadas em R = 4ω2. Combinando as equações
(3.42) e f(R) = R − β
Rn
, encontramos que os valores de n e β devem satis-
fazer a equação
Capítulo 3. Curvas Tipo-Tempo Fechadas - CTCs 42
Figura 3.2: Algumas soluções da equação (3.43) para β = 3.45 e diferentes intensidades do campo
escalar: y0 = 1.0 (linha pontilhada) e y0 = 3.45 (linha tracejada). A linha contínua representa o
valor superior da solução da desigualdade (3.44) para β = 3.45.
yn+1 − y0yn + nβ
4n+1
= 0, (3.43)
onde definimos y = ω2 e y0 = κ2e2 é o valor de y para n = 0. No intervalo de
n ∈ [−0.3, 0.3], obtidos das observações, a equação (3.43) apresenta também
uma ou mais soluções para cada valor de n, dependente do valor de y0 e
β. Na figura (3.2), mostramos algumas dessas soluções para β = 3.45 (o
melhor ajuste encontrado por [85]), e duas distintas intensidades do campo
escalar: y0 = 1.0 (linha pontilhada) e y0 = 3.45 (linha tracejada). Como
podemos inferir dos gráficos, a equação (3.43) tem uma única solução para
Capítulo 3. Curvas Tipo-Tempo Fechadas - CTCs 43
cada n ≤ 0, enquanto que para n > 0 existem duas soluções no intervalo
considerado. No entanto, se considerarmos a positividade da densidade
de energia (WEC), essas soluções ficam restritas pela desigualdade
yn+1 − β
4n
(
1 +
3n
4
)
≤ 0, (3.44)
que resulta da primeira equação de (3.40) e a teoria dada por f(R) = R −
β
Rn
.
Na figura (3.2), as soluções ω2 que obedecem à desigualdade (3.44)
estão todas situadas abaixo da linha contínua. Vemos que as soluções da
eq.(3.43) para n ≤ 0 ainda obedecem à condição de densidade de energia
positiva do fluido do tipo perfeito para o campo escalar, porém apenas para
certas faixas de valores (por exemplo, na figura (3.2), para y0 ∈ [1.0, 3.45]).
Para n ≥ 0 temos soluções duplas apenas no intervalo y0 ∈ [1.0, 2.2]. Por-
tanto concluímos que para esta combinação de campos de matéria para a
teoria de gravidade dada por f(R) = R − β
Rn
, que obedece à condição de
energia positiva, só pode haver violação de causalidade do tipo-Gödel (cír-
culos de Gödel) em duas situações: (i) n ≤ 0 e 1.0 ≤ y0 ≤ 3.45 e (ii) n > 0 e
1.0 ≤ y0 ≤ 2.2.
Como esperado, os resultados dessas combinações de fontes de ma-
téria refletem os efeitos obtidos nas seções (3.2.2) e (3.2.3), isto é, com ape-
nas um fluido do tipo perfeito como conteúdo material, no contexto de te-
orias f(R) de gravidade do tipo f(R) = R− β
Rn
na formulação de Palatini,
verificamos que a solução encontrada por Gödel na Relatividade Geral, não
é obtida nessa nova proposta de gravidade, evitando, portanto, a violação
da causalidade na forma de curvas do tipo-tempo fechadas. Da mesma
forma, quando se tem apenas um campo escalar como fonte de matéria, as
Capítulo 3. Curvas Tipo-Tempo Fechadas - CTCs 44
teorias f(R) no formalismo de Palatini do tipo f(R) = R− β
Rn
, fornece uma
única solução onde o princípio da causalidade é recuperado, mesmo tendo
a geometria do tipo-Gödel como solução. O que esta seção nos mostrou é
que combinando um fluido do tipo perfeito mais um campo escalar como
fontes materiais, obtemos intervalos dos parâmetros m e ω da geometria
do tipo-Gödel, que podem satisfazer a causalidade ou não, mostrando ser
uma resposta razoável ao que se esperaria tendo em vista o que foi obtido
nas duas seções anteriores.
3.3 CTC em gravidade f (R) no Formalismo Métrico.
Um estudo similar sobre a quebra ou não da causalidade já havia
sido feito por Santos, J. e Rebouças, M. [90] no formalismo métrico de gra-
vidade f(R). Nesse cenário, foi possível também generalizar os resultados
obtidos por [78, 91].
Faremos aqui, por critérios de completeza do tema abordado, uma
breve explanação dos resultados obtidos pelos autores no que se refere ao
conteúdo material necessário para caracterizar a geometria do tipo-Gödel
e a possível violação da causalidade. Para isto, foram analisados fontes de
matéria somente contendo Fluido do tipo Perfeito, Campo Escalar e Fluido
Perfeito + Campo Escalar.
Utilizando as equações de campo do formalismo métrico de gravi-
dade f(R) juntamente com a geometria de Gödel ambas na base de tetra-
das, podemos fazer as análises que se seguem.
Capítulo 3. Curvas Tipo-Tempo Fechadas - CTCs 45
3.3.1 Fluido do tipo Perfeito.
A extremização da ação (2.1) nos fornece as equações de campo (2.3).
Um importante vínculo utilizado frequentemente para simplificar as equa-
ções de campo é dado por (2.4). Usando a métrica tipo-Gödel (3.1) e carac-
terizando essa geometria em uma base de tetradas conveniente, as equa-
ções de campo (2.3) tornam-se
f ′GAB = κ2TAB − 1
2
(κ2T + f)ηAB. (3.45)
Observe que o conjunto de equações de movimento (3.8) e (3.45)
para um fluido perfeito quando tomadas para uma geometria tipo-Gödel,
são idênticas. Isso ocorre porque o tensor de Ricci R é constante, nesse tipo
de geometria, devido a condição f ′ 6= 0. Com isso os termos que diferen-
ciam as equações (2.3) e (2.18) se anulam seja no formalismo métrico, seja
na formulação de Palatini.
Assim, dada a eq.(3.10) e utilizando (3.9), pode-se obter para as
equações (3.45) os resultados
2(3ω2 −m2)f ′ + f = κ2(ρ+ 3p), (3.46)
2ω2f ′ − f = κ2(ρ− p), (3.47)
2(m2 − ω2)f ′ − f = κ2(ρ− p) (3.48)
As equações (3.47) e (3.48) combinadas fornecem
(2ω2 −m2)f ′ = 0. (3.49)
Capítulo 3. Curvas Tipo-Tempo Fechadas - CTCs 46
Portanto, para uma teoria que satisfaz a condição de manter inalte-
rado o sinal da constante efetiva de Newton, bem como evitar que o grá-
viton torne-se tipo-fantasma [81, 82, 92, 93], isto é f ′ > 0, a equação (3.49)
fornece m2 = 2ω2, que define a métrica de Gödel, e leva às equações de
campo
κ2p =
f
2
, (3.50)
κ2ρ = m2f ′ − f
2
, (3.51)
onde f é uma função arbitrária do escalar de Ricci (com f ′ 6= 0 e tanto f
quanto f ′ são avaliados em R = m2 = 2ω2). Esse resultado pode ser visto
como uma extensão de Bambi e Zordam [75] (obtidos na estrutura da TRG)
para o contexto da gravidade f(R) no sentido de que para ρ e p arbitrários
(com p 6= −ρ), toda solução de fluido perfeito de gravidade f(R), que sa-
tisfaz a condição f ′ > 0, é necessariamente isométrica à geometria Gödel.
Com relação as características causais destas soluções primeiramente nota-
se que, como essas soluções são isométricas à geometria de Gödel, então,
elas inevitavelmente exibem curvas tipo-tempo fechadas, ou seja, círculos
de Gödel não-causais cujo raio crítico é dado pela eq.(3.4). Porém, levando
em conta as equações (3.50) e (3.51), obtém-se que o raio crítico é dado por
(3.17). Enfatiza-se que a expressão (3.17) é permitido para qualquer gravi-
dade f(R) que satisfaça f ′ > 0.
Apesar da inescapável quebra de causalidade para quaisquer solu-
ções f(R) tipo Gödel com um fluido do tipo perfeito, concretamente é feita
uma estimativa dos limites sobre o raio crítico rc para uma teoria específica,
[94]
Capítulo 3. Curvas Tipo-Tempo Fechadas - CTCs 47
f(R) = R− αR∗ ln
(
1 +
R
R∗
)
, (3.52)
que é livre de singularidades do escalar de Ricci, cosmologicamente viável6
e satisfaz a existência de estrelas relativísticas para os parâmetros livres α
e R∗ positivos. Finalmente, impondo a positividade da densidade ρ e a
eq.(3.51), obtém-se
m2f ′ − f
2
≥ 0, (3.53)
onde f é uma função arbitrária de R (com f ′ 6= 0), e tanto f quanto f ′ são
avaliados em R = m2. Usando a eq.(3.52) para α = 2 (Veja a Ref. [94]) é
fácil mostrar que a desigualdade (3.53) é válido para todo m tal que m2 ≥
0.55R∗, apresentando assim o menor limite para m2 e consequentemente
sobre o raio crítico rc para esta teoria.
3.3.2 Campo Escalar.
Uma vez que é inevitável soluções de gravidade f(R) do tipo Gödel
com fluido perfeito apresentarem a não causalidade, é importante verifi-
car outras fontes de matéria que poderiam gerar soluções do tipo-Gödel
causais. Para isso, considera-se, neste momento, um campo escalar como
fontes de matéria para a geometria de Gödel. Para esse componente único
Φ(z), e f ′ 6= 0, as equações de campo (3.8) dão surgimento a uma única
classe de soluções tipo-Gödel
6Aqui, o termo cosmologicamente viável, refere-se à reprodução, via esse tipo de gravidade, para as
diversas fases a que o universo passou ou passa, a saber: Era da Radiação, Era da Matéria e Expansão
Acelerada.
Capítulo 3. Curvas Tipo-Tempo Fechadas - CTCs 48
m2 = 4ω2, (3.54)
f ′ =
κ2e2
2ω2
, (3.55)
f = κ2e2, (3.56)
onde f é uma função arbitrária de R (com f ′ 6= 0), e tanto f quanto f ′
são avaliados em R = 2(m2 − ω2). Isso define claramente uma classe de
soluções sem nenhuma violação de causalidade do tipo-Gödel (rc → ∞)
para uma função arbitrária f(R) com f ′ 6= 0.
Para ilustrar, foi utilizada a teoria descrita pela eq.(3.52) que também
permite uma solução causal. De fato, a eq.(3.55) possui duas raízes dadas
por
m2±
R∗
=
1
3
1 + 3κ2e2
R∗
±
√
1 + 18
κ2e2
R∗
+ 9
(
κ2e2
R∗
)2 , (3.57)
onde α = 2 (Veja [94] para mais detalhes).
Inserindo a primeira raiz m2+/R∗ em (3.56), encontram-se os seguin-
tes valores
κ2e2
R∗
≈ 0.82 e m
2
R∗
≈ 2.7, (3.58)
mostrando que a teoria [94] contém a solução dada por (3.54) - (3.56), e que
não apresenta violação de causalidade do tipo-Gödel7.
7A segunda raiz de (3.57) dá
κ2e2
R∗
≈ 2.44 e m2/R∗ ≈ −0.53, que leva novamente a violação de causali-
dade alternando entre círculos causais e não-causais [78, 95].
Capítulo 3. Curvas Tipo-Tempo Fechadas - CTCs 49
3.3.3 Fluido do tipo Perfeito + Campo Escalar.
Considera-se a junção de fluido do tipo perfeito com campo escalar
como fontes de matéria para a geometria tipo-Gödel. Nesse cenário, leva-
se em conta o tensor energia-momento dado pela eq.(3.30). Dessa forma as
equações de campo (3.8) podem ser escritas na forma
κ2e2 = (m2 − 2ω2)f ′, (3.59)
κ2p =
1
2
(2ω2 −m2)f ′ + f
2
, (3.60)
κ2ρ =
1
2
(6ω2 −m2)f ′ − f
2
, (3.61)
onde f é uma função arbitrária de R (com f ′ 6= 0), e tanto f quanto f ′ são
avaliados emR = 2(m2−ω2). Uma classe causal de soluções do tipo-Gödel
dessas equações que satisfaz a condição f ′ > 0 é dado por
m2 = 4ω2, (3.62)
f ′ =
κ2e2
2ω2
, (3.63)
κ2p = −κ2ρ = −ω2f ′ + f
2
, (3.64)
onde se percebe que das equações (3.4) e (3.62) tem-se claramente que rc →
∞. Então, para essa combinação de campos de matéria, não existe violação
da causalidade do tipo-Gödel (Círculos de Gödel) para qualquer gravidade
f(R) que satisfaça a condição f ′ 6= 0.
Mais uma vez para ilustrar, é mostrado um exemplo concreto no
Capítulo 3. Curvas Tipo-Tempo Fechadas - CTCs 50
qual a teoria descrita pela eq.(3.52) admite este tipo de solução causal. Para
essa teoria, a eq.(3.63) dá surgimento a uma equação quadrática na variá-
vel m2/R∗ cujas raízes são dadas em termos de e2/R∗ pela eq.(3.57). Clara-
mente a positividade do parâmetro ρ (dado pela eq.(3.64) para f calculado
emR = 6ω2 = 3m2/2 e f ′ dado pela eq.(3.63)) é assegurado por κ2e2−f ≥ 0
para cada raiz da eq.(3.57). Considerando a primeira raiz m2+/R∗, a positi-
vidade de ρ fornece
0 ≤ κ
2e2
R∗
≤ 0.8 e 0.7 ≤ m
2
R∗
≤ 2.7. (3.65)
Portanto, para os valores κ2e2/R∗ e m2/R∗, dentro deses intervalos,
existem soluções causais de gravidade f(R) geradas pela combinação de
fluido do tipo perfeito com campos escalares tais que ρ ≥ 0 8. Mais uma
vez encontramos soluções reais dos parâmetros livres da teoria, de modo a
evitar violação de causalidade mesmo tendo Gödel como solução.
8Por completeza, menciona-se que a segunda raiz da eq.(3.57), ou seja, m2−/R∗ juntamente com a positi-
vidade de ρ suportado por κ2e2/R∗ ≥ 2.5 e m2/R∗ < 0. Valores negativos de m2 direcionam para violação
de causalidade com alternância em círculos de Gödel causal e não-causal [78, 95].
CAPÍTULO 4
CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS
4.1 Conclusões
No capítulo 1 desta Tese, inicialmente, apresentamos as equações
que regem a TRG bem como argumentamos por que uma descrição via for-
malismo de Lagrange para a determinação dessas equações é a mais inte-
ressante, apesar de não ter sido feito, a princípio, dessa forma por Einstein.
Em seguida, desenvolvemos uma abordagem histórica sobre as teorias ex-
tendidas de gravidade apresentando as motivações gerais, astrofísicas e
cosmológicas para alterar a TRG e usar, preferencialmente, as teorias f(R)
de gravidade como forma de resolver os problemas apresentados na TRG.
No capítulo 2, adentramos definitivamente nas teorias f(R) de gra-
vidade e expomos as motivações recentes que favoreceram ao seu estudo.
Estudamos também o formalismo métrico e o de Palatini de gravidade f(R)
na obtenção de suas equações de campo, bem como verificamos sobre que
circunstância existe a conservação covariante do tensor energia-momento
nessas duas abordagens. Encontramos que o formalismo métrico apresenta
51
Capítulo 4. Conclusões e Perspectivas 52
a conservação dessa grandeza de modo claro; no entanto, na formulação
de Palatini, cabe ainda uma análise posterior, haja vista a mistura de de-
finições que se faz, na literatura científica, sobre o tensor de Einstein. De-
pendendo de como esse tensor é definido, pode-se ter ou não a sua con-
servação. Possíveis desdobramentos sobre a não conservação de Tµν serão
analisados posteriormente.
No capítulo 3, fizemos um estudo sobre a possibilidade de curvas
tipo-tempo fechadas na geometria tipo-Gödel para a gravidade f(R). Abor-
damos os dois formalismo de gravidade f(R), sendo que a abordagem na
formulação de Palatini de cunho autoral. Além disso verificamos que os re-
sultados das equações de movimento tanto na formulação métrica quanto
no formalismo de Palatini, para um fluido do tipo perfeito, são iguais; veja
por exemplo as equações (3.8) e (3.45). Isso ocorre porque na geometria
tipo-Gödel os termos que diferenciam as equações (2.3) e (2.18) se anulam,
pois o tensor de Ricci é constante nesse tipo de geometria devido a con-
dição de f ′ 6= 0. Analisamos, com isso, sobre que condições, utilizando
diversas fontes de matéria para a geometria, é possível ou não violar a
causalidade. Determinamos um raio crítico, além do qual a causalidade é
violada, o qual depende do tipo de gravidade. Os resultados mostraram
que é possível evitar a quebra de causalidade em alguns cenários impostos
pela condição de energia forte (SEC).
4.2 Perspectiva - 1
Retomaremos a questão da conservação covariante no formalismo
de Palatini. Haja vista que no capítulo 3 mostramos qual a condição ne-
cessária para haver a conservação covariante do tensor energia-momento.
Capítulo 4. Conclusões e Perspectivas 53
Naquele momento foi conveniente definir o tensor de Einstein de modo
não razoável. Agora, vamos definir esse tensor em termos da nova métrica
g˜µν , ou seja,
G˜µν ≡ R˜µν − R˜
2
g˜µν, (4.1)
e fazendo sua divergência, após algumas manipulações algébricas é fácil
ver que
∇µG˜µν = ∇µR˜µν − ∇νR˜
2
[R˜f ′′ − f ′]. (4.2)
Substituindo a eq.(4.2) na eq.(2.34), obtemos o seguinte resultado
κ2∇µTµν = −f ′
{
∇νR˜
2
[1− (f ′′R˜ + f ′)]
}
, (4.3)
o que naturalmente não é zero.
Vemos assim que para ocorrer a conservação covariante do tensor
energia-momento, isto é, ∇µTµν = 0, usando a definição do G˜µν dada por
(4.1), basta tomar f(R) igual a R + const., o que nos remete à teoria de
Einstein com constante cosmológica. Contudo, essa é uma forma muito
restrita para a função f , e reduz-se praticamente ao modelo cosmológico
ΛCDM.
Outros resultados e interpretações serão posteriormente analisados
para que possamos, de fato, construir um bom entendimento da não con-
servação do tensor energia-momento e suas possíveis consequências.
Capítulo 4. Conclusões e Perspectivas 54
4.3 Perspectiva - 2
Veremos também como obter um cenário de gravidade repulsiva,
com o intuito de explicar a expansão acelerada do universo, utilizando para
isso as equações de Raychaudhuri, a formulação de Palatini na gravidade
f(R), as condições de energia e os parâmetros cosmográficos.
APÊNDICEA
EQUAÇÕES DE MOVIMENTO NO FORMALISMO
MÉTRICO DE GRAVIDADE F (R).
Para obtermos as equações de campo no formalismo métrico de gra-
vidade f(R), vamos usar a seguinte variação:
δS =
1
2κ2
∫
d4x
[
δ(
√−g)f(R) +√−gδ(f(R)) + δ(√−gLM)
]
. (A.1)
Definindo A = δ(
√−g)f(R) e B = √−gδ(f(R)), resolveremos indi-
vidualmente cada termo.
Tendo em conta que
ln(detM) = Tr(lnM), (A.2)
então
δ ln(detM) = Tr(δ lnM). (A.3)
55
Apêndice A. Equações de movimento no formalismo métrico de gravidade f(R). 56
ou seja,
1
detM
δ(detM) = Tr
[
δM
M
]
= Tr
[
M−1δM
]
. (A.4)
Para detM = det gµν = g, teremos
δg = g(gµσδgµσ). (A.5)
Assim, como M−1M = I , obtemos
δ(M−1M) = δI = 0, (A.6)
(δM−1)M +M−1(δM) = 0. (A.7)
Analogamente,
(δgµσ)gσν + g
µσ(δgσν) = 0. (A.8)
Teremos, então,
gµσ(δgσν) = −gσν(δgµσ), (A.9)
ou equivalentemente,
gµν(δgµν) = −gµν(δgµν). (A.10)
Substituindo o resultado anterior em (A.5), teremos
Apêndice A. Equações de movimento no formalismo métrico de gravidade f(R). 57
δg = −g(gµνδgµν). (A.11)
Mas em A tem-se A = δ(
√−g)f(R) de forma que
δ(
√−g) = 1
2
(−g)−1/2(−δg), (A.12)
então,
δ(
√−g) = −δg
2
√−g . (A.13)
Como δg = −g(gµνδgµν), substituindo na igualdade última, temos
δ(
√−g) = −1
2
√−ggµνδgµν. (A.14)
Dessa forma, a expressão contida em A torna-se
δ(
√−g)f(R) = −1
2
√−ggµνf(R)δgµν. (A.15)
Agora tomemos o caso da igualdade que representa a letra B, ou
seja, B =
√−gδ(f(R)). Vamos abrir um pouco essa relação. Vejamos:
Como R = gµνRµν , então
δ(f(R)) = df/dR.δR = f ′δR = f ′ [(δgµν)Rµν + gµνδRµν] . (A.16)
Na igualdade (A.16), o primeiro termo já está na maneira desejada,
pois queremos a variação da ação da forma δS/δgµν . No entanto, o segundo
termo precisa ser manipulado um pouco mais para ficar em termos de δgµν .
Apêndice A. Equações de movimento no formalismo métrico de gravidade f(R). 58
Para isso, partiremos do tensor de Riemann em um referencial inercial local
onde a gravidade seja nula e , em seguida, voltaremos para um referencial
qualquer utilizando o Princípio da Covariância Geral. Posteriormente con-
trairemos o primeiro e o terceiro índices do tensor de Riemann e obteremos
o tensor de Ricci. Finalmente, faremos a variação desse tensor com respeito
à métrica. Dito isso, temos
Rρµλν = ∂λΓ
ρ
νµ − ∂νΓρλµ + ΓρλσΓσνµ − ΓρνσΓσλµ. (A.17)
Para um referencial localmente inercial, o tensor de Riemann torna-
se:
Rρµλν = ∂λΓ
ρ
νµ − ∂νΓρλµ. (A.18)
Contraindo ρ e λ em (A.18), teremos o tensor de Ricci,
Rµν = R
ρ
µρν = ∂ρΓ
ρ
νµ − ∂νΓρρµ, (A.19)
de maneira que a variação de (A.19), torna-se
δRµν = ∂ρ(δΓ
ρ
νµ)− ∂ν(δΓρρµ). (A.20)
Passemos agora para um referencial geral. Para isso devemos fazer
uso do Principio da Covariância Geral, que do ponto de vista algébrico
consiste em fazer a seguinte substituição: trocar ∂ρ por∇ρ. Obtemos, então,
δRµν = ∇ρ(δΓρνµ)−∇ν(δΓρρµ). (A.21)
Da relação (A.21), notamos que um termo do tipo gµνδRµν pode ser
Apêndice A. Equações de movimento no formalismo métrico de gravidade f(R). 59
escrito como
gµνδRµν = g
µν
[∇ρ(δΓρνµ)−∇ν(δΓρρµ)] . (A.22)
Entretanto, sabemos que:
∇ρ(gµνδΓρνµ) = (∇ρgµν)δΓρνµ + gµν(∇ρδΓρνµ). (A.23)
Da condição de metricidade∇ρgµν = 0, podemos simplificar a igual-
dade (A.23). Assim obtemos
∇ρ(gµνδΓρνµ) = ∇σ(gµνδΓσνµ) = gµν∇σ(δΓσνµ). (A.24)
Analogamente temos que
∇ν(gµνδΓρρµ) = ∇σ(gµσδΓρρµ) = gµσ∇σ(δΓρρµ). (A.25)
Daí, quando substituídos as expressões (A.24) e (A.25) na igualdade
(A.22), obtemos
gµνδRµν = ∇σ
[
gµνδΓσµν − gµσδΓνµν
]
, (A.26)
que pode ser reescrita na forma
gµνδRµν = ∇σW σ, (A.27)
onde W σ = gµνδΓσµν − gµσδΓνµν .
Dessa maneira, a eq.(A.16) pode ser representada por
Apêndice A. Equações de movimento no formalismo métrico de gravidade f(R). 60
δ(f(R)) = f ′Rµν(δgµν) + f ′gµν∇σW σ. (A.28)
O segundo termo do lado direito da eq.(A.28) quando inserido na
eq. (A.1) dá origem a uma integral da forma
∫
d4x
√−gf ′gµν∇σW σ =
∫
d4x
√−gf ′gµν∂σW σ, (A.29)
tal que
∫
d4x
√−gf ′gµν∂σW σ =
∫
d4x∂σ
[√−gf ′W σ]− ∫ d4x∂σ [√−gf ′]W σ.
(A.30)
No desenvolvimento de (A.30), utilizaremos o Teorema de Stokes
para quatro dimensões de tal forma que
∫
d4x∂σ
[√−gf ′W σ] = 0 na fron-
teira da hipersuperfície quadridimensional. Dessa forma, a integral de
(A.30) torna-se
∫
d4x
√−gf ′gµν∂σW σ = −
∫
d4x∂σ
[√−gf ′]W σ. (A.31)
Portanto obtemos para o segundo termo da eq.(A.16) quando subs-
tituído na eq.(A.1) a seguinte igualdade
∫
d4x
√−gf ′gµνδRµν = −
∫
d4x∂σ
[√−gf ′]W σ. (A.32)
Nesse momento, vamos desenvolver o termoW σ da expressão (A.31).
Sabemos que W σ é dado por
Apêndice A. Equações de movimento no formalismo métrico de gravidade f(R). 61
W σ = gµνδΓσµν − gµσδΓνµν. (A.33)
Além disso, sabemos que
Γσµν =
1
2
gασ(∂µgαν + ∂νgµα − ∂αgµν). (A.34)
Calculando δΓσµν , obteremos
δΓσµν =
1
2
[(δgσα)(∂µgαν) + g
σα∂µ(δgαν) + (δg
σα)(∂νgαµ) (A.35)
+gσα∂ν(δgαµ)− (δgσα)(∂αgµν)− gσα∂α(δgµν)].
Sabendo que em um referencial localmente inercial a derivada sim-
ples se comporta como derivada covariante, então, podemos usar a condi-
ção de metricidade (∂αgµν = ∇αgµν = 0) e anular alguns termos da expres-
são (A.35). Assim sendo, eliminando os termos nulos em (A.35) obteremos
δΓσµν =
1
2
gσα[∂µ(δgαν) + ∂ν(δgαµ)− ∂α(δgµν)]. (A.36)
Para uma dada componente de Γσµν tal que σ = ν, teremos
δΓνµν =
1
2
gνα∂µ(δgνα) +
1
2
gνα∂ν(δgµα)− 1
2
gνα∂α(δgµν). (A.37)
Na eq.(A.37), ν e α são índices mudos, e podemos trocar ν por α no
segundo termo de (A.37) de tal forma a cancelar com o terceiro termo dessa
mesma equação. Finalmente, obtemos uma relação mais simples para δΓνµν ,
Apêndice A. Equações de movimento no formalismo métrico de gravidade f(R). 62
ou seja,
δΓνµν =
1
2
gνα∂µ(δgνα). (A.38)
Além disso, sabemos que
gµσ(δgσν) = −gσν(δgµσ). (A.39)
Utilizando a eq.(A.37), pode-se obter a seguinte expressão para gµνδΓσµν ,
gµνδΓσµν =
1
2
gµν [gσα∂µ(δgαν) + g
σα∂ν(δgµα)− gσα∂α(δgµν)] . (A.40)
Além disso, observe que:
∂µ(g
σαδgαν) = (∂µg
σα)(δgαν) + g
σα∂µ(δgαν). (A.41)
Porém, da condição de metricidade, ∂µgθα = 0, então
∂µ(g
σαδgαν) = g
σα∂µ(δgαν). (A.42)
Substituindo a igualdade gµσ(δgσν) = −gσν(δgµσ) na eq.(A.42), tere-
mos
−∂µ(gανδgασ) = gσα∂µ(δgαν). (A.43)
Da mesma forma podemos fazer para o outro termo da eq.(A.40),
isto é,
Apêndice A. Equações de movimento no formalismo métrico de gravidade f(R). 63
∂ν(g
σαδgµα) = g
σα∂ν(δgµα), (A.44)
que substituindo a expressão gµσ(δgσν) = −gσν(δgµσ) na eq.(A.44), ficamos
com
−∂ν(gµαδgασ) = gσα∂ν(δgµα). (A.45)
Dessa forma, substituindo a eq.(A.43) e eq.(A.45) em (A.40), obtem-
se
gµνδΓσµν =
1
2
gµν [−∂µ(gανδgασ)− ∂ν(gµαδgασ)− gασ∂α(δgµν)] . (A.46)
Da expressão (A.46), podemos obter uma equação equivalente, in-
serindo gµν nessa equação. Portanto, obtém-se:
−∂
ν
2
(gανδg
ασ)− ∂
µ
2
(gµαδg
ασ)− ∂
σ
2
(gµνδgµν). (A.47)
Como ν e µ são índices mudos, então, façamos ν = µ no primeiro e
no segundo termo da expressão anterior. Além disso, usaremos mais uma
vez a igualdade gµσ(δgσν) = −gσν(δgµσ). Então, chegamos à
−∂
µ
2
(gµαδg
ασ)− ∂
µ
2
(gµαδg
ασ) +
∂σ
2
(gµνδg
µν), (A.48)
que simplificando torna-se
Apêndice A. Equações de movimento no formalismo métrico de gravidade f(R). 64
∂σ
2
(gµνδg
µν)− ∂µ(gµαδgασ). (A.49)
Assim a eq.(A.46) resume-se à
gµνδΓσµν = ∂
σ(gµνδg
µν)− ∂µ(gµαδgασ). (A.50)
Usando-se a eq.(A.38) e multiplicando-a por gµσ, tem-se
gµσδΓνµν = g
µσ1
2
gνα∂µ(δgνα), (A.51)
que se resume à
gµσδΓνµν = −
∂σ
2
(gναδg
να). (A.52)
Lembrando que definimos W σ = gµνδΓσµν − gµσδΓνµν , então substi-
tuindo os resultados das eq.(A.49) e eq.(A.52) na definição deW σ, obtém-se
W σ = ∂σ(gµνδg
µν)− ∂µ(gµνδgνσ). (A.53)
Neste ponto, voltaremos a equação da segunda integral da variação
da ação, isto é, a eq.(A.32) e substituindo o resultado de (A.53) obteremos
∫
d4x
√−gf ′gµνδRµν =
∫
d4x∂σ
[√−gf ′] [∂µ(gµνδgνσ)− ∂σ(gµνδgµν)] .
(A.54)
É interessante observarmos a seguinte operação:
Apêndice A. Equações de movimento no formalismo métrico de gravidade f(R). 65
∂µ
[
∂σ(f
′√−g)gµνδgσν
]
. (A.55)
Desenvolvendo a derivada acima, teremos
∂µ
[
∂σ(f
′√−g)] gµνδgσν + ∂σ(f ′√−g)∂µ [gµνδgσν] , (A.56)
que equivale a
∂σ(f
′√−g)∂µ [gµνδgσν] = ∂µ
[
∂σ(f
′√−g)gµνδgσν
]− ∂µ [∂σ(f ′√−g)] gµνδgσν,
(A.57)
ou de maneira mais simples
∂σ(f
′√−g)∂µ [gµνδgσν] = ∂µVµ − ∂µ
[
∂σ(f
′√−g)] gµνδgσν. (A.58)
Podemos calcular, também, a seguinte divergência: ∂σ [∂σ(
√−gf ′)gµνδgµν].
E de maneira análoga obteremos uma relação equivalente a eq.(A.58). En-
tão,vejamos
∂σ(f
′√−g)∂σ [gµνδgµν] = ∂σVσ − ∂σ∂σ(f ′
√−g)gµνδgµν. (A.59)
Podemos usar o Teorema da Divergência em (A.54) e substituindo
as eq.(A.58) e eq.(A.59), obtém-se
Apêndice A. Equações de movimento no formalismo métrico de gravidade f(R). 66
∫
d4x
√−gf ′gµνδRµν =
∫
d4x∂µVµ −
∫
d4xgµν∂
µ
[
∂σ(f
′√−g)] δgσν (A.60)
−
∫
d4x∂σVσ +
∫
d4xgµν∂
σ∂σ
[
(f ′
√−g)] δgµν.
.
Da eq.(A.60), percebemos que na fronteira, as integrais
∫
d4x∂µVµ =
0, assim como a integral
∫
d4x∂σVσ = 0. Portanto, o resultado de (A.60)
pode ser expresso por
∫
d4x
√−gf ′gµνδRµν = −
∫
d4xgµν∂
µ∂σ(f
′√−g)δgσν+
∫
d4xgµν∂
σ∂σ(f
′√−g)δgσν,
(A.61)
que rearranjando ficamos com
∫
d4x
√−gf ′gµνδRµν =
∫
d4xgµν∂
σ∂σ(f
′√−g)δgσν−
∫
d4xgµν∂
µ∂σ(f
′√−g)δgσν.
(A.62)
Resumindo e lembrando do que fizemos até agora podemos desta-
car:
δS =
1
2κ2
∫
d4x
[
δ(
√−g)f(R) +√−gδ(f(R)) + δ(√−gLM)
]
. (A.63)
Para δ(
√−g)f(R) encontramos
Apêndice A. Equações de movimento no formalismo métrico de gravidade f(R). 67
−1
2
√−ggµνf(R)δgµν. (A.64)
Para δ(f(R)), obtemos
f ′ [(δgµν)Rµν + gµνδRµν] . (A.65)
Também obtemos a expressão que definiu o tensor energia-momento
a partir da variação da Lagrangeana da matéria com respeito a métrica, ou
seja,
Tµν ≡ − 2√−g
δ(
√−gLM)
δgµν
. (A.66)
Por último, chegamos à expressão apresentada em (A.62). Então
juntando todos esses ingredientes e substituindo na expressão da variação
da ação, obteremos
δS = δ
[
1
2κ2
∫
d4x
[√−gf(R) +√−gLM]] = 1
2κ2
∫
d4x[
−1
2
√−ggµνfδgµν
(A.67)
+
√−gf ′(Rµνδgµν − Tµνδgµν + gµνδRµν)],
que é equivalente à
∫
d4x
√−g
[−f(R)
2
gµν + f
′Rµν − κ2Tµν
]
δgµν +
∫
d4x
√−gf ′gµνδRµν.
(A.68)
Portanto, substituindo a eq.(A.62) na eq.(A.68), chegaremos a
Apêndice A. Equações de movimento no formalismo métrico de gravidade f(R). 68
δS =
∫
d4x
√−g
[−f(R)
2
gµν + f
′Rµν − κ2Tµν
]
δgµν (A.69)
+
∫
d4x
√−g [gµν∂σ∂σf ′ − gσν∂σ∂µf ′] δgµν.
Na última parcela da integral acima, fizemos σ = µ, e µ = σ na
eq.(A.62). Portanto se
δS
δgµν
= 0, então, teremos
f ′Rµν − f
2
gµν − κ2Tµν = −gµν∂σ∂σf ′ + gσν∂σ∂µf ′. (A.70)
Como f é uma função escalar de R, a derivada covariante de f coin-
cide com a derivada ordinária, desta forma a expressão acima fica
f ′Rµν − f
2
gµν − κ2Tµν = ∂ν∂µf ′ − gµνgασ∂α∂σf ′. (A.71)
Finalmente, podemos obter a seguinte expressão
f ′Rµν − f
2
gµν −∇ν∇µf ′ − gµνf ′ = κ2Tµν, (A.72)
onde  = gασ∇α∇σ e Tµν ≡ − 2√−g
δ(
√−gLM)
δgµν
.
A eq.(A.72) representa as equações de movimento de Einstein no
formalismo métrico de gravidade f(R).
APÊNDICEB
EQUAÇÕES DE MOVIMENTO NA FORMULAÇÃO DE
PALATINI DE GRAVIDADE F (R)
Seja a ação dada por
S =
1
2κ2
∫
d4x[LG + LM], (B.1)
onde, LG = √−gf(R˜), κ2 = 8piG, R˜ = gµνR˜µν , LM representa a densidade
Lagrangeana da matéria.
Utilizando a seguinte variação para a ação
δS =
1
2κ2
∫
d4x[δLG + δLM]. (B.2)
que pode ser representada por
69
Apêndice B. Equações de movimento na formulação de Palatini de gravidade f(R) 70
δLG = f(δ
√−g)+√−gf ′δR˜ = f(δ√−g)+√−gf ′R˜µν(δgµν)+
√−gf ′gµν(δR˜µν).
(B.3)
e simplificando um pouco mais inserindo
δ
√−g = −
√−g
2
gµν(δg
µν), (B.4)
em (B.2), concluiremos que a variação da ação torna-se
δS =
∫
d4x
√−g(f ′R˜µν− f
2
gµν−κ2Tµν)δgµν +
∫
d4x
√−gf ′gµν(δR˜µν), (B.5)
onde Tµν ≡ − 2√−g
δSM
δgµν
; SM =
1
2κ2
∫
d4xLM.
Observe que, como as conexões não são definidas a priori na formu-
lação de Palatini, então, não sabemos dizer se o tensor de Ricci, dado por
R˜µν = ∂αΓ
α
µν − ∂νΓαµα + ΓασαΓσµν − ΓασνΓσµα, (B.6)
é simétrico, ou não. Entretanto, como qualquer tensor, ele pode ser es-
crito como uma parte simétrica mais outra anti-simétrica, ou seja, R˜µν =
R˜(µν) + R˜[µν], sendo (µν) e [µν] a simetrização e anti-simetrização, respecti-
vamente, do tensor de Ricci generalizado. Portanto, para o primeiro termo
da primeira integral da equação (B.5), obtemos R˜[µν](δgµν) = 0, pois gµν é
simétrico. Quanto à segunda integral, desenvolveremos um pouco mais
e, por enquanto, não usaremos essa propriedade. No caso de as conexões
Apêndice B. Equações de movimento na formulação de Palatini de gravidade f(R) 71
serem simétricas, conforme estamos supondo, podemos mostrar que (veja
apêndice C)
δR˜µν = ∇˜α(δΓαµν)− ∇˜ν(δΓαµα), (B.7)
onde ∇˜ diz respeito à derivada covariante com relação às conexões inde-
pendentes Γ (gama), as quais não são as conexões de Levi-Civita para a
métrica gµν . Substituindo a equação (B.7) em (B.5), obtemos para a segunda
das integrais em (B.5) a seguinte expressão
I =
∫
d4x
√−gf ′gµν(δR˜µν) =
∫
d4x
√−gf ′gµν[∇˜α(δΓαµν)− ∇˜ν(δΓαµα)]. (B.8)
Agora vamos reescrever o integrando usando a definição de derivada co-
variante do produto, isto é,
∇˜α[
√−gf ′gµν(δΓαµν)] =
√−gf ′gµν∇˜α(δΓαµν) + ∇˜α[
√−gf ′gµν](δΓαµν), (B.9)
e
∇˜ν[
√−gf ′gµν(δΓαµα)] =
√−gf ′gµν∇˜ν(δΓαµα) + ∇˜ν[
√−gf ′gµν](δΓαµα). (B.10)
Utilizando essas relações e substituindo na integral (B.8), ficamos com
Apêndice B. Equações de movimento na formulação de Palatini de gravidade f(R) 72
I =
∫
d4x[∇˜α(
√−gf ′gµνδΓαµν)− ∇˜ν(
√−gf ′gµνδΓαµα)] (B.11)
+
∫
d4x[−∇˜α(
√−gf ′gµν)(δΓαµν) + ∇˜ν(
√−gf ′gµν)(δΓαµα)].
Após uma reorganização dos termos e redefinição de índices chegamos a
I =
∫
d4x∇˜αV α +
∫
d4x[−∇˜α(
√−gf ′gµν) + ∇˜σ(
√−gf ′gσµ)δνα]δΓαµν, (B.12)
onde V α =
√−gf ′(gµνδΓαµν − gµαδΓβµβ).
A primeira integral pode ser transformada em uma integral de su-
perfície do tipo (Teor. de Gauss)
∫
d3xnαV
α =
∫
d3x
√−gf ′(gµνδΓαµν − gµαδΓβµβ) = 0, (B.13)
já que δΓ se anula na supefície. Substituindo esse resultado na equação
(B.5), obtemos
δS =
∫
d4x
√−g(f ′R˜(µν) − f
2
gµν − κ2Tµν)δgµν +
∫
d4x[−∇˜α(
√−gf ′gµν)
(B.14)
+∇˜σ(
√−gf ′gσµ)δνα]δΓαµν.
Podemos escrever a segunda integral da seguinte forma:
Apêndice B. Equações de movimento na formulação de Palatini de gravidade f(R) 73
∫
d4xT µνα δΓ
α
µν, (B.15)
onde T µνα = −∇˜α(
√−gf ′gµν) + ∇˜σ(√−gf ′gσµ)δνα. Observe que T µνα não é
simétrico nos índices µν, mas podemos escrevê-lo como T µνα = T
(µν)
α +T
[µν]
α ,
tal que
T (µν)α = −∇˜α(
√−gf ′gµν) + ∇˜σ(
√−gf ′gσ(µ)δν)α , (B.16)
e
T [µν]α = ∇˜σ(
√−gf ′gσ[µ)δν]α . (B.17)
Como T [µν]α δΓαµν = 0, então a segunda das integrais da eq. (B.14) pode ser
reescrita como
∫
d4x[−∇˜α(
√−gf ′gµν) + ∇˜σ(
√−gf ′gσ(µ)δν)α ]δΓαµν. (B.18)
Em resumo, temos que a extremização da ação (B.1) na formulação de Pa-
latini leva a
δS =
∫
d4x
√−g(f ′R˜(µν) − f
2
gµν − κ2Tµν)δgµν +
∫
d4x[−∇˜α(
√−gf ′gµν)
(B.19)
+∇˜σ(
√−gf ′gσ(µ)δν)α ]δΓαµν.
Como δS = 0, em (B.19), a variação da ação (B.1) com relação à métrica gµν
fornece
Apêndice B. Equações de movimento na formulação de Palatini de gravidade f(R) 74
f ′R˜(µν) − f
2
gµν = κ
2Tµν. (B.20)
Estas são as novas equações de movimento para o formulação de
Palatini de gravidade f(R) que generalizam as da TRG.
APÊNDICEC
A VARIAÇÃO DE Rµν.
O tensor de curvatura é dado por
Rαµβν = ∂βΓ
α
νµ − ∂νΓαβµ + ΓαβλΓλνµ − ΓανλΓλβµ. (C.1)
Fazendo a seguinte transformação em todas as conexões
Γανµ −→ Γανµ + δΓανµ, (C.2)
teremos,
Rαµβν −→ Rαµβν + δRαµβν, (C.3)
onde δRαµβν é a expressão procurada para que possamos contrair o 1
o e o 3o
índices e obtermos a variação de Rµν .
Definimos um novo tensor de curvatura como
75
Apêndice C. A Variação de Rµν . 76
R˜αµβν = ∂β(Γ
α
νµ + δΓ
α
νµ)− ∂ν(Γαβµ + δΓαβµ) + (Γαβλ + δΓαβλ)(Γλνµ + δΓλνµ) (C.4)
−(Γανλ + δΓανλ)(Γλβµ + δΓλβµ).
Portanto, desenvolvendo os produtos e desprezando os termos de segunda
ordem das variações das conexões, chegamos a
R˜αµβν = R
α
µβν + ∂β(δΓ
α
νµ)− ∂ν(δΓαβµ) + Γαβλ(δΓλνµ) + (δΓαβλ)Γλνµ (C.5)
−Γανλ(δΓλβµ)− (δΓανλ)Γλβµ.
Substituindo a expressão da derivada covariante em ∂β(δΓανµ) e ∂ν(δΓαβµ),
obtemos após algumas manipulações algébricas
R˜αµβν = R
α
µβν + ∇˜β(δΓανµ)− ∇˜ν(Γαβµ) + (Γλβν − Γλνβ)δΓαλµ, (C.6)
onde ∇˜ significa a derivada covariante com respeito às novas conexões
Γ(gama) e que portanto
δR˜αµβν = ∇˜β(δΓανµ)− ∇˜ν(Γαβµ) + (Γλβν − Γλνβ)δΓαλµ. (C.7)
Contraindo o 1◦ e o 3◦ índices, temos o tensor de Ricci, então
δR˜µν = ∇˜α(δΓανµ)− ∇˜ν(Γααµ) + (Γλαν − Γλνα)δΓαλµ. (C.8)
Apêndice C. A Variação de Rµν . 77
Observe que estamos desconsiderando qualquer simetria nos índi-
ces αν das conexões. Caso a simetria exista (Conexões de Levi-Civita), en-
tão a expressão anterior se reduz à
δR˜µν = ∇˜α(δΓανµ)− ∇˜ν(Γααµ). (C.9)
APÊNDICED
EQUAÇÕES DE EINSTEIN GENERALIZADAS.
Para o cálculo do tensor de Ricci generalizado necessitamos do ten-
sor de curvatura, o qual é dado em termos das conexões e suas derivadas,
conforme
R˜αµβν = ∂βΓ
α
µν − ∂νΓαµβ + ΓαβρΓρµν − ΓανρΓρµβ. (D.1)
Contraindo o 1◦ com o 3◦ índices, temos
R˜µν = ∂αΓ
α
µν − ∂νΓαµα + ΓααρΓρµν − ΓανρΓρµα, (D.2)
que é o tensor de Ricci generalizado. As conexões que aparecem nesse
tensor são conexões generalizados, de tal forma que para teorias f(R), são
dadas por
78
Apêndice D. Equações de Einstein Generalizadas. 79
Γαµν =
{
α
µν
}
+
T αµν
2f ′
, (D.3)
onde definimos T αµν = (δαµ∂νf ′ + δαν ∂µf ′ − gµνgαβ∂βf ′).
Nesse caso, ficamos com as seguintes associações
R˜µν −→ Γαµν, (D.4)
e
Rµν −→
{
α
µν
}
. (D.5)
Portanto, observamos que deve existir alguma relação entre R˜µν e
Rµν , tal que
R˜µν = Rµν + =(f ′), (D.6)
onde =(f ′) é uma função qualquer de f ′; quando f ′ = R, =(f ′) = 0 e
portanto R˜µν = Rµν .
Buscando essa relação, utilizaremos os seguintes passos:
Substituindo a eq.(D.3) na eq.(D.2), obtemos a expressão
R˜µν = ∂α[
{
α
µν
}
+
T αµν
2f ′
]− ∂ν[
{
α
µα
}
+
T αµα
2f ′
] + [
{
α
αρ
}
+
T ααρ
2f ′
][
{
ρ
µν
}
+
T ρµν
2f ′
] (D.7)
Apêndice D. Equações de Einstein Generalizadas. 80
−[{ανρ}+ T ανρ2f ′ ][{ρµα}+ T ρµα2f ′ ]
.
Desenvolvendo essa expressão, chegamos a
R˜µν = Rµν + ∂α[
T αµν
2f ′
]− ∂ν[
T αµα
2f ′
] + [
{
α
αρ
}
(
T ρµν
2f ′
)] + [(
T ααρ
2f ′
)
{
ρ
µν
}
] + (
T ααρ
2f ′
)(
T ρµν
2f ′
)
−[{ανρ} (T ρµα2f ′ )]− [(T ανρ2f ′ ){ρµα}]− (T ανρ2f ′ )(T ρµα2f ′ ),
onde Rµν = ∂α
{
α
µν
}− ∂ν {αµα}+ {ααρ}{ρµν}− {ανρ}{ρµα}.
Na expressão acima aparecem termos que contêm
1
f ′2
e termos com
1
f ′
. Os termo com
1
f ′2
, após algumas manipulações algébricas, reduzem-se
à
3∇µf ′∇νf ′
2f ′2
, (D.8)
onde agora a derivada covariante ∇µ deve ser calculada com as conexões
de Levi-Civita da métrica gµν .
Já os termos contendo
1
f ′
podem ser representados por
− 1
f ′
[∇µ∇ν + 1
2
gµν]f ′. (D.9)
Dessa maneira o tensor de Ricci generalizado (D.2) assume a forma
R˜µν = Rµν +
3∇µf ′∇νf ′
2f ′2
− 1
f ′
[∇µ∇ν + 1
2
gµν]f ′. (D.10)
Apêndice D. Equações de Einstein Generalizadas. 81
Para o cálculo do tensor de Einstein, definido por Gµν = Rµν−R
2
gµν ,
necessitamos do escalar de curvatura generalizado dado pelo traço de R˜µν .
Portanto, tendo em conta o traço de (D.10) teremos a relação
R˜ = R +
3(∇µf ′)(∇µf ′)
2f ′2
− 3f
′
f ′
. (D.11)
No formalismo de Palatini, as equações de movimento são
R˜(µν) − f
2f ′
gµν =
κ2
f ′
Tµν, (D.12)
onde κ2 = 8piG é a constante de acoplamento gravitacional e G é a cons-
tante de gravitação universal Newtoniana.
Substituindo a equação (D.10) na equação (D.12) e somando em am-
bos os lados a expressão
−gµνR
2
, obtemos
Rµν − R
2
gµν =
κ2
f ′
Tµν +
f
2f ′
gµν − 3∇µf
′∇νf ′
2f ′2
+
1
f ′
[∇µ∇ν + 1
2
gµν]f ′ (D.13)
−gµν
2
[R˜− 3(∇µf
′)(∇µf ′)
2f ′2
+
3f ′
f ′
].
Assim, agrupando os termos com fatores semelhantes chegamos à
expressão
Gµν =
κ2
f ′
Tµν− gµν
2
(R˜− f
f ′
)+
1
f ′
(∇µ∇ν−gµν)f ′− 3
2f ′2
[(∇µf ′)(∇νf ′) (D.14)
−gµν
2
(∇f ′)2],
Apêndice D. Equações de Einstein Generalizadas. 82
que são as equações de Einstein generalizadas na formulação de Palatini.
APÊNDICEE
DEMONSTRAÇÃO DA IGUALDADE∇µG˜µν = −∇
µF ′
F ′
R˜µν
É possível mostrar, utilizando (2.28) e (2.29), que a relação entre G˜µν
e Gµν é dado por
G˜µν = Gµν − Hµνf
′
f ′
+
3
2f ′2
[
∇µf ′∇νf ′ − gµν
2
(∇f ′)2
]
, (E.1)
onde Hµν ≡ ∇µ∇ν − gµν.
Fazendo a g-divergência∇µ de G˜µν temos
∇µG˜µν = ∇µGµν +∇
µf ′
f ′2
Hµνf
′− 1
f ′
∇µHµνf ′−3∇
µf ′
f ′3
(∇µf ′∇νf ′−∇f
′2
2
gµν)+
(E.2)
3
2f ′2
[f ′∇νf ′ +∇µf ′(∇µ∇νf ′)− gµν
2
(∇f ′2)].
Além disso, observe que
83
Apêndice E. Demonstração da igualdade∇µG˜µν = −∇
µf ′
f ′
R˜µν 84
gµν∇µ(∇f ′2) = ∇ν(∇αf ′∇αf ′) = (∇ν∇αf ′)∇αf ′ +∇αf ′(∇ν∇αf ′) = (E.3)
2∇αf ′(∇ν∇αf ′),
onde usamos ∇αf ′(∇ν∇αf ′) = ∇αf ′(∇ν∇αf ′).
Substituindo (E.3) em (E.2), obtemos
∇µG˜µν = ∇
µf ′
f ′2
Hµνf
′ − ∇
µf ′
f ′
Rµν − ∇
µf ′
f ′
(
3
∇µf ′∇νf ′
f ′2
− 3
2
∇f ′2
f ′2
gµν
)
(E.4)
+
3
2f ′2
[f ′∇νf ′ +∇µf ′(∇µ∇νf ′)−∇αf ′(∇ν∇αf ′)] .
Antes, porém, observe que∇µf ′(∇µ∇νf ′)−∇αf ′(∇ν∇αf ′) = 0, pois
∇ν∇αf ′ = ∇α∇νf ′.
Portanto, (E.2) pode ser representado por
∇µG˜µν = −∇
µf ′
f ′
[
Rµν + 3
∇µf ′∇νf ′
f ′2
− 3
2
∇f ′2
f ′2
gµν
]
+
∇µf ′
f ′2
Hµνf
′+
3∇µf ′
2f ′2
f ′gµν.
(E.5)
Os dois últimos termos de (E.5) podem ser reescritos como:
∇µf ′
f ′2
Hµνf
′ +
3∇µf ′
2f ′2
f ′gµν =
∇µf ′
f ′
∇µ∇νf ′ − gµνf ′ + 32f ′gµν
f ′
 =
(E.6)
∇µf ′
f ′
(∇µ∇νf ′
f ′
+
1
2
f ′
f ′
gµν
)
.
Apêndice E. Demonstração da igualdade∇µG˜µν = −∇
µf ′
f ′
R˜µν 85
Portanto, tendo esse resultado e substituindo em (E.5), obteremos
∇µG˜µν = −∇
µf ′
f ′
[
Rµν +
∇µ∇νf ′
f ′
− 1
2
f ′
f ′
gµν
]
− ∇
µf ′
f ′
Sµν, (E.7)
onde definimos Sµν = 3
∇µf ′∇νf ′
f ′2
− 3
2
(∇f ′)2
f ′2
gµν .
No entanto
∇µf ′
f ′
Sµν =
3(∇µf ′∇µf ′)
f ′3
∇νf ′ − 3
2
(∇f ′)2
f ′3
∇νf ′ (E.8)
=
3
2f ′3
[
2(∇f ′)2 − (∇f ′)2]∇νf ′
=
3
2f ′3
(∇f ′)2∇νf ′.
Como (∇f ′)2 = ∇µf ′∇µf ′, temos resumidamente que
∇µf ′
f ′
Sµν =
∇µf ′
f ′
3
2
∇µf ′∇νf ′
f ′2
. (E.9)
Substituindo (E.9) em (E.7) e fatorando
∇µf ′
f ′
, chegamos a
∇µG˜µν = −∇
µ
f
′
f ′
(
Rµν +
3
2
∇µf ′∇νf ′
f ′2
− ∇µ∇νf
′
f ′
− 1
2
f ′
f ′
gµν
)
. (E.10)
Sabendo que
R˜µν = Rµν +
3∇µf ′∇νf ′
2f ′2
− 1
f ′
[∇µ∇ν + 1
2
gµν]f ′, (E.11)
Apêndice E. Demonstração da igualdade∇µG˜µν = −∇
µf ′
f ′
R˜µν 86
então, obtemos finalmente
∇µG˜µν = −∇
µf ′
f ′
R˜µν, (E.12)
conforme desejávamos.
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