Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Ciências Exatas e da Terra
Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional
Eduardo Jatobá
Aspecto Geométrico da Elipse (sem usar Cálculo
Diferencial)
Natal, 2016
Eduardo Jatobá
Trabalho apresentado ao Programa de Pós-Graduação
em Matemática em Rede Nacional da Universidade Fe-
deral do Rio Grande do Norte, em cumprimento com as
exigências legais para obtenção do título de Mestre.
Orientador:
Prof. Dr. Fagner Lemos de Santana
Natal, 2016
Eduardo Jatobá
Aspecto Geométrico da Elipse (sem usar Cálculo
Diferencial)
Trabalho apresentado ao Programa de Pós-Graduação
em Matemática em Rede Nacional da Universidade Fe-
deral do Rio Grande do Norte, em cumprimento com as
exigências legais para obtenção do título de Mestre.
Aprovado em: / /
Banca Examinadora
Prof. Dr. Fagner Lemos de Santana
Departamento de Matemática - UFRN
Orientador
Prof. Dr. Jaques Silveira Lopes
Departamento de Matemática - UFRN
Prof. Dr. Aritmatéia
Departamento de Matemática - UFRN
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial  
Centro de Ciências Exatas e da Terra – CCET. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jatobá, Eduardo Gomes. 
Aspecto geométrico da elipse (sem usar cálculo diferencial) / Eduardo Gomes 
Jatobá. - Natal, 2016. 
46f. : il. 
 
Orientador: Prof. Dr. Fagner Lemos de Santana. 
 
Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro 
de Ciências Exatas e da Terra. Programa de Pós-Graduação em Matemática em 
Rede Nacional. 
 
1. Geometria analítica – Dissertação. 2. Elipse – Dissertação. 3. Aspecto 
geométrico – Dissertação. I. Santana, Fagner Lemos de. II. Título. 
 
RN/UF/BSE-CCET                                                           CDU: 514.12 
Dedico esse trabalho a minha mãe Maria da Conceição de
Araújo Jatobá (in memorian) que sempre me incentivou a
estudar Matemática e sempre apostou em mim como pro-
fessor e ser humano.
Agradecimentos
Primeiramente agradeço a Deus por ter permitido que eu chegasse até aqui, por me dar forças
e obstinação nos momentos de dificuldade e por me acalmar nos momentos em que pensei em
desistir do Mestrado.
Ao grande amor da minha vida, Cláudia Fragoso, que sempre está ao meu lado, me dá forças ,
me faz querer ser uma pessoa melhor e foi fundamental para eu prosseguir nessa jornada.
Ao meu pai José Jatobá (amor incondicional), aos meus irmãos Flávia Jatobá e Alexandro Ja-
tobá (amo vocês demais), às minhas sobrinhas tão amadas Maria Cecília e Lara, aos meus cunha-
dos Cid, Klenia e Débora (moram todos no meu coração), ao meus sogros Chagas e Margarida
(que são segundos pais para mim) ao meu tio Jatobá que sempre se importou com a minha vida
acadêmica e me incentivou bastante e a todos os meus familiares que não citei, mas que, direta
ou indiretamente, contribuíram para o meu êxito.
À Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN) e ao Departamento de Matemática
pela oportunidade de podermos cursar esse Mestrado.
Aos professores e tutores do programa de mestrado do PROFMAT, que foram de grande valia
para o aprimoramento do meu conhecimento matemático e para o incentivo de estudar sempre
mais.
Aos meus colegas de Mestrado, que, juntamente comigo, tanto se empenharam nessa árdua
missão, que resultou em uma intensa troca de conhecimentos.
Aos meus amigos queridos que torcem pelo meu sucesso, em especial, Rodrigo Cavalcanti, que
é uma grande referência para mim em todos os aspectos.
Ao meu colega Fábio “Balão” que me ajudou demais a concretizar esse trabalho.
Ao meu professor orientador, Dr. Fagner Lemos de Santana, que foi extremamente solícito e
paciente comigo, sempre muito sereno e tranquilo. Sem exagero algum, muito do mérito desse
documento eu devo ao senhor, professor! Muito obrigado por tudo!
Por fim, gostaria de agradecer a todos que, de alguma forma, me ajudaram ou incentivaram a
melhorar o meu conhecimento acadêmico e a alcançar essa conquista tão importante em minha
vida!
Resumo
Este trabalho trata da elipse e tem como objetivo principal chegar ao seu esboço sem o uso
de conceitos e resultados do Cálculo Diferencial e Integral, o que possibilita o seu entendimento
por parte de alunos do ensino médio. Para isso, é apresentada a dedução da chamada equação
canônica da elipse, a qual só vale quando a elipse tem algumas características particulares, porém,
também é mostrado que através de uma mudança no sistema de coordenadas, qualquer elipse
apresentará tais características e poderá ser representada pela equação canônica, a qual é bem
mais fácil de manipular.
PALAVRAS-CHAVE: Geometria Analítica; Elipse; Aspecto geométrico.
Abstract
This work deals with the ellipse and has as main objective to get to your graphic sketch without
the use of concepts and results of the Differential and Integral Calculus, which enables their un-
derstanding by high school students. For this, the deduction of the canonical equation of the el-
lipse is presented, which is only valid when the ellipse has some particular characteristics, howe-
ver, it is also shown that through a change in the coordinate system, any ellipse will present such
characteristics and may be represented by the canonical equation, which is much easier to handle.
KEYWORDS: Analytic Geometry; Ellipse; Geometric Aspect.
INTRODUÇÃO
Neste trabalho, iremos falar sobre uma das chamadas seções cônicas: a elipse. A elipse é uma
seção cônica pelo fato de ser o resultado da interseção entre um cone e um plano. Porém, aqui,
vamos tratá-la enquanto lugar geométrico no plano, ou seja, um conjunto de pontos do plano que
satisfazem a determinada propriedade, no caso da elipse, ela é o conjunto dos pontos do plano
cuja soma das distâncias a dois pontos pré-fixados (chamados focos) é igual a uma constante po-
sitiva também pré-fixada.
A elipse possui várias propriedades interessantes com várias aplicações no cotidiano.(para
mais detalhes [8]).
Propriedade Refletora A elipse tem a propriedade de que a bissetriz do ângulo formado pelos
dois focos e por um ponto qualquer da elipse é perpendicular à tangente à elipse nesse
ponto. Como consequência disso, qualquer raio luminoso ou onda sonora, que parta de
um dos focos, será refletido pela elipse na direção do outro foco. Segundo esta propriedade,
numa hipotética mesa de bilhar elíptica, qualquer choque entre duas bolas, ocorrido em um
dos focos (com força suficiente), será refletido e fará bater em uma terceira bola estacionada
no outro foco.
A primeira lei de Kepler Esta afirma que a órbita dos planetas ao redor do sol é elíptica, estando
1
o sol em um dos focos. Mais geralmente, no problema de dois corpos gravitacionais, se os
dois corpos são ligados um ao outro, as suas órbitas são elipses semelhantes com o baricen-
tro comum, sendo um dos focos de cada elipse. Curiosamente, a órbita de qualquer corpo
no quadro de referência do outro, é também uma elipse. Dos seis elementos orbitais ne-
cessários para descrever completamente a órbita do planeta, dois são os parâmetros que
definem a elipse. Dentro de um sistema solar, os planetas, asteroides, cometas e outros ob-
jetos de menor tamanho também percorrem órbitas aproximadamente elípticas ao redor do
sol, enquanto que as luas e outros satélites fazem o mesmo ao redor dos planetas.
Perturbação na superfície da água Se a superfície da água é perturbada em um dos focos de um
tanque de água elíptico, as ondas circulares geradas pela perturbação na superfície da água,
depois de refletir nas paredes, convergem simultaneamente a um único ponto: o segundo
foco.
Foco de espelho elíptico Se uma fonte de luz é colocada num foco de um espelho elíptico, todos
os raios de luz sobre o plano da elipse são refletidos para o segundo foco. Alternativamente,
um espelho cilíndrico com secção transversal elíptica pode ser utilizado para focar a luz pro-
veniente de uma lâmpada fluorescente linear ao longo de uma linha do papel; tais espelhos
são usados em alguns scanners de documentos.
Ondas sonoras As ondas sonoras são refletidas de forma semelhante, por isso, em uma grande
sala elíptica uma pessoa de pé em um dos focos pode ouvir uma pessoa de pé no outro foco
muito bem.
Por tratar-se de uma curva, um ponto de grande interesse sobre a elipse é o seu formato. Em
geral, para justificar o formato de uma elipse, precisamos de conceitos e resultados do Cálculo
Diferencial, tais como limite, continuidade, derivada e os teoremas do valor intermediário e do
valor médio (Para mais detalhes [5, 6, 7]). O objetivo principal desse trabalho é mostrar como
é possível esboçar uma elipse sem recorrer a nenhum dos conceitos supracitados. Não há aqui
o objetivo de comparar qual a maneira mais fácil de esboçar a elipse (usando ou não a teoria
do Cálculo), mas o de mostrar uma abordagem alternativa, a qual pode ser usada em turmas do
ensino médio.
No capítulo 1, iremos definir a elipse e, posteriormente, deduzir a equação da mesma em duas
situações: os focos da elipse se encontram no eixo x ou no eixo y. Em ambos os casos, a equação,
2
chamada de equação canônica, será deduzida considerando que a origem do plano cartesiano
coincide com o centro da elipse. Após a dedução, mostraremos como encontrar a equação da
elipse a partir da medida de seu eixo maior e do posicionamento dos seus focos, tendo como
referência o plano cartesiano cuja origem coincide com o centro da elipse.
No capítulo 2, iremos mostrar que, quando a origem do sistema de coordenadas não coincidir
com o centro de uma determinada elipse e/ou os focos não estiverem sobre um mesmo eixo de
coordenadas, podemos recorrer à translação e/ou rotação para encontrarmos um novo sistema de
coordenadas de forma que se possa utilizar a equação canônica da elipse. Será explicitado como se
relacionam as coordenadas dos pontos em sistemas obtidos por translações e/ou rotações de uma
dado sistema. Posteriormente, mostraremos alguns exemplos de como transladar e/ou rotacionar
uma elipse.
Finalmente, no capítulo 3, iremos abordar os conceitos de funções crescentes e decrescentes,
côncavas e convexas e, a partir desses conceitos, poderemos mostrar que, uma vez que qualquer
elipse pode ser colocada na forma canônica a partir de um sistema de coordenadas cartesianas
conveniente, conseguiremos esboçar a porção de uma elipse com equação canônica que está no
primeiro quadrante e através das simetrias da mesma conseguiremos o seu esboço completo.
3
CAPÍTULO
1
PRELIMINARES
1.1 Elipse
Como foi dito na introdução, a elipse será definida como um lugar geométrico, ou seja, um
conjunto de pontos do plano satisfazendo alguma condição. Tal condição envolverá o conceito de
distância entre pontos do plano.
Considerando um sistema de coordenadas cartesianas no plano, dados dois pontos P = (x, y)
eQ = (z, t ), temos que a distância entre P eQ, denotada por d(P,Q), é dada por:
d(P,Q)=
√
(x− z)2+ (y − t )2 (1.1)
Vale notar que do teorema de Pitágoras segue que d(P,Q) é o comprimento do segmento de
reta que liga P e Q.
4
Figura 1.1
No triângulo PVQ, o cateto PV tem comprimento “z–x” e VQ tem comprimento “t–y” e, as-
sim, (1.1) segue diretamente do teorema de Pitágoras.
Visto isso, podemos apresentar a definição de elipse:
Definição 1.1 Considere dois pontos distintos do plano F1 e F2 e um número real a > 0 tal que
2a > d(F1,F2). A elipse de focos F1 e F2 e eixo maior medindo 2a é o conjunto dos pontos P do plano
que satisfazem:
d(P,F1)+d(P,F2)= 2a (1.2)
Obs.: A exigência de que 2a > d(F1,F2) garante que a elipse não seja o conjunto vazio (caso
2a < d(F1,F2)) nem um segmento de reta (caso 2a = d(F1,F2))
É claro que 1.2 pode ser considerada uma equação da elipse, pois um ponto P do plano está
na elipse se, e somente se, satisfaz 1.2. Porém, tal equação pode assumir formas um tanto quanto
complicadas, como mostra o exemplo abaixo.
5
Exemplo 1.1 Considere a elipse de focos (0,0) e (2,2) com eixo maior medindo 4. Uma equação que
representa essa elipse é:
√
x2+ y2+√(x−2)2+ (y −2)2 = 4.
No exemplo acima, podemos simplificar a equação eliminando as raízes quadradas, como se-
gue: (√
(x−2)2+ (y −2)2
)2 = (4−√x2+ y2)2
(x−2)2+ (y −2)2 = 16−8√x2+ y2+x2+ y2
x2−4x+4+ y2−4y +4 = 16−8√x2+ y2+x2+ y2
8
√
x2+ y2 = 4x+4y +8
(2
√
x2+ y2)2 = (x+ y +2)2
4(x2+ y2) = x2+ y2+4+2xy +4x+4y
4x2+4y2 = x2+ y2+4x+4y +2xy +4
3x2+3y2−4x−4y −2xy −4 = 0.
Ainda assim, a equação encontrada pode ser de difícil manuseio, principalmente pela presença
do termo “xy” (para maiores detalhes, veja [1, 3, 4]) . A seguir, vamos deduzir a equação de uma
elipse quando esta apresenta focos satisfazendo uma certa condição. Neste caso, a equação da
elipse apresenta um formato bastante simples e é, por isso, chamada de equação canônica da
elipse.
Considere a elipse de focos F1(c,0) e F2(−c,0), com c > 0 e eixo maior medindo 2a, com 2a >
d(F1,F2) ⇔ 2a > 2c ⇔ a > c. Neste caso, os focos da elipse estão no eixo x e o ponto médio do
segmento de reta ligando F1 e F2 coincide com a origem do sistema de coordenadas, ou seja, o eixo
y é a mediatriz de F1 e F2. Vamos mostrar que um ponto P (x, y) está nessa elipse se, e somente se:
x2
a2
+ y
2
b2
= 1. Note que b < a.
Primeiramente, suponha que o ponto P (x, y) esteja na elipse, ou seja, d(P,F1)+d(P,F2) = 2a.
Assim:√
(x+ c)2+ y2+√(x− c)2+ y2 = 2a√
(x+ c)2+ y2 = 2a−√(x− c)2+ y2
(x+ c)2+ y2 = 4a2−4a√(x− c)2+ y2+ (x− c)2+ y2 (1.3)
x2+2cx+c2+y2 = 4a2−4a
√
(x− c)2+ y2+x2−2cx+c2+y2 (1.4)
6
4cx = 4a2−4a√(x− c)2+ y2
4a2−4cx = 4a√(x− c)2+ y2
a2− cx = a√(x− c)2+ y2 (1.5)
(a2− cx)2 = a2[(x− c)2+ y2] (1.6)
a4−2a2cx+ c2x2 = a2[x2−2cx+ c2+ y2]
a4
−2a2cx+ c2x2 = a2x2−2a2cx+a2c2+a2y2
a4−a2c2 = a2x2− c2x2+a2y2
a2(a2− c2) = x2(a2− c2)+a2y2.
Substituindo a2− c2 por b2, podemos reescrever a equação acima da seguinte maneira:
a2b2 = b2x2+a2y2.
Dividindo ambos os membros por a2b2, podemos escrever:
x2
a2
+ y
2
b2
= 1.
Para provar que se P (x, y) é tal que
x2
a2
+ y
2
b2
= 1, então P está na elipse, basta notar que todos
os passos da dedução anterior são reversíveis. Todas as implicações reversas são triviais, exceto
(1.6)⇒ (1.5) e (1.4)⇒ (1.3). Isso se deve ao fato de que para provar que (1.5)⇒ (1.6) e (1.3)⇒ (1.4)
elevamos os dois membros das igualdades ao quadrado. Logo, para provarmos que (1.6) ⇒ (1.5)
e (1.4)⇒ (1.3) devemos extrair a raiz quadrada dos membros de (1.6) e de (1.4). A questão aqui é
que nas duas igualdades temos termos elevados ao quadrado. Em (1.6) temos (a2− cx)2 em um
dos lados e em (1.4) temos (2a −√(x− c)2+ y2)2. Como sabemos, pk2 = |k|, mas ao extrairmos
a raiz quadrada de tais termos, não podemos encontrar termos com módulo, caso contrário, não
poderíamos continuar revertendo as implicações.
A rigor, precisamos mostrar que se
x2
a2
+ y
2
b2
= 1, então a2− cx ≥ 0 e 2a−√(x− c)2+ y2 ≥ 0. De
fato, sendo 0≤ c < a e a2 = b2+ c2, temos:
x2
a2
≤ x
2
a2
+ y
2
b2
= 1
⇒ x2 ≤ a2
⇒ |x| ≤ a
7
⇒ −a ≤ x ≤ a
⇒ a2− cx ≥ a2+ c(−a)= a2− ca > a2−aa
⇒ a2− cx ≥ 0.
E:
y2
b2
≤ x
2
a2
+ y
2
b2
= 1
⇒ y2 ≤ b2
⇒ −b2+ y2 ≤ 0
⇒ (x+ c)2+ y2 = x2+2cx+ c2+ y2 < a2+2a2+a2−b2+ y2
⇒ (x+ c)2+ y2 < 4a2
⇒ √(x+ c)2+ y2 < 2a.
Com isso, concluímos que P (x, y) está na elipse se, e somente se,
x2
a2
+ y
2
b2
= 1 , ou seja, esta é a
equação da elipse.
Outro caso que vale mencionar é quando os focos são F1(0,c) e F2(0,−c), com c > 0, e a medida
do eixo maior é 2b, onde b > c. Neste caso, de modo inteiramente análogo ao que já foi feito, temos
que a equação também tem a forma
x2
a2
+ y
2
b2
= 1 , porém, aqui, temos a =
p
b2− c2 e a < b.
Exemplo 1.2 Determine a equação da elipse de focos F1(3,0) e F2(−3,0) e de eixo maior medindo
10.
Como os focos da elipse estão sobre o eixo x, o eixo maior da elipse mede 2a com a > 0 e
2a > d(F1,F2). Além disso, a > b, onde b =
p
a2− c2. Como o eixo maior mede 10 unidades de
comprimento, 2a = 10, ou seja, a = 5. A distância focal 2c mede 6 unidades de comprimento, logo,
c = 3. Sendo assim, podemos escrever:
b =
p
a2− c2
⇒ b =
p
52−32
⇒ b = p25−9
⇒ b = 4.
Como a equação da elipse é da forma
x2
a2
+ y
2
b2
= 1, temos que:
x2
25
+ y
2
16
= 1.
8
Exemplo 1.3 Determine a equação da elipse de focos F1(0,6) e F2(0,−6) e de eixo maior medindo
20.
Como os focos da elipse estão sobre o eixo y , o eixo maior da elipse mede 2b com b > 0 e
2b > d(F1,F2). Além disso, b > a, onde a =
p
b2− c2. Como o eixo maior mede 20 unidades de
comprimento, 2b = 20, ou seja, b = 10. A distância focal 2c mede 12 unidades de comprimento,
logo, c = 6. Sendo assim, podemos escrever:
a =
p
b2− c2
a =
p
102−62
a = p100−36
a = 8.
Como a equação da elipse é da forma
x2
a2
+ y
2
b2
= 1, temos que:
x2
64
+ y
2
100
= 1.
Obs.: Considerando a elipse de equação
x2
a2
+ y
2
b2
= 1, vemos facilmente que os pontos A1(a,0),
A2(−a,0), B1(0,b) eB2(0,−b) estão na elipse (basta notar que suas coordenadas satisfazem a equa-
ção). Tais pontos são chamados vértices da elipse. No capítulo 3, quando tratarmos do esboço da
elipse, veremos a importância destes pontos.
9
CAPÍTULO
2
TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO DE EIXOS
Como vimos no exemplo 1.1, a equação de uma elipse pode ter uma forma de difícil manuseio.
A equação canônica obtida no capítulo anterior representa apenas elipses cujos focos estão sobre
um dos eixos coordenados e o centro (ponto médio do segmento que liga os focos) coincide com
a origem do sistema de coordenadas. Quando não tivermos essa situação canônica, podemos
considerar um novo sistema de coordenadas de forma que os focos estejam sobre um dos eixos
e o centro coincida com a origem. Este novo sistema é obtido por meio de uma translação e/ou
rotação dos eixos coordenados.
Nas próximas seções, vamos ver como funcionam estes “movimentos” entre os eixos coorde-
nados e, principalmente, como se relacionam as coordenadas dos pontos em relação aos sistemas.
10
2.1 Translação de Eixos
Considere dois sistemas de coordenadas: o sistema xOy , e o sistema x1O1y1, cujos eixos são
paralelos aos eixos do sistema xOy . O sistema x1O1y1 pode ser imaginado como uma translação
de xOy , conforme mostra a figura abaixo.
Se P é um ponto do plano, podemos tomar suas coordenadas em relação a cada um dos dois
sistemas. Considere O1(a,b) como a origem do sistema x1O1y1.
Se (x, y) são as coordenadas de P em relação ao sistema xOy e (x1, y1) são as coordenadas de P
em relação ao sistema x1O1y1, temos:
x = x1+a
y = y1+b
onde (a,b) são as coordenadas de O1 em relação ao sistema xOy . De fato, a figura abaixo ilustra o
que ocorre no caso em que todas as coordenadas (x, y,x1, y1,a,b) são positivas, mas argumentos
semelhantes justificam os outros casos.
11
Explicitando-se x1 e y1, obtemos
x1 = x–a
y1 = y–b.
Estas equações permitem passar das coordenadas de um ponto P no sistema xOy para as co-
ordenadas de P com relação ao sistema x1O1y1.
Note que uma translação de um sistema de coordenadas fica completamente determinada se
conhecermos as coordenadas da origem do novo sistema.
Exemplo 2.1 Seja o ponto P (4,-1). Efetuando-se uma translação tal que a nova origem é O1 (-2,3),
em relação ao novo sistema, as coordenadas de P passam a ser
x1 = x–a y1 = y–b
x1 = 4–(−2) y1 =−1–3
x1 = 6 y1 =−4
ou seja, P, em relação ao novo sistema, possui coordenadas P’(6,-4).
12
2.2 Rotação de Eixos
Consideremos o sistema de coordenadas xOy e seja x1Oy1 o sistema de coordenadas obtido
de xOy por uma rotação de um ângulo θ, no sentido anti-horário, como mostra a figura a seguir:
Sejam (x, y) e (x1, y1) as coordenadas de um ponto P do plano, em relação aos sistemas xOy e
x1Oy1, respectivamente.
Nosso objetivo é escrever x1 e y1 em função de x, y e do ângulo θ ∈
(
0,
pi
2
)
. Uma rotação de um
ângulo θ transforma os pontos e1 = (1,0) e e2 = (0,1) nos pontos u1 e u2, onde
u1 = (cosθ, senθ)= cosθe1+ senθe2
u2 = (−senθ,cosθ)=−senθe1+ cosθe2
Note que:
P = (x, y)= xe1+ ye2.
13
Em relação ao sistema x1Oy1, as coordenadas de u1 e u2 são, respectivamente, (1,0) e (0,1), logo:
P (x1, y1)= x1u1+ y1u2.
Assim:
xe1+ ye2 = x1u1+ y1u2 = x1(cosθ, senθ)+ y1(−senθ,cosθ)
⇔ (x, y) = (x1cosθ− y1senθ,x1senθ+ y1cosθ)
⇒
x = x1cosθ− y1senθy = x1senθ+ y1cosθ (2.1)
Estas equações em 2.1 explicitam as coordenadas (x, y) em função de (x1, y1) e θ. Note que
estas equações podem ser representadas pela seguinte equação matricial:x
y
=
cosθ −senθ
senθ cosθ
x1
y1
 .
A matriz M =
 cosθ −senθ
senθ cosθ
 é inversível e sua inversa é M−1 =
 cosθ senθ
−senθ cosθ
, assim;
 x
y
 = M
 x1
y1

⇔M−1
 x
y
 = M−1M
 x1
y1

⇔M−1
 x
y
 =
 cos2θ+ sen2θ cosθsenθ− senθcosθ
senθcosθ− cosθsenθ sen2θ+ cos2θ
 x1
y1

⇔M−1
 x
y
 =
 1 0
0 1
 x1
y1

Portanto,
x1 = xcosθ+ ysenθ
y1 =−xsenθ+ ycosθ.
Exemplo 2.2 Seja o ponto P (5,3). Efetuando-se uma rotação de 30o nos eixos, quais as coordenadas
de P em relação ao novo sistema?
14
x1 = xcosθ+ ysenθ
x1 = 5
p
3
2
+31
2
x1 = 5
p
3+3
2
y1 =−xsenθ+ ycosθ
y1 =−51
2
+3
p
3
2
y1 = −5+3
p
3
2
Ou seja, em relação ao novo sistema, P
(
5
p
3+3
2
,
−5+3p3
2
)
.
Exemplo 2.3 Encontre um novo sistema de coordenadas de modo que a equação da elipse cujos
focos se localizam nos pontos (0,0) e (2,2) e cujo eixo maior mede 4 unidades de comprimento tenha
a forma canônica.
Os focos desta elipse não estão ambos sobre um dos eixos e, obviamente, o ponto médio de
F1F2 não é a origem.
Em casos como este, devemos considerar primeiro um novo sistema de coordenadas x1Oy1 de
modo que os focos estejam sobre um dos eixos, obtido do sistema xOy por meio de uma rotação
de eixos. Como os focos são F1(0,0) e F2(2,2), ambos estão na reta y = x.
15
O ângulo entre o eixo x e esta reta, no sentido anti-horário, é
pi
4
, logo, considere x1Oy1 obtido
de xOy por meio da rotação, no sentido anti-horário, de θ = pi
4
. As equações que descrevem esta
rotação são:
x = x1cospi
4
− y1senpi
4
y = x1senpi
4
+ y1cospi
4
⇔

x =
p
2
2
(x1− y1)
y =
p
2
2
(x1+ y1)
ou
x1 =
p
2
2
(x+ y)
y1 =
p
2
2
(y −x)
Neste novo sistema, os focos estão sobre o eixo x1 e suas coordenadas (em relação a x1Oy1)
são: F1(0,0)
Para F2(2,2), teremos:
x1 = 2cospi
4
+2senpi
4
⇒ x1 = 2
p
2
2
+2
p
2
2
⇒ x1 = 2
p
2
16
y1 = −2senpi
4
+2cospi
4
⇒ x1 = −2
p
2
2
+2
p
2
2
⇒ y1 = 0, ou seja, F2(2
p
2,0).
Ainda não temos a situação canônica, pois a origem de x1Oy1 não é o ponto médioQ de F1F2.
Em Relação a x1Oy1, as coordenadas deQ são:
x1 = 1cospi
4
+1senpi
4
⇒ x1 =
p
2
2
+
p
2
2
⇒ x1 =
p
2
y1 = −1senpi
4
+1cospi
4
⇒ x1 = −
p
2
2
+
p
2
2
⇒ y1 = 0,
ou seja,Q(
p
2,0).
Dessa forma, considere o sistema x2O2y2 obtido pela translação de x1Oy1 que leva a origem
para o ponto O2 =Q(
p
2,0)= (c,d) , a qual é descrita por:
x1 = x2+
p
2 y1 = y2+0 ou
x2 = x1−
p
2 y2 = y1
Logo, Q = (0,0), no sistema x2O2y2.
Neste novo sistema x2O2y2 temos a situação canônica. Assim, a equação da elipse em relação a
x2Oy2 é da forma
x22
a2
+ y
2
2
b2
= 1.
No exemplo 1.1 do capítulo 1 encontramos a seguinte equação, em relação a xOy, desta elipse
3x2+3y2−4x−4y −2xy −4= 0.
17
Em relação ao sistema x1Oy1, esta equação assume a seguinte forma:
3
[p
2
2
(x1− y1)
]2
+3
[p
2
2
(x1+ y1)
]2
− 4
[p
2
2
(x1− y1)
]
−4
[p
2
2
(x1+ y1)
]
−2
[p
2
2
(x1− y1)
p
2
2
(x1+ y1)
]2
−4 = 0
⇒ 3
2
(x21−2x1y1+ y21 +x21+2x1y1+ y21) − 2
p
2(x1− y1+x1− y1)− (x21− y21)−4= 0
⇒ 3
2
(2x21+2y21) − 4
p
2x1−x21+ y21 −4= 0
⇒ 2x21−4
p
2x1+3y21 −4 = 0
⇒ 2(x21−2
p
2x1+2−2)+3y21 −4 = 0
⇒ 2(x1−
p
2)2+3y21 = 8
No sistema de coordenadas x2O2y2, essa equação fica na seguinte forma:
2x22+3y22 = 8⇔
x22
4
+ y
2
2
8
3
= 1.
Assim, obtivemos uma equação canônica para esta elipse.
18
CAPÍTULO
3
ESBOÇO DA ELIPSE
Como foi visto no capítulo anterior, sempre é possível encontrar um sistema de coordenadas
de modo que a equação da elipse assume a forma canônica
x2
a2
+ y
2
b2
= 1. Dessa forma, se queremos
apenas tratar de questões geométricas, podemos considerar apenas elipses como esta. No que
segue, vamos fazer várias considerações que nos possibilitarão fazer um esboço convincente da
elipse.
Considere a elipse ² de equação
x2
a2
+ y
2
b2
= 1. Note que se um ponto P (x, y) está nessa elipse,
então x não pode ser maior do que a, nem menor do que –a, ou seja, devemos ter |x| ≤ a. De fato,
se x > a (ou x < −a), teríamos x2 > a2, logo x
2
a2
> 1. Como y
2
b2
é um número não negativo para
qualquer y ∈ R, então x
2
a2
+ y
2
b2
≥ x
2
a2
> 1 , assim, P (x, y) não estaria na elipse. Do mesmo modo,
prova-se que se P (x, y) está na elipse, então –b < y < b, ou seja, |y | ≤ b. Com isso, já podemos
concluir que a elipse, ou seja, os pontos que satisfazem
x2
a2
+ y
2
b2
= 1, estão contidos na região
limitada pelas retas x = −a, x = a, y = −b e y = b, isto é, a elipse está contida no retângulo que
aparece na figura abaixo:
19
Note que os vértices da elipse também estão na borda do retângulo. Na verdade, os vértices
da elipse são os únicos pontos dela que também estão na borda do retângulo. De fato, a borda
deste retângulo é formada por quatro segmentos de reta contidos, cada um, em uma das quatro
retas mencionadas acima. Neste caso, se P (x, y) está na elipse e na reta x = −a, então P (−a, y) e
(−a)2
a2
+ y
2
b2
= 1⇔ a
2
a2
+ y
2
b2
= 1⇔ 1+ y
2
b2
= 1⇔ y
2
b2
= 0⇔ y = 0, logo P (−a,0), o qual é um dos vértices
da elipse.
Do mesmo modo, mostra-se que os outros pontos da elipse que também estão na borda do
retângulo são (a,0), (0,−b) e (0,b), os quais são os outros vértices da elipse. Outra questão impor-
tante a ser abordada trata das simetrias da elipse. Seja Po(xo , yo) um ponto da elipse de equação
x2
a2
+ y
2
b2
= 1. Como z2 = (−z)2 para todo z ∈ R, os pontos P1(−xo , yo), P2(xo ,−yo) e P3(−xo ,−yo)
também estão na elipse.
20
21
Isso significa que se um ponto Po está na elipse, então seu simétrico P1 em torno do eixo y e o
seu simétrico P2 em torno do eixo x também estão na elipse. Além destes, o seu simétrico P3 em
relação à origem O também está na elipse.
Dessa forma, a porção da elipse que está no segundo quadrante é apenas uma reflexão da
porção que está no primeiro quadrante.
Com isso, temos a porção da elipse que está acima do eixo x. A porção abaixo do eixo x é
uma reflexão da porção que está acima. Sendo assim, se tivermos o esboço da porção da elipse
22
que está no primeiro quadrante, poderemos obter o esboço completo da elipse. As figuras abaixo
mostram como fazer isso com uma curva que possui as mesmas simetrias de uma elipse, mas que
definitivamente não é uma elipse.
Por fim, podemos notar que para cada –a < xo < a, existem dois valores de y tais que o ponto
P (xo , y) está na elipse de equação
x2
a2
+ y
2
b2
= 1. Basta notar que yo = b
√
1− x
2
o
a2
e y1 =−b
√
1− x
2
a2
são tais que Po(xo , yo) e P1(xo , y1) estão na elipse. Dessa forma, podemos concluir que a elipse
23
não é o gráfico de uma função (y como função de x, e, do mesmo modo, prova-se que também
não é gráfico de x como função de y). Porém, a porção da elipse que está no primeiro quadrante
é o gráfico da função f : [0,a]→ [0,b] dada por f (x) = b
√
1− x
2
a2
. Sendo assim, vamos esboçar o
gráfico dessa função. Para isso, precisaremos tratar dos seguintes conceitos referentes a funções:
funções crescentes, decrescentes, convexas e côncavas.
3.1 Funções Crescentes e Decrescentes
Definição 3.1 Seja f : A → R uma função, onde A ⊂ R. Dizemos que f é crescente quando para
quaisquer c,d ∈ A, com c < d, tivermos f (c)< f (d). Se para quaisquer c,d ∈ A, com c < d tivermos
f (c)> f (d), dizemos que f é decrescente.
Exemplo 3.1 f :R→R dada por f (x)= x é crescente.
De fato, se c,d ∈R e c < d , então f (c)= c < d = f (d).
Exemplo 3.2 f :R+→R+ dada por f (x)= x2 é crescente (R+ = [0,+∞)).
De fato, sejam c,d ∈R+ , com c < d . Se c = 0, então f (c)= f (0)= 02 < d2 = f (d). Considere o caso
0 < c < d . Temos f (d)– f (c) = d2− c2 = (d + c)(d–c). Como c e d são números positivos, então
c +d > 0 e como c < d , temos d–c > 0, assim d2–c2 = (d + c)(d–c) > 0⇔ d2–c2 > 0⇔ f (d)– f (c) >
0⇔ f (c)< f (d). Note que a função f :R−→R dada por f (x)= x2 é decrescente.
Exemplo 3.3 Se f : A → B é uma bijeção crescente, então a sua inversa f −1 : B → A também é
crescente (aqui A,B ⊂R).
De fato, sejam c,d ∈ B , com c < d . Temos c = f (t ) para algum t ∈ A e d = f (z) para algum z ∈ A,
logo f (t ) < f (z). Como f é crescente, devemos ter t < z e f −1(c) = t e f −1(d) = z, logo f −1(c) <
f −1(d) e f −1 é crescente.
Do exemplo 3.3 acima, segue que a função g : R+→ R+ dada por g (x)=px é crescente, pois é
a inversa de f :R+→R+; f (x)= x2.
A seguir, mostraremos que a função que tem como gráfico a porção da elipse no 1o quadrante
é decrescente.
Teorema 3.1 A função f : [0,a]→ [0,b]dadapor f (x)= b
√
1− x
2
a2
, onde a > 0 e b > 0, é decrescente.
24
Demonstração: Sejam c,d ∈ [0,a] com c < d . Dessa forma, como x2 é crescente em R+, então c2 <
d2 ⇒ −c2 > −d2 ⇒ − c
2
a2
> −d
2
a2
⇒ 1 − c
2
a2
> 1 − d
2
a2
. Como
p
x é crescente, temos√
1− c
2
a2
>
√
1− d
2
a2
⇒ b
√
1− c
2
a2
> b
√
1− d
2
a2
⇔ f (c)> f (d).
A análise do crescimento e decrescimento de funções pode ser feita usando-se resultados e
conceitos do cálculo diferencial (para detalhes [2] e [5]).
Os pontos (0,b) e (a,0) fazem parte do gráfico da função f acima, sendo, de certa forma, as “ex-
tremidades” deste gráfico, ou seja, este gráfico é uma curva que liga esses pontos e que decresce,
ou seja, ao desenharmos o gráfico, partindo de (0,b), o traço vai decaindo até chegar em (a,0).
Porém, existem várias formas de ocorrer este decaimento. As figuras a seguir mostram algumas
dessas formas:
25
Na próxima seção, vamos abordar esta questão através dos conceitos de função convexa e fun-
ção côncava.
26
3.2 Funções Convexas e Côncavas
Seja f : I →R uma função onde I é um intervalo de qualquer tipo ([c,d ], [c,+∞), (−∞,d ], etc.).
Sejam c,d ∈ I , com c < d . Os pontos P (c, f (c)) e Q(d , f (d)) estão no gráfico de f . Como c < d , a
reta que passa por P e Q não é vertical, logo possui uma equação do tipo y =mx +n. Conside-
rando que P e Q estão na reta e resolvendo o sistema
 f (c)=mc+nf (d)=md +n , encontramos a seguinte
equação para esta reta:
y = f (c)+ f (d)− f (c)
d − c (x− c)= r (x)
.
Definição 3.2 Uma função f : I →R, onde I é um intervalo, é dita ser convexa quando para quais-
quer c,x,d ∈ I , com c < x < d, temos:
f (x)≤ f (c)+ f (d)− f (c)
d − c (x−a) (3.1)
e é dita ser côncava quando:
f (x)≥ f (c)+ f (d)− f (c)
d − c (x−a) (3.2)
Se em (3.1) e em (3.2) trocarmos ≤ por < e ≥ por >, temos os conceitos de função estritamente
convexa e estritamente côncava, respectivamente.
Note que se c < x < d , então o ponto P ′(x,r (x)) está no segmento de reta que liga P (c, f (c)) e
Q(d , f (d)).
27
Sendo f convexa, devemos ter f (x)≥ r (x), ou seja, no ponto de abscissa x o gráfico de f está
abaixo do segmento de reta ligandoP eQ. Como a condição (3.1) é válida para quaisquer c,x,d ∈ I ,
com c < x < d , então o aspecto geométrico do gráfico de uma função convexa deve ser o seguinte:
Figura 3.1: função convexa crescente
28
Figura 3.2: função convexa decrescente
Note que se fixarmos c e d e tivermos a condição (3.1) válida para todo x ∈ (c,d), então o gráfico
pode apresentar o seguinte formato:
Note que (3.1) é válida para qualquer x ∈ (c,d). Porém, tomando e < x < h, temos f (x) >
f (e)+ f (h)− f (e)
h−e (x−e), portanto a função não é convexa.
Com isso, podemos concluir que o aspecto geométrico do gráfico de uma função convexa é o
29
de uma curva com concavidade voltada para cima (algo como uma “boca aberta” para cima). Do
mesmo modo, vemos que o aspecto geométrico do gráfico de uma função côncava é de uma curva
com concavidade voltada para baixo.
Figura 3.3: função côncava crescente
Figura 3.4: função côncava crescente
30
Obs.: Funções cujos gráficos são retas ou segmentos de reta são simultaneamente convexas e
côncavas, mas não são estritamente convexas, nem estritamente côncavas.
Exemplo 3.4 A função f :R+→R dada por f (x)= x2 é estritamente convexa.
Queremos mostrar que, para quaisquer 0≤ a < x0 < b, temos f (x0)< r (x0), onde:
r (x)= f (b)− f (a)
b−a (x−a)+ f (a). (3.3)
Como f (x) = x2, f (a) = a2 e f (b) = b2, substituindo as relações acima em (3.3), podemos inferir
que
r (x0)= b
2−a2
b−a (x0−a)+a
2
r (x0)= (b−a)(b+a)
b−a (x0−a)+a
2
r (x0)= (b+a)(x0−a)+a2
r (x0)= bx0−ab+ax0−a2+a2
r (x0)= bx0−ab+ax0
r (x0)= b(x0−a)+ax0 > x0(x0−a)+ax0 = x20−ax0+ax0 = x20 = f (x0).
Portanto, r (x0) > f (x0) e, assim, f é estritamente convexa. De modo análogo, prova-se que
f :R→R, dada por f (x)= x2 é estritamente convexa.
Teorema 3.2 A função f : [0,a] → R dada por f (x) = b
√
1− x
2
a2
, com a > 0 e b > 0, é estritamente
côncava.
Demonstração: Sejam 0≤ c < x < d ≤ a e r (x)= f (c)+ f (d)− f (c)
d − c (x− c).
Queremos mostrar que f(x) > r (x). Temos:
r (x)= b
a
√
a2− c2+
b
a
p
a2−d2− b
a
p
a2− c2
d − c (x− c)
Igualando os denominadores, podemos escrever:
31
r (x)=
b
a
(d − c)
p
a2− c2+ b
a
(x− c)
p
a2−d2− b
a
(x− c)
p
a2− c2
d − c
Colocando o fator
b
a
em evidência, temos:
r (x) = b
a
[
(d − c−x+ c)
p
a2− c2+ (x− c)
p
a2−d2
d − c
]
=
b
a
[
(d −x)
p
a2− c2+ (x− c)
p
a2−d2
]
d − c .
Suponha que f (x)≤ r (x), assim:
b
a
[
(d −x)
p
a2− c2+ (x− c)
p
a2−d2
]
d − c ≥
b
a
√
a2−x2
.
Cancelando
b
a
em ambos os membros, multiplicando-os por “d – c” e elevando-os ao quadrado,
ficamos com a seguinte desigualdade:
32
⇒ (d −x)2(a2− c2)+2(d −x)(x− c)
p
a2− c2
p
a2−d2+
+(x− c)2(a2−d2)≥ (d − c)2(a2−x2)
⇒ 2(d −x)(x− c)
p
a2− c2
p
a2−d2+ (d2−2dx+x2)(a2− c2)+
+(x2−2cx+ c2)(a2−d2)≥ (d2−2cd + c2)(a2−x2)
⇒ 2(d −x)(x− c)
p
a2− c2
p
a2−d2+a2d2−2a2dx+a2x2− c2d2+
+2c2dx−c2x2+a2x2−d2x2−2a2cx+2cd2x+a2c2− c2d2 ≥a2d2
−d2x2−2a2cd +2cdx2+a2c2−c2x2
⇒ 2(d −x)(x− c)
p
a2− c2
p
a2−d2+2a2x2−2c2d2−2a2dx+2c2dx
−2a2cx+2cd2x ≥ 2cdx2−2a2cd
Ao dividirmos ambos os membros da inequação acima por dois, obtemos:
⇒ (d −x)(x− c)
p
a2− c2
p
a2−d2+a2x2− c2d2−a2dx+ c2dx−a2cx+ cd2x ≥ cdx2−a2cd
⇒ (d −x)(x− c)
p
a2− c2
p
a2−d2 ≥ cdx2+ c2d2− c2dx− cd2x+a2dx+a2cx−a2x2−a2cd
⇒ (d −x)(x− c)
p
a2− c2
p
a2−d2 ≥ cd(x2+ cd − cx−dx)+a2(dx+ cx−x2− cd)
⇒ (dx− cd −x2+ cx)
p
a2− c2
p
a2−d2 ≥−cd(dx− cd −x2+ cx)+a2(dx− cd −x2+ cx)
⇒ (dx− cd −x2+ cx)
p
a2− c2
p
a2−d2 ≥ (dx− cd −x2+ cx)(a2− cd)
Como “dx–cd–x2+ cx” é um fator comum de ambos os membros da inequação acima, podemos
eliminá-lo. Assim, temos:
⇒
√
a2− c2
√
a2−d2 ≥ (a2− cd)
Elevando os dois membros da inequação acima ao quadrado, obtemos:
⇒ (a2− c2)(a2−d2)≥ (a2− cd)2
Aplicando a propriedade distributiva no primeiro membro da inequação supracitada e desenvol-
vendo o quadrado da diferença de dois termos no segundo membro da mesma, podemos escrever:
⇒ a4−a2d2−a2c2+c2d2 ≥a4−2a2cd +c2d2
⇒ −a2d2−a2c2 ≥−2a2cd
Multiplicando ambos os membros da inequação acima por menos um, temos:
⇒ a2d2+a2c2 ≤ 2a2cd
⇒ a2(d2+ c2)≤ a22cd
⇒ d2+ c2 ≤ 2cd
⇒ d2−2cd + c2 ≤ 0
⇒ (d2− c2)2 ≤ 0
33
Como (d − c)2 não pode ser menor que zero então,
⇒ (d2− c2)2 = 0
⇒ d = c.
Como, por hipótese, c < d , temos uma contradição.Portanto, f (x) > r (x) para quaisquer
0≤ c < x < d ≤ a, ou seja, f é estritamente côncava.
3.3 Esboço da Elipse
Com o que foi visto até aqui, temos condições de esboçar a elipse. Comecemos com o gráfico
da função f : [0,a]→R tal que f (x)= b
√
1− x
2
a2
.
Já vimos que os pontos (0,b) e (a,0) estão neste gráfico. Além disso, vimos que esta função é
decrescente e côncava, portanto seu gráfico tem a seguinte forma:
34
Usando a simetria da elipse em torno do eixo y, temos:
35
Finalmente, usando a simetria em torno do eixo x, temos:
A seguir, seguem, respectivamente, os esboços das elipses dos exemplos 1.1 e 1.3 do capítulo
1:
36
37
3.4 Conclusão
Neste trabalho procuramos apresentar uma forma didática e viável (para alunos do ensino
médio) de estudar a fundo a elipse. Todos os conceitos e resultados constantes nessa dissertação
podem ser apresentados para alunos do ensino médio pois não requerem pré-requisitos de mate-
mática avançada (ensino superior). O principal ponto foi possibilitar o estudo dos aspectos geo-
métricos de uma elipse apenas com conceitos de matemática básica. Em geral, para esboçarmos
uma curva (com algumas exceções) necessitamos de conceitos e resultados do cálculo diferencial
e integral, tais como, limites, continuidade, derivada e teoremas como o do valor intermediário
e o do valor médio. Nessa dissertação, foi proposta uma maneira de fazermos o esboço da elipse
sem usar qualquer conteúdo do cálculo diferencial, o que possibilita sua aplicação em uma sala
de aula do ensino médio. Esperamos, com isso, dar uma orientação para que professores ao serem
perguntados sobre o porquê do traçado da elipse ser como é, eles de fato possam dar uma resposta
convincente aos alunos de forma que estes entendam.
38
BIBLIOGRAFIA
[1] Lima, E.; Álgebra Linear, 1ª ed., Rio de Janeiro: IMPA, 2014.
[2] Lima, E.; Análise Real, volume 1,8ª ed., Rio de Janeiro: IMPA, 2006.
[3] Lima, E.; Geometria Analítica e Álgebra Linear,1ª ed., Rio de Janeiro: IMPA, 2014.
[4] Silva, V.; Reis, G.; Geometria Analítica, 2ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 1996.
[5] Guidorizzi, H.; Um curso de Cálculo, vol. 1, 2ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2001.
[6] Stewart, J.; Cálculo, volume 2, tradução-EZ2 Translate, tradução da 7ª edição Norte-
americana, São Paulo: Cengage Learning, 2013.
[7] Anton, H.; Bivens, I; Davis, S.; Cálculo, volume 2, 8ª ed., tradução-Claus Ivo Doering, Porto
Alegre: Bookman, 2007.
[8] Elipse. In: Wikipedia: the free encyclopedia. Available in:
<https://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse> Acesso em: 23 julho de 2016.
39