Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Cieˆncias Exatas e da Terra
Po´s-Graduac¸a˜o em Matema´tica em Rede Nacional
Mestrado Profissional em Matema´tica em Rede Nacional
Jose´ Rauryson Alves Bezerra
Uma ferramenta dida´tica para ajudar na fixac¸a˜o
dos conceitos introduto´rios de ana´lise combinato´ria.
Natal, fevereiro de 2013
Jose´ Rauryson Alves Bezerra
Uma ferramenta dida´tica para ajudar na fixac¸a˜o
dos conceitos introduto´rios de ana´lise combinato´ria.
Trabalho apresentado ao Programa de Po´s-
Graduac¸a˜o em Matema´tica em Rede Nacio-
nal da Universidade Federal do Rio Grande do
Norte, em cumprimento com as exigeˆncias le-
gais para obtenc¸a˜o do t´ıtulo de Mestre.
A´rea de Concentrac¸a˜o: Ana´lise Combinato´ria
Orientador:
Prof. Dr. Andre´ Gustavo Campos Pereira
Natal, fevereiro de 2013
Catalogac¸a˜o da Publicac¸a˜o na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial
Centro de Cieˆncias Exatas e da Terra – CCET.
Bezerra, Jose´ Rauryson Alves.
Uma ferramenta dida´tica para ajudar na fixac¸a˜o dos conceitos introduto´rios
de ana´lise combinato´ria / Jose´ Rauryson Alves Bezerra. - Natal, 2013.
37 f. il.:
Orientador: Prof. Dr. Andre´ Gustavo Campos Pereira.
Dissertac¸a˜o (Mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte.
Centro de Cieˆncias Exatas e da Terra. Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Ma-
tema´tica em Rede Nacional.
1. Matema´tica - Ensino - Dissertac¸a˜o. 2. Ana´lise combinato´ria – Dis-
sertac¸a˜o. 3. Heur´ıstica – Problemas - Dissertac¸a˜o. I. Pereira, Andre´ Gustavo
Campos. II. T´ıtulo.
RN/UF/BSE-CCET CDU 51:37.
Jose´ Rauryson Alves Bezerra
Uma ferramenta dida´tica para ajudar na fixac¸a˜o
dos conceitos introduto´rios de ana´lise combinato´ria.
Trabalho apresentado ao Programa de Po´s-
Graduac¸a˜o em Matema´tica em Rede Nacio-
nal da Universidade Federal do Rio Grande do
Norte, em cumprimento com as exigeˆncias le-
gais para obtenc¸a˜o do t´ıtulo de Mestre.
A´rea de Concentrac¸a˜o: Ana´lise Combinato´ria
Aprovado em: / /
Banca Examinadora:
Prof. Dr. Andre´ Gustavo Campos Pereira
Departamento de Matema´tica - UFRN
Orientador
Prof. Dr. Fagner Lemos de Santana
Departamento de Matema´tica - UFRN
Examinador Interno
Prof. Dr. Francisco Antoˆnio Morais de Souza
Departamento de Matema´tica - UFCG
Examinador Externo
Agradecimentos
A minha ma˜e, Dona Ruth, que conseguiu com hercu´leo esforc¸o o valor da minha ins-
cric¸a˜o no vestibular. Duas vezes. Na˜o foi o u´nico sacrif´ıcio que fez por mim mas foi
um dos que me trouxeram ate´ aqui.
Ao amigo, agora distante, Ezequiel Rodrigues que com suas sutis indicac¸o˜es me fez
ver a beleza e a importaˆncia da mu´sica, literatura e da arte pla´stica.
Aos professores amigos:
Papale´o, por ter me ensinado a importaˆncia das definic¸o˜es e a ver as mesmas coisas
com variados olhares. Nossas conversar nunca sera˜o esquecidas.
Andre´ Gustavo, por ter sempre me incentivado e me mostrado com seu exemplo
o que e´ ser um bom professor. Sua dedicac¸a˜o, persisteˆncia e pacieˆncia nunca sera˜o
esquecidas.
Marcelo, por ter se dedicado tanto a nossa turma e por sua excelente dida´tica. Suas
aulas e seu companheirismo nunca sera˜o esquecidos.
Tiago, por ter me mostrado que filho de pobre tambe´m pode virar doutor. Seu
exemplo nunca sera´ esquecido.
Benedito, por ter me mostrado a importaˆncia de dominar outras a´reas do conheci-
mento afim de fazer o meu conhecimento em matema´tica ser ampliado. Suas orientac¸o˜es
nunca sera˜o esquecidas.
Aos professores Walter Abrantes e Joa˜o Dantas por terem, cada um ao seu modo,
me feito gostar tanto de Matema´tica.
Aos amigos Paulinho e Gibran por terem sido companheiros e por nossas mais
variadas conversas e discusso˜es.
Ao amigo Luciano por ter me dado ta˜o sa´bios conselhos para que eu tomasse as
minhas deciso˜es. Essas deciso˜es tambe´m me trouxeram ate´ aqui.
i
Resumo
Os seres humanos, assim como alguns animais, nascem dotados da capacidade de
perceber quantidades. Portanto te´cnicas para contar quantidades foi um passo natural
no desenvolvimento do homem. As necessidades provindas da evoluc¸a˜o das sociedades
e recursos tecnolo´gicos tornam necessa´rio a otimizac¸a˜o de tais me´todos de contagem.
Apesar de necessa´rio e u´til, o estudo desses me´todos no Ensino Me´dio esbarram em
dificuldades dida´ticas. Com o objetivo de ampliar o leque de ferramentas dispon´ıveis
aos professores para o ensino de Ana´lise Combinato´ria apresentamos neste trabalho um
fluxograma que pretende dinamizar o processo de fixac¸a˜o dos conceito via resoluc¸a˜o de
exerc´ıcios.
Palavras chave: Ensino de Matema´tica; Ana´lise Combinato´ria; Heur´ıstica de
problemas de Ana´lise Combinato´ria.
ii
Abstract
Humans, as well as some animals are born gifted with the ability to perceive quan-
tities. The needs that came from the evolution of societies and technological resources
make the the optimization of such counting methods necessary. Although necessary
and useful, there are a lot of difficulties in the teaching of such methods.In order to
broaden the range of available tools to teach Combinatorial Analysis, a flowchart is
presented in this work with the goal of helping the students to fix the initial concepts
of such subject via pratical exercises.
Keywords: Teaching of Mathematics; Combinatorial Analysis; Heuristic Analysis
of Combinatorial problems.
iii
Lista de Figuras
1.1 Pintura rupestre que possivelmente representa uma contagem [11] . . . 2
1.2 Palimpsesto de Arquimedes [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Uma das possibilidades de montagem das pec¸as do Lo´culos [7] . . . . . 5
2.1 Calenda´rio do ano de 2013 com marcac¸o˜es indicando os dias de viagem. 8
2.2 Exemplo de resposta de um aluno classificada como errada, acompa-
nhada de um exemplo que na˜o se aplica a` te´cnica apontada . . . . . . . 10
2.3 Exemplo de resposta de um aluno classificada como errada, acompa-
nhada de um exemplo que se aplica a` te´cnica apontada . . . . . . . . . 10
2.4 Exemplo de resposta de um aluno classificada como parcialmente certa,
acompanhada de um exemplo que na˜o se aplica a` te´cnica apontada . . 10
2.5 Exemplo de resposta de um aluno classificada como parcialmente certa,
acompanhada de um exemplo que se aplica a` te´cnica apontada . . . . . 11
2.6 Exemplo de resposta de um aluno classificada como certa, acompanhada
de um exemplo que na˜o se aplica a` te´cnica apontada . . . . . . . . . . 11
2.7 Exemplo de resposta de um aluno classificada como certa, acompanhada
de um exemplo que se aplica a` te´cnica apontada . . . . . . . . . . . . . 11
2.8 Erro cometido por aluno ao respoder a questa˜o 05 da prova do Anexo A 13
iv
Lista de Tabelas
2.1 Quantidade e Percentual de alunos em cada uma das variac¸o˜es estabe-
lecidas quanto a` compreensa˜o e resposta da questa˜o 01 da prova . . . . 12
v
Lista de S´ımbolos
an Termo que ocupa a posic¸a˜o n em uma sequeˆncia
r Raza˜o de uma Progressa˜o Aritme´tica
n! Fatorial do nu´mero n
Pn = n! Permutac¸a˜o Simples de n elementos
An,p =
n!
(n− p)!) Arranjo Simples de n elementos tomados p a p
Cpn = Cn,p =
n!
p! · (n− p)! Combinac¸a˜o Simples de n elementos tomados p a p
PRn1,n2,...n =
n!
n1! · n2! · . . . Permutac¸a˜o de n elementos com repetic¸a˜o de um elemento
n1 vezes, de outro elementos n2 vezes, etc.
ARn,p = n
p Arranjo com Repetic¸a˜o de n elementos tomados p a p
CRn,p = Cn+p−1,1 Combinac¸a˜o Completa de n elementos tomados p a p
vi
Suma´rio
1 Por que contamos? 1
2 Por que erramos ao contar? 6
3 O que consideramos a boa te´cnica? 15
3.1 A compreensa˜o do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 A construc¸a˜o da estrate´gia com uso do algoritmo . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Como executar a estrate´gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Conclusa˜o 33
Anexo A 34
Bibliografia 37
vii
Cap´ıtulo 1
Por que contamos?
“(...) the future is more than a
whim of the gods and that men
and women are not passive
before nature.”
Bernstein [9]
Antes de dominar o fogo ou inventar a roda certamente o homem aprendeu a contar.
A percepc¸a˜o de quantidade nos acompanha ha´ milhares de anos e foi essa capacidade
que permitiu a manutenc¸a˜o de grande parte dos conceitos que hoje nos permitem viver
em sociedade.
O primeiro cap´ıtulo de Devlin[3] versa sobre o resultado de uma pesquisa feita pela
professora Karen Wynn, da Universidade de Yale (Connecticut, Estados Unidos da
Ame´rica), com bebeˆs de ate´ quatro meses de idade. Nessa pesquisa conclui-se que,
apesar de na˜o dominar o conceito formal de nu´mero, os bebeˆs sa˜o possuidores da
percepc¸a˜o de quantidade. A pesquisa causou surpresa por apresentar dados que per-
mitiram inferir que a percepc¸a˜o de quantidade nasce conosco ou no ma´ximo vem antes
mesmo de aprendermos formalmente a contar, contrariando o paradigma ate´ enta˜o
aceito de que a percepc¸a˜o de quantidade so´ viria depois que o indiv´ıduo aprendesse a
contar. As experieˆncias de Wynn foram reproduzidas por diferentes psico´logos de todo
mundo, corroborando a precisa˜o do resultado. A necessidade de desenvolver, manipular
e registrar as quantidades que percebemos naturalmente levou o homem a contar.
Mas sendo o ser humano dotado de uma percepc¸a˜o de quantidade que nos permitiu
contar, podemos partir para outra questa˜o: com que objetivo contamos? A resposta
dessa pergunta sofre variac¸o˜es ao longo do tempo pois esses objetivos evolu´ıram junto
com a nossa sociedade. O homem ja´ foi noˆmade, viveu em cavernas, supria a si e
1
aos seus coletando e cac¸ando. Suas necessidades de contagem eram basicamente as
de medir a passagem do tempo e a de determinar a quantidade de alimentos para dar
sustento a` sua famı´lia.
Ao dominar a agricultura e a pecua´ria o homem deixa de ser noˆmade e comec¸a a
se organizar em sociedade criando o conceito de propriedade privada. A` medida que
as relac¸o˜es sociais va˜o se tornando mais complexas o homem evolui e sua capacidade
de contar melhora, permitindo assim que ele controle de maneira mais eficiente suas
posses. O controle de suas posses leva a`s necessidades de escambos que por sua vez
evoluem para os rudimentos do come´rcio e seu progresso acabou por nos trazer ao
sistema financeiro atual.
Figura 1.1: Pintura rupestre que possivelmente representa uma contagem [11]
A evoluc¸a˜o da sociedade tambe´m levou o homem a se preocupar com a sistema-
tizac¸a˜o dos conhecimentos que adquiriram ao longo dos anos e o registro dessa siste-
matizac¸a˜o faz parte do processo. Durante muito tempo acreditou-se que os primeiros
textos que versavam sobre as te´cnicas de contagem fossem aqueles que surgiram pela ne-
cessidade de resolver problemas de contagem originados quando o homem se preocupou
com os primeiros seguros. Os fen´ıcios, os gregos e os romanos possivelmente ja´ tinham
uma maneira rudimentar de calcular as chances de suas embarcac¸o˜es de come´rcio sofre-
rem reveses e geravam taxas que garantissem certo retorno sobre poss´ıveis perdas, eram
os primeiros seguros. Apesar de na˜o haver registro espec´ıficos de como esses ca´lculos
eram feitos, o registro da cobranc¸a dessas taxas nos induz a pensar que esses povos
2
tinham te´cnicas de contagem avanc¸adas.
Grandes estudiosos, como Girolamo Cardano, em seu livro “De proportionibus Libri
V” apresenta um estudo matema´tico sobre os seguros; Edmond Halley, que na obra
“Degree of Mortality of Mankind” elaborou uma estimativa dos graus de mortalidade
da humanidade a partir da observac¸a˜o das taxas de natalidade e mortalidade da cidade
de Breslaw com o intuito de calcular o valor da anuidade do seguro de vida em func¸a˜o
da expectativa de vida e da probabilidade da pessoa sobreviver por mais certa quan-
tidade de anos; Daniel Bernoulli, entre tantos outros, contribu´ıram para aperfeic¸oar
as formas de calcular possibilidades. As te´cnicas de contagem e os conhecimentos de
probabilidade tambe´m foram usados para outros fins, que podem ser julgados como
menos nobres: o de possibilitar que jogadores aumentassem suas chances de ganhar em
jogos de azar. Segundo Casalderrey[4], e´ no se´culo XVI que os matema´ticos italianos
Luca Paccioli, Girolamo Cardano e Niccolo´ Tartaglia apresentam suas primeiras con-
siderac¸o˜es sobre como aumentar as chances de ganhar em apostas relacionadas a jogos
de azar. Cardano e´ o autor do livro “De ludo Aleae” em que usa sua experieˆncia com
jogos de azar e suas brilhantes ideias sobre matema´tica para ensinar como melhorar as
chances de ganhar dinheiro com jogos. Ideias essas que poˆs em pra´tica durante muitos
anos de sua vida, nem sempre sendo bem sucedido e alternando e´pocas de acu´mulo
de grandes fortunas com d´ıvidas imensas, originadas de seu v´ıcio em jogos. Os jogos
de azar tambe´m chamaram a atenc¸a˜o de dois grandes matema´ticos franceses: Blaise
Pascal e Pierre Fermat que contribu´ıram de maneira contundente no avanc¸o da Teoria
das Probabilidades, e consequentemente na Ana´lise Combinato´ria.
Pesquisa mais recente [10] aponta que o registro das te´cnicas de contagem e´ ainda
mais antigo que aquele que se tinha not´ıcia e remonta a` e´poca de Arquimedes, de
duzentos a trezentos anos antes de Cristo. Reviel Netz, da Universidade de Stanford
(Califo´rnia, Estados Unidos da Ame´rica), investigou esses registros em sua pesquisa
sobre antigos pergaminhos, um em especial, o Palimpsesto de Arquimedes, nos traz
uma elucidac¸a˜o maior sobre os primeiros registros das te´cnicas de contagem que se tem
comprovac¸a˜o escrita.
3
Figura 1.2: Palimpsesto de Arquimedes [1]
O palimpsesto e´ um antigo material de escrita, um tipo de pergaminho. Acredita-
se que, devido a` escassez deste material, ou ao seu alto prec¸o, ele era usado duas ou
treˆs vezes, depois de passar por uma raspagem do texto anterior. Em um livro de
orac¸o˜es do se´culo XII encontrou-se uma se´rie de textos apagados que foram escritos
muitos se´culos antes. Entre estes textos, Netz identificou dois tratados, em um deles
ha´ um quebra-cabec¸as criado ha´ mais de 2200 anos: o Lo´culos ou Stomachion ou
Ostomachion ou Syntemachion ou Caixa de Arquimedes, que indica que Arquimedes
foi um pioneiro na organizac¸a˜o e registro de me´todos de contagem. Com o aux´ılio de
raios ultravioleta e de programas de computador, foi poss´ıvel obter a escrita original,
o texto de Arquimedes sobre o que e´ aparentemente um jogo semelhante ao Tangran,
composto de 14 pec¸as que devem ser encaixadas de maneira a formarem um quadrado.
Os estudos expostos no pergaminho pretendiam determinar a quantidade de maneiras
de se organizar as pec¸as, a fim de obter o quadrado.
4
Figura 1.3: Uma das possibilidades de montagem das pec¸as do Lo´culos [7]
A pesquisa de Netz faz crer que o Lo´culos na˜o era apenas um jogo de entreterimento
mas um rigoroso experimento de estudo de Arquimedes sobre a Ana´lise Combinato´ria.
A poss´ıvel motivac¸a˜o que levou Arquimedes a se dedicar a esse problema e´ a mesma que
se veˆ em tantas outras questo˜es da Ana´lise Combinato´ria: De quantos modos distintos
e´ poss´ıvel fazer?
A constatac¸a˜o de que a capacidade de contar e´ nata, ou no ma´ximo surge nos pri-
meiros meses de vida, assim como o fato de que o homem tem se preocupado com
as te´cnicas de contagem e suas melhorias ha´ mileˆnios, nos permite fazer uma nova
pergunta: Como essa capacidade se perde a` medida em que se avanc¸a nos n´ıveis do
sistema escolar de ensino, se o resultado mais lo´gico que haveria de se esperar e´ de
que, com acesso a novos conhecimentos e te´cnicas ao longo da vida escolar, as crianc¸as
dessem lugar a adolescentes e esses a adultos com uma capacidade esmerada de conta-
gem? A resposta para essa pergunta sera´ apresentada no pro´ximo cap´ıtulo. Por hora,
podemos responder que contamos porque precisamos, porque para organizarmo-nos em
sociedade e fazer avanc¸os tecnolo´gicos precisamos contar.
5
Cap´ıtulo 2
Por que erramos ao contar?
“Aquilo que esta´ escrito no
corac¸a˜o na˜o necessita de
agendas porque a gente na˜o
esquece. O que a memo´ria ama
fica eterno”
Rubem Alves
A Ana´lise Combinato´ria, componente do curr´ıculo de Matema´tica para o Ensino
Me´dio, e´ motivo de horror tanto para alunos, quanto para professores. Os comenta´rios
mais frequentes giram em torno das dificuldades de resoluc¸a˜o das questo˜es do referido
assunto. Na˜o se pode culpar exclusivamente o aumento na complexidade dos problemas,
muitas vezes a resoluc¸a˜o do problema emperra na fase de interpretac¸a˜o, outras vezes
no estabelecimento da estrate´gia que deveria ser usada para resoluc¸a˜o da questa˜o.
Na edic¸a˜o do Exame Nacional do Ensino Me´dio, ENEM, realizado em novembro
de 2012 uma questa˜o de contagem pode ser usada para mostrar que na˜o e´ necessa´rio
um n´ıvel de complexidade grande para que se comentam erros em conceitos ba´sicos.
Assim que o exame e´ aplicado e as provas comec¸am a serem divulgadas, va´rias redes
de ensino no pa´ıs expo˜em suas expectativas de respostas. Para a questa˜o a seguir, os
erros de contagem ja´ comec¸aram a aparecer em algumas dessas expectativas, que eram
distintas e discordavam em uma unidade. A questa˜o dizia:
“Um maquinista de trem ganha R$100,00 por viagem e so´ pode viajar a
cada 4 dias. Ele ganha somente se fizer a viagem e sabe que estara´ de
fe´rias de 1o a 10 de junho, quando na˜o podera´ viajar. Sua primeira viagem
ocorreu no primeiro dia de janeiro. Considere que o ano tem 365 dias. Se
o maquinista quiser ganhar o ma´ximo poss´ıvel, quantas viagens precisara´
6
fazer?
A) 37 B) 51 C) 88 D) 89 E) 91”
Este e´ um problema simples de contagem que possui va´rias verso˜es semelhantes
apresentadas e discutidas exaustivamente durante o Ensino Fundamental e Me´dio.
Duas das verso˜es apresentadas e divulgadas por grandes canais de comunicac¸a˜o na
internet sa˜o as seguintes:
I)
“Do primeiro de janeiro a 31 de maio temos 151 dias:
151 = 4.37 + 3⇒ 37 viagens poss´ıveis nesse per´ıodo.
De 11 de junho a 31 de dezembro temos 204 dias:
204 = 4.51 + 0⇒ 51 viagens poss´ıveis nesse per´ıodo.
Assim, tem-se 37 + 51 = 88 viagens.”
II)
“Do primeiro de janeiro, dia 1, a 31 de maio, dia 151, o maquinista ira´
viajar todas as vezes que um dia coincidir com um dos termos da Progressa˜o
Aritme´tica com a1 = 1 e r = 4, assim:
an ≤ 151⇒ 1 + (n− 1) .4 ≤ 151⇒ 4. (n− 1) ≤ 150
⇒ n− 1 ≤ 150
4
⇒ n ≤ 37, 5 + 1⇒ n ≤ 38, 5
Portanto o maquinista viajou, nesse per´ıodo, 38 vezes.
Do dia 11 de junho, dia 1, a 31 de dezembro, dia 204, o maquinista ira´
viajar todas as vezes que um dia coincidir com um dos termos da Progressa˜o
Aritme´tica com a1 = 1 e r = 4, assim:
an ≤ 204⇒ 1 + (n− 1) .4 ≤ 204⇒ 4. (n− 1) ≤ 203
⇒ n− 1 ≤ 203
4
⇒ n ≤ 50, 75 + 1⇒ n ≤ 51, 75
7
Portanto o maquinista viajou, nesse per´ıodo, 51 vezes. Assim, durante os
365 dias o maquinista podera´ fazer 38 + 51 = 89 viagens
(Adaptado de: http://estaticog1.globo.com/2012/vestibular/enem/objetivo
/resolucao objetivo2.pdf e http://enem.cursoanglo.com.br/Enem V2/Index.asp.
Acesso em 19.12.2012 a`s 18h.)
Esta situac¸a˜o pode ser resolvida com uma estrate´gia mais simples, bem conhecida
pelo homem primitivo e muito usada por crianc¸as nos seus primeiros contatos com os
problemas de contagem, a saber: contar! Veja na figura 4 a contagem:
Figura 2.1: Calenda´rio do ano de 2013 com marcac¸o˜es indicando os dias de viagem.
Quando o INEP, o´rga˜o do Governo Federal, lanc¸ou seu gabarito oficial este trazia
88 viagens como sendo a quantidade que levaria o maquinista a ganhar o ma´ximo
de dinheiro poss´ıvel, o resultado errado de uma contagem ta˜o simples foi dado como
correto. As questo˜es do ENEM sa˜o avaliadas por especialistas antes da divulgac¸a˜o
do gabarito oficial e, por isso, todas as respostas divulgadas sa˜o mantidas, na˜o sendo
poss´ıvel a nenhum candidato impetrar recurso contra o gabarito.
Todos sa˜o pass´ıveis de erros. Errar contagem ou as estimativas que se permitem
fazer a partir dessas contagens e´ algo que macula ate´ mesmo o curr´ıculo de alguns
cientistas famosos. Em [8], Mlodinow, conta que um programa televisivo chamado
Let’s Make a Deal gerou um problema, na˜o ta˜o simples quanto aquele cobrado no
ENEM de 2012, que confundiu ate´ mesmo alguns PhDs em Matema´tica nos Estados
Unidos da Ame´rica. Na de´cada de 1980, Marilyn von Savant recebeu em sua coluna
uma pergunta sobre probabilidade, transcrita em [8]:
8
“Suponha que os participantes de um programa de audito´rio recebam a opc¸a˜o
de escolher uma dentre treˆs portas: atra´s de uma delas ha´ um carro; atra´s
das outras ha´ cabras. Depois que um dos participantes escolhe uma porta,
o apresentador, que sabe o que ha´ atra´s de cada porta, abre uma das portas
na˜o escolhidas, revelando uma cabra. Ele diz ao participante: ‘Voceˆ gostaria
de mudar sua escolha para a outra porta fechada?’. Para o participante e´
vantajoso trocar a sua escolha?”
Marylin afirmou em sua coluna que era mais vantajoso mudar a escolha. Sua
resposta para o problema gerou um “confronto” com mais de 10 mil leitores, que lhe
enviaram cartas externando seu descontetamento por ela, que, a` e´poca, era considerada
uma das pessoas com maior QI da histo´ria, ter errado algo ta˜o simples. Muita gente
importante, como Paul Erdo¨s 1 mesmo depois de ter conhecimento de que Marylin
estava certa, so´ se convenceu de que e´ mais vantajoso trocar de porta depois de uma
simulac¸a˜o do problema feita em um computador por um colaborador.
Para corroborar que esse problema esta´ muito pro´ximo da realidade do ensino bra-
sileiro, com uma pesquisa feita tomando como amostra as duas turmas da disciplina
Ana´lise Combinato´ria e Probabilidade oferecidas pelo Departamento de Matema´tica
da Universidade Federal do Rio Grande do Norte no ano de 2012 aos alunos da Li-
cenciatura Plena em Matema´tica, sob a responsabilidade do Prof. Dr. Andre´ G.C.
Pereira, buscou-se dados que nos permitissem identificar a capacidade dos alunos em
reconhecer situac¸o˜es espec´ıficas de contagem. Essa busca por dados foi feita a partir de
uma ana´lise do resultado das avaliac¸o˜es elaboradas e aplicadas pelo professor (Anexo
A).
Na avaliac¸a˜o tenta-se mensurar a capacidade do aluno de reconhecer as situac¸o˜es
de contagem em que se possam usar os algoritmos de Permutac¸a˜o e suas variac¸o˜es,
assim como os de Arranjo Simples, Combinac¸o˜es Simples e Combinac¸o˜es Completas e
gerar exemplos dessas situac¸o˜es. Apesar de contar com uma amostra bem pequena, os
dados coletados nos da˜o algumas noc¸o˜es sobre a compreensa˜o dos alunos quanto ao uso
dos algoritmos de contagem. Para facilitar a ana´lise, as respostas foram divididas em
1Paul Erdo¨s (1913 – 1996) foi um matema´tico hu´ngaro extremamente proficiente, com uma
produc¸a˜o acadeˆmica inveja´vel. Publicou mais de 1400 artigos sobre va´rias a´reas da matema´tica,
entre elas, a Ana´lise Combinato´ria, Teoria dos Grafos e a Teoria das Probabilidades. Marcou seu
trabalho pela caracter´ıstica de ser um resolvedor de problemas. Resoluc¸o˜es essas que sempre tentava
fazer de maneira simples e elegante.
9
categorias em que leva-se em conta a proximidade da definic¸a˜o dada com a definic¸a˜o
formal e se os exemplos de fato podem ser resolvidos com a te´cnica apontada, assim:
•Explicaram de maneira errada e exemplificaram de maneira errada ou na˜o exem-
plificaram
Figura 2.2: Exemplo de resposta de um aluno classificada como errada, acompanhada
de um exemplo que na˜o se aplica a` te´cnica apontada
•Explicaram de maneira errada mas exemplificaram de maneira correta
Figura 2.3: Exemplo de resposta de um aluno classificada como errada, acompanhada
de um exemplo que se aplica a` te´cnica apontada
•Explicaram de maneira parcialmente correta mas exemplificaram de maneira er-
rada ou na˜o exemplificaram
Figura 2.4: Exemplo de resposta de um aluno classificada como parcialmente certa,
acompanhada de um exemplo que na˜o se aplica a` te´cnica apontada
•Explicaram de maneira parcialmente correta, exemplificaram de maneira correta
10
Figura 2.5: Exemplo de resposta de um aluno classificada como parcialmente certa,
acompanhada de um exemplo que se aplica a` te´cnica apontada
•Explicaram corretamente mas exemplificaram de maneira errada ou na˜o exempli-
ficaram
Figura 2.6: Exemplo de resposta de um aluno classificada como certa, acompanhada
de um exemplo que na˜o se aplica a` te´cnica apontada
•Explicaram corretamente e exemplificaram de maneira correta
Figura 2.7: Exemplo de resposta de um aluno classificada como certa, acompanhada
de um exemplo que se aplica a` te´cnica apontada
Os dados apresentados na tabela 2.1 foram obtidos atrave´s da ana´lise de todas
as respostas dadas a` questa˜o 01 da avaliac¸a˜o aplicada pelo professor, onde foi pedido
que os alunos descrevessem como procederiam se tivessem que explicar quando usar
Permutac¸a˜o e quando usar Combinac¸a˜o ou Arranjo, qual a diferenc¸a entre Arranjo e
Combinac¸a˜o e exemplificassem o uso dessas te´cnicas.
11
Tabela 2.1: Quantidade e Percentual de alunos em cada uma das variac¸o˜es estabelecidas
quanto a` compreensa˜o e resposta da questa˜o 01 da prova
Varia´vel Frequeˆncia
Em branco 2 (2,25%)
Explicaram de maneira errada e
exemplificaram de maneira errada
ou na˜o exemplificaram
20 (22,47%)
Explicaram de maneira errada
mas exemplificaram de maneira
correta
7 (7,87%)
Explicaram de maneira parcial-
mente correta mas exemplifica-
ram de maneira errada ou na˜o
exemplificaram
10 (11,24%)
Explicaram de maneira parcial-
mente correta e exemplificaram
de maneira correta
24 (26,97%)
Explicaram corretamente mas
exemplificaram de maneira
errada ou na˜o exemplificaram
13 (14,60%)
Explicaram corretamente e exem-
plificaram de maneira correta
13 (14,60%)
Total 89(100%)
O resultado exposto na tabela nos mostra que apenas uma parcela muito pequena
dos alunos e´ capaz de apresentar corretamente uma definic¸a˜o formal associada a bons
exemplos do uso dessas te´cnicas de contagem. Estes dados passam a ser mais preo-
cupantes quando constatamos que na turma todos os alunos sa˜o oriundos do Ensino
Me´dio, onde estas te´cnicas ja´ foram mostradas e esta˜o em um curso de Licenciatura em
Matema´tica, onde, em tese, se preparam para serem professores. Mesmo os alunos que
por ventura na˜o tiveram oportunidade de ver esse assunto antes de cursar a disciplina,
contaram com uma exposic¸a˜o do assunto e uma grande gama de exemplos expostos
pelo professor.
Ao efetuar uma cuidadosa leitura nas avaliac¸o˜es percebe-se que os alunos na˜o conse-
guem desvincular as te´cnicas de contagem de situac¸o˜es particulares, sendo incapazes de
gerar uma modelagem apropriada aos problemas mais simples de contagem presentes
12
em livros de Ensino Me´dio, em uso no nosso pa´ıs, bem como em questo˜es presentes nos
concursos que permitem o acesso ao Ensino Superior. Uma grande variedade de v´ıcios
e´ percebida, como, por exemplo, o de limitar o uso da permutac¸a˜o aos anagramas ou
a formac¸a˜o de filas, sem entender que existem outras situac¸o˜es a`s quais essa te´cnica se
aplica. O preju´ızo dessa associac¸a˜o e´ percebido quando o aluno e´ desafiado a aplicar
estas te´cnicas a situac¸o˜es que o remetam ao mesmo modelo matema´tico de contagem
em situac¸o˜es diferentes daquelas a que esta´ mais habituado. Por exemplo, ao responder
a questa˜o 05 da prova que esta´ no Anexo A
Se no tabuleiro da baiana em Salvador tem mungunza´, caruru, vatapa´,
sarapateu e acaraje´. E ela fez a seguinte promoc¸a˜o: quaisquer dois quitutes
(distintos ou na˜o) por R$3,00. De quantas maneiras voceˆ pode fazer suas
escolhas?
a resposta dada foi:
Figura 2.8: Erro cometido por aluno ao respoder a questa˜o 05 da prova do Anexo A
Aqui o erro foi que ele na˜o percebeu que “MC” e´ igual a “CM”, ou seja, representa
o mesmo pedido.
A proposta de soluc¸a˜o desses problemas e´ o de trabalhar com uma ideia exposta
em [2] pelo professor Morgado 2 em uma de suas aulas, atrave´s de uma meta´fora:
“Para atravessar a rua existe uma boa te´cnica. Se voceˆ pretende atravessar
a rua o que voceˆ deve fazer: Afastar-se da esquina, ir mais ou menos para
o meio da quadra. No meio da quadra voceˆ olha cuidadosamente para os
dois lados e tendo certeza de que na˜o vem carro, a´ı voceˆ atravessa a rua.
2Augusto Ce´sar de Oliveira Morgado (1944–2006) foi um matema´tico e estat´ıstico brasileiro, natural
do Rio de Janeiro que lecionou em va´rias Universidades do pa´ıs e em muitos cursos organizados pelo
Instituto de Matema´tica Pura e Aplicada, o IMPA. Era considerado um dos maiores resolvedores de
problema de nosso pa´ıs.
13
Essa e´ a maneira correta de atravessar a rua em seguranc¸a. Tem gente que
acha que isso e´ uma perda de tempo e vai atravessar a rua, chega al´ı na
esquina, olha pra um lado e para o outro e veˆ que na˜o vem carro, a´ı da´ uma
corrida (...). O cara faz isso 50 vezes e 50 vezes ele da´ sorte, na˜o vem carro
nenhum e ele atravessa a rua de modo seguro, apesar da imprudeˆncia da
pessoa. Quando chega a quinquage´sima primeira vez, o cara vai atravessar,
vem uma carrocinha de chicabom em desabalada carreira pela esquina, ele
na˜o viu a carrocinha de chicabom, a carrocinha vira, atropela o cara,o cara
morre. Olha que morte rid´ıcula (...). Uma coisa que acontece muito com
problemas de Combinato´ria e´ que apesar de haver te´cnicas para resolveˆ-
los, as pessoas desrespeitam sistematicamente a boa te´cnica. Diante de 50
problemas fa´ceis a pessoa consegue resolveˆ-los desrespeitando a boa te´cnica.
Quando chega no quinquage´simo primeiro, que e´ um pouquinho melhor,
um pouquinho mais dif´ıcil, o cara na˜o consegue mais resolver. E´ preciso
habituar os alunos a usar a boa te´cnica desde o in´ıcio, nos problemas fa´ceis,
pois so´ dominando a boa te´cnica vamos conseguir resolver os problemas
dif´ıceis.”
Nisso consiste a proposta deste texto, expor o que acreditamos ser uma boa te´cnica,
nos apoiando nas ideias sobre resoluc¸a˜o de problemas expostas por Polya [5] 3 e Schoen-
feld 4 canalizadas para a melhoria do ensino de Ana´lise Combinato´ria, gerando alunos
mais capazes de efetuar contagens de maneira mais eficiente.
3George Polya [5] (1887 - 1985) nasceu em Budapeste na Hugria. Foi professor em Zurich e em
Stanford. Apesar de ter se aposentado em 1953, continuou ativo ate´ praticamente sua morte. Foi um
dos, sena˜o o primeiro, matema´tico a apresentar um conjunto de te´cnicas espec´ıficas para o ensino de
matema´tica. Suas pesquisas foram principalmente em Probabilidade e Equac¸o˜es Diferenciais Parciais.
4Alan Schoenfeld, americano, e´ PhD em Matema´tica pela Univesidade de Stanford. Atualmente
leciona na Universidade de Berkeley, Califo´rnia nos EUA. Ja´ foi presidente da American Educational
Research Association. Ganhou preˆmios pelas suas investigac¸o˜es em educac¸a˜o matema´tica e desen-
volvimento cognitivo, ganhando a medalha Felix Klein em 2011. Pode ser contatado pelo e-mail
alans@berkeley.edu
14
Cap´ıtulo 3
O que consideramos a boa te´cnica?
“Resolver problemas e´ uma
habilidade pra´tica, como nadar,
esquiar ou tocar piano: voceˆ
pode aprendeˆ-la por meio de
imitac¸a˜o e pra´tica. (...) se voceˆ
quer aprender a nadar voceˆ tem
que ir a` agua e se voceˆ quer se
tornar um bom ‘resolvedor de
problemas’, tem que resolver
problemas”
George Polya [5]
Prever os resultados de uma te´cnica ou mesmo mensurar a qualidade de seus efeitos
e´ algo muito delicado. Mesmo apo´s a experimentac¸a˜o continuada e realizada em va´rios
contextos distintos na˜o e´ poss´ıvel garantir que ela sera´ sempre eficaz. Desta forma
e´ importante que o professor esteja dotado de um grande arsenal de opc¸o˜es, ao qual
possa recorrer quando uma te´cnica com a qual esta´ mais habituado falhe. Este texto
na˜o tem a pretensa˜o de trazer uma fo´rmula ma´gica que permita desenvolver, sem
esforc¸o, o potencial para resolver problemas de contagem. Tampouco traz algo que
substitua o que ja´ costuma-se lecionar deste tema. Propo˜em-se um algoritmo para
dinamizar a resoluc¸a˜o de exerc´ıcios de Ana´lise Combinato´ria. Na verdade, acreditamos
que tal algoritmo ja´ deva existir, pois nada mais e´ do que o resumo atrave´s de um
fluxograma, de tudo o que foi ensinado sobre Permutac¸a˜o, Arranjo e Combinac¸a˜o.
Entretanto, na˜o encontramos nenhum texto com tal fluxograma da maneira como e´
apresentado e ilustrado neste trabalho. Assim, se o professor, apo´s instruir seus alunos
sobre cada assunto e fazer uma grande quantidade de exemplos, ainda perceber que
15
esses continuam com dificuldades em resolver problemas de contagem, pode usar o
algoritmo apresentado como um norteador na escolha da estrate´gia a ser usada para
atacar um problema. O algoritmo tambe´m na˜o garante que o processo de resoluc¸a˜o do
problema sera´ simplificado, ocorre em alguns casos o contra´rio, como sera´ exemplificado
adiante.
Da minha pra´tica docente, assim como da troca de experieˆncias com va´rios pro-
fessores de matema´tica, e´ poss´ıvel constatar que persistentemente o aluno, mesmo
recebendo diversas orientac¸o˜es e sendo exposto a uma grande variedade de exerc´ıcios,
na˜o consegue decidir ou confunde as estrate´gias que deve usar para resolver problemas
de contagem. Na˜o ha´ garantias de que o fluxograma sirva para auxiliar na tomada
de deciso˜es em todos os problemas de Combinato´ria, mas fazendo uso da te´cnica aqui
exposta pretende-se reduzir a dificuldade de compreensa˜o dos alunos para aqueles pro-
blemas que comumente encontramos nesse n´ıvel escolar.
Segundo Polya [5], um problema deve ser atacado em algumas etapas:
i) compreensa˜o;
ii) construc¸a˜o de uma estrate´gia;
iii) execuc¸a˜o da estrate´gia;
iv) revisa˜o da soluc¸a˜o.
3.1 A compreensa˜o do problema
Em [2] os autores chamam atenc¸a˜o para algo inerente aos problemas de Ana´lise
Combinato´ria:
“Embora a Ana´lise Combinato´ria disponha de te´cnicas gerais que permitem
atacar certos tipos de problemas, e´ verdade que a soluc¸a˜o de um problema
combinato´rio exige quase sempre engenhosidade e a compreensa˜o plena da
situac¸a˜o descrita pelo problema.”
E´ muito comum que na fase da compreensa˜o algumas confuso˜es ocorram, princi-
palmente se essa fase for tratada com desleixo. Uma grande gama de erros podem
ser evitados se aquele que resolve o problema se po˜e na obrigac¸a˜o de gerar exemplos
16
do que e´ pedido e investiga que condic¸o˜es ele esta´ sendo obrigado a seguir para sa-
tisfazeˆ-las. Nessa investigac¸a˜o pode-se tomar como refereˆncia problemas semelhantes
ja´ resolvidos, entretanto e´ muito importante tomar cuidado pra na˜o cair em v´ıcios
que interfiram na capacidade de julgar o que realmente e´ necessa´rio fazer para efetuar
corretamente a contagem. Analisando as provas aplicadas nas duas turmas citadas
(vide cap´ıtulo 2), percebe-se que os alunos costumam, principalmente, ignorar regras
ou estabelecer exigeˆncias que na˜o fazem parte do enunciado. Por exemplo, em uma
das avaliac¸o˜es perguntava-se:
“Usando os 10 d´ıgitos que conhecemos, quantas senhas voceˆ pode montar
de 4 d´ıgitos?”
Apesar de ser um problema que a maioria dos estudantes do assunto consideraria
simples, ao avaliar as respostas dadas por grande parte dos alunos, que possivelmente
remeteram-se a questo˜es semelhantes ja´ resolvidas, esses consideram que a resposta se-
ria o produto 10.9.8.7 = 5040. Percebe-se que ha´ compreensa˜o do princ´ıpio que deveria
ser empregado na contagem mas os mesmos erraram ao interpretar uma condic¸a˜o, a de
que o problema na˜o impo˜e que os d´ıgitos usados nas senhas sejam diferentes.
Uma maneira de evitar que isso ocorra e´ iniciar a construc¸a˜o de uma a´rvore de
possibilidades, isto e´, listar uma a uma as possibilidades de senha. Como a lista
completa e´ muito extensa, o aluno deve, baseado nas condic¸o˜es dadas no enunciado,
eliminar de sua lista algumas das possibilidades que na˜o atendem o que foi solicitado.
Fazendo isso, quem se debruc¸a sobre o problema assume a postura de quem o resolve
de fato, verificando assim que deciso˜es deve tomar.
No problema que acabamos de citar, se o aluno escrevesse algumas senhas e ve-
rificasse se elas satisfazem o enunciado, por exemplo 0000 ou 0001, ele veria que o
enunciado na˜o pro´ıbe as senhas anteriores e assim perceberia que a quantidade de
possibilidades para a escolha de cada d´ıgito na˜o decresce, e´ sempre 10.
3.2 A construc¸a˜o da estrate´gia com uso do algo-
ritmo
Nesta fase, segundo [5], aquele que se propo˜e a resolver o problema deve conseguir
encontrar conexo˜es entre os dados, as condic¸o˜es e o que se pergunta. Isso pode ser feito
partindo-se de uma ideia nova, por meio do desenvolvimento dos axiomas, corola´rios,
17
lemas e teoremas associados a` teoria abordada no problema ou ainda comparando a
situac¸a˜o proposta atualmente com alguma outra semelhante. Na maioria das vezes
faz-se opc¸a˜o pela ta´tica de usar o que se aprendeu em problemas correlatos. Como ja´
comentado, essa te´cnica exige atenc¸a˜o e uma se´rie de indagac¸o˜es: Sera´ poss´ıvel usar o
me´todo nesta questa˜o que resolveu a outra questa˜o? E´ necessa´rio acrescentar ou retirar
alguma condic¸a˜o que foi proposta?
Na˜o se pode esquecer que essas propostas na˜o sa˜o independentes, elas podem e
devem ser usadas em conjunto. O fluxograma que segue e´ um caminho para orientar os
alunos a fazerem uma ana´lise mais direcionada, a fim de tomar deciso˜es mais acertadas
sobre que te´cnicas de contagem que se deve usar para atacar os problemas, configurando
mais uma opc¸a˜o para a construc¸a˜o de uma estrate´gia eficaz.
Conjunto com n elementos.
Os elementos selecionados sa˜o necessariamente distintos?
SIM
Usara´ todos os n elementos?
SIM
Pn = n!
NA˜O
Ordenara´ os elementos?
SIM
An,p=
n!
(n− p)!
NA˜O
Cn,p=
n!
p!.(n− p)!
NA˜O
Usara´ todos os n elementos?
SIM
PRn1,n2,...n =
n!
n1!.n2!....
NA˜O
Ordenara´ os elementos?
SIM
ARn,p=n
p
NA˜O
CRn,p=Cn+p−1,p
18
3.3 Como executar a estrate´gia
Nessa fase trabalhamos os problemas que foram retirados de sites em que se discu-
tem questo˜es de matema´tica e f´ısica, para estudantes do Ensino Fundamental e Me´dio.
Nestes sites, ale´m de questo˜es, sa˜o expostas as respostas propostas pelos participantes
e tambe´m as du´vidas que alguns alunos tiveram ao tentar resolver a questa˜o.
Com estes problemas, queremos ilustrar qual foi o ponto que causou o erro ou a na˜o
conclusa˜o dos alunos, mostrar como seguir as etapas sugeridas para evitar o erro e em
seguida ilustrar como o algoritmo pode ser utilizado para resoluc¸a˜o destas questo˜es.
A primeira questa˜o na qual sera´ executada a estrate´gia proposta foi encontrada em
um fo´rum virtual, o http://pir2.forumeiros.com:
“Cada pedra de domino´ e´ constitu´ıda de 2 nu´meros. As pec¸as sa˜o sime´tricas,
de sorte que o par de nu´meros na˜o e´ ordenado.
a) Quantas pec¸as diferentes podem ser formadas, se usarmos os nu´meros
0,1,2,3,4,5,6?
Resposta 28
b) Quantas pec¸as diferentes podem ser formadas num jogo de domino´ se
usarmos os nu´meros 0,1,2,3,...,n?
Resposta
(n + 1) · (n + 2)
2
No primeiro caso eu cheguei a 21 pec¸as, fazendo 00;01;02...06; 10;11;12...ate´
66, dando assim 42 agrupamentos, mas como existiam repetic¸o˜es (01 e 10)
cortei pela metade, e assim ficaram faltando 7 possibilidades. O segundo
caso errei em decorreˆncia do erro no racioc´ınio ja´ no primeiro, pore´m,
onde foi esse erro?”
(Adaptado de: http://pir2.forumeiros.com/t17730-analise-combinatoria-principio-fundamental-
da-contagem. Acesso em 14.12.2012 a`s 20h.)
Inicialmente o aluno tentou construir exemplos, pondo em ac¸a˜o seu Pensamento
Combinato´rio 1. A partir da construc¸a˜o dos exemplos, pode-se conjecturar que o
1Chamaremos de Pensamento Combinato´rio a capacidade do resolvedor do problema gerar as
combinac¸o˜es poss´ıveis atendendo as condic¸o˜es impostas no problema. E´ necessa´rio investir no desen-
volvimento desta habilidade antes de passar a`s etapas propostas por Polya.
19
nu´mero de 42 agrupamentos citados na explicac¸a˜o do seu racioc´ınio tenha sido obtido
usando o princ´ıpio fundamental da contagem: Ha´ 7 maneiras de tomar a primeira
decisa˜o, que e´ a de escolher o primeiro nu´mero a ser colocado na pec¸a e ha´ 6 maneiras
de se escolher um nu´mero distinto daquele que ja´ foi escolhido, supondo ainda que o
aluno aplicou esta condic¸a˜o apenas a`s pec¸as que tem nu´meros diferentes. Ele tambe´m
percebeu que a pec¸a formada pelo par (0;1) equivale a`quela que e´ formada pelo par
(1;0) e assim dividiu o nu´mero de agrupamentos por 2. As 7 possibilidades que ele cita,
consideramos que sa˜o as 7 pec¸as formadas por nu´meros iguais. Perceba que o aluno
conseguiu aplicar o Pensamento Combinato´rio, conseguiu elaborar uma estrate´gia para
resolver o problema, ou seja, gerou um algoritmo mas na˜o conseguiu formalizar o
conceito para uma quantidade qualquer de nu´meros.
Segundo Mendes [6], o ensino de matema´tica deve estar baseado em um pressu-
posto que possibilite a conduc¸a˜o do aluno a uma construc¸a˜o constante das noc¸o˜es
matema´ticas presentes em cada atividade. Entre as ac¸o˜es sugeridas para garantir a
conduc¸a˜o, o texto propo˜e que as atividades devem apresentar-se de maneira auto-
orientadas, para que permitam aos alunos a autoconduc¸a˜o durante a construc¸a˜o de
sua aprendizagem. O algoritmo que apresentamos se presta a essa autoconduc¸a˜o, sem
abrir ma˜o de outras fases, a saber: Verbalizac¸a˜o, Manipulac¸a˜o/Experimentac¸a˜o e Sim-
bolizac¸a˜o/Abstrac¸a˜o. Para fazer uso do algoritmo o aluno precisa ter posto seu Pensa-
mento Combinato´rio em ac¸a˜o, precisa ter dedicado um tempo na gerac¸a˜o de exemplos
e na discussa˜o desses exemplos mas, mesmo tendo cumprido essa etapa corretamente,
ainda pode apresentar dificuldades em gerar um algoritmo e em seguida uma forma-
lizac¸a˜o para o problema. O uso do fluxograma apresenta uma possibilidade de vencer
essa dificuldade. Vejamos a aplicac¸a˜o do algoritmo em duas interpretac¸o˜es distintas:
I) Dividindo as pec¸as em dois grupos, um com pec¸as formadas por nu´meros
distintos e outro com pec¸as formadas por nu´meros iguais.
Se usarmos os nu´meros 0,1,2,3,4,5,6 poderemos formar 7 pec¸as com nu´meros
iguais. A saber 00, 11, 22, 33, 44, 55 e 66. As outras pec¸as, como por exem-
plo 10, 23, 56, etc., sa˜o formadas a partir da selec¸a˜o de dois valores entre
os 7 que esta˜o dispon´ıveis. Mas selecionando 5 e 6 ou 6 e 5 na˜o se formam
pec¸as distintas. Da´ı, temos um conjunto com 7 nu´meros, de onde sera˜o
selecionados valores distintos mas apenas dois dos sete por vez. A ordem
dos elementos na˜o sera´ importante, assim:
20
Conjunto com n elementos.
Os elementos selecionados sa˜o necessariamente distintos?
SIM
Usara´ todos os n elementos?
SIM
Pn = n!
(∗)
NA˜O
Ordenara´ os elementos?
SIM
An,p=
n!
(n− p)!
NA˜O
Cn,p=
n!
p!.(n− p)!
NA˜O
Usara´ todos os n elementos?
SIM
PRn1,n2,...n =
n!
n1!.n2!....
NA˜O
Ordenara´ os elementos?
SIM
ARn,p=n
p
NA˜O
CRn,p=Cn+p−1,p
Portanto o nu´mero de pec¸as formadas com nu´meros distintos sera´ dado
por C7,2=
7!
2!.5!
= 21. Assim, com os nu´meros 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 podemos
formar um total de 21 + 7 = 28 pec¸as.
Para encontramos a quantidade de pec¸as que podem ser formadas se usar-
mos os nu´meros 0,1,2,3,...,n, segue-se de forma ana´loga, que ha´ n+1 pec¸as
que pode ser formadas com nu´meros iguais. Usando o fluxograma ja´ ex-
posto, tem-se que a quantidade de pec¸as formadas por nu´meros distintos
sera´ dado por:
Cn+1,2=
(n + 1)!
2!.(n− 1)!
Portanto tem-se um domino´ com um nu´mero de pec¸as igual a:
(n + 1).n
2
+(n + 1)=
(n + 2).(n + 1)
2
Outra possibilidade:
II) Considerando qualquer uma das pec¸as sem distinc¸a˜o de grupos:
Para usar o fluxograma temos que consirerar que: Ha´ um conjunto com
7 nu´meros, sera˜o selecionados dois valores mas esses na˜o sa˜o necessaria-
mente distintos. A ordem dos elementos na˜o sera´ importante, assim:
21
Conjunto com n elementos.
Os elementos selecionados sa˜o necessariamente distintos?
SIM
Usara´ todos os n elementos?
SIM
Pn = n!
(∗)
NA˜O
Ordenara´ os elementos?
SIM
An,p=
n!
(n− p)!
NA˜O
Cn,p=
n!
p!.(n− p)!
NA˜O
Usara´ todos os n elementos?
SIM
PRn1,n2,...n =
n!
n1!.n2!....
NA˜O
Ordenara´ os elementos?
SIM
ARn,p=n
p
NA˜O
CRn,p=Cn+p−1,p
Portanto o nu´mero de pec¸as formadas com nu´meros distintos sera´ dado por
CR7,2=C7+2−1,2=
8!
2!.6!
. Assim, com os nu´meros 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 podemos
formar um total de
8!
2!.6!
=28 pec¸as.
Para encontramos a quantidade de pec¸as que podem ser formadas se usar-
mos os nu´meros 0,1,2,3,...,n, segue de forma ana´loga, que ha´:
CRn+1,2=Cn+1+2−1,2=
(n + 2)!
2!.n!
Portanto tem-se um domino´ com um nu´mero de pec¸as igual a:
(n + 2)!
2!.n!
=
(n + 2).(n + 1)
2
E´ importante observar que o uso do fluxograma na˜o deve podar em nenhum mo-
mento a criatividade do aluno, ele deve ser usado como uma orientac¸a˜o para as suas
escolhas percebidas apo´s a criac¸a˜o dos exemplos. Observe tambe´m que o aluno deve
ter claro o significado de: usar todos os elementos, a ordem importa ou na˜o, o que
significa usar elementos repetidos, etc., ou seja, que o aluno ja´ tenha estudado todos os
assuntos que implicam nas sa´ıdas do algoritmo, ate´ para que fac¸a uma ana´lise cr´ıtica
do resultado obtido. Mais uma vez ressaltamos que o algoritmo deve ser utilizado como
uma ferramenta de apoio apo´s estudados todos os to´picos que aparecem no mesmo e
nunca como substituic¸a˜o ao ensino dos mesmos.
O pro´ximo problema foi retirado de um aplicativo disponibilizado pelo Yahoo! de-
nominado “Yahoo! Respostas”:
22
“(Puccamp 96) Usando os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 8 e 9, sem repetic¸a˜o,
quantos nu´meros pares de treˆs algarismos e maiores que 234 pode-se for-
mar?
a) 110 b) 119 c) 125 d) 129 e) 132
fiz o seguinte:
Casa dos 200: eu teria o nu´mero 238, ale´m das possibilidades 1.4.3 pois
o primeiro algarismo teria que ser o 2, portanto, so´ uma chance, o u´ltimo
algarismo seria um dos 3 pares restantes das opc¸o˜es, e o segundo algarismo
seria tudo o que restou, lembrando de retirar o 3.
Casa dos 300: 1.5.4 =20
400: 1.5.3 =15
500: 1.5,4= 20
600: 1.5.3=15
700: 1.5.4=20
800: 1.5.3=15
900: 1.5.4=20
depois fiz 20.4 + 15.3 + 1.12 + 1 = 138 pore´m a resposta e´ 119.”
(Adaptado de: http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=2011112409
2609AAKNdac. Acesso em 05.01.2013 a`s 05h.)
Na˜o e´ a toa que, recorrentemente, chamamos atenc¸a˜o a importaˆncia que deve ser
dada a` construc¸a˜o dos exemplos e a` discussa˜o das regras que permitem gerar cada um
deles. E´ este procedimento que ira´ dar suporte preciso a`quele que resolve o problema
a fim de evitar erros de interpretac¸a˜o ou erros por falta de atenc¸a˜o. Perceba que o
equ´ıvoco cometido na˜o e´ conceitual, os princ´ıpios aditivo e multiplicativo esta˜o corre-
tamente aplicados, a obedieˆncia da regra de usar algarismos sem repetic¸a˜o tambe´m esta´
atendida. A soluc¸a˜o proposta na˜o esta´ correta por terem sido considerados nu´meros
comec¸ados com o algarismo 7, sendo que este na˜o esta´ disponibilizado no problema
e tambe´m por na˜o ter sido incluido na contagem o nu´mero 236, que poderia ter sido
facilmente identificado se a listagem com os nu´meros tivesse comec¸ado a ser constru´ıda,
ja´ que posto em ordem crescente seria o primeiro a atender todas as exigeˆncias.
Este e´ um caso em que o uso do algoritmo na˜o e´ u´til, usar o princ´ıpio multiplicativo
e o aditivo e´ suficiente para resolver o problema sem maiores complicac¸o˜es. E´ fato que,
para algumas situac¸o˜es, a proposta apresentada nessa dissertac¸a˜o na˜o torna a soluc¸a˜o
23
mais simples. Como ja´ foi citado, na˜o contamos aqui com uma fo´rmula ma´gica. Usando
o fluxograma, tem-se:
A fim de atender as condic¸o˜es do problema iremos selecionar um elemento
entre 2, 4, 6 e 8, para aloca´-lo na posic¸a˜o da unidade e dois elementos entre
todos os algarismos disponibilizados que ainda na˜o tenha sido selecionado,
para aloca´-los nas posic¸o˜es referentes a` dezena e centena, sendo sua ordem
importante, pois nosso sistema e´ posicional. Assim:
Conjunto com n elementos.
Os elementos selecionados sa˜o necessariamente distintos?
SIM
Usara´ todos os n elementos?
SIM
Pn = n!
(∗)
NA˜O
Ordenara´ os elementos?
SIM
An,p=
n!
(n− p)!
NA˜O
Cn,p=
n!
p!.(n− p)!
NA˜O
Usara´ todos os n elementos?
SIM
PRn1,n2,...n =
n!
n1!.n2!....
NA˜O
Ordenara´ os elementos?
SIM
ARn,p=n
p
NA˜O
CRn,p=Cn+p−1,p
Dessa forma, ha´ 4 maneiras de selecionar o algarismo da unidade e A6,2=
6!
(6− 2)!=30
maneiras de selecionar os dois algarismos para a centena e dezena. Logo
sera´ poss´ıvel formar 4.30 = 120 nu´meros pares.
Ainda tem-se que de todos os nu´meros formados com as condic¸o˜es estabe-
lecidas, o menor deles e´ o 234, que na˜o atende o que foi pedido. Portanto
120− 1 = 119 nu´meros podem ser formados nas condic¸o˜es descritas.
No exemplo anterior ficou claro como e´ importante saber o que foi contado, a fim de
podermos fazer os ajustes finais ao resultado, a saber: acrescentar no caso da resoluc¸a˜o
proposta no site e retirar no caso da nossa resoluc¸a˜o.
Para que haja um aproveitamento pleno desta ferramenta dida´tica o aluno deve
exemplificar ate´ compreender de que maneira as regras propostas no enunciado ira˜o
24
permitir que as perguntas feitas nos entrocamentos do fluxograma possam ser respon-
didos corretamente. Com essa pra´tica, espera-se que o aluno desenvolva maturidade
suficiente para perceber que em algumas contagens e´ melhor dividir as escolhas em
partes. Para mostrar uma aplicac¸a˜o neste caso iremos usar uma questa˜o do vestibular
da Universidade Federal Fluminense:
(Uff 2007) A administrac¸a˜o de determinado condomı´nio e´ feita por uma
comissa˜o colegiada formada de 8 membros: s´ındico, subs´ındico e um conse-
lho consultivo composto de seis pessoas. Note que ha´ distinc¸a˜o na escolha
de s´ındico e subs´ındico enquanto na˜o ha´ esta distinc¸a˜o entre os membros
do conselho consultivo. Sabendo que 10 pessoas se dispo˜em a fazer parte
de tal comissa˜o, determine o nu´mero total de comisso˜es colegiadas distintas
que podera˜o ser formadas com essas 10 pessoas.
Ao se debruc¸ar sobre o problema, o aluno devera´ por meio da exemplificac¸a˜o, das
poss´ıveis comisso˜es colegiadas, perceber que a escolha de s´ındico e subs´ındico tem
caracter´ısticas diferentes da escolha do conselho consultivo. Assim, para resolver o
problema, iremos divid´ı-lo em etapas:
A fim de determinar o nu´mero de comisso˜es colegiadas, vamos dividir a
escolha de seus membros em duas etapas. Na primeira delas iremos nos
preocupar com a escolha do s´ındico e do su´bs´ındico. Nessa etapa temos 10
pessoas dispon´ıveis para os dois cargos, sabemos que a mesma pessoa na˜o
podera´ ocupar os dois cargos, portanto precisamos escolher pessoas duas
distintas, e ale´m disso e´ necessa´rio compreender que escolher A para o cargo
de s´ındico e B para o cargo de subs´ındico na˜o constitui a mesma escolha de
de B para s´ındico e A para subs´ındico. Assim
25
Conjunto com n elementos.
Os elementos selecionados sa˜o necessariamente distintos?
SIM
Usara´ todos os n elementos?
SIM
Pn = n!
(∗)
NA˜O
Ordenara´ os elementos?
SIM
An,p=
n!
(n− p)!
NA˜O
Cn,p=
n!
p!.(n− p)!
NA˜O
Usara´ todos os n elementos?
SIM
PRn1,n2,...n =
n!
n1!.n2!....
NA˜O
Ordenara´ os elementos?
SIM
ARn,p=n
p
NA˜O
CRn,p=Cn+p−1,p
Dessa forma, o nu´mero de maneira de selecionar duas pessoas, entre as
10 dispostas, para ocupar os cargos de s´ındico e subs´ındico sera´ dado por
A10,2=
10!
(10− 2)!=90.
Na segunda etapa, teremos que escolher os seis membros do conselho consul-
tivo. Essa selec¸a˜o deve ser feita levando-se em conta que agora ha´ apenas
oito pessoas habilitadas para compor este conselho, pois dos dez que haviam
no in´ıcio dois ja´ foram selecinados para os cargos de s´ındico e subs´ındico.
Assim, observa-se que as pessoas selecionadas devem ser distintas, que dos
oito apenas seis sera˜o selecionados e que a ordem em que a selec¸a˜o dos seis
componentes do conselho e´ feita na˜o determinara´ conselhos distintos, logo
tem-se:
Conjunto com n elementos.
Os elementos selecionados sa˜o necessariamente distintos?
SIM
Usara´ todos os n elementos?
SIM
Pn = n!
(∗)
NA˜O
Ordenara´ os elementos?
SIM
An,p=
n!
(n− p)!
NA˜O
Cn,p=
n!
p!.(n− p)!
NA˜O
Usara´ todos os n elementos?
SIM
PRn1,n2,...n =
n!
n1!.n2!....
NA˜O
Ordenara´ os elementos?
SIM
ARn,p=n
p
NA˜O
CRn,p=Cn+p−1,p
26
Portanto o nu´mero de conselhos consultivos que podem ser formados sera´
dado por C8,6=
8!
2!.6!
= 28. A formac¸a˜o da comissa˜o colegiada foi dividida
em duas etapas: A escolha de s´ındico e subs´ındico, que pode ser feita de 90
maneiras distintas, e a escolha do conselho consultivo, que pode ser feita
de 28 maneiras distintas. Dessa forma, sera´ poss´ıvel escolher a comissa˜o
colegiada de 90.28 = 2520 maneiras distintas.
A seguir o fluxograma sera´ aplicado a algumas questo˜es da prova que esta´ no Anexo
A. Esta prova foi aplicada a turma do turno matutino da disciplina Ana´lise Combi-
nato´ria e Probabilidade oferecidas pelo Departamento de Matema´tica da Universidade
Federal do Rio Grande do Norte sob a responsabilidade do Prof. Dr. Andre´ G.C.
Pereira, uma das turmas citadas no cap´ıtulo 2. No item a da questa˜o, pergunta-se:
De quantas maneiras distintas 6 caixas brancas de tamanhos diferentes po-
dem ser alinhadas?
Segue a selec¸a˜o de escolhas guiadas pelo fluxograma:
Para determinar o nu´mero de maneiras que atendem as condic¸o˜es do pro-
blema, faz-se a construc¸a˜o de exemplos. Iremos nomear as caixas usando
as letras A, B, C, D, E e F. Ao alinhar as caixas teriamos configurac¸o˜es do
tipo ABCDEF, ABCDFE, FEBCDA, FEDCBA, etc. O que se pode perce-
ber e´ que em todas as configurac¸o˜es usamos todas as caixas. Tambe´m temos
que as caixas sa˜o todas distintas e a ordenac¸a˜o esta´ imposta pois devemos
considerar que ABCDEF e FEDCBA sa˜o alinhamentos diferentes. Assim:
27
Conjunto com n elementos.
Os elementos selecionados sa˜o necessariamente distintos?
SIM
Usara´ todos os n elementos?
SIM
Pn = n!
(∗)
NA˜O
Ordenara´ os elementos?
SIM
An,p=
n!
(n− p)!
NA˜O
Cn,p=
n!
p!.(n− p)!
NA˜O
Usara´ todos os n elementos?
SIM
PRn1,n2,...n =
n!
n1!.n2!....
NA˜O
Ordenara´ os elementos?
SIM
ARn,p=n
p
NA˜O
CRn,p=Cn+p−1,p
Dessa forma, ha´ 6!=720 maneiras de alinhar as seis caixas.
No item b, pergunta-se:
E se fossem 3 de um tamanho e 3 de outro tamanho?
Tem-se:
Desta vez, temos 6 caixas ideˆnticas 3 a 3. Iremos enta˜o denomina´-las de
a e A. Assim ao alinhar as caixas teriamos configurac¸o˜es do tipo AaAaAa,
AAAaaa, AAaAaa, etc. O que se pode perceber e´ que em todas as confi-
gurac¸o˜es usamos todas as caixas mas agora temos que as caixas na˜o sa˜o
todas distintas e, apesar da ordenac¸a˜o estar imposta, AAAaaa constitui o
mesmo alinhamento se trocarmos a posic¸a˜o das duas primeiras caixas. pois
devemos considerar que:
28
Conjunto com n elementos.
Os elementos selecionados sa˜o necessariamente distintos?
SIM
Usara´ todos os n elementos?
SIM
Pn = n!
(∗)
NA˜O
Ordenara´ os elementos?
SIM
An,p=
n!
(n− p)!
NA˜O
Cn,p=
n!
p!.(n− p)!
NA˜O
Usara´ todos os n elementos?
SIM
PRn1,n2,...n =
n!
n1!.n2!....
NA˜O
Ordenara´ os elementos?
SIM
ARn,p=n
p
NA˜O
CRn,p=Cn+p−1,p
Dessa forma, ha´ PR3,36 =
6!
3!.3!
maneiras de alinhas as seis caixas.
Na pro´xima questa˜o ale´m de usar o fluxograma para decidir que algoritmo sera´
necessa´rio, havera´ necessidade de decidir se os valores obtido devem ser somados ou
multiplicados. Essa e´ uma du´vida recorrente que pode ser eximida se for reforc¸ado para
o aluno a associac¸a˜o que existe entre os conectivos lo´gicos “e” e “ou” e os princ´ıpios
multiplicativo e aditivo, respectivamente.
Um departamento de uma empresa tem 10 funciona´rios, sendo 6 homens
e 4 mulheres. Quantos grupos de trabalho diferentes pode ser formados,
contendo 4 homens e 2 mulheres?
Segue a selec¸a˜o de escolhas guiadas pelo fluxograma:
Suponha que cada grupo de trabalho e´ formado por dois subgrupos, um for-
mado por 4 homens escolhidos entre os 6 dispon´ıveis na empresa e outro
formado por 2 mulheres escolhidas entre as 4 dispon´ıveis na empresa. A
fim de gerar nossos exemplos vamos denominar os homens por hn. Assim,
nossa subcomissa˜o masculina pode ser formada por: h1h2h3h4, h1h2h3h5,
h1h2h3h6, ..., h3h4h6h5, etc. Se eu selecionar h1, h2, h3 e h4 nessa ordem
29
ou nesta h2, h4, h1 e h3 ainda assim terei a comissa˜o h1h2h3h4, portanto
a ordem em que seleciono os meus candidatos na˜o torna as comisso˜es dife-
rentes. Assim:
Conjunto com n elementos.
Os elementos selecionados sa˜o necessariamente distintos?
SIM
Usara´ todos os n elementos?
SIM
Pn = n!
(∗)
NA˜O
Ordenara´ os elementos?
SIM
An,p=
n!
(n− p)!
NA˜O
Cn,p=
n!
p!.(n− p)!
NA˜O
Usara´ todos os n elementos?
SIM
PRn1,n2,...n =
n!
n1!.n2!....
NA˜O
Ordenara´ os elementos?
SIM
ARn,p=n
p
NA˜O
CRn,p=Cn+p−1,p
Dessa forma, ha´ C6,4=
6!
4!.(6− 4)!=15 maneiras de selecionar os 4 homens
para o grupo e ha´ C4,2=
4!
2!.(4− 2)!=6 maneiras de selecionar as 2 mulheres
para esse grupo. Ora, para formar o grupo de trabalho sera´ necessa´rio
selecionar os 4 homens e as 2 mulheres, logo ha´ 15.6=90 grupos de trabalhos
poss´ıveis.
Segue o pro´ximo enunciado:
Se no tabuleiro da baiana em Salvador tem mungunza´, caruru, vatapa´, sa-
rapateu e acaraje´. E ela fez a seguinte promoc¸a˜o: quaisquer dois quitutes
(distintos ou na˜o) por R$3,00. De quantas maneiras voceˆ pode fazer suas
escolhas?
Soluc¸a˜o por meio do fluxograma:
No tabuleiro da baiana tem mungunza´, caruru, vatapa´, sarapateu e acaraje´.
Posso comprar duas porc¸o˜es de munguza´? Sim. Caruru e Vatapa´ represen-
tam a mesma compra de Vatapa´ e Caruru? Sim. Ao pensar nos exemplos
30
que usamos podemos propor que estamos selecionando dois quitutes entre
os 5 dispon´ıveis, sendo que nessa selec¸a˜o os dois quitutes na˜o precisam
necessariamente ser distintos. Logo:
Conjunto com n elementos.
Os elementos selecionados sa˜o necessariamente distintos?
SIM
Usara´ todos os n elementos?
SIM
Pn = n!
(∗)
NA˜O
Ordenara´ os elementos?
SIM
An,p=
n!
(n− p)!
NA˜O
Cn,p=
n!
p!.(n− p)!
NA˜O
Usara´ todos os n elementos?
SIM
PRn1,n2,...n =
n!
n1!.n2!....
NA˜O
Ordenara´ os elementos?
SIM
ARn,p=n
p
NA˜O
CRn,p=Cn+p−1,p
Dessa forma, ha´ CR5,2=C5+2−1,2=
6!
2!.(6− 2)!=15 maneiras de selecionar os
2 quitutes entre os 5 dispon´ıveis no tabuleiro da baiana.
A u´ltima questa˜o da prova se mostra um excelente exerc´ıcio para o desenvolvimento
do Pensamento Combinato´rio.
Quantas senhas diferentes, de 4 d´ıgitos, com 2 d´ıgitos iguais e os outros
diferentes, podem ser montadas utilizando os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9?
A estrate´gia usada para a resoluc¸a˜o do problema deve ser bem cadenciada. Pri-
meiramente gerar uma senha que atenda as condic¸o˜es descritas, em seguida esmiuc¸ar
quais deciso˜es permitiram a formac¸a˜o dessa senha pondo em pra´tica o Pensamento
Combinato´rio.
Uma sugesta˜o de deciso˜es, seria: Escolher treˆs algarismos distintos, decidir qual
deles ira´ se repetir e em seguida permuta´-los a fim de gerar uma senha. Assim seria
poss´ıvel propor a seguinte soluc¸a˜o:
Ainda sem se preocupar com a ordenac¸a˜o dos algarismos, vamos determinar de
quantas maneiras e´ poss´ıvel selecionar treˆs algarismos distintos entre os cinco disponi-
bilizados:
31
Conjunto com n elementos.
Os elementos selecionados sa˜o necessariamente distintos?
SIM
Usara´ todos os n elementos?
SIM
Pn = n!
(∗)
NA˜O
Ordenara´ os elementos?
SIM
An,p=
n!
(n− p)!
NA˜O
Cn,p=
n!
p!.(n− p)!
NA˜O
Usara´ todos os n elementos?
SIM
PRn1,n2,...n =
n!
n1!.n2!....
NA˜O
Ordenara´ os elementos?
SIM
ARn,p=n
p
NA˜O
CRn,p=Cn+p−1,p
Dessa forma, ha´ C5,3=
5!
3!.(5− 3)!=10 maneiras de fazer a selec¸a˜o. Como
dispo˜e-se de 3 algarismos e e´ necessa´rio escolher um para se repetir na
senha, essa escolha podera´ ser feita de treˆs modos distintos. Para finali-
zar, deve-se escolher uma ordem para os quatro algarismo, sendo dois deles
iguais, logo:
Conjunto com n elementos.
Os elementos selecionados sa˜o necessariamente distintos?
SIM
Usara´ todos os n elementos?
SIM
Pn = n!
(∗)
NA˜O
Ordenara´ os elementos?
SIM
An,p=
n!
(n− p)!
NA˜O
Cn,p=
n!
p!.(n− p)!
NA˜O
Usara´ todos os n elementos?
SIM
PRn1,n2,...n =
n!
n1!.n2!....
NA˜O
Ordenara´ os elementos?
SIM
ARn,p=n
p
NA˜O
CRn,p=Cn+p−1,p
O nu´mero de senhas geradas pela permutac¸a˜o dos algarismos e´ dado por
PR24=
4!
2!
=12. Bem, como para gerar as senhas sera´ necessa´rio escolher os
treˆs algarismos distintos e dentre os treˆs escolher um para ser duplicado e
permuta´-los, o nu´mero de senhas poss´ıveis e´ igual a 10.3.12=360.
32
Cap´ıtulo 4
Conclusa˜o
Neste trabalho buscou-se apresentar a s´ıntese de uma pra´tica dida´tica constru´ıda
com base na necessidade de manipulac¸a˜o antes da formalizac¸a˜o de uma estrate´gia. O
fluxograma apresentado na˜o deve ser entendido de maneira alguma como um me´todo
que dara´ a resposta dos problemas de Ana´lise Combinato´ria e sim como um guia sobre
que questionamentos devem ser feitos apo´s ter conscieˆncia das regras estabelecidas
nas situac¸o˜es de contagem, a fim de decidir que recursos devera˜o ser empregados para
realizar as contagens de forma eficaz e eficiente.
Apresentamos essa s´ıntese como um instrumento que se presta a enriquecer o arsenal
dos professores de matema´tica, como o pro´prio t´ıtulo “Uma ferramenta dida´tica para
ajudar na fixac¸a˜o dos conceitos introduto´rios de ana´lise combinato´ria” sugere. Com
mais tempo de pesquisa e com maior amostragem e´ poss´ıvel que o me´todo aqui exposto
possa produzir mais resultados dentro da proposta de melhorar o ensino de Ana´lise
Combinato´ria, e por consequeˆncia o da Matema´tica.
Tendo consieˆncia das limitac¸o˜es dessa dissertac¸a˜o, entrego-a a apreciac¸a˜o dos que
se interessam em melhorar o ensino. Que as poss´ıveis lacunas aqui deixadas sirvam
de motivac¸a˜o a outros estudantes do programa para se debruc¸arem sobre este e outros
problemas.
33
Anexo A
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN
Centro de Cieˆncias Exatas e da Terra - CCET
Departamento de Matema´tica
Disciplina - Ana´lise Combinato´ria e Probabilidade
Professor - Andre´ G.C. Pereira
Aluno(a) -
1a Avaliac¸a˜o
1. (4,0) Suponha que um garoto do ensino me´dio pedisse para voceˆ lhe explicar:
a) Quando usar permutac¸a˜o e quando usar combinac¸a˜o/arranjo?
b) A diferenc¸a entre combinac¸a˜o e arranjo.
c) A diferenc¸a ente combinac¸a˜o e combinac¸a˜o completa.
Explique com suas palavras e deˆ um exemplo para ilustrar.
2. (2,0)
a) De quantas maneiras distintas 6 caixas brancas de tamanhos diferentes podem
ser alinhadas?
b) E se fossem 3 de um tamanho e 3 de outro tamanho?
3. (1,0) Um departamento de uma empresa tem 10 funciona´rios, sendo 6 homens e
4 mulheres. Quantos grupos de trabalho diferentes pode ser formados, contendo
4 homens e 2 mulheres?
4. (1,0) Numa pesquisa feita com 500 pessoas, perguntava-se ao entrevistado se ele
jogava voley ou se jogava basquete, o resultado foi: jogava voley = 210, jogava
basquete = 250 e na˜o, nenhuma das modalidades = 200. Pergunta-se:
a) Quantas das pessoas entrevistadas jogavam alguma das modalidades (ou seja,
jogavam voley, basquete ou os dois)?
b) Quantas pessoas entrevistadas jogavam ambas as modalidades?
5. (1,0) Se no tabuleiro da baiana em Salvador tem mungunza´, caruru, vatapa´, sara-
pateu e acaraje´. E ela fez a seguinte promoc¸a˜o: quaisquer dois quitutes (distintos
ou na˜o) por R$3,00. De quantas maneiras voceˆ pode fazer suas escolhas?
6. (1,0) Quantas senhas diferentes de 4 d´ıgitos com 2 d´ıgitos iguais e os outros
diferentes podem ser montadas utilizando os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9?
Refereˆncias Bibliogra´ficas
[1] The archimedes palimpsest. Dispon´ıvel em
http://www.archimedespalimpsest.org/about/ Acesso em 14.02.2012 a`s 19h.
[2] Morgado. A.C, de Carvalho. J.B.P., Carvalho. P.C.P., and Fernandez. P.J. Ana´lise
combinato´ria e probabilidade: com as soluc¸o˜es dos exerc´ıcios. Colec¸a˜o do Professor
de Matema´tica. Impa / Vitae, 2006.
[3] Keith. Devlin. O Instinto Matema´tico. Record, 2009.
[4] Casalderrey. Francisco Mart´ın. Cardano y Tartaglia: las matema´ticas en el Rena-
cimiento Italiano. Nivola, 2000.
[5] Polya. George. A arte de resolver problemas. Intercieˆncia, Rio de Janeiro, 1978.
[6] Mendes. Iran Abreu. Ensino da matema´tica por atividades: uma alianc¸a entre o
construtivismo e a histo´ria da matema´tica. Universidade Federal do Rio Grande
do Norte. Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Educac¸a˜o., 2001.
[7] Ed Pegg Jr. The loculus of archimedes, solved. Dispon´ıvel em
http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames 11 17 03.html Acesso em
14.02.2012 a`s 19h30.
[8] Mlodinow. Leonard. O Andar do Beˆbado - Como o Acaso Determina Nossas
Vidas. Jorge Zahar, 2009.
36
[9] Bernstein. P. Against the gods: The Remarkable Story of Risk. John Wiley Sons,
New York, NY., 1996.
[10] Noel. Reviel, Netz. William. O Codex Arquimedes. Nivola, 2000.
[11] Oliveira. Wagner. Educac¸a˜o ambiental em go´ias. Dispon´ıvel em
http://wagneroliveiragoias.blogspot.com.br/2012/05/e-s-p-e-ci-l-homem-pre-
historico-de.html Acesso em 14.02.2012 a`s 20h30.
37