UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
BACHARELADO EM FÍSICA
Shaydina Duarte Neves da Silva
Uma Introdução ao Modelo da Hadrodinâmica
Quântica para Estudo das Estrelas de Nêutrons
Natal - RN
Dezembro de 2020
Shaydina Duarte Neves da Silva
Uma Introdução ao Modelo da Hadrodinâmica
Quântica para o Estudo das Estrelas de Nêutrons
Monografia de Graduação apresentada ao
Departamento de F́ısica do Centro de
Ciências Exatas e da Terra da Universidade
Federal do Rio Grande do Norte como re-
quisito parcial para a obtenção do grau de
bacharel em F́ısica.
Orientador:
Prof. Dr. Ronai Machado Lisbôa
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN
Departamento de F́ısica - DF
Natal - RN
Dezembro de 2020
A meus pais.
ii
Agradecimentos
Primeiramente, agradeço aos meus pais por todo o afeto, carinho e por terem investido
nos meus estudos desde sempre.
Ao meu orientador Dr. Ronai Lisbôa, por ter me orientado através dos meus anos de
graduação.
A todos os amigos que fiz durante o curso de bacharelado em f́ısica, em especial: Felipe,
Wendel, Fernanda, Nathane, Mayara e Dênis. E também aos meus amigos e colegas fora
do ambiente acadêmico.
Aos professores do Departamento de F́ısica (DF) que fizeram parte da minha formação e
ao Dr. Roosewelt Fonseca Soares do Departamento de Matemática da UFRN (DM/CCET)
pelas aulas de álgebra linear e cálculo fundamental III.
A UFRN que por meio do Programa de Bolsas de Iniciação Cient́ıfica PIBIC/UFRN
e ECT/UFRN permitiu que eu desenvolvesse minhas atividades de pesquisa com apoio
financeiro.
iii
“Not only is the Universe stranger than we
think, it is stranger than we can think.”
— Werner Heisenberg, Across the Frontiers
iv
Resumo
As estrelas de nêutrons são objetos compactos que fascinam astrof́ısicos e f́ısicos nucle-
ares. Elas são formadas quando estrelas massivas esgotam seu combust́ıvel e colapsam. O
núcleo remanescente da estrela supermassiva dá origem a estrela de nêutrons. Devido a
suas propriedades extremas como pressão e densidade, essas estrelas são utilizadas como
laboratório para teste, por exemplo, da força nuclear forte. Nesta monografia vamos apre-
sentar a estrela de nêutrons, sua formação, estrutura e propriedades, bem como abordar
a f́ısica das estrelas de nêutrons utilizando o modelo da Hadrodinâmica Quântica I e a
equação de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV).
Palavras-chave: Astrof́ısica Nuclear, Estrelas de Nêutrons, Hadrodinâmica Quântica,
Tolman-Oppenheimer-Volkoff.
v
Abstract
Neutron stars are compact objects that fascinate astrophysicists and nuclear physicists.
They are formed when massive stars run out of fuel and collapse. The remaining core
of the supermassive star gives rise to the neutron star. Due to their extreme properties
such as pressure and density, these stars are used as a laboratory for testing, for example,
strong nuclear force. In this monograph we will present the neutron star, its formation,
structure and properties, as well as address the physics of the neutron stars using the
Quantum Hadrodynamics model and the Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV) equation.
Keywords: Nuclear Astrophysics, Neutron Stars, Quantum Hadrodynamics, Tolman-
Oppenheimer-Volkoff.
vi
Sumário
Agradecimentos ii
Resumo iv
Abstract v
1 Introdução 1
1.1 Considerações Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Estrelas de Nêutrons 6
2.1 Estrelas de Nêutrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.1 Visão Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.2 Principais Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.3 Por que Estudar Estrelas de Nêutrons ? . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Equiĺıbrio Hidrostático em Estrelas 13
3.1 O Equiĺıbrio Hidrostático em Estrelas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.1 Estrela Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Estrela na Relatividade Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.1 A Equação de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV) . . . . . . . . . 15
4 F́ısica das Estrelas de Nêutrons: Hadrodinâmica Quântica 18
4.1 Modelos Nucleares e Estudo da Matéria Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.1.1 Propriedades da Matéria Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Hadrodinâmica Quântica I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2.2 Formalismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
vii
4.2.3 A Aproximação Relativ́ıstica de Campo Médio . . . . . . . . . . . . 26
4.2.4 Cálculo dos Valores Esperados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5 Solução numérica 40
5.1 O modelo σ − ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6 Considerações finais 50
1
Caṕıtulo 1
Introdução
1.1 Considerações Iniciais
No nosso Universo nos deparamos com galáxias, estrelas e buracos negros. Entre as
estrelas temos as chamadas estrelas de nêutrons que são o que resulta da explosão em
supernova de uma estrela massiva. As estrelas de nêutrons são as menores e mais densas
estrelas conhecidas até então. Há fortes evidências que estrelas de nêutrons são formadas
a partir do colapso das supernovas. Objetos compactos como estrelas de nêutrons e anãs
brancas emergem no final da evolução estelar, como mostra a figura 1.1. A massa da estrela
que está no fim de sua vida é o fator crucial com relação a uma anã branca, um buraco
negro ou uma estrela de nêutrons surgir. A massa máxima para uma estrela de nêutrons,
limite de Chandrasekhar [1], é, aproximadamente, 1,4M, embora dados recentes apontem
que esse limite possa ser bem maior. Normalmente as massas para essas estrelas estavam
distribúıdas numa faixa de M = (1 − 2)M. Modelos teóricos atuais apontam estrelas
de nêutrons com até 3,0M. Essas margens estão sendo revistas e ampliadas a partir das
novas observações das ondas gravitacionais provenientes da colisão de objetos astrof́ısicos
compactos. Recentemente, resultados que são provenientes da colisão de uma estrela de
nêutrons e um buraco negro mostram uma massa para a estrela de nêutrons de 2,5M
[2].
Na astrof́ısica, e na f́ısica como um todo, as estrelas de nêutrons provêm um laboratório
único para o estudo da estrutura e interação da matéria a altas temperaturas. Quando a
matéria das estrelas compactas esfria ou torna-se densa as part́ıculas constituintes ficam
2
Figura 1.1: Esquema do ciclo de vida de estrelas massivas.
sujeitas às leis da mecânica quântica e da mecânica estat́ıstica. Essas part́ıculas começam a
se repelir, criando uma pressão de natureza quântica e independente da agitação térmica,
isto é, da temperatura. Nesse regime, mesmo à temperatura nula, há uma pressão de
degenerescência devido à compressão da matéria até densidades que estão fora das escalas
dos laboratórios na Terra. Para essas estrelas a energia de repouso é muito maior que o
conteúdo relativ́ıstico das part́ıculas e a temperatura de Fermi (com kf ∼ 0) é próxima
de Tf = m
2c2/KB ∼ 1013 K, enquanto a temperatura de uma estrela de nêutrons é da
ordem de 106 K. Portanto, podemos desprezar efeitos devido a temperatura no modelo
que iremos utilizar para descrever a f́ısica da estrela de nêutrons. As estrelas compactas
como as anãs brancas (pressão de degenerescência de elétrons) e de nêutrons (pressão de
degenerescência de nêutrons) têm, portanto, uma relação entre pressão e energia que são
não-térmicas; os efeitos térmicos devido a alguma temperatura finita (T 6= 0) podem ser
tratados como uma perturbação. Isso significa que devido às altas densidades das estrelas
compactas, os modelos à temperatura nula são uma boa aproximação. O resultado é
que a equação de estado da matéria se reduz a estudar como a pressão varia desde uma
densidade central, p(ρ0) até uma densidade p(ρ) na crosta da estrela que pode ser tomada
como nula no contorno estrela-espaço. Em modelos onde se considera uma estrela de
nêutrons homogênea e esférica, sua densidade média é algo como ρ = 7,0×1014 g/cm3m .
Essa densidade é cerca de 700 trilhões de vezes maior do que a da água, e resulta maior
3
do que a densidade do núcleo atômico, pois ρn = (2 − 3)ρo, onde ρo = 2,8×1014 g.cm−3
representa a densidade nuclear. No centro a densidade é cada vez maior, chegando a 10ρo
[3, 6].
Um estudo compreensivo de estrelas de nêutrons requer um entendimento de como as
interações de curto (contato) e de longo alcance (ação à distância) se equilibram no inte-
rior das estrelas desde as camadas mais externas até o caroço central. Com a finalidade de
compreender melhor a f́ısica por trás das estrelas de nêutrons precisamos de conhecimen-
tos variados de áreas espećıficas, como astrof́ısica de altas energias, f́ısica de neutrinos,
hidrodinâmica de superfluidos, f́ısica dos plasmas, f́ısica nuclear e de hádrons. Estrelas de
nêutrons são modeladas por equações de estado que relacionam a pressão e a densidade
dentro da estrela. As soluções das equações de estado são essencialmente numéricas e os
dados de sáıda como o raio e massa são comparados aos dados observacionais. Isso permite
descartar modelos e aperfeiçoar outros levando em consideração diferentes aproximações
como outros tipos de part́ıculas e das interações entre elas.
Uma estrela é estabilizada contra o colapso gravitacional pela pressão térmica devido
à energia liberada dos processos de fusão nuclear nas camadas mais internas da estrela.
Uma vez que esses processos de fusão tenham alcançado a formação de 56Fe, a última fase
de fusão exotérmica, a estrela irá “apagar” e o núcleo começará a resfriar e se contrair
sob sua própria gravidade. Como o núcleo se contrai, densidades onde os elétrons se
tornam relativ́ısticos são facilmente alcançadas. A energia do núcleo pode ser reduzida
por captura de elétrons pelos prótons (decaimento beta inverso), de modo que o núcleo se
torna mais rico em nêutrons. O efeito da contração do núcleo pela gravidade será parado
pela repulsão de curto alcance da força nuclear forte. Como o núcleo da estrela massiva é
comprimido e colapsa em uma estrela de nêutrons, ela conserva a maioria de seu momento
angular. Entretanto, desde que a estrela remanescente tem somente uma pequena fração
de seu raio original, ela adquire uma alta velocidade rotacional.
Dois tipos conhecidos de estrelas de nêutrons são os pulsares e os magnetares. Pulsares
são mais fáceis de identificar, em comparação com uma estrela de nêutrons comum, devido
à sua caracteŕıstica de emitirem rajadas de radiação de rádio em intervalos regulares.
Para um observador, um pulsar é visto como um sinal em um telescópio de rádio. O
4
sinal exibe a propriedade de curtas rajadas de energia de rádio que estão separadas por
gaps de intervalos regulares. Magnetares são estrelas de nêutrons com campos magnéticos
extremamente intensos. Estrelas de nêutrons comuns têm campos magnéticos de cerca
de trilhões de vezes maiores do que o campo magnético da Terra. O campo magnético de
um magnetar é 1000 vezes maior do que o campo magnético de uma estrela de nêutrons
comum. Os magnetares são formados de uma mesma maneira do que estrelas de nêutrons
comuns mas não se sabe as condições as quais causam a criação de um magnetar ao invés
de uma estrela de nêutrons ordinária [7].
O interior de uma estrela de nêutrons é ainda desconhecido, todavia existem muitas
ideias e suposições. Dado que as densidades médias de estrelas de nêutrons são com-
paráveis àquelas do núcleo do átomo, é assumido que estrelas de nêutrons consistem de
matéria bariônica (prótons, nêutrons) e, portanto, podem ser estudadas como um núcleo
gigante. A principal diferença entre uma estrela de nêutrons e um núcleo é que a pri-
meira é mantida unida pela gravidade, enquanto que a outra é mantida unida por forças
nucleares. Levando em conta a suposição de matéria bariônica no interior da estrela de
nêutrons, modelos nucleares podem ser incorporados para prover a sua equação de es-
tado. Esses vários modelos nucleares para o interior de uma estrela de nêutrons podem
ser testados comparando as propriedades calculadas, tais como a relação massa-raio, aos
valores obtidos por observações. Em geral, modelos nucleares são complexos e, assim,
dif́ıceis para resolver. Logo, aproximações têm que ser feitas.
Na nossa abordagem de cálculo de sistemas de muitos nucleons, utilizaremos um modelo
cuja formulação tem como base a teoria quântica de campos. Esse modelo é conhecido
como Hadrodinâmica Quântica (HDQ) e ele representa a interação entre os nucleons por
meio da troca de mésons. O f́ısico John Walecka, em 1974, foi quem primeiramente
fez a proposta de um modelo nuclear baseado na HDQ [8]. Aqui tem-se que a atração
via distâncias intermediárias entre os constituintes do núcleo é devida à troca de um
méson escalar (méson σ), e a repulsão à curto alcance é devida a troca de um méson
vetorial (méson ω). Os parâmetros livres desse modelo são fixados de uma forma tal
a reproduzir a energia de ligação por part́ıcula e a densidade de saturação da matéria
nuclear. As equações de movimento que obtemos desse modelo são complicadas para
resolver de forma anaĺıtica e para resolvê-las faremos a aproximação relativ́ıstica de campo
5
médio que consiste, basicamente, em trocar os operadores de campo dos mésons por seus
valores esperados.
6
Caṕıtulo 2
Estrelas de Nêutrons
2.1 Estrelas de Nêutrons
2.1.1 Visão Geral
Em decorrência da morte de uma estrela massiva, que expele a maior parte de sua
matéria através do Universo em uma explosão de supernova, seu núcleo de ferro é colap-
sado, criando assim a forma mais densa da matéria já observada até então no Universo: a
estrela de nêutrons. Essas estrelas possuem propriedades estelares extremas, que são con-
troladas pelas interações de longo alcance gravitacional e eletromagnética, como campo
gravitacional, frequência rotacional, temperatura superficial e campo magnético. Exceto
a interação gravitaiconal, essas propriedades estelares extremas são bem combinadas às
propriedades nucleares extremas, que são controladas pelas interações de curto alcance
nuclear fraca e nuclear forte, como densidade nuclear, superfluidez e supercondutividade.
A existência das estrelas de nêutrons no universo foi inicialmente proposta por Landau
no ano de 1932 [9], algum tempo após a descoberta do nêutron. Nossa concepção moderna
no que se refere ao estudo das estrelas de nêutrons como um objeto que resulta da explosão
da supernova durante o colapso gravitacional, com a liberação da energia gravitacional, é
baseada no que foi proposto por Baade e Zwicky em 1934 [10, 11]. Apesar da existência
de suposições teóricas, um tipo de estrela de nêutrons foi primeiramente observada por
cientistas em 1967 [12], quase que acidentalmente, quando Jocelyn Bell, uma estudante do
astronômo Antony Hewish, notou repetidos pulsos de rádio chegando de um pulsar fora
do nosso sistema solar. Os pulsares são estrelas de nêutrons que estão rotacionando. Para
7
os observadores terrestres, elas parecem estar pulsando, mas a pulsação é aparentemente
devida a um jato que está girando, como um holofote, que é observado cada vez que passa
pela Terra. Os pulsares têm peŕıodos que se aproximam de 1 ms, mas normalmente ficam
na faixa de algumas centenas de ms. Concluiu-se que a única coisa que poderia estar
girando tão rápido sem se desintegrar seria um objeto extremamente compacto: uma
estrela de nêutrons. Os pulsares são os “relógios” mais precisos conhecidos na natureza.
Suas frequências são constantes a um ńıvel de aproximadamente uma parte em 1015.
As mudanças de frequência, quando ocorrem, parecem ser o resultado de algum evento
catacĺısmico na superf́ıcie da estrela de nêutrons, possivelmente um “terremoto” que muda
o momento de inércia da estrela e, portanto, sua frequência de rotação [12].
Para os astrof́ısicos, a estrela de nêutrons é um objeto incrivelmente compacto, e para
os f́ısicos nucleares a estrela de nêutrons é tida como um núcleo incrivelmente extenso.
Tal visão do f́ısico nuclear advém do fato de que dentro das estrelas de nêutrons os
átomos estão todos colapsados, onde temos a chamada matéria degenerada, ou, ainda,
gás degenerado. A gravidade comprime fortemente os nucleons, de modo que eles estão
muito mais próximos do que o habitual sob ação somente das forças nucleares. Eles
são comprimidos e ocupam os estados de menor energia dispońıveis de acordo com a
distribuição de Fermi-Dirac. A maioria das estrelas se sustentam contra sua gravidade
através da pressão normal do gás. No caso das estrelas de nêutrons, elas se mantêm pela
pressão de degenerescência do gás de nêutrons que se encontra em seu interior [13].
As estrelas de nêutrons são estruturadas, geralmente, em cinco camadas distintas repre-
sentadas na figura 2.1. Superficialmente, encontramos a atmosfera em uma fina camada
composta em sua maior parte pelos elementos hidrogênio e hélio. Abaixo dessa fina ca-
mada, temos os restos da estrela que estão unidos e formam uma crosta externa que
contém núcleos atômicos e elétrons livres. Indo mais profundamente na estrutura da es-
trela de nêutrons, uma crosta interna é encontrada. O que os pesquisadores acreditam é
que essa crosta interna é composta por nêutrons, elétrons livres e elementos ionizados, que
são compactados e criam uma rede. Na quarta camada, temos uma pressão tão intensa
que todos os prótons se combinam com os elétrons e se tornam nêutrons. A constituição
da matéria ultra densa do centro da estrela, ou seja, do núcleo interno, ainda permanece
um mistério. Apesar de atualmente sabermos bem como estrelas de nêutrons nascem
8
e evoluem com o tempo, não sabemos exatamente o que ocorre depois, dentro de seus
núcleos ultra-densos. Algumas teorias dizem que os nêutrons são abundantes em todo o
caminho até o centro. Outras teorias dizem que a enorme pressão compacta tal material
em part́ıculas mais exóticas [14, 15].
Figura 2.1: Estrutura de uma estrela de nêutrons.
Existem algumas possibilidades a respeito do que é feita a matéria do núcleo interior
e as mais conhecidas são: quarks, condensado de Bose-Einstein e h́ıperons. Essas pos-
sibilidades podem ser estudadas através de experimentos nos aceleradores de part́ıculas.
Numa matéria composta por quarks up e quarks down, os constituintes dos prótons e
nêutrons, os quarks e os glúons circulariam livremente. Outra hipótese para a matéria do
núcleo interior é que as extremas energias dariam origem a part́ıculas chamadas h́ıperons.
Prótons e nêutrons contém os quarks mais básicos e de menor energia, já os h́ıperons têm
o último de seus quarks trocado por um quark estranho. A terceira possibilidade mais
conhecida é que o centro da estrela de nêutrons é um condensado de Bose-Einstein, que
seria um estado de matéria onde as part́ıculas chamadas ṕıons, contendo um quark up e
um anti-quark down, se combinariam para formar uma única entidade quântica [14, 15].
9
Dadas as possibilidades para o que podemos encontrar no centro das estrelas de nêutrons,
temos a questão de que cada uma delas exibiria uma caracteŕıstica contra a gravidade
da estrela. As diferentes matérias ultra densas gerarão diferentes pressões internas, sendo
assim um raio maior ou menor para a dada massa. Por exemplo, se pegarmos uma estrela
de nêutrons com um condensado de Bose-Einstein no núcleo interno, essa estrela teria
um raio menor do que se tivesse um núcleo interno composto por uma matéria tal como
nêutrons. Um núcleo feito de h́ıperons pode ter um raio ainda menor. Levando em conta
as part́ıculas e as forças existentes entre elas teremos raios diferentes e outras propriedades
também serão diferentes [14, 15].
As diversas possibilidades que temos para a matéria ultra-densa que iremos encontrar
no centro da estrela podem ser diferenciadas através da realização de medidas precisas
do tamanho e massa das estrelas de nêutrons. Atualmente, os pesquisadores têm tentado
realizar tais medidas precisas, mas ainda há muitas incertezas, de modo que a precisão
não é suficiente para distinguir entre qual modelo é o mais provável. A massa é estimada
habitualmente através da observação de estrelas de nêutrons em pares binários.
Devido a apresentarem altas densidades, as estrelas de nêutrons nos dão o teste perfeito
para a força forte, de modo que podemos usar essa propriedade para provar a maneira
como os quarks e glúons interagem sob essas condições. As teorias existentes supõem
que o núcleo da estrela de nêutrons comprime fortemente os nêutrons e os prótons, o que
provoca a liberação dos quarks dos quais essas part́ıculas são formadas [16].
As equações Newtonianas não descrevem corretamente objetos compactos e massivos.
Especificamente falando, para estrelas de nêutrons existe um limite superior de massa,
que tem suporte devido a evidências observacionais, que não é previsto pelas equações
Newtonianas. Sendo assim, correções relativ́ısticas devem ser empregadas utilizando a
relatividade geral. As aplicações da teoria da relatividade geral são usualmente mais
complicadas do que a teoria da gravidade newtoniana, porém as equações obtidas para
estrelas com simetria esférica, conhecidas como equações de Tolman-Oppenheimer-Volkoff
(TOV), não são excessivas em termos de complexidade [17, 18] ,
dp −G[ρ(r) + p(r)/c
2][m(r) + 4πr3p(r)/c2]
= ,
dr r2[1− 2Gm(r)/rc2]
10
dm
= 4πρr2.
dr
A introdução das equações de TOV no tratamento relativ́ıstico têm fundamental im-
portância para identificar corretamente modelos estáveis e instáveis para estrelas de
nêutrons.
2.1.2 Principais Propriedades
Estrelas de nêutrons são formadas a partir do núcleo colapsado de uma estrela massiva.
Essa estrela que dá origem a uma estrela de nêutrons tem massas que variam entre 10M
a 29M, o que resulta numa estrela de nêutrons com massas que variam entre 1M
a 2M. Atualmente, existem evidências que apontam maiores massas para estrelas de
nêutrons, cerca de 2,6M. Essas novas evidências vêm do estudo das ondas gravitacionais
detectadas pela fusão de duas estrelas de nêutrons no ano de 2017 [2]. A medida da
massa de estrelas de nêutrons, assim como para todas as demais estrelas, pode ser feita
quando elas pertencem a sistemas binários por meio da 3a lei de Kepler e utilizando outros
dados orbitais. Estritamente falando, as estrelas de nêutrons que fazem parte de sistemas
binários apresentam efeitos adicionais relativ́ısticos observáveis (os chamados parâmetros
pós-Keplerianos), devido aos intensos campos gravitacionais. O raio médio dessas estrelas
fica em torno de 12 km, geralmente variando entre 10 e 16 km, porém existem incertezas.
Por exemplo, para uma estrela de nêutrons com 1,4M, o raio varia entre 10 e 14 km.
Ter valores mais precisos para o raio é importante para compreender o comportamento da
matéria a densidades tão altas como as encontradas numa estrela de nêutrons. Existem
algumas técnicas atuais para obter estimativas mais precisas para o raio utilizando dados
observacionais das ondas gravitacionais geradas pela fusão de duas estrelas de nêutrons
[19, 20].
Considerando uma estrela esférica com um raio médio R = 10 km, a densidade média
pode ser estimada por
( )( )−3
M
ρ = = 4, 8× 1014 M Rg.cm−3 (2.1)
(4/3πR3) M 10 km
que é maior que a densidade da matéria nuclear ρ0 = 2, 8 × 1014 g.cm−3 (núcleo do
chumbo).
11
A luminosidade térmica a partir da superf́ıcie de uma estrela de nêutrons, como um
corpo negro é,
( )2( )4
L = 4πR2σT 4
R T
= 7× 1032 erg.s−1 (2.2)
10 km 106 K
onde σ é a constante de Stefan-Boltzmann. A temperatura de uma estrela de nêutrons é
normalizada a T ∼ 106 K o que é inferior à temperatura de Fermi, Tf = Ef/Kb ≈ 1013
K. Isto decorre do limite de baixa energia onde o momento de Fermi é nulo e a energia
relativ́ıstica E2 = (m4c2 + k2fc
2) ≈ mc2.
2.1.3 Por que Estudar Estrelas de Nêutrons ?
A astrof́ısica nuclear é um moderno e vibrante campo abordando questões fundamentais
da ciência em uma intersecção da f́ısica nuclear e da astrof́ısica. Essas questões relacionam
a origem dos elementos, os mecanismos nucleares que levam à vida e à morte das estrelas,
e as propriedades da matéria a altas densidades e temperaturas. Uma ampla gama de
aceleradores nucleares, observatórios astronômicos, capacidades computacionais e recursos
humanos são necessários para propor e testar modelos f́ısicos-matemáticos que levem
a uma teoria final. Algumas respostas a questões chave de longa data estão bem ao
alcance da próxima década. Em especial, nos últimos anos os aceleradores, detectores e
observatórios têm apresentado à humanidade algumas respostas as questões fundamentais:
Do que o mundo é feito? E o que mantém tudo unido? O Grande Acelerador de Altas
Energias (CERN) revelou o bóson de Higgs [21], em 2012; o Observatório de Ondas
Gravitacionais por Interferômetro Laser (LIGO) revelou as ondas gravitacionais [22], em
2017; o projeto Telescópio Horizon, uma rede global de telescópios apresentou a captura da
primeira imagem de um buraco negro [23]. Esse trabalho se alinha às direções cient́ıficas,
prioridades da comunidade da astrof́ısica nuclear e das agências de fomento ao iniciar
estudos computacionais e teóricos a respeito de um dos três temas do campo da astrof́ısica
nuclear e f́ısica nuclear de baixas energias [24]:
• A composição e estado da matéria na crosta e no núcleo das estrelas de nêutrons.
Este tema investiga o destino da matéria em condições extremas de densidade e a
f́ısica subjacente da matéria nuclear.
12
Devido a apresentar propriedades únicas e extremas, as estrelas de nêutrons nos for-
necem um laboratório único para testar as leis da f́ısica. Podemos citar como exemplo
um caso envolvendo um teste da relatividade geral: correções realizadas das massas das
estrelas de nêutrons por efeitos relativ́ısticos chegam a 50 %. Temos a oportunidade
também de estudar a matéria em campos magnéticos intensos, que podem alcançar 1012
T, já que os campos gerados por eletróımãs que temos aqui não são maiores do que 10
T. Como último exemplo temos a contribuição do estudo das estrelas de nêutrons para a
f́ısica nuclear, que é a possibilidade de analisar o comportamento da matéria a alt́ıssimas
densidades, que pode ser até 5 vezes maior do que a densidade do núcleo de chumbo.
O estudo de tais estrelas tão únicas também pode nos ajudar a saber a origem dos
elementos qúımicos pesados no nosso Universo, tais como a platina e o ouro, devido a
esses elementos serem formados por estrelas de massas elevadas [25].
13
Caṕıtulo 3
Equiĺıbrio Hidrostático em Estrelas
3.1 O Equiĺıbrio Hidrostático em Estrelas Esféricas
3.1.1 Estrela Newtoniana
As únicas forças atuando em um elemento de massa de uma estrela gasosa, estática,
não-girante e sem campos magnéticos intensos, vêm da pressão e da gravidade. Tendo uma
configuração simétrica, as funções serão constantes em esferas concêntricas e necessitare-
mos apenas de uma coordenada espacial para descrever tais funções. Por simplicidade,
adotaremos como coordenada espacial a distância r do centro da estrela, que varia de
r = 0, no centro, até o raio total na superf́ıcie da estrela, r = R [13].
Com a finalidade de darmos uma conveniente descrição da distribuição de massa dentro
de uma estrela, mais especificamente de seu efeito no campo gravitacional, definimos aqui
a função m(r) como sendo a massa contida numa esfera de raio r.
dm = 4πr2ρdr. (3.1)
Na equação acima temos que o termo no lado direito é a massa contida na casca esférica
de espessura dr, o que nos dá a variação de m(r) devido a variação de r
dm
= 4πr2ρ. (3.2)
dr
14
Uma vez que preferimos, por uma questão de simplicidade, descrever a distribuição de
massa na estrela por m(r), tomaremos a equação (3.2) como a primeira equação básica
na forma Euleriana. A equação que acabamos de obter é a bem conhecida equação da
continuidade de massa para o caso de simetria esférica e estática.
A maior parte das estrelas que temos no Universo estão em extensos processos de sua
evolução de modo que, no geral, mudanças não podem ser observadas. Logo, a matéria das
estrelas não pode ser notavelmente acelerada, ou seja, todas as forças atuando em um dado
elemento de massa da estrela compensam umas as outras. Denominamos de equiĺıbrio
hidrostático esse equiĺıbrio de forças que encontramos em uma estrela. Tendo em mente
tais suposições, as únicas forças que teremos são devidas à gravidade e ao gradiente de
pressão [13]. Em um dado instante de tempo vamos considerar uma fina casca esférica
massiva (infinitesimal) de espessura dr em um dado raio r dentro da estrela. A massa por
unidade de área da casca é dm/dA ≡ ρdr e a densidade de força gravitacional atuando
em direção ao centro da casca é −ρgdr.
Como dissemos anteriormente, a matéria contida nas estrelas não pode ser notavelmente
acelerada. Logo, para impedir que os elementos de massa da casca esférica sejam acele-
rados em direção ao centro, tais elementos de massa devem sentir uma força de mesmo
módulo devida à pressão, porém em sentido contrário. Isto nos leva a conclusão de que
a pressão na casca deve ser maior no seu contorno interior pi do que no seu contorno
exterior pe. A força total por unidade de área atuando na casca devida a esta diferença
de pressão é dada por:
dp
pi − pe = − dr.
dr
A densidade de força resultante devido a pressão e a gravidade têm de ser zero,
dp
+ gρ = 0, (3.3)
dr
o que nos fornece a condição de equiĺıbrio como
dp
= −gρ. (3.4)
dr
15
Sabemos, da teoria elementar do potencial, que dentro de um corpo simetricamente
esférico o valor absoluto da aceleração da gravidade g em uma dada distância r do centro
não depende do elemento de massa fora de r. O valor de g depende somente de r e da
massa contida na esfera, que até então chamamos de m. Da literatura, g é definida como
Gm
g = . (3.5)
r2
A equação (3.5) nos dá o valor de g, de modo que, substituindo esse resultado na equação
(3.4), obtemos que
dp −Gm= ρ. (3.6)
dr r2
Essa igualdade nos mostra o equiĺıbrio de densidades de forças advindas da pressão e da
gravidade, ambas por unidade de volume da casca fina. Esta equação que acabamos de
obter é a segunda equação básica da hidrostática que descreve o problema da estrutura
estelar na forma Euleriana, onde r é a variável tida como independente.
3.2 Estrela na Relatividade Geral
3.2.1 A Equação de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV)
A solução para uma estrela de nêutrons esférica, homogênea e estática vem da Relati-
vidade Geral e reduz-se na equação Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV) que representa
o equiĺıbrio hidrostático na relatividade geral,
dp ( )( 3 )( )−1
= −Gm(r) p(r) 4πr p(r) 2Gm(r)ρ(r) 1 + 1 + 1− . (3.7)
dr r2 ε(r) m(r)c2 rc2
Esta equação foi obtida primeiramente em 1939 pelos f́ısicos Julius Robert Oppenheimer
e George Michael Volkoff [17], e posteriormente por Richard C. Tolman [18].
O modelo newtoniano, conforme se observa a partir da equação (3.6), não contém os
termos de correção da relatividade geral que são aqueles entre parênteses na equação
(3.7). Todas essas correções são positivas e maiores que a unidade, ou seja, incrementam
a contribuição newtoniana a cada valor r da estrela. Além disso, o próprio gradiente de
pressão é uma fonte adicional de gravitação, pois é uma forma de energia. Uma segunda
16
equação vem da continuidade de massa,
dm
= 4πr2ρ(r) ,
dr
que integrada, pode fornecer a massa própria da estrela (massa gravitacional) que não é
o mesmo que dizer a massa bariônica, ou seja, a massa devida a nêutrons e prótons no
interior da estrela. Nesse caso, devemos resolver as equações de estado provenientes da
f́ısica nuclear para obter a massa bariônica.
Nessas equações G e c são a constante gravitacional e a velocidade da luz no vácuo. A
solução desse par de equações diferenciais acopladas requer que as densidades de energia
ε(r) = ρ(r)c2, pressão p(r) e a massa m(r) sejam conhecidas ponto a ponto, ou seja, a
condição de estabilidade hidrostática deve ser garantida para cada raio da estrela. De
modo a resolver essas duas equações e obter ambas pressão p(r) e massa m(r) como uma
função do raio, tem-se que integrar tais equações do centro da estrela até uma distância r.
As condições iniciais e de contorno para a integração numérica das equações são p(0) = p0,
no centro da estrela, e na sua crosta m(R) = M , com p(R) = 0 [13].
Para resolver estas equações precisamos de uma equação de estado, isto é, uma relação
entre as densidades de pressão e energia, p = p(ε), cujos valores das densidades de energias
e pressão serão dados de entrada para a equação de TOV. Recordando-se da relação massa
versus energia, ε = ρc2. Notavelmente, a única entrada para a qual as estrelas de nêutrons
são senśıveis é a equação do estado da matéria rica em nêutrons, ou seja, uma relação entre
a pressão e a densidade de energia p = p(ε). Inversamente e igualmente notável, cada
equação de estado gera uma única relação massa-vs-raio. Para um determinado elemento
de fluido na estrela, o equiĺıbrio hidrostático é atingido ajustando-se o gradiente de pressão
para equilibrar exatamente a força gravitacional. Para uma estrela de nêutrons sem a
correção da relatividade geral, isto é, uma aproximação Newtoniana, leva a uma estrela
de nêutrons suportada exclusivamente pela pressão de degenerescência de nêutrons, com
uma massa M = 5,6M, muito acima dos dados observacionais de (1 − 2)M [3]. Mas,
adicionando apropriadamente as correções da relatividade geral, que existe na equação
de TOV, a massa máxima de estrela de nêutrons reduz-se para apenas M = 0,7M,
um limite inferior quando se considera uma estrela formada e suportada exclusivamente
17
por uma matéria de nêutrons completamente degenerados [4]. Ao incluir ao modelo
frações de outras part́ıculas via decaimento beta, isto é, supondo mecanismos onde possa
existir na estrela de nêutrons, além dos nêutrons, uma fração de prótons, elétrons e
neutrinos e mantendo o equiĺıbrio qúımico mais a neutralidade de carga, percebe-se efeitos
na mudança dos valores do raio e da massa das estrelas, mas mesmo assim não satisfatórios
[5]. Embora, não haja nada de errado com o cálculo da equação de TOV, ela tem uma
omissão cŕıtica: o importante papel das interações nucleares na modificação da equação
de estado (EOS) de um gás Fermi livre de nêutrons (ou mesmo prótons e elétrons). De
fato, nas enormes densidades encontradas em estrelas de nêutrons, a forte repulsão de
curto alcance para a força nucleo-nucleon não pode ser ignorada.
Resultados mais satisfatórios surgem quando as energias e pressões da estrela são obti-
dos a partir de equações emṕıricas provenientes do estudo da f́ısica nuclear e que ajustam
uma série de parâmetros livres dessas equações aos dados observacionais. Em modelos
semi-emṕıricos e não relativ́ısticos, ou seja, modelos onde desprezamos efeitos devidos a
relatividade geral, obtém-se M = 2,79M e R = 12,46 km que são razoáveis frente aqueles
sem considerar a interação de curto alcance nucleon-nucleon [13].
Nesse trabalho refizemos os estudos já bem conhecidos do modelo denominado σ − ω
(sigma-omega) que foi introduzido por J. D. Walecka em 1974, que mencionou as prin-
cipais caracteŕısticas da interação nucleon-nucleon. Esse modelo ficou conhecido como
Hadrodinâmica Quântica-I (QHD-I) [8] e contém os ingredientes básicos para quaisquer
outros modelos relativ́ısticos de campo médio para descrever a matéria nuclear densa.
18
Caṕıtulo 4
F́ısica das Estrelas de Nêutrons:
Hadrodinâmica Quântica
4.1 Modelos Nucleares e Estudo da Matéria Nuclear
Em nossos estudos de f́ısica nos deparamos com as 4 forças fundamentais da natu-
reza: gravitacional, eletromagnética, nuclear fraca e nuclear forte. Em nosso estudo da
interação entre nucleons o nosso interesse reside na força nuclear, porém, de maneira
diferente do caso coulombiano, não sabemos de fato como os nucleons interagem. Isso
significa que não existe um potencial bem definido que possa descrever a força entre os
prótons e os nêutrons. O que sabemos é que se trata de uma interação de curto alcance.
Sistemas nucleares são descritos, de maneira usual, através da proposta de uma interação
e, a partir disso, ajustes dos parâmetros livres são realizados de modo a reproduzir os
observáveis conhecidos da f́ısica de dois nucleons. Com isso em mãos, estamos aptos a
calcular os observáveis relacionados à matéria nuclear, núcleos leves, núcleos pesados e
estrelas de nêutrons utilizando a interação que foi inicialmente proposta. Essas interações
são fundamentadas na possibilidade que os núcleons trocam mésons entre si.
No ano de 1935, Hideki Yukawa propôs o modelo nuclear no qual mésons são trocados
entre os componentes do núcleo [8]. A troca dessa part́ıcula, que conhecemos como ṕıon
ou méson π, ocasionaria em uma atração de curto alcance entre os prótons e nêutrons, o
que poderia ser uma explicação para a estabilidade do núcleo. Tal proposta foi elaborada
de maneira análoga à interação eletromagnética, a qual é feita através da troca de fótons.
19
Em 1949, Yukawa ganhou o prêmio Nobel de f́ısica por propor a existência da part́ıcula
hoje conhecida como méson-π [29].
Representar a interação da matéria nuclear requer do modelo em questão a descrição
precisa da matéria nuclear a alta densidade, caso da matéria encontrada nas estrelas de
nêutrons, bem como a matéria observada em densidade normal. Sistemas altamente den-
sos apresentam part́ıculas que alcançam energias semelhantes à suas massas de repouso.
Sendo assim, ao estudar tais sistemas temos que incorporar os conceitos de mecânica
quântica, covariância de Lorentz, invariância eletromagnética de gauge e causalidade mi-
croscópica no sistema de muitos corpos. Portanto, a teoria que devemos utilizar deve ser
compat́ıvel com a teoria de campos relativ́ıstica.
Uma teoria bem estabelecida entre os f́ısicos e que descreve a interação forte é a Cromo-
dinâmica Quântica (CDQ). Ela representa a interação entre quarks via troca de glúons.
Essa é uma teoria bem fundamentada e poderia ser nossa melhor escolha para descrever a
matéria das estrelas de nêutrons, porém, na escala de energia hadrônica, a CDQ apresenta
um comportamento altamente não-linear, o que impossibilita que cálculos teóricos sejam
feitos. Um outro motivo que nos impede de utilizar essa teoria é que, em experimentos
nucleares, quarks e glúons são subdivididos em duas categorias: bárions e mésons. Os
bárions são férmions constitúıdos por 3 quarks, caso dos prótons e nêutrons. Os mésons
são bósons que contém um par quark-antiquark. Nosso objetivo é o estudo da interação
entre os constituintes do núcleo impondo graus hadrônicos de liberdade. Para isto, utili-
zaremos a teoria relativ́ıstica de hádrons, mais conhecida como Hadrodinâmica Quântica.
4.1.1 Propriedades da Matéria Nuclear
Para podermos descrever uma estrela de nêutrons precisamos de equações de estado
das estrelas de nêutrons que observamos no Universo. Com isso, as equações de estado
que utilizaremos precisam conter em sua formulação os efeitos devidos à interação nuclear
existente entre os constituintes estelares.
Ao introduzir as interações nucleares de modo a descrever as estrelas de nêutrons reais,
a teoria que utilizaremos tem que representar as caracteŕısticas das interações nucleares
que são experimentalmente observadas. Existem 4 caracteŕısticas essenciais que são [8]:
20
1 O alcance da força nuclear forte é curto;
2 A força nuclear forte é essencialmente atrativa;
3 Dependente do spin;
4 Independente da carga.
4.2 Hadrodinâmica Quântica I
4.2.1 Introdução
A hadrodinâmica quântica é uma teoria quântica de campos totalmente relativ́ıstica que
descreve a interação entre bárions (prótons e nêutrons, por exemplo) mediada por mésons
escalares e vetoriais. No modelo HDQ-I, os mediadores responsáveis pela interação entre
os nucleons são o mésons escalar σ e vetorial ω que medeiam tais interações repulsiva e
atrativa, respectivamente, dentro do núcleo e mantendo-o ligado pela força nuclear. Infe-
lizmente, essa teoria é não renormalizável, o que leva a algumas dificuldades devido aos
efeitos de integrais de laço que incorporam a dinâmica do vácuo quântico. Felizmente,
existe uma alternativa, pois é posśıvel escrever uma teoria efetiva onde podemos ignorar
as dificuldades básicas do formalismo, ao substituir os campos mesônicos por seus valores
médios. Isso se chama aproximação de campo médio, onde considera-se que a densidade
bariônica (matéria) seja grande o suficiente para que as interações bárion-bárion sejam
desconsideradas. Como consequência, o único efeito f́ısico relevante é a interação dos
bárions com um campo médio comum a todos. Com isso o problema de muitos corpos
se reduz ao problema de uma part́ıcula sujeita a um potencial efetivo. Formalmente, isso
significa que os campos mesônicos que são variáveis da lagrangiana do modelo podem
agora ser substitúıdos pelos seus valores esperados. Além do mais, pela simetria esférica
do sistema temos que as componentes espaciais do campo vetorial devem ser nulas, res-
tando apenas a componente espacial [30]. A lagrangiana é então escrita em termos dos
campos efetivos dos nucleons e dos mésons, e as interações são ajustadas via constantes
de acoplamento que são funções da densidade de bárions, ajustadas as propriedades da
matéria nuclear que se tem conhecimento dos experimentos realizados nos laboratórios
de f́ısica nuclear/part́ıculas. O modelo σ − ω, além das massa dos bárions, possui apenas
21
duas constantes de acoplamento: gσ e gω, e diferentes valores dessas constantes fornecem
diferentes equações de estado; que por sua vez fornecem diferentes massas e raios para as
estrelas de nêutrons. A grosso modo, pode-se dizer que ao variar os valores dessas cons-
tantes de acoplamento, obtém-se diferentes equações de estado para a matéria nuclear
densa [8].
A Hadrodinâmica Quântica (HDQ) é uma teoria relativ́ıstica de campos efetiva que
melhor se adequa ao nosso objetivo de descrever a matéria nuclear. Apresentada por J. D.
Walecka no ano de 1974, essa teoria descreve a interação entre bárions (prótons e nêutrons)
mediada por mésons escalares e vetoriais [8]. O méson escalar σ e o méson vetorial ω
desempenham o papel fundamental de mediar o acoplamento entre os constituintes do
núcleo. Essa interação entre os bárions quando há invariância rotacional e translacional
(aproximação estática) tem a forma do potencial de Yukawa:
g e−mvr −msrv
Veff = −
gs e
,
4π r 4π r
onde mv é a massa do méson vetorial, ms é a massa do méson escalar, gv e gs são as
constantes de acoplamento entre os mésons e os constituintes do núcleo. No potencial de
Yukawa temos a representação das duas interações básicas que se compensam no interior
do núcleo: uma repulsiva a pequenas distâncias, caracterizada pelo primeiro termo do
potencial, e uma atrativa a grandes distâncias representada pelo segundo termo. Esse
comportamento é representado pela figura 4.1 [31].
A estrutura mais simples da HDQ é a HDQ-I, também conhecida como modelo σ−ω, e
é a que utilizaremos para descrever a matéria nuclear. Os núcleos e a matéria nuclear são
melhores estudados usando o méson-σ e o méson-ω. Enquanto que os mésons σ aumentam
a forte força central atrativa e a força spin-órbita na interação entre os constituintes do
núcleo, os mésons ω são a causa da força central fortemente repulsiva e da força spin-órbita,
essa tendo mesmo sinal que a força de spin-órbita do méson σ. Na HDQ-I, consideramos as
massas do próton e do nêutron sendo idênticas, omitimos as propriedades eletromagnéticas
existentes na matéria nuclear e a interação entre os nucleons é efetuada com o aux́ılio de
três campos: bárion (próton, nêutron), méson escalar σ e méson vetorial ω [14].
22
Figura 4.1: Energia potencial em função da distância internucleon, R. As constantes de acoplamento dos
mésons ω e σ, gv e gs, utilizadas para gerar esse gráfico são iguais a 12,6139 e 10,0289, respectivamente.
Sendo um modelo feito para descrever a matéria nuclear, a HDQ necessita de dados
experimentais de entrada de modo a restringir sua validade. As constantes de acoplamento
entre os mésons e campos do nucleon são parâmetros desconhecidos e o método mais
utilizado para obter tais parâmetros é ajustar as propriedades da matéria nuclear que
foram calculadas aos valores obtidos experimentalmente. Devido ao formalismo variar de
autor para autor, os parâmetros definidos diferem uns dos outros [14].
De modo similar à teoria da Cromodinâmica Quântica, a Hadrodinâmica Quântica
apresenta algumas dificuldades, logo temos que realizar aproximações. Todavia, na HDQ
as constantes de acoplamento são grandes, o que significa que não podemos fazer uso da
expansão perturbativa em termos das constantes de acoplamento. Sendo assim, iremos
introduzir a aproximação relativ́ıstica de campo médio à nossa teoria [14].
4.2.2 Formalismo
Sendo a HDQ uma teoria de campos relativ́ıstica, todo o formalismo que iremos uti-
lizar tem que apresentar invariância sob transformações de Lorentz. Começaremos com
a construção da densidade lagrangiana, relativ́ıstica, cujas variáveis serão os próprios
campos mesônicos. Se retirarmos os mésons da densidade lagrangiana, devemos obter a
23
lagrangiana para part́ıculas livres.
Antes de dar continuidade à construção da densidade lagrangiana, apresentamos a
notação que será utilizada daqui por diante [14]:
• ψ configura o campo do bárion;
• ψ† configura o campo conjugado do bárion;
• φ corresponde ao campo do méson escalar σ;
• V corresponde ao campo do méson vetorial ω;
• ms representa a massa do méson escalar;
• mω representa a massa do méson vetorial;
• M é a massa do nucleon;
• gs denota a constante de acoplamento escalar;
• gv denota a constante de acoplamento vetorial;
• Vµν = ∂µVν − ∂νVµ é um tensor de campo antissimétrico, ou seja, é um objeto
matemático que descreve a força do campo no espaço-tempo.
Densidade Lagrangiana
Na descrição de bárions de spin-1/2, utilizaremos a densidade lagrangiana de campo
de Dirac, e os campos do méson-σ e do méson-ω são descritos pelos termos adicionais de
Klein-Gordon e campos dos bósons massivos vetoriais (Proca) [26].
Como dissemos anteriormente, a densidade lagrangiana deve ser invariante sob trans-
formações de Lorentz. Sendo assim, o campo escalar precisa se acoplar à densidade escalar
do campo bariônico, ψ̄ψ, e o campo vetorial tem que se acoplar à corrente bariônica con-
servada, ψ̄γµψ. Também devemos ter na densidade lagrangiana os termos para a força
atrativa causada pelo campo escalar σ e para a força repulsiva causada pelo campo vetorial
ω [6, 27].
24
Feitas as nossas considerações sobre a densidade lagrangiana, ela tem a seguinte forma
geral:
L = T − V
L µ − − 1 µ − 2 2 1= ψ̄(x)(iγ ∂µ M)ψ(x) (∂µφ(x)∂ φ(x) msφ (x))− V V µνµν +2 4
1
m2ωVµ(x)V
µ(x) + gsφ(x)ψ̄(x)ψ(x)− g µvV (x)ψ̄(x)γµψ(x),
2
onde o termo iψ̄(x)γµ∂µψ(x)− ψ̄(x)Mψ(x) configura a lagrangiana para part́ıculas livres
de spin 1/2 (bárions, isto é, prótons e nêutrons), o termo 1(∂µφ(x)∂
µφ(x) − m2 2sφ (x))2
configura a lagrangiana para part́ıculas livres de spin 0 (méson-σ), o termo −1VµνV µν +4
1m2 µωVµ(x)V (x) configura a lagrangiana para part́ıculas livres de spin 1 (méson-ω) e os2
dois últimos termos da densidade lagrangiana representam, respectivamente, a interação
entre os bárions mediada pelo méson escalar-σ (força atrativa) e a interação entre os
bárions mediada pelo méson vetorial-ω (força repulsiva).
Agora, de uma forma mais compacta:
L 1= ψ̄(x)[γµ(i∂µ)− g V µv (x))− (M − g µsφ(x))]ψ(x) + (∂ φ(x)∂µφ(x)−
2
1 1
m2 2sφ (x))− V µν 2 µµνV + mvVµ(x)V (x).4 2
onde o termo M − gsφ(x) representa uma massa efetiva dos bárions. A densidade lagran-
giana resultante é chamada de lagrangiana de Walecka, ou lagrangiana do modelo σ−ω, e
ela é obtida somando-se os termos de cada lagrangiana correspondente aos campos e por
dois termos de interação inseridos à mão de modo a satisfazer as propriedades nucleares
devidas à interação dos mésons com os componentes do núcleo atômico.
Equações de Movimento
Dada a densidade lagrangiana de nosso sistema, podemos aplicar as equações de Euler-
Lagrange para cada um dos campos mesônicos de modo a obter as equações de movimento.
Para facilitar nossos cálculos posteriores, vamos começar calculando algumas derivadas
25
parciais que serão úteis:
∂L 0
† = γ iγµ∂
µψ(x)− γ0Mψ(x) + gsφ(x)γ0ψ(x)− g µ 0vV (x)γ γµψ(x)
∂ψ
∂L
= γ0(iγ ∂µ† µ ψ(x)−Mψ(x) + gsφ(x)ψ(x)− gvV
µ(x)γµψ(x)), (4.1)
∂ψ
e
∂L
† = 0. (4.2)∂(∂µψ )
Para o campo escalar φ:
∂L
= −m2φ(x) + gsψ̄(x)ψ(x), (4.3)
∂φ s
e
∂L
= ∂µφ(x). (4.4)
∂(∂µφ)
Para o campo vetorial V µ:
∂L 1 ∂ ∂
= m2 αω (V (x)Vα(x))− g (V αv (x)ψ̄(x)γαψ(x))∂Vµ 2 ∂Vµ ∂Vµ
∂L
= m2ωV
µ(x)− gvψ̄(x)γµψ(x), (4.5)
∂Vµ
e
∂L 1 ∂
= − (V αβαβV )
∂(∂νVµ) 4 ∂(∂ν∂µ)
∂L 1
= − [V αβ
∂
(x) (V (x)) + V (x)gακgβλ
∂
αβ αβ (Vκλ(x))]
∂(∂νVµ) 4 ∂(∂νVµ) ∂(∂νVµ)
∂L 1 ∂ ∂
= − [V αβ(x) (∂ V − ∂ V ) + V κλα β β α (x) (∂κVµ λ − ∂λVκ)]∂(∂νVµ) 4 ∂(∂νV ) ∂(∂νVµ)
∂L 1
= − [(δν µ ν µ αβ κλ ν µ ν µ
∂(∂ V ) 4 α
δβ − δβδα)V (x) + V (δκδλ − δλδκ)]
ν µ
∂L 1
= − (V νµ − V µν + V νµ − V µν) = V µν . (4.6)
∂(∂νVµ) 4
Agora podemos obter as equações de movimento do sistema substituindo os resultados
das derivadas para cada um dos campos na equação de Euler-Lagrange. Como resultado,
26
obtemos as seguintes equações diferenciais acopladas não-lineares:
∂ ∂µµ φ(x) +m
2
sφ(x) = gsψ̄(x)ψ(x), (4.7)
∂ V µνµ +m
2
ωφ(x) = gvψ̄(x)γ
νψ(x), (4.8)
[γµ(i∂
µ − gvV µ(x))− (M − gsφ(x))]ψ(x) = 0. (4.9)
A primeira de nossas equações diferenciais é a equação de Klein-Gordon para o campo
escalar com um termo de fonte advindo da densidade escalar bariônica, ψ̄(x)ψ(x). A
segunda equação se trata da equação de Proca, que configura o campo vetorial e tem um
termo de fonte proveniente do acoplamento do campo vetorial com a densidade bariônica
conservada, ψ̄(x)γνψ(x). A terceira e última equação representa a equação de Dirac para
o campo do bárion com um termo adicional para a massa deslocada devido ao campo
escalar, (M − gsψ(x)), e outro termo adicional para a interação do campo vetorial com o
bárion.
Devido ao fato de essas equações serem não-lineares e estarem acopladas, a resolução
delas é deveras complicada. Sendo assim, vamos recorrer ao método aproximativo da
teoria relativ́ıstica de campo médio de modo a obter as soluções para nossas equações.
4.2.3 A Aproximação Relativ́ıstica de Campo Médio
Na seção anterior obtivemos equações diferenciais acopladas não-lineares de dif́ıcil re-
solução. Com o objetivo de resolver tais equações, utilizaremos a aproximação de campo
médio. Nessa aproximação, supomos que a densidade bariônica é tão grande de modo que
as interações entre os bárions podem ser desconsideradas e a única interação relevante será
a dos bárions com um campo médio. Em resumo, essa aproximação consiste em trocar os
campos desconhecidos por seus valores médios [8, 14].
Logo, substitúımos os operadores dos campos dos mésons pelos seus valores médios e
os tratamos como campos clássicos, mais especificamente com seus valores esperados no
estado fundamental |Φ〉 da seguinte forma:
φ̂ −→ 〈Φ|φ̂|Φ〉 = 〈φ〉 = φ0,
27
V̂µ −→ 〈Φ|V̂µ|Φ〉 = 〈Vµ〉 = δµ0V0.
Desta maneira o problema original de muitos corpos é reduzido ao problema de uma
part́ıcula que está submetida a um potencial efetivo.
Na aproximação de campo médio supomos que o sistema se encontra em repouso, a
uma temperatura T = 0 K, isto é, os bárions ocupam ńıveis de energia até um certo ńıvel
máximo de energia, que é a energia de Fermi. Como supomos que o sistema se encontra
em repouso, o fluxo de energia bariônico, ψ̄(x)γiψ(x), é zero, ou seja, não há corrente
bariônica.
Nas equações diferenciais obtidas anteriormente aparecem termos de fonte que agora
vamos trocar pelos valores esperados dos operadores de campo dos bárions. De modo a
desprezar a contribuição dos estados de energia negativa, temos que realizar o processo
de ordenação normal dos valores esperados:
〈 〉
ψ̄(x)ψ(x) −→ 〈Φ| : ψˆ̄(x)ψ̂ : |Φ〉 = ψ̄ψ ,
〈 〉 〈 〉
ψ̄(x)γµψ −→ 〈Φ| : ψˆ̄(x)γµψ̂(x) : |Φ〉 = ψ̄γ0ψ = ψ†ψ .
Agora podemos substituir os campos V µ e ψ0, que não dependem mais de x, nas
equações de movimento, de modo a simplificar sua resolução, e obtemos:
〈 〉
m2sφ0 = gs ψ̄ψ , (4.10)
〈 〉
m2ωV
0 = g †v ψ ψ , (4.11)
[iγ µ 0µ∂ − gvγ0V − (M − gsφ0)]ψ = 0, (4.12)
lembrando que, devido a suposição que fizemos anteriormente, as componentes espaciais
do campo V i se anulam e temos que
〈 〉
m2 iωV = gv ψ̄γ
iψ = 0.
28
Deste modo, obtemos uma expressão mais simples para a densidade lagrangiana da HDQ-I
utilizando a aproximação de campo médio:
L = ψ̄[iγ ∂µ − g γ V 0µ v 0 − (M − gsφ0)]ψ −
1
m2 2
1 2
sφ0 + mωV0 . (4.13)2 2
Da densidade lagrangiana, obtemos o tensor energia-momento
T µν
1 1
= iψ̄γµ∂ν − gµν(− m2φ2 + m2 2
2 s 0 2 ω
V0 )
e, a partir disso, calculamos a densidade de energia, ,
〈 〉
 = T〈 00 〉
 = i〈 ψ̄γ0∂〉0 − g00
1
(− m2 1sφ20 + m2ωV 20 )2 2
 = ψ†
1
iψ̇ + m2φ2 − 1m2V 2 . (4.14)
2 s 0 2 ω 0
e a pressão, p:
1 〈 〉
p = 〈T
ii
3
1 〉 1
p = i ψ̄γi∂iψ − gii −1( m2 1φ2 + m2 2〈 〉 s 0 ωV0 )3 3 3 2
−1p = i ψ†αi − 1∂ ψ m2φ2 1i s 0 + m2V 2. (4.15)3 2 2 ω 0
4.2.4 Cálculo dos Valores Esperados
Após realizarmos a aproximação de campo médio, obtivemos as equações de movimento,
bem como a densidade de energia e a pressão. Agora o nosso próximo passo é calcular os
valores esperados dos operadores que apareceram nas equações (4.14) e (4.15).
Para dar continuidade ao cálculo dos valores esperados dos operadores, precisamos
construir uma representação mais clara do operador de campo bariônico, ψ̂, que será
expandido em uma decomposição de Fourier. Antes, mas com o objetivo de obter o
operador ψ̂, teremos que resolver a equação de Dirac que fornece a dinâmica do nucleon
dentro do núcleo.
29
Começamos por fazer algumas operações na equação de Dirac com aproximação de
campo médio a partir da equação (4.12)
(iγ0∂0 + iγ
i∂i − g γ0v V0 −m∗)ψ = 0
γ0(iγ0∂0 + iγ
0αi∂i − g γ0V −m∗v 0 )ψ = 0
iψ̇ = (iα~ ·∇~ + gvV0 +m∗β)ψ
iψ̇ = (α~ · ~̂p+ gvV0 +m∗β)ψ
iψ̇ = ĤDψ, (4.16)
com ĤD = α~ · ~̂p + g ∗vV0 + m β caracterizando o operador hamiltoniano de Dirac, onde
o operador momento é p̂ = −i∇, e m∗ = M − gsφ0 é a massa efetiva devida ao campo
escalar φ0. Aqui vemos o papel do campo médio escalar do méson-σ que altera o valor
da massa do núcleon. A componente temporal do campo médio vetorial acopla com a
energia, o que ficará evidente mais adiante.
O operador hamiltoniano de Dirac comuta com o operador momento, de modo que
a solução de ondas planas devem ser autofunções do hamiltoniano. Logo, utilizaremos
soluções do tipo:
ψ(x, t) = ω(~k)ei(
~k·~x−t) (4.17)
onde utilizamos a notação de comprimento de onda, ~k, juntamente com a relação entre o
vetor de onda e o momento: ~p = ~~k. De modo análogo ao caso de part́ıcula livre, ω(~k) é
um spinor de 4 componentes que representamoscomo
φ
ω(~k) =   ,
χ
onde φ e χ são spinores com 2 componentes.
Aplicando a solução de onda plana a equação de Dirac (4.16), obtemos o seguinte
resultado:
ω = (α~ · ~k + gvV +m∗0 β)ω
30
que também podemos representar na forma de matriz,  φ gvV0 +m∗ ~σ · ~k φ=  .
χ ~σ · ~k g ∗vV0 −m χ
Após realizar as multiplicações e arranjos necessários, obtemos as seguintes equações
acopladas:
φ = (gvV0 +m
∗)φ+ ~σ · ~k χ, (4.18)
χ = (gvV0 −m∗)χ+ ~σ · ~k φ. (4.19)
Podemos resolver essas equações em termos do spinor φ ou do spinor χ utilizando
~σ · ~k
χ = φ,
̃+m∗
ou,
~σ · ~k
φ =
̃−m∗
χ,
com ̃ = −gvV0 denotando a energia modificada que acopla com a componente temporal
do méson vetorial. Ainda em analogia ao problema de única part́ıcula de Dirac, vamos
injetar uma das soluções na outra. Depois de algum cálculo, temos a seguinte relação:
k2
(̃+m∗)χ =
̃−m∗
χ
(̃+m∗)(̃−m∗)χ = k2χ
̃2 = m∗2 + k2. (4.20)
Logo, encontramos que a equação de Dirac para o bárion permite soluções tanto de energia
negativa quanto de energia positiva, como já era esperado tendo em vista que estamos
nos baseando no problema de part́ıcula única de Dirac. As soluções são simétricas em
torno de gvV0:
√
± = g V ± m∗2v 0 + k2.
Ainda utilizando o problema de part́ıcula única de Dirac, vamos obter a forma dos spi-
nores ω. Sendo assim, sabemos que os dois primeiros spinores, ω1 e ω2, estão relacionados
31
às soluções de energia positiva,
 φr 
ωr(~k) =  ~σ · ~k  , r = 1, 2 (4.21)
φr
̃+m∗
onde φr é dado por    
1 0
φ1 =   , φ =  2 .
0 1
Os dois últimos spinores estão relacionados à energia negativa, de modo que temos que
fazer a troca k por −k, e eles são representados da seguinte forma:
  −~σ · ~k~ ̃−m∗χrωr(k) = φr, r = 1, 2 (4.22)
χr
onde χr é dado por  1χ = 
 
0
1 , χ2 =   .
0 1
Dados os spinores, vamos dar continuidade aos cálculos fazendo a quantização do campo
bariônico. Apresentamos uma nova notação para os spinores [28, 30]:
ω1(~k) = u(~k,+s),
ω2(~k) = u(~k,−s),
ω (~k) = v(~3 k,−s),
ω (~4 k) = v(~k,+s).
A condição de normalização que determinamos para esses spinores é dada por
u(~
′ ′
k, s)†u(~k, s ) = v(~k, s)†v(~k, s ) = δss′ .
Logo, temos que √ 
̃+m∗  φs
u(~k, s) =  ~σ · ~k  , s = 1, 2, (4.23)2̃
∗φs̃+m
32
√
∗
~ ̃−m 
 
 −~σ · ~kv(k, s) = ̃− ∗χsm  , s = 2, 1. (4.24)
2̃
χs
Utilizando as equações anteriores, obtemos a relação entre os spinores:
∗
ū(~k, s)u(~
′ ′ m
k, s ) = v̄(~k, s)v(~k, s ) = δ
ω ss
′
~k
√
com ω~k = k
2 +m∗2.
Após o desenvolvimento dos resultados necessários, finalmente poderemos obter o ope-
rador de campo bariônico ψ̂. Como mencionamos no começo, vamos expandir o operador
em uma decomposição de Fourier em termos das soluções em relação à equação de Dirac
da HDQ-I. Sendo assim,
∑∫ d3k ~ + ~ −
ψ̂(~x, t) = ( (b̂(~k, s)u(~k, s)ei(k·~x− t) −i(k·~x+ t)~k + d̂†(~k, s)v(~k, s)e ~k ). (4.25)
2π)3/2
s
E o operador adjunto de campo bariônico é dado por
∑∫ d3† kψ̂ (~x, t) = ( (b̂†(~k, s)u†(~ ~k, s)e−i(k·~x−+t) ~ −~k + d̂(~k, s)v†(~k, s)e+i(k·~x+ t)~k ). (4.26)
2π)3/2
s
Relembrando as suposições que fizemos com relação ao nosso sistema ser estático, uni-
forme e a temperatura zero, chegamos à conclusão de que o estado fundamental não pode
ser o vácuo. Vamos presumir que o estado fundamental, |Φ〉, contém uma quantidade
espećıfica de part́ıculas e nenhuma anti-part́ıcula. A energia de Fermi é a energia máxima
do sistema e ela equivale ao vetor de onda de Fermi kf . Os demais estados de energia
positiva inferiores a kf também se encontram preenchidos. Logo, |Φ〉 possui as úteis
propriedades:
nˆ̃(~k, s) |Φ〉 = 0 −→ d̂(~k, s) |Φ〉 = 0 ∀|~k|,
n̂(~k, s) |Φ〉 = 0 −→ b̂(~k, s) |Φ〉 = 0 ∀|~k| > kf ,
b̂†(~k, s) |Φ〉 = 0 ∀|~k| < kf .
Vamos fazer a ordenação normal de ψ̂†ψ̂ levando em consideração a expressão para o
operador de campo bariônico ψ̂, as propriedades do estado fundamental |Φ〉 e as regras de
33
ordenação normal. A ordenação normal é uma maneira de descartar a energia negativa
total. Antes de prosseguirmos, segue uma pequena discussão sobre ordenação normal de
operadores. Aqui o operador de campo é dividido em duas partes, uma parte envolvendo
os operadores de aniquilação e outra parte envolvendo os operadores de criação:
ψ̂ = ψ̂+ + ψ̂−.
Sendo assim, a expansão do campo ψ em ondas planas atuando no estado de vácuo |0〉
leva às seguintes propriedades:
ψ̂+ |0〉 = 0, ψ̂− † |0〉 = 0.
No processo de ordenação normal, todas as contribuições positivas vão para a direita
e todas as negativas para a esquerda. Como os operadores de campo de Dirac têm
propriedades de anti-comutação, adicionamos um sinal de menos para cada passo de
ordenação que fizermos. Por exemplo, a ordenação normal de dois operadores ω̂ e ρ̂ fica
: ω̂ρ̂ := ω̂+ρ̂+ + ω̂−ρ̂− + ω̂−ρ̂+ − ρ̂−ω̂+.
Terminada a discussão, seguimos:
∑( ∫ ∫† 1: ψ̂ ψ̂ := d~k d~ ′k (b̂† † ~ ′b̂ u u ei(k −~k)· + +~x i( − )t~ ′ ′ ~ ′ ′ e ~k ~ ′k +
′ 2π)
3 ~k,s k ,s ~k,s k ,s
ss
† † † − ′ + −b̂ d̂ u v e i(
~k +~k)·~x i( − )t~ ~ ′
~k,s ~k′ ,s′ ~ ~k
′ k k,s′ e +k,s
~ ′ ~ i(−−+ )t
d̂ † i(k +k)·~x ~ ~ ′~ k kk,sb̂~k′ ,s′v~ u~ ′k,s k ,s′e e −
d̂† d̂ v†
~ ′ ~ i(−−− )t
v ′ ′e−i(k −k)·~xe ~k ~ ′~ ′ ′ ~ kk,s ~ ~k ,s ). (4.27)k ,s k,s
Agora, podemos calcular o valor esperado:
〈 † 〉ψ ψ = 〈Φ| : ψ̂†ψ̂ : |Φ〉
∑ ∫ ∫1 ′ ~ ′ ~ i(+−+ )t
= ( d~k d~k (〈Φ| b̂† b̂~ ′ ′ |Φ〉u† u i(k −k)·~x ′~ ′ ~k ~k
2π)3 ~k,s k ,s ~k,s k ,s
′e e +
ss′
34
〈Φ| b̂† d̂† |Φ〉u† v e− ~
′ + −
i(k +~k)·~x i( − )t~
′ ′ ~ ′ ′ e k ~
′
k
~ +k,s ~k ,s ~k,s k ,s
′ − +
〈 | ~ ~ i( − )tΦ d̂~k,sb̂
† i(k +k)·~x ′
~ ′ ′ ′ ′
~k ~k
k ,s |Φ〉 v~ u~k,s k ,s e e −
′
〈 | † | 〉 † −i(~k −~k)·~x i(
−−− )t
Φ d̂ d̂ Φ v v ′ ′e e ~′ ′ ~ ~ k ~
′
k
~ k,s ~ ). (4.28)k ,s k,s k ,s
Na equação anterior temos os seguintes produtos:
〈Φ| b̂†~ b̂~k,s k′ ,s′ |Φ〉 ,
〈Φ| b̂† d̂†~ ~ ′ ′ |Φ〉 ,k,s k ,s
〈Φ| d̂~ ′ ′k,sb̂~k ,s |Φ〉 ,
〈Φ| d̂†~k′ d̂~,s′ k,s |Φ〉 .
Devido as propriedades do estado fundamental |Φ〉, o último dos produtos, que envolve
o operador aniquilação da antipart́ıcula, se anula. Mas ainda restam 3 produtos que não
sabemos o resultado. Com o objetivo de calcular esses três produtos, temos que considerar
que os estados bariônicos são vetores no espaço de Fock [32, 33]. Tais vetores satisfazem
relações de ortogonalidade semelhantes às que encontramos no formalismo de Dirac. No
espaço de Fock, os vetores são normalizados à unidade e o produto escalar fica
〈 ∣ 〉
′ ′ ∣
np~ ,s, ñp~ ,s ...∣np~1,s, ñp~1,s ... = δ ′ ′n ,n δ ...1 1 p~ ,s p~ ,s ñ ,ñ1 1 p~1,s p~1,s
Começaremos com o primeiro produto interno, 〈Φ| b̂†~ b̂~ ′k,s k ,s′ |Φ〉. Como dissemos, no
estado fundamental todos os estados abaixo de f estão preenchidos e b̂~k′ ,s′ |Φ〉 denota um
estado que é igual a |Φ〉, exceto para o caso em que há ausência de part́ıcula com vetor
′ ′
de onda k e projeção de spin s , o qual representamos por
∣∣∣ 〉Φ− 1~k′ ,s′ = b̂~k′ ,s′ |Φ〉 .
Uma vez que o operador b̂~k,s cria uma part́ıcula com vetor de onda k e projeção de spin
s, temos dois casos. No primeiro caso, |~k| < kf e existe a criação de uma part́ıcula onde
′
todos os estados de energia estão preenchidos, exceto estados com vetor de onda k e
′
projeção de spin s , de modo que, devido às propriedades do estado fundamental, cada
35
′ ′
um dos estados b̂†~ b̂~k′ ,s′ |Φ〉 têm que se anular, exceto para o caso onde k = k e s = s sãok,s
satisfeitos simultaneamente. No segundo caso, |~k| > kf e os estados de energia não estão
preenchidos, portanto o operador de criação leva a um novo estado que representamos
como ∣∣ 〉 ∣∣ 〉
b̂~k,sb̂~k′ ,s′ |Φ〉 = b̂
†
~ ∣Φ− 1~k,s = ∣Φ− 1~k,s + 1~k,s .k,s
O produto se anula devido a ortogonalidade, portanto
〈 ∣ 〉
〈 | ∣Φ b̂~k,sb̂~k′ ,s′ |Φ〉 = Φ∣Φ− 1~k,s + 1~k,s = 0.
Utilizando a notação do delta de Dirac, podemos reescrever esse produto como:
〈Φ| b̂ 3 ~~k,sb̂~k′ ,s′ |Φ〉 = δ (k− ~
′
k )δss′ ∀|~k|, |~
′
k | < kf .
Os demais produtos internos se anulam de modo semelhante:
〈Φ| b̂†~ d̂
†
~ ′ ′ |Φ〉 = 0,k,s k ,s
〈Φ| d̂† †~ b̂k,s ~ ′ ′ |Φ〉 = 0.k ,s
Utiliz〈ando〉os resultados anteriores, podemos agora calcular a forma final do valor es-
perado ψ†ψ : 〈 † 〉
∫ ∫ ψ ψ = 〈Φ| : ψ
†ψ : |Φ〉
∑( 1 ~ ~′ 3 ~ − ~ ′ † i(~ ′ ~ i(+−+ )t= dk dk δ (k k )δ u u e k −k)·~x′ ′ ′ e ~k ~ ′~ k
′ 2π)
3 ss ~k,s k ,s
ss ∑( ∫1= dk u†~ u~k′ ,s′ · 1 · 12π)3 k,s
s∫ ∑ ∫1 γ kf
= ( dk ( ) = ( 4π dk k2
2π)3 2π)3
s 0
γ
= k3f = n, (4.29)∑ 6π2
onde = γ caracteriza a degenerescência de spin do bárion e ρ denota a densidade de
s
número bariônico quando |~k| máximo é igual a kf . Sendo assim, vamos prosseguir com o
〈 〉 36
cálculo do valor esperado ψ̄ψ :
〈 〉
ψ̄ψ = 〈Φ| : ψ̄ψ : |Φ〉
∑
= ( ∫ ∫1 ′~ ~′ 〈 | † | 〉 i(~k −~k)·~x i(+−+ )tdk dk ( Φ b̂ b̂~ ′ ′ Φ ū~ u~ ′ ′e e ~k ~ ′k
2π)3 ~k,s k ,s k,s k ,s
+
ss′
† † − ~ ′〈 | | 〉 i(k +~k)·~x i(
+−−′ )tΦ b̂ ~ ~~ d̂k,s ~k′ ,s′ Φ ū~k,sv~ ′
k k
k ,s′e e +
~ ′ ~ i(− +〈Φ| − )td̂ i(k +k)·~x ~ ~ ′~k,sb̂~k′ ,s′ |Φ〉 v̄~ u~ ′ ′e e k kk,s k ,s −
′ − −
〈Φ| ~ ~ i( − )td̂~k,sd̂
−i(k −k) ~ ~ ′
~k′ ,s′ |Φ〉 v̄∑ ~
k k
k,sv~k∫′ ,s′e e )
= ( 1 d~k ū~k,su~2π)3 k,s
s ∫
γ kf k2m∗
= dk √ , (4.30)
2π2 k20 +m∗2
onde ū~k,su
∗
~k,s = m /ωk. 〈 〉
O próximo valor esperado que temos que calcular é ψ†iψ̇ , mas antes precisamos obter
˙̂
a forma do operador iψ:
∑ ∫ ( d3˙̂ k i(~k·~x−+iψ = (b̂ 2 + t)~
3/2 ~
k
2π) k,s
u~k,s(−i ~ )e +k
s
d̂† v (−i2−)e−i(~k·~x+
−t)
~
∫ k~ ~k,s ~ )∑ k,s k( d3k ~ += (b̂~k,su + ei(k·~x− t)~k2π)3/2 ~k,s ~ +
s { k }
d̂† v −~ ~k,s~ exp −i(~k · ~x + 
−t) ). (4.31)
k,s k ~k
Desse modo temos que o valor esperado normal ordenado é dado por
〈 〉
ψ†iψ̇ = 〈 | † ˙̂Φ : ψ̂ iψ : |Φ〉
∑ ∫ ∫1 ′ ~ ′ ~ i(+−+ )t
= ( d~k d~k 〈Φ| b̂† b̂ |Φ〉u† u + ei(k −k)·~x′ ′ ′ ′ e ~k ~ ′~ ~ ′ k
′ 2π)
3 ~k,s k ,s ~k,s k ,s ~k
ss
+ termos que se anulam
37
∑
= ( ∫1 d~k +
2π)3 ~k
( ∫
s
γ kf √
= dk k2(gvV0 + k2 +m∗2)
2π2) 0 ∫
γ kf √
= g V n+ ( dk k2(g V + k2 +m∗2v 0 v 0 ), (4.32)
2π2) 0
′
onde usamos o resultado 〈Φ| b̂†~ b̂~k′ ,s′ |Φ〉 = δ3(~k− ~k )δss′ na segunda linha do cálculo.k,s 〈 〉
O último valor esperado que temos que calcular é ψ†(−iα~ ·∇~ )ψ , porém é necessário
obtermos algumas expressões associadas ao spinor do bárion u~k,s. Pela equação (4.23), os
spinores u~k,1 e u~k,2 tem a forma
   
√
∗ 
1
  √ 
1 
̃+m  0  ̃+m∗  0 u~ = k3 , u ~ = kk,1 1 − ik2 .2̃  k,2  ̃+m∗  2̃  ̃+m∗ k 1 + ik2 −k3
̃+m∗ ̃+m∗
Dando continuidade aos cálculos, precisamos do resultado da seguinte expressão:
√     
̃+m∗~   √ k20 ~σ · ~k φ1  ̃+m∗  ∗φ1α~ · k u ̃+m~k,1 = ~ = 2̃ ~σ · k~σ · ~k 0 ∗φ 2̃1̃+m ~σ · ~k φ1
e, assim,   k
2
̃+m∗ 
∗
† ~ ̃+m k3 k1 − ik

· 2 u~ (α~ k u~k,1) = (1 0k,1 2̃ ̃+m∗ ̃+m∗ )

0
k3 


k1 + ik2
̃+m∗ k2 k2
= ( ∗ +2̃ ̃+m ̃+m∗
)
k2
= . (4.33)
̃
38
O processo para obter o spinor u~k,2 é o mesmo que utilizamos para o spinor u~k,1. Temos,
então, o seguinte resultado:
2
u† (α~ · ~
k
~ k u~k,2) = . (4.34)k,2 ̃
Dos resultados acima, podemos representar os spinores de uma forma mais geral como
k2
u† (α~ · ~k u~ ) = δss′~ .k,s k,s ̃
Tendo as expres〈sões para os sp〉inores u~k,1 e u~k,2, vamos dar continuidade ao cálculo do
valor esperado de ψ†(−iα~ ·∇~ )ψ calculando como o termo (−iα~ ·∇~ ) atua no operador
de campo ψ̂:
∑∫
~ ( d3k ~ + ~ −(−iα~ ·∇)ψ̂ = (b̂ (α~ · ~~k,s k)u ei(k·~x− t) † −i(k·~x+ t)~~ k − d̂ ~ ~k2π)3/2 k,s ~ (α~ · k)v~k,se ).k,s
s
De modo que o valor esperado é dado por
〈 〉
ψ̂(−iα~ ·∇~ )ψ̂ = 〈Φ| : ψ̂(−iα~ ·∇~ )ψ̂ : |Φ〉
∑( ∫ ∫1 ~ ′ ~ ′ ~ i(+−− t)= dk d~k 〈Φ| b̂† b̂ † i(k −k)·~x ′~ ~k′ ,s′ |Φ〉u (α~ · ~k u~ )e e ~k ~k
′ 2π)
3 k,s ~k,s k,s
ss
∑+ termos ∫que se anulam( 21 ~ k= dk √
2π)3 k2 +m∗2
s ∫ 4
γ kf k
= dk √ . (4.35)
2π2 2 ∗20 k +m
onde usamos 〈Φ| b̂† ′~ b̂ 3 ~ ~~k′ ,s′ |Φ〉 = δ (k − k )δss′ e (α~ · ~k u 2~k,s) = δss′k /̃. Agora que temosk,s
a forma do último valor esperado, podemos calcular o restante das quantidades que en-
volvem φ0, V0,  e p. Apesar disso, ainda temos o problema de em obter o resultado das
integrais envolvidas nas expressões dos valores esperados.
Para finalizar, vamos substituir os resultados que obtivemos anteriormente nas equações
de Euler-Lagrange com a aproximação de campo médio. As equações para os campos φ0
e V0 ficam ∫
g γ k2m∗s
φ0 = dk √ , (4.36)
m2 2π2 k2s +m∗2
39
gv
V0 = n . (4.37)
m2ω
A densidade de energia e a pressão, conforme equações (4.14) e (4.15) ficam
∫
1 kf √
 = m2φ2
1 γ
s 0 − m2ωV 20 + dk k2 k2 +m∗2 , (4.38)2 2 2π2 0
∫ k 41 f
p = − m2φ2
1
+ m2 2
γ k
s 0 ωV0 + dk √ . (4.39)2 2 6π2 0 k2 +m∗2
Vamos destacar que essas equações satisfazem o tensor momento-energia para um fluido
perfeito. Os integrandos de ambas equações podem ser reescritos em função da energia
√
do nucleon E = k2 +m2,
∫
1 kf
 = m2
1
φ2 − m2 2
γ ∂E(k)
s 0 ωV0 + k
3 dk (4.40)
2 2 2π2 0 ∂k
∫
1 1 γ kf
p = − m2φ2 + m2V 2 + k2E(k)dk . (4.41)
2 s 0 2 ω 0 6π2 0
Multiplicando as equações (4.40) e (4.41) por um fator 3, somando ambas as expressões
e realizando uma integração por partes obtemos
∫
γ kf ∂
3(p+ ε) = (k3E(k))dk (4.42)
2π2 0 ∂k
ou
γk3f
(p+ ε) = E(kf ) . (4.43)
6π2
Utilizando a equação para o número bariônico (4.29), temos
(p+ ε) = nE(kf ) , (4.44)
√
onde E(kf ) é o potencial qúımico definido por E(kf ) = µ = k2f +m
2. A equação (4.44)
satisfaz a relação termodinâmica p = nµ− ε.
40
Caṕıtulo 5
Solução numérica
5.1 O modelo σ − ω
Para evoluir uma estrela de nêutrons vamos resolver numericamente um conjunto
de equações acopladas que foram obtidas na seção anterior. A equação de Tolman-
Oppenheimer-Volkof (TOV) descreve a estrutura ou o equiĺıbrio hidrostático da estrela
( )( )( )−1
dp −Gm(r)ρ(r) p(r) 4πr
3p(r) − 2Gm(r)= 1 + 1 + 1 , (5.1)
dr r2 ρ(r)c2 m(r)c2 rc2
e a equação de continuidade de massa
dm
= 4πr2ρ(r) . (5.2)
dr
O lado esquerdo da igualdade na equação (5.1) expressa uma variação da pressão do
interior para o exterior da estrela e que sustenta a contribuição da força da gravidade
newtoniana, no lado direito, no sentido contrário. A estrela mantém sua estrutura desde
que exista o equiĺıbrio hidrostático sobre cada casca de matéria entre r e r+dr. Os termos
entre parênteses são as correções trazidas pela relatividade geral e são quantidades positi-
vas de modo que a derivada da pressão é sempre negativa e decresce monotonicamente do
centro para a superf́ıcie da estrela. A equação (5.2) é sempre positiva e fornece a relação
massa-energia em uma casca de espessura dr, pois é posśıvel reconhecer a relação ε = ρc2
em analogia à energia de repouso E = mc2. A TOV deve ser integrada a partir da origem
em r = 0 com as condições iniciais M(0) = 0 e um valor arbitrário para a densidade de
energia central ε(0) = ρ(0)c2 = ε0. As equações são integradas até a superf́ıcie da estrela
41
quando p(R) = 0 porque a pressão deve se cancelar no contorno da estrela com o vácuo.
Ao satisfazer essa condição obtêm-se o raio da estrela e também sua massa gravitacional
M = m(R).
A equação de estado p(ε) é maneira pela qual as propriedades dessa matéria a altas
densidades entra nas equações da estrutura da estrela. A fim de obter a massa e o raio da
estrela é necessário informar a equação de estado que relaciona as densidades de energia e
pressão. Para a teoria da Hadrodinâmica Quântica temos um par de equações que devem
ser resolvidas numericamente a fim de se obter uma equação de estado. A primeira
equação é a densidade de energia
∫
1 kf √2 1 1ε = k k2 + (m2 − gσσ)2dk + m2σ2 + m2ω2σ ω , (5.3)π2 0 2 2
e a segunda, a densidade de pressão
∫
1 kf
p = √ k4 dk − 1 1m2σ2σ + m2ω2ω . (5.4)3π2 k20 + (m− gσσ)2 2 2
Percebemos que ambas são funções do momento de fermi (kf ), das massas do nucleon e
dos mésons (m,mσ,mω), dos campos mesônicos (σ e ω) e das constantes de acoplamento
(gσ e gω), isto é, ε(kf ,m,mσ,mω) e p(kf ,m,mσ,mω). Os valores das massas e dos campos
mesônicos são bem estabelecidos na literatura sendo o valores do momento de Fermi
responsáveis pela evolução da estrela, como veremos a seguir.
O campo médio do méson-σ é uma equação transcendental e também é função do
momento de Fermi, das massas e das constantes de acoplamento,
∫
g2 kf 2
g σ = σ
2 k (m− gσσ)
σ √ dk . (5.5)
m2σ π k20 + (m− gσσ)2
Portanto, para um dado momento de Fermi (kf ), a solução requer um valor inicial para o
campo mesônico em um cálculo para determinação de ráızes. O campo médio do méson-ω
é
g2 k3f
gωω =
ω . (5.6)
m2ω 3π
2
42
Para resolver o sistema de equações para evolução de uma estrela de nêutrons vamos
utilizar os parâmetros apresentados na Tabela 5.1 [8].
Tabela 5.1: As massas do núcleon, dos mésons e as constantes de acoplamento
m (MeV) mσ (MeV) mω (MeV) gσ gω
939 550 784 8,69919 11,6652
Nesse momento, cabe uma discussão sobre as ordens de grandeza e unidades que serão
utilizadas para a solução numérica das equações apresentadas no ińıcio dessa seção [14].
Na f́ısica nuclear e na f́ısica de part́ıculas uma unidade conveniente de energia (ou massa,
E = mc2) é o mega-eletronvolt (MeV). Algumas vezes a unidade do giga-eletronvolt
(GeV) é usada porque ela se aproxima da massa do nucleon (939 MeV ∼ 1 GeV). O
comprimento é expresso na unidade de fermi (fm = 10−15 m) porque ela é da ordem da
dimensão de um nucleon. É também conveniente fazer ~ = c = 1. Assim, a unidade de
~ é ~c = 197,33 MeV·fm (= 1). O número de onda (que também é usualmente referido
como momento) é k = p/~ e tem a unidade do inverso do comprimento (fm−1). Isso é
consistente com a relação entre a densidade número (n = 1/V ) e momento (p = ~k) para
um gás degenerado, ∫ ∫
dp~ kf d~k k3f
n = γ = γ = γ (5.7)
(2π~)3 0 (2π)3 6π2
de modo que a densidade número tem dimensão fm−3 e o fator γ é a degenerescência do
número de estados.
Com tais escolhas de unidades para k e porque a energia relativ́ıstica de uma part́ıcula
√
livre é dada por E = k2 +m2, nós devemos usar o inverso do comprimento como a
unidade de massa e energia também. Por exemplo, é posśıvel converter massa para o
inverso do comprimento pela divisão por ~c,
m ≈ 939939 MeV = fm−1 = 4,77 fm−1 . (5.8)
197
ou alternativamente, multiplicando k por ~c e usando MeV como a unidade. Como fm−1 =
197,33 MeV, ao dividir ambos os lados por fm3
fm−4 = 197,33 MeV/fm3 . (5.9)
43
Tudo isso significa que a densidade de energia (ε = E/V ) tem a unidade natural de fm−4,
e a pressão (p = P/V ) tem a mesma unidade. Para recuperar as unidades do Sistema
Internacional usa-se que fm−4 = 3,5178×1017 kg/m3 para a energia e para a pressão
fm−4 = 3,1616×1034 N/m2.
A densidade de massa de uma estrela é a razão entre a massa e volume, onde a massa
é numericamente igual ao número de part́ıculas vezes a massa da part́ıcula,
M Nm
ρ = = = nm . (5.10)
V V
Essa equação é interessante porque uma vez calculada a densidade número (n) obtemos
a densidade de massa (ρ). Ao substituir a equação (5.7) na equação (5.10) temos uma
equação que permite obter um valor limite para o momento de Fermi
( )1/3 ( )1/3
6π2ρ 3π2n
kf = = . (5.11)
γm γ
Supondo que a gravidade envelopa os núcleons até uma aproximação de repulsão em
torno de r0 = 0,50 fm, o valor de equiĺıbrio para a densidade número é relacionado a r0
por
1
n = = 1,91 fm−3 . (5.12)
(4/3πr30)
Substituindo esse resultado na equação (5.11), obtemos uma estimativa para o momento
de Fermi para a matéria nuclear contendo somente nêutrons (γ = 2), como kf = 3,84
fm−1. A matéria na periferia da estrela é menos compactada que no centro. Nesse caso,
atribui-se o valor r0 = 1,44 fm e o momento de Fermi é k
−1
f = 1,33 fm .
Esses valores emṕıricos do parâmetro r0 possibilitam obter uma relação massa-raio no
limite de colapso gravitacional analisando o numerador do último termo da TOV, vemos
que é R = 2GM/c2. Isso permite estimar a máxima massa e raio posśıveis para um estrela
de nêutrons. Na f́ısica nuclear sabe-se que o raio nuclear médio varia com o número de
massa por R ≈ r A1/30 e que a massa total é M ≈ Am. Temos que
2GM ⇒ 1/3 2GAm
2
R = r A = ⇒ A2/3 r0c0 = . (5.13)
c2 c2 2Gm
44
Para r0 = 0,50 fm, m = 1,67×10−27 kg, encontramos que A = 2,85 ×1057, R = 7,09 km e
M = 2,40M . Para r = 1,16 fm, m = 1,67×10−27 0 kg, encontramos que A = 1,01×1058,
R = 34,65 km e M = 11,7M. Esses resultados apontam um intervalo de valores para
o momento de Fermi que devemos utilizar para o estudo da evolução de uma estrela de
nêutrons.
De acordo com a equação (5.11) para baixas densidades, onde kf é pequeno, as equações
para a densidade de energia e pressão são aproximadas para aquelas de um gás de Fermi
∫
1 kf √2 3 [ ]ε = k k2 0+m2dk = (2x3 + x)(1 + x2)1/2 − senh−1(x) (5.14)
π2
∫0
8
1 kf k4 0 [ ]
p = √ dk = (2x3 − 3x)(1 + x2)1/2 + 3senh−1(x) (5.15)
3π2 k20 +m2 8
onde  = m40 /(3π
2) = 2,63×1010 MeV4 é uma constante com dimensão de densidade
de energia e que vamos utilizar como um fator de normalização nos resultados que serão
apresentados. O parâmetro adimensional x = kf/m é uma boa estimativa para avaliar
o momento de Fermi. Conforme a equação (5.8), se kf >> m (x >> 1), temos o regime
ultra-relativ́ıstico para a estrela e se kf << m (x << 1) temos o regime não relativ́ıstico.
5
kf=3,84 fm
-1
4
3
ϵ
ϵ0
2
1
0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
P
ϵ0
Figura 5.1: A equação de estado de um gás de nêutrons degenerados.
45
A integração numérica das equações (5.14) e (5.15) no intervalo de kf = 0 até kf =
3,84 fm−1 permite construir o gráfico da densidade de energia e pressão normalizadas pelo
parâmetro 0, após uma interpolação. A pressão máxima é pmax = 51,140 e a energia
máxima é εmax = 173,160. Na figura (5.1), a curva representa a equação de estado e
cada ponto sobre ela representa uma determinada estrela, isto é, cada par (ε, p) define
uma estrela, mas nem todos os pontos são um ponto de estabilidade hidrodinâmica.
A integração das equações (5.1) e (5.2) utilizando a equação de estado de um gás
degenerado de nêutrons fornece o raio e a massa das estrelas. A figura (5.2) mostra o
gráfico da massa, em massas solares, versus o raio, em km, para várias estrelas de nêutrons.
A pressão central aumenta ao longo da curva da direita para a esquerda. A curva começa
a altos valores de raio e pequena massa e continua para valores menores de raio e maiores
de massa. No ponto de máximo a massa máxima é Mmax = 0,710M e o raio máximo é
Rmax = 8,86 km. Para altas pressões centrais a curva espiraliza em um comportamento
que é t́ıpico mesmo para outras equações de estado.
0,8
0,7
0,6
M
0,5
M☉
0,4
0,3
0,2
5 10 15 20
r [km]
Figura 5.2: A relação massa raio-raio para uma estrela de nêutrons segundo o modelo de gás de nêutrons
degenerados.
A figura 5.3 mostra os gráficos (a) da massa em função do raio e (b) da pressão em
função do raio correspondente à estrela representada pelo ponto de máximo na figura 5.2.
A pressão é pc = 0,070 no centro da estrela e diminui até seu valor nulo em R = 8,86
km. Portanto, cada ponto na figura 5.2 corresponde a uma estrela cuja estrutura evolui
a partir de uma pressão central (ou densidade central) providas pela equação de estado.
46
0,7 0,07
0,6 0,06
0,5 0,05
M (r) 0,4 P (r) 0,04
M☉ 0,3 e0 0,03
0,2 0,02
0,1 0,01
0,0 0,00
0 2 4 6 8 0 2 4 6 8
r [km] r [km]
Figura 5.3: (a) O aumento da massa em função do raio e (b) a diminuição da pressão em função do raio
para uma estrela com pressão central pc = 0,070.
A estrela representada pela figura 5.3 não está compreendida no intervalo de estrelas
de nêutrons catalogadas até o momento atual, pois M < 0,710M. O modelo de gás de
nêutrons degenerados não é adequado para evoluir uma estrela de nêutrons. Em outras
palavras é improvável que uma estrela de nêutrons seja constitúıda somente por nêutrons.
Isso decorre do modelo de gás de nêutrons degenerados não incorporar os efeitos da f́ısica
nuclear que podem elevar a massa e o raio das estrelas devido as interações de curto e
longo alcance entre os núcleons que são mediadas pelos mésons σ e ω.
À medida que o momento de Fermi aumenta, as contribuições dos campos médios dos
mésons σ e ω tornam-se relevantes e devem ser inclúıdos no cálculo numérico da equação
de estado por meio das equações (5.5) e (5.6), respectivamente. Como já dissemos a
equação (5.5) é uma equação transcendental e procede-se o cálculo numérico a partir de
um valor inicial para o campo mesônico e busca-se a raiz em um processo iterativo no
intervalo 0 ≤ kf ≤ kf,max. As ráızes (os campos médios σ) são, então, utilizadas para o
cálculo das equações (5.3) e (5.4). O campo médio do méson ω é função do momento de
Fermi e seu cálculo é imediato.
Na figura (5.4), o resultado do cálculo da equação de estado é apresentado segundo
o modelo σ − ω. Para momentos de fermi no intervalo 0,15 fm−1 < kf < 0,23 fm−1 as
pressões tornam-se negativas. Para remover essa contribuição espúria é posśıvel recorrer
aos resultados obtidos para a aproximação de gás de Fermi para baixos valores do momento
de Fermi. A equação de estado resultante é uma intersecção desses dois conjuntos de
47
20 =3,84 fm 1k
f
15
ϵ
10-3
ϵ0
10
5
0
-10 -5 0 5 10
P
10-6
ϵ0
Figura 5.4: A equação de estado para a estrela de nêutrons no modelo σ − ω apresenta pressões com
valores negativos para o intervalo do momento de fermi entre 0,15 fm−1 < k < 0,23 fm−1f .
dados.
A figura (5.5), mostra o comportamento da equação de estado considerando os resul-
tados para baixas densidades provenientes dos cálculos do gás de nêutrons degenerados e
para altas densidades decorrentes do modelo σ − ω. A pressão comum a esses dois mo-
delos é p = 0,00073110. Comparando as figuras (5.2) e (5.5) vemos que para um mesmo
intervalo de pressões a densidade de energia do modelo σ − ω é menor cerca de 25% em
comparação ao modelo de gás de Fermi.
1,2
1,0 k =3,84 fm-1
f
0,8
ϵ
0,6
ϵ0
0,4
0,2
0,0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
P
ϵ0
Figura 5.5: A equação de estado para a estrela de nêutrons combinando os resultados do gás de Fermi
para baixas densidades e do modelo σ − ω para altas densidades.
48
Uma vez conhecida a equação de estado é posśıvel integrar novamente a equação TOV.
A figura (5.6) representa as estrelas obtidas a partir da equação de estado do modelo
σ−ω em um gráfico da massa em função do raio. Novamente, a pressão central aumenta
ao longo da curva da direita para a esquerda. A curva começa a altos valores de raio e
pequena massa e continua para valores menores de raio e maiores de massa. Contudo,
diferente do gás de nêutrosn degenerados, no ponto de máximo a massa máxima é Mmax =
2,80M e o raio máximo é Rmax = 13,5 km. A inclusão dos campos mesônicos permite
evoluir uma estrela para raios maiores e próximos de valores observados que variam de 1,0
a 2,0 massas solares [34]. Modelos teóricos mais elaborados apontam estrelas de nêutrons
com massas de até 3,2 massas solares [35].
2,5
2,0
M
1,5
M☉
1,0
0,5
0,0
11 12 13 14 15 16
r [km]
Figura 5.6: A relação massa-raio para uma estrela de nêutrons segundo o modelo σ − ω.
Na figura (5.7) mostramos os gráficos (a) da massa, em massas solares, contra o raio,
em km, e (b) da pressão, em unidades de 0, contra o raio, em km. Esses resultados são
obtidos a partir da TOV com uma pressão central de pc = 0,120. Vemos a partir desse
gráfico que para uma massa de M = 2,80M um raio de R = 13,5 km.
49
0,12
2,5
0,10
2,0
0,08
M (r) 1,5 P (r)
0,06
M☉ e0
1,0
0,04
0,5 0,02
0,0 0,00
0 2 4 6 8 10 12 0 2 4 6 8 10 12
r [km] r [km]
Figura 5.7: (a) O aumento da massa em função do raio e (b) a diminuição da pressão em função do raio
para uma estrela com pressão central pc = 0,120.
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Caṕıtulo 6
Considerações finais
Nessa monografia apresentamos uma introdução do modelo da Hadrodinâmica Quântica
I, comumente chamado por modelo σ − ω, para estudar a f́ısica das estrelas de nêutrons.
Utilizando a aproximação de campo médio obtivemos as equações para densidade de
energia e pressão, a equação de estado, bem como as equações para os campos dos mésons
σ e ω. Comparamos esse modelo ao do modelo de um gás de nêutrons degenerados, pois
quando temos baixas densidades, onde o momento de Fermi (kf ) é pequeno, podemos
aproximar essas equações para aquelas de um gás de Fermi. Por meio da equação de
TOV (3.7) e das equações de estados obtemos a massa e o raio das estrela de nêutrons
para um gás de nêutrons degenerados e para o modelo σ − ω.
Os resultados obtidos numericamente, como os valores de massa máxima, Mmax =
0,710M, e de raio máximo, Rmax = 8,86 km, nos mostram que o modelo de gás de
nêutrons degenerados não é adequado, tendo em vista que a massa para estrelas de
nêutrons se encontram, geralmente, no intervalo de (1 − 2)M, e, segundo a figura (5.3)
M < 0,710M, o que não representa uma estrela de nêutrons dentro do intervalo esperado.
Isso decorre do modelo de gás de nêutrons degenerados não incorporar os efeitos da f́ısica
nuclear que podem elevar a massa e o raio das estrelas devido as interações de curto e
longo alcance entre os núcleons que são mediadas pelos méson σ e ω. Outros efeitos como
estabilidade do decaimento β, as contribuições do méson ρ podem efetivamente melhorar
o modelo.
Nossos resultados para o modelo σ−ω foram melhores e resultando nos valores de massa
máxima, Mmax = 2,80M, e de raio máximo, Rmax = 13,5 km, realmente maiores que o
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esperado, mas não significando que estejam incorretos. Afinal, é posśıvel incorporar nas
equações de estado outros campos mesônicos, como o campo médio do méson ρ que corrige
a assimetria entre nêutrons e prótons (carga), o decaimento β que corrige os mecanismos
de produção de prótons, elétrons e neutrinos à medida que a interação gravitacional
aumenta, o equiĺıbrio qúımico, pois à para cada nêutron que decai um próton, um elétron
e um neutrino são produzidos. Além disso, o modelo σ−ω é dependente das constantes de
acoplamento gσ e gω. Isto significa que é posśıvel ajustar essas constantes para corrigir a
ausência de outros campos mesônicos e mesmo dos equiĺıbrio β e qúımico, mas obviamente
há limites para essas correções. Modelos teóricos preveem estrelas teóricos com massas até
3,0 massas solares. Os recentes resultados do Laser Interferometer Gravitational-Wave
Observatory (LIGO) e o detector de Virgo na Europa, registraram um objeto compacto
− uma estrela de nêutrons ou um buraco negro − 2,6 vezes a massa do nosso Sol se
fundindo com um buraco negro de 23 vezes a massa do Sol. Em uma proporção de
9:1, é a maior diferença em massas já observada durante uma colisão por astrônomos de
ondas gravitacionais. O objeto menos massivo é o buraco negro mais leve ou a estrela de
nêutrons mais pesada já descoberta em um sistema binário de objetos compactos [2, 20].
Esperamos que essa monografia seja uma fonte para futuros projetos na área de as-
trof́ısica diante das observações recentes das colisões de ondas gravitacionais. A introdução
de novos campos mesônicos, dos equiĺıbrios β e qúımico podem melhorar os resultados
apresentados nesse trabalho. Outra linha é introduzir os efeitos da temperatura que vão
aparecer nas distribuições de fermi. Estudos mais complexos podem ser realizados intro-
duzindo as rotações e os campos magnéticos. Assim, as observações do LIGO-VIRGO
trazem novos limites, ideias e perspectivas para futuros trabalhos da estrutura e vida e
morte das estrelas de nêutrons.
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