UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS NATURAIS E MATEMÁTICA ATRIBUIÇÃO DE SIGNIFICADO AO CONCEITO DE PROPORCIONALIDADE: contribuições da História da Matemática JOSÉ ROBERTO COSTA JÚNIOR NATAL – RN 2010 JOSÉ ROBERTO COSTA JÚNIOR ATRIBUIÇÃO DE SIGNIFICADO AO CONCEITO DE PROPORCIONALIDADE: contribuições da História da Matemática Dissertação apresentada ao Programa de Pós- graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências Naturais e Matemática sob a orientação do Professor Dr. Paulo Cézar de Faria. NATAL – RN 2010 Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial Especializada do Centro de Ciências Exatas e da Terra – CCET. Costa Junior, José Roberto. Atribuição de significado ao conceito de proporcionalidade: contribuições da história da matemática. – Natal, 2010. 237 f. : il. Orientador: Paulo Cézar de Faria. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Ciências Exatas e da Terra. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática. 1. História da matemática – Dissertação. 2. Proporcionalidade – Atribuição de significado – Dissertação. 3. Educação matemática – Dissertação. I. Faria, Paulo Cezar de. II. Título. RN/UF/BSE-CCET CDU 51(091) JOSÉ ROBERTO COSTA JÚNIOR ATRIBUIÇÃO DE SIGNIFICADO AO CONCEITO DE PROPORCIONALIDADE: contribuições da História da Matemática BANCA EXAMINADORA ______________________________________________________ Prof. Dr. John Andrew Fossa (Presidente) ______________________________________________________ Profa. Dra. Rosa Lucia Sverzut Baroni - Externo ______________________________________________________ Prof. Dr. Iran Abreu Mendes - UFRN ______________________________________________________ Profa. Dra. Giselle Costa de Souza (UFRN) - Suplente Este trabalho é dedicado a minha avó Josefa e aos meus pais José Roberto e Sônia Maria. AGRADECIMENTOS A Deus por ter sempre iluminado meus passos. A minha avó Josefa, por ter sempre me incentivado a trilhar por bons caminhos, sobretudo por me fazer acreditar que a educação é o caminho para nos tornarmos verdadeiros cidadãos. A meu orientador Paulo Cézar com quem muito aprendi. Aos meus pais, por terem me encaminhado até aqui. A minha irmã Roseane e sua família, pelo apoio dado na primeira fase do mestrado. Aos demais irmãos, pelo incentivo que sempre me deram. A meu amigo José Roberto com quem posso contar sempre. Aos amigos Sidney, Edigites e Maroni pelo companheirismo constante e aos demais amigos do mestrado. Aos professores Vicente Garnica, Rosa Baroni e Bernadete Morey pelas contribuições no exame de qualificação. Aos professores de matemática que fizeram parte desta pesquisa. Ao Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática de Rio Claro – SP pela valiosa vivência oportunizada pelo PROCAD. SUMÁRIO LISTA DE TABELAS..............................................................................................................8 LISTA DE FIGURAS...............................................................................................................9 LISTA DE SLIDES.................................................................................................................10 RESUMO.................................................................................................................................12 ABSTRACT.............................................................................................................................13 INTRODUÇÃO.......................................................................................................................14 FOCALIZAÇÃO DO PROBLEMA.........................................................................................16 PROBLEMA A SER INVESTIGADO.....................................................................................35 QUESTÃO DE ESTUDO E OBJETIVOS...............................................................................35 JUSTIFICATIVA......................................................................................................................36 1 REFERENCIAL TEÓRICO...............................................................................................39 1.1 A IMPORTÂNCIA DA COMPREENSÃO DO DESENVOLVIMENTO HISTÓRICO DO CONCEITO MATEMÁTICO..............................................................40 1.2 ASPECTOS HISTÓRICOS QUE ENVOLVEM O CONCEITO DE DE PROPORCIONALIDADE..........................................................................................42 1.2.1 As proporções no contexto da matemática egípcia...................................................42 1.2.2 As proporções no contexto da matemática babilônica..............................................46 1.2.3 As proporções no contexto da matemática grega......................................................60 1.2.4 As proporções no contexto da matemática hindu.....................................................74 1.2.5 As proporções no contexto da matemática árabe......................................................76 1.2.6 A proporcionalidade na Idade Média e no Renascimento........................................78 1.3 A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDADE..............................86 1.4 ATRIBUIÇÃO DE SIGNIFICADO..................................................................................95 1.5 A IMPORTÂNCIA DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA...............................................98 2 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS....................................................................106 2.1 O TIPO DE ESTUDO.......................................................................................................106 2.2 AS ETAPAS DO ESTUDO..............................................................................................107 2.3 OS INSTRUMENTOS DE COLETA DE DADOS.........................................................109 2.4 PROCEDIMENTOS.........................................................................................................113 2.4.1 Para as notas de campo............................................................................................115 2.4.2 Para o questionário...................................................................................................116 2.4.3 Para as atividades.....................................................................................................120 2.4.4 Para a entrevista.......................................................................................................131 2.5 OS SUJEITOS...................................................................................................................133 3 RESULTADOS.................................................................................................................. 134 3.1 PARA AS NOTAS DE CAMPO......................................................................................134 3.2 PARA O QUESTIONÁRIO.............................................................................................138 3.3 PARA AS ATIVIDADES.................................................................................................155 3.4 PARA A ENTREVISTA..................................................................................................165 4 DISCUSSÃO DOS RESULTADOS.................................................................................184 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS................................... ........................................................196 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS................................................................................200 ANEXOS ANEXO 1................................................................................................................................208 ANEXO 2................................................................................................................................209 ANEXO 3................................................................................................................................214 ANEXO 4................................................................................................................................215 ANEXO 5................................................................................................................................216 ANEXO 6................................................................................................................................217 ANEXO 7................................................................................................................................223 LISTA DE TABELAS TABELA 1- Interpretação da tableta babilônica de multiplicação...........................................48 TABELA 2 - Distribuição da freqüência dos sujeitos de acordo com o gênero.....................138 TABELA 3 - Distribuição da freqüência dos sujeitos de acordo com a idade.......................139 TABELA 4 - Distribuição da freqüência dos sujeitos de acordo com o tipo de instituição onde fizeram o ensino superior.............................................................................139 TABELA 5 - Distribuição da freqüência dos sujeitos de acordo com o período em que fizeram o ensino superior.....................................................................................................................140 TABELA 6 - Distribuição da freqüência dos sujeitos de acordo com o tipo de curso no qual é graduado (ou está se graduando).............................................................................................140 TABELA 7 - Distribuição da freqüência dos sujeitos de acordo com o tempo de docência..............................................................................................................................141 LISTA DE FIGURAS FIGURA 1- Fragmento do Papiro de Rhind.............................................................................43 FIGURA 2- Tableta babilônica de multiplicação.....................................................................48 FIGURA 3- Tableta babilônica de recíprocos..........................................................................49 FIGURA 4- Tableta babilônica Plimpton 322..........................................................................51 FIGURA 5- Fragmento da tableta babilônica Plimpton 322....................................................52 FIGURA 6- Tabela de interpretação da tableta babilônica Plimpton 322................................53 FIGURA 7- Face pentagonal do dodecaedro............................................................................62 FIGURA 8a - Semi-círculo sobre a diagonal de um quadrado.................................................65 FIGURA 8b - Triângulo Isósceles............................................................................................66 FIGURA 8c - Crescente ou lúnula de Hipócrates.....................................................................66 FIGURA 9 – Segmentos comensuráveis..................................................................................67 FIGURA 10- Construção de um segmento em média e extrema razão....................................74 FIGURA 11- Fragmento do livro Divina Proporção................................................................81 FIGURA 12- Pintura da Monalisa............................................................................................82 FIGURA 13- Triângulo Isósceles Áureo..................................................................................83 LISTA DE SLIDES ATIVIDADE 1 SLIDE 1 – Contexto Histórico sobre a Civilização Mesopotâmica........................................121 SLIDE 2 - Mapa da antiga Civilização Mesopotâmica..........................................................122 SLIDE 3 – Texto sobre o sistema de numeração cuneiforme dos Babilônios........................122 SLIDE 4 – Texto sobre o sistema de numeração dos Babilônios...........................................122 SLIDE 5 – Apresentação da escrita cuneiforme. Mostra os símbolos utilizados pelos Babilônios para o registro matemático, acompanhados de sua representação decimal, tal qual é utilizada atualmente..............................................................................................................123 SLIDE 6 – Sistema de numeração cuneiforme.......................................................................124 SLIDE 7 – Texto sobre o sistema de numeração Babilônica..................................................124 SLIDE 8 – Representação numérica em notação sexagesimal...............................................125 SLIDE 9 – Tableta Babilônica de multiplicação....................................................................125 SLIDE 10 – Questionamentos direcionados aos professores sobre a tableta de multiplicação Babilônica...............................................................................................................................126 ATIVIDADE 2 SLIDE 1 - Conteúdo do slide apresentado para abordar o contexto histórico sobre o Egito...........................................................................................................................126 SLIDE 2 – Mapa da antiga Civilização Egípcia.....................................................................126 SLIDE 3 – Questionamentos direcionados aos professores sobre o sistema de numeração egípcio.....................................................................................................................................127 SLIDE 4 – Apresentação dos sistemas de escrita egípcia.......................................................127 SLIDE 5 - Representação numérica egípcia..........................................................................128 SLIDE 6 – Sistema de numeração egípcio..............................................................................128 SLIDE 7 - Pontos destacados sobre o sistema de numeração egípcio...................................129 SLIDE 8 – Formas de representação numérica egípcia..........................................................129 SLIDE 9 – Texto sobre o conhecimento matemático egípcio................................................130 SLIDE 10 – Apresentação de uma equação egípcia...............................................................130 SLIDE 11 – Método de resolução da equação egípcia em notação moderna.........................131 RESUMO Este estudo é o resultado de um trabalho que aborda a História da Matemática como fonte de atribuição de significado ao conceito de proporcionalidade. Adotamos a metodologia de pesquisa qualitativa e trabalhamos com um grupo de professores da rede pública de ensino dos níveis fundamental e médio da cidade de Pocinhos - PB. Para a coleta de dados utilizamos as notas de campo, o questionário, uma sequência de atividades e a entrevista semi- estruturada como instrumentos. O estudo teve como objetivo conhecer os significados atribuídos ao conceito de proporcionalidade por meio de atividades mediadas pela História da Matemática, bem como averiguar se uma abordagem desta natureza possibilita modificação nesse sentido. Os resultados obtidos através da análise dos dados indicaram que as atividades trouxeram contribuições no que se refere a alcançar objetivos. Por outro lado mostra, também, que existe um longo percurso a ser trilhado no sentido de tornar História da Matemática subsídio efetivo na prática desses professores, tendo em vista a falta de formação nesta área de conhecimento bem como a carência de uma abordagem adequada da História da Matemática nos livros didáticos de matemática. Palavras-chave: Proporcionalidade, Atribuição de significados, História da Matemática e Educação Matemática. ABSTRACT This study is the result of a work which approaches the Mathematics History how source of the meaning’s attribution in the proportionality concept. We adopt the methodology of the source qualitative and we work with a group of teachers from instruction’s public system of the fundamental and medium level from Pocinhos City – Paraíba. For the data collection, we use the field notes, the questionnaire, a sequence of activities and the interview semi- structured like instruments. The study had how objective to know the significates attributeds to proportionality concept through of the activity mediate from Mathematics History, besides to investigate if a approach of the nature enables modification according to this sense. The results obtaineds though the data analysis indicate that the activities bring contributions which refer to achieve objectives. On the other hand they also showed that we have a long trajectory to be trailed in the meaning of to turn the Mathematics History a subsidy effective in the teachers’ practice, in view of the formation absence in the knowledge area, besides the necessity of the approach adequated of the Mathematics History in the didatics books of Mathematic. KEY WORDS: Proportionality, Significates attributeds, Mathematics History and Education Mathematics. 14 INTRODUÇÃO A partir dos últimos semestres do curso de licenciatura em matemática, interessei-me por conhecer mais sobre Educação Matemática. Ao iniciar um curso de especialização em ensino de matemática, essa busca aos poucos foi se concretizando, pois neste curso a ênfase dada às questões do ensino de matemática era bem mais acentuada do que na graduação. Ainda neste curso desenvolvemos um estudo monográfico fundamentado em resolução de problemas, o que nos acrescentou conhecimento oriundo da área de Educação Matemática. Na ocasião adquirimos o livro organizado por Bicudo (1999) e, desde então, passamos a nos dedicar mais aos assuntos relacionados à pesquisa acerca do ensino de matemática. A partir deste contato inicial com os estudos realizados na área de Educação Matemática, aos poucos nosso interesse se direcionou para a área da História da Matemática. Apesar de não conhecermos profundamente esse tema, acreditava que o mesmo era bastante fecundo e oferecia possibilidade de suporte teórico e prático ao professor de matemática. O mestrado foi a grande oportunidade de por em prática um estudo mais focado na História da Matemática. Neste estudo buscamos uma correlação entre História da Matemática e a sua importância na prática pedagógica de professores de matemática. A História da Matemática como área de pesquisa apresenta uma variedade de caminhos a serem percorridos. Entre esses tantos caminhos escolhemos um deles, inclusive, apontado pelo Prof. Hans Wussing (1997 apud BARONI e NOBRE, 1999, p. 130) “como um dos mais investigados no panorama internacional: A história de problemas e conceitos”. Já que parte do nosso estudo traça um histórico sobre o conceito de proporcionalidade. Em nossa pesquisa traçamos um breve histórico sobre o conceito de proporcionalidade com a finalidade de conhecer sua origem, verificar de que maneira esse conceito era empregado pelos povos antigos, bem como conhecer alguns dos problemas onde esse conceito 15 estava presente, além de identificá-lo no procedimento de resolução de problemas; seja como um conceito inato da situação matemática em questão ou como um método de resolução. Por outro lado, investigamos junto a um grupo de nove professores de matemática os significados que estes apresentariam acerca do conceito de proporcionalidade por ocasião da apresentação de atividades históricas que envolvem o referido conceito. Tais significados poderão surgir a partir da interpretação dos registros numéricos presentes em uma tableta matemática babilônica e num método de resolução de equação adotado pelos egípcios. Assim, este estudo teve o intuito de estimular a reflexão sobre a maneira pela qual a História da Matemática pode subsidiar a prática pedagógica do professor de matemática, a partir de seu envolvimento com situações históricas que envolvem a formalização de um conceito. No primeiro capítulo, uma consulta a determinadas obras que tratam do conceito de proporcionalidade permitiu focalizar o problema a ser investigado, bem como identificar a questão de estudo, os objetivos e a justificativa do presente trabalho. No segundo capítulo, é apresentado um estudo histórico sobre o conceito de proporcionalidade. Expomos nesse capítulo alguns aspectos históricos relativos ao desenvolvimento do conceito de proporcionalidade presente em diferentes civilizações, em diferentes épocas. Esta abordagem nos forneceu a ideia do desenvolvimento do conceito em questão e, consequentemente, embasou o referencial teórico do presente estudo. No terceiro capítulo, mostramos o método de investigação adotado neste estudo. Trata- se de uma pesquisa de cunho qualitativo. Neste capítulo descrevemos as etapas do estudo, os instrumentos de coleta de dados, os procedimentos e os sujeitos participantes do estudo. No quarto capítulo, exibimos os resultados obtidos. No que se refere aos dados quantitativos, apresentamos a maneira que os dados foram analisados. Com relação aos dados 16 qualitativos, descrevemos os resultados obtidos por meio da análise de conteúdo expresso pelos sujeitos, por meio de diferentes instrumentos de coleta de dados utilizados. No quinto capítulo, discutimos os resultados obtidos à luz do referencial teórico para atender as questões desse estudo. Por fim, tecemos algumas considerações sobre o estudo realizado, bem como certas implicações que os resultados obtidos poderão originar. Focalização do problema Muitos trabalhos em Educação Matemática, Educação em Ciências e Psicologia Cognitiva tratam de proporções ou proporcionalidade, a saber: Costa (2005), Pontes, (1996), Bernal (2004), Ávila (1985), Schliemann e Carraher (1997), Spinillo (1997, 2002), Aguiar (1980), Magalhães (1990), Oliveira (2000), entre outros. Costa (2005) apresenta a análise e a comparação dos conteúdos razões e proporções entre três livros didáticos e de cada um deles com a proposta curricular correspondente à década de sua publicação, no intuito de verificar se os conteúdos razões e proporções nos três livros didáticos estão em sintonia com os documentos oficiais relativos às reformas do ensino. Os três livros didáticos de matemática analisados pelo autor são referentes ao Ensino Básico, especificamente, livros do 7º ano do Ensino Fundamental. Dessa forma, o primeiro livro didático foi comparado com o projeto de um guia curricular do Estado de São Paulo de 1972, o segundo comparado com a proposta curricular do Estado de São Paulo de 1986, enquanto o terceiro foi comparado com os Parâmetros Curriculares Nacionais, Brasil (1998). As comparações realizadas entre esses livros e as comparações destes com os documentos oficiais visam conhecer se tais livros são adequados às sugestões contidas nos referidos documentos, que fundamentaram as três últimas reformas curriculares no Estado de São Paulo. 17 O interesse de Costa (2005) por esse assunto surge de sua própria prática docente, a qual permitiu a ele identificar duas importantes questões: o fato de os professores terem o livro didático como única fonte de pesquisa para a elaboração das aulas e por observar as dificuldades dos alunos em interpretar problemas, principalmente aqueles que envolviam grandezas inversamente proporcionais. Em suas conclusões Costa (2005) afirma que os três livros didáticos analisados dão subsídios parciais aos professores, pois não estão plenamente elaborados de acordo com os documentos oficiais dos órgãos governamentais, a exemplo dos Parâmetros Curriculares Nacionais, Brasil (1998), do Projeto de Guia Curricular de 1972 e da Proposta Curricular do Estado de São Paulo vigente no ano de 1986. A partir do exposto por Costa (2005), podemos dizer que os referidos documentos se apresentam como ponto de apoio ao trabalho docente. Contudo, estes documentos (tanto os livros quanto as propostas curriculares) deixam clara a responsabilidade do professor no êxito do ensino da Matemática. Em geral os livros didáticos apresentam uma sequência lógica e quando o professor deseja fazer alguma modificação ou desconsiderar uma noção ou outra, cabe a ele fazer escolhas e adaptações nas ações de ensino para que ocorra mudança em sua prática docente. Encontramos em Pontes (1996) um estudo sobre Medidas e Proporcionalidade na escola e no mundo do trabalho. A autora apresenta uma análise da relação existente entre a matemática escolar e a que permeia as atividades cotidianas dos trabalhadores de diferentes profissões que não dependem de escolarização formal. A referida autora explora em seu trabalho os conceitos de Medida e Proporcionalidade por se tratarem daqueles que normalmente mais usamos no nosso dia-a-dia. Para tal finalidade, Pontes (1996) elabora e analisa uma sequência didática aplicada em classes de 7º e 8º anos. Paralelamente a esta atividade e com o mesmo objetivo, foram 18 observados uma costureira, um comerciante, uma cozinheira, um marceneiro, um mestre de obras e um oleiro em suas jornadas de trabalho, procurando perceber que itens eram abordados e como eram usados os conceitos de Medida e Proporcionalidade por estes profissionais. O estudo realizado por Pontes (1996) confronta os dois tipos de abordagens (a matemática escolar e a matemática que permeia as atividades cotidianas dos trabalhadores) e constata que os itens e as estratégias mais utilizadas pelos trabalhadores não são levadas em consideração nas aulas de matemática, o que caracteriza, segundo a autora, um divórcio entre o “o quê” e “como” se ensina matemática na escola e “o quê” e “como” se usa essa disciplina na prática cotidiana do trabalhador comum. Para finalizar, Pontes (1996) lança algumas sugestões para aqueles que fazem o ensino de matemática na perspectiva de abordagens cotidianas. As sugestões lançam mão de metodologias que valorizam a resolução de problemas e se inserem na Etnomatemática, na Modelagem Matemática, entre outras. Essas metodologias possibilitam o envolvimento do aluno como sujeito ativo no processo de ensino e aprendizagem. Em Bernal (2004) encontramos um estudo sobre como identificar a proporção no que diz respeito ao saber a ensinar e, ao saber ensinado em turmas de 7º ano do Ensino Fundamental. Para tanto, a autora busca evidenciar questões relativas ao surgimento do conceito de proporção e o seu tratamento como objeto matemático. Esta autora busca tais evidências por meio de um breve estudo histórico e de um estudo sobre as publicações produzidas por instituições de formação de professores. A autora realiza também um estudo em livros didáticos de matemática do 7o ano do Ensino Fundamental, além de uma observação em classe do mesmo ano deste nível de ensino. Além destes livros, a autora analisou o livro didático de Quintella de 1958. Segundo Bernal (2004), a escolha deste último justifica-se pelo seu uso no Brasil durante décadas, o 19 que pode ter influenciado escritores dos livros didáticos posteriores. O estudo realizado pela autora busca identificar o objeto proporção como saber a ensinar e quanto saber ensinado em turmas do 7o ano do Ensino Fundamental. Para a primeira tarefa, ou seja, para identificar o objeto proporção como saber a ensinar, Bernal (2004) evidenciou questões relativas ao surgimento do saber proporção e ao seu tratamento como objeto matemático, por meio de um breve estudo histórico e em um estudo de publicações dirigidas à formação de professores. Estas publicações remetem a artigos produzidos por Ávila (1986) e Lima (1986, 1988, 1991, 1999) e ao livro Aritmética Progressiva de Antonio Trajano (1927); sendo este último considerado pela referida autora como um “tratado”. Feito estes estudos a autora identificou duas abordagens das questões relativas à proporção. Na primeira, proporção é tratada como objeto matemático, enquanto que na segunda, há o estudo da noção de proporcionalidade e de grandezas proporcionais, e o objeto matemático proporção é explorado de maneira formal. A primeira abordagem é identificada no estudo histórico e no “tratado” de Trajano, pois desde os tempos mais remotos a proporção já era tratada como objeto matemático, a exemplo da Teoria das Proporções de Eudoxo (408-355 a.C.), que é evidenciada no volume V da obra Elementos de Euclides (cerca de 300 a.C.). Tal teoria permitiu superar a crise causada pela descoberta dos incomensuráveis e tendo sido estudada ao longo do tempo, dá origem, no século XIX, o sistema de números reais. A segunda abordagem identificada pela referida autora, tem origem mais recente e é encontrada nas publicações de Ávila (1986) e Lima (1986, 1988, 1991, 1999). Nestas publicações as questões relativas à proporção são tratadas no estudo de proporcionalidade e de grandezas ou variações proporcionais. Estas questões se inserem no contexto dos números 20 reais, das igualdades e das equações. Este tipo de abordagem segundo Bernal (2004) permite identificar o objeto matemático proporção como saber a ensinar. Para identificar o objeto matemático proporção como saber ensinado, Bernal (2004) utilizou como subsídio o estudo de livros didáticos e a observação em classe. Estes estudos revelaram semelhança com o primeiro tipo de abordagem descrita anteriormente, já que alguns livros didáticos analisados oferecem tratamento formal ao objeto matemático proporção, com a definição: proporção é a igualdade entre duas razões. Neste mesmo sentido, a observação em sala mostrou tratamento semelhante ao objeto matemáticos proporção, dado pelo professor da turma. Uma das contribuições do estudo realizado por Bernal (2004) é que o estudo do objeto proporção permite a identificação de abordagens distintas sobre as questões relativas a este saber. Ávila (1985) descreve sobre o modo como Eudoxo, já na antiguidade, descobriu um procedimento muito engenhoso para resolver a primeira crise de fundamentos a ocorrer na Matemática, ocasionada pela descoberta dos incomensuráveis. Para isso, Ávila inicia sua exposição apresentando a definição de igualdade de frações, em seguida define razão entre grandezas comensuráveis. A partir daí apresenta a teoria das proporções de Eudoxo, cujo foco principal era resolver o problema da incomensurabilidade. Na Antiguidade havia uma classe de filósofos conhecida por pitagóricos que lidava com a matemática e acreditava que o universo era governado pelos números inteiros. Tudo o que existia podia ser expresso por uma medida numérica inteira, ou seja, todas as grandezas (comprimento, área, volume, etc.) podiam ser associadas a um número inteiro ou a uma razão entre dois números inteiros. A descoberta dos incomensuráveis, isto é, daquelas grandezas que não podem ser expressas por meio de números inteiros, acabou por gerar no seio da escola pitagórica uma séria crise. 21 Para Wussing (1998) a incomensurabilidade pode ser definida a partir da medida de segmentos. Os segmentos são chamados de incomensuráveis, quando a medida de cada um deles não é um múltiplo inteiro de um terceiro que se escolha como unidade. A descoberta dos incomensuráveis causou uma grande crise na matemática da época porque os números inteiros se revelaram insuficientes para definir razões entre duas grandezas, além de destituir a generalidade da teoria das proporções dos pitagóricos, pois todas as demonstrações eram baseadas no número como coleção de unidades. O segmento já não podia mais ser considerado como indivisível, mas infinitamente divisível. Os pitagóricos não levaram adiante o estudo dos incomensuráveis, pois caso o fizessem, teriam que negar suas próprias bases filosóficas. O teorema de Tales passou a ser visto como incompleto pelos pitagóricos, assim como muitos outros assuntos matemáticos conhecidos. Surgia, então, a necessidade de se criar uma teoria sobre razões, envolvendo grandezas comensuráveis e incomensuráveis. Decorridos mais de dois milênios, foi somente no século XIX que os números voltaram a exercer um papel mais confiável nos fundamentos da matemática, sobretudo quando Dedekind (1831-1916) elaborou uma teoria dos números reais, baseando-se na definição 5 de Eudoxo (cerca de 408-355a.C), revivendo a antiga crença pitagórica de que os números são o fundamento de tudo. Segundo Boyer (1974), Dedekind se voltou para a questão do preenchimento dos “buracos” da reta quando dava aulas de cálculo. Após refletir sobre a questão, Dedekind passa a investigar sobre o que há na grandeza geométrica contínua que a distingue dos números racionais? E foi buscar inspiração na teoria das proporções de Eudoxo. De acordo com Boyer (1974), na definição de Eudoxo separa-se a fração n m em três casos: na > mb ou na = mb ou na < mb. Assim, Dedekind pensou em separar as frações em duas classes: aquelas com na > mb e as com na ≤ mb. A este par de classes ele deu o nome de 22 corte. Ele afirmou que o princípio da completude ou da continuidade está no fato de que toda vez que “cortamos” a reta em dois segmentos A e B existe um ponto P que produz tal corte da reta e a separa em duas partes. A construção dos números reais, feita por Dedekind, tomou como ponto de partida o domínio dos números racionais. Ao invés de identificar o número real como uma sequência convergente de racionais como era comum em alguns de seus antecessores, ele encarava o número real como se fosse gerado pelo poder da mente em classificar os números racionais. Ainda segundo Boyer (1974) esse esquema de classificação, chamado de corte, partição, separação, ou seção de Dedekind se refere a que se todos os pontos de uma reta estão em duas classes tal que todo ponto da primeira classe encontra-se à esquerda de todo ponto da segunda classe, então existe um e somente um ponto que produz esta divisão. Dedekind chegou à conclusão que a essência da continuidade de um segmento de reta estava na separação dos números racionais em duas classes. Ávila (1985) conclui apontando algumas implicações para o ensino da matemática, destacando que o ensino da geometria acompanhou essa evolução das ideias que restituiu aos números lugar de destaque nos fundamentos da matemática. Acrescenta ainda, que quando ensinamos geometria admitimos os números reais e a possibilidade de sempre atribuirmos um número à razão de dois segmentos, mesmo que ele seja irracional. Mudando o foco para o âmbito da Psicologia Cognitiva, estudos sobre aprendizagem e desenvolvimento da noção de proporcionalidade oferecem contribuições para a Educação Matemática. No Brasil, encontramos estes estudos em Schliemann e Carraher (1997), Spinillo (1997, 2002), Aguiar (1980), Magalhães (1990), Oliveira (2000), entre outros. Schliemann e Carraher (1997) desenvolveram um estudo que possibilitou a descrição de um corpo de conhecimentos sobre razão e proporção. As autoras procuraram caracterizar o que é razão e proporção, além de realizar uma resenha de pesquisas sobre a aprendizagem de 23 razão e proporção fora da sala de aula. O trabalho desenvolvido por estas autoras objetiva comparar as estratégias de resolução de problemas de proporcionalidade utilizadas por crianças que aprendem sobre este conceito tanto na escola quanto em situações cotidianas. Em suas conclusões, Schliemann e Carraher (1997) afirmam que crianças e adultos com pouca ou nenhuma escolarização possuem a noção de proporcionalidade. Estes sujeitos resolvem problemas que envolvem este conceito utilizando estratégias outras, a exemplo da estratégia escalar. Esta estratégia consiste em encontrar a solução de um problema a partir da análise das relações numéricas no interior de uma mesma variável. Nesta abordagem, cada variável permanece independente da outra e transformações paralelas são realizadas em cada uma delas mantendo-se a relação proporcional. A aplicação da estratégia escalar é exemplificada, pelas autoras, através do seguinte problema: “Se três laranjas custam 15 cruzeiros, qual o preço de 9 laranjas?”. Aplicando a estratégia escalar para a resolução do problema tem-se a seguinte solução: “9 laranjas são três vezes mais que 3 laranjas, então é preciso pagar três vezes mais, isto é, 15 vezes 3, o que dá 45”. Observamos que as transformações ocorrem em cada variável, porém mantendo-se a relação proporcional existente entre elas. (SCHLIEMANN e CARRAHER, 1997, p. 18) Essas autoras afirmam também que este tipo de estratégia, apesar de apresentar limitações, deveria servir como ponto de partida para a aprendizagem formal do conceito de proporcionalidade. Spinillo (2002) examina a possibilidade de crianças aprenderem proporções, usando o referencial de “metade”, que é uma estratégia tomada como referência, para auxiliar a criança a lidar com as quantidades e as relações em tarefas de proporção, de maneira sistemática, transferindo sua aplicação para outras tarefas de proporção consideradas difíceis. Para atingir tal objetivo, adota um planejamento experimental envolvendo as etapas pré-teste, pós-teste e uma intervenção. 24 A intervenção utilizada foi definida como de natureza tutorada, já que a autora mantinha diálogo com a criança, lançava desafios, fornecia e solicitava explicações no momento da resolução de tarefas de proporção. Esta parte do estudo foi apresentada em uma única sessão, com duração de 40 minutos e tinha por objetivo levar a criança a usar sistematicamente o referencial de metade, discriminar e explicitar as relações de primeira e de segunda ordem envolvidas na solução da tarefa. A tarefa de proporção utilizada na intervenção foi uma versão da tarefa de Bruner & Kenney de 1966 que consta de retângulos de papel em variados tamanhos, sendo que cada um deles tem o seu interior com uma parte preta e outra branca. Alguns desses cartões apresentam a parte preta maior que a branca, outros a parte preta menor que a branca e por fim, uns possuem a parte preta igual à parte branca. Nesta tarefa apresentavam-se aos alunos alguns retângulos que serviriam de modelos enquanto os outros seriam as alternativas. Para resolver esta tarefa, era necessário comparar as relações internas branco/preto em cada alternativa (relações de primeira ordem) e depois decidir qual delas tinha a mesma relação branco/preto que o modelo (relação de segunda ordem). Para esclarecer mais sobre os estudos realizados acerca do conceito de proporcionalidade, a autora explica que as atividades utilizadas para a investigação da compreensão relativa a este conceito são, em geral, agrupadas em duas classes de problemas: tarefas de incógnita e tarefas de comparação. As tarefas classificadas como tarefas de incógnita são aquelas em que três valores são dados, sendo necessário determinar o valor da incógnita, mantendo-se no segundo par de valores a mesma relação proporcional verificada no primeiro par (relação de primeira ordem). As tarefas de comparação são aquelas em que os quatro valores são dados e o sujeito precisa determinar se existe ou não uma equivalência (relação de segunda ordem) entre o primeiro e o 25 segundo par de valores (relações de primeira ordem). As tarefas utilizadas variam de acordo com as dimensões envolvidas, que podem ser classificadas em: complementares e não- complementares. As dimensões complementares envolvidas em uma tarefa de proporção se referem às quantidades (contínuas ou discretas) que são partes que, juntas, formam um mesmo todo; enquanto que as dimensões não-complementares são quantidades que não constituem o mesmo todo. A autora refere-se a outros trabalhos dessa mesma natureza nos quais já ressaltava a importância da distinção entre dimensões complementares e não complementares para se compreender a natureza das dificuldades experimentadas por crianças ao resolver tarefas de proporção. Conclui que crianças podem ser ensinadas a fazer julgamentos proporcionais, sendo a estratégia metade um referencial importante que auxilia a lidar com as quantidades e as relações cruciais ao raciocínio proporcional. Aguiar (1980) estuda a formação do conceito de fração idêntica e de proporcionalidade bem como as operações concretas e formais. Esta autora toma como ponto de partida as conclusões de Piaget sobre o desenvolvimento dos conceitos de frações idênticas – uma aquisição do estágio das operações concretas – e de proporcionalidade – que só se completa na fase das operações formais. No que se refere ao conceito de proporcionalidade especificamente o estudo analisou o relacionamento entre a formação dos conceitos de fração e a formação do conceito de proporcionalidade na quantificação de probabilidades. O estudo realizado pela autora buscou também analisar a natureza dos processos envolvidos na construção dos conceitos de frações equivalentes e de frações de frações, quando da medição ou avaliação de áreas de figuras geométricas; outro foco do estudo consistiu em analisar o relacionamento entre as evoluções desses conceitos e a formação do conceito de proporcionalidade na quantificação de probabilidades. A investigação da autora partiu das conclusões sobre a gênese do conceito de fração e de proporcionalidade. 26 O autor, em suas considerações finais, sugere, a partir dos resultados obtidos, que existe uma evolução sincrônica entre as conceituações de frações idênticas, frações equivalentes e frações de frações, até que se completam na fase das operações concretas; além disso, as relações parte-todo e parte-parte, indicadas por Piaget, entram no desenvolvimento do conceito de frações e também no de proporcionalidade. Um estudo sobre a transferência de estratégias na resolução de problemas de proporcionalidade entre diferentes conteúdos é feito por Magalhães (1990). Em seu trabalho, ele apresenta as estratégias utilizadas na resolução de problemas de proporções simples, por sujeitos sem instrução formal sobre proporcionalidade. Uma das conclusões deste estudo é que houve transferência do conhecimento entre problemas de conteúdos conhecidos para estes sujeitos, como por exemplo, os que envolvem receitas culinárias bem como entre problemas de conteúdo conhecido e desconhecido; entretanto, não houve generalização das estratégias e procedimentos utilizados, de forma espontânea. Para investigar que tipos de estratégias são utilizados por alunos do 6o ao 9o anos Oliveira (2000) realiza uma pesquisa abordando a resolução de problemas envolvendo proporção simples, direta e inversa, com o objetivo de observar se essas estratégias se modificam ou não ao longo do ensino fundamental. Além disso, a autora busca perceber possíveis relações entre o contrato didático vigente em cada uma das escolas participantes de seu estudo e as estratégias utilizadas pelos alunos. Na conclusão da sua pesquisa a autora afirma ter verificado que, quando os alunos não conhecem o algoritmo formal para resolver problemas de proporção, no caso a regra de três, eles buscam estratégias próprias para chegarem à resposta. Foi observado, também, que existe uma diferença quanto ao índice de apropriação do significado do problema em relação às series e as escolas participantes. 27 Além disso, a referida autora nos esclarece que o chamado índice de apropriação do significado do problema refere-se ao total de acertos dos alunos na resolução dos problemas de proporção, sendo constituído por uma medida numérica percentual, apresentado no capítulo referente aos resultados da pesquisa. Também é confirmado que a relação estabelecida entre o índice de apropriação do significado do problema e a escola está intimamente relacionada com o contrato didático estabelecido, em cada uma das escolas. O estudo apontou que o fato dos alunos antes do 7o ano conseguirem se apropriar do significado dos problemas de proporção simples e construírem ferramentas, diferentes da regra de três, que possibilitam a resolução de tais problemas, leva a refletir sobre como a escola aborda o estudo da proporcionalidade muitas vezes explorado apenas como o estudo do algoritmo da regra de três. Em alguns de seus estudos Schliemann e Carraher (1997) indicam que na escola uma característica relacionada ao ensino de proporções é a utilização da regra de três; embora não se utilize este conceito em outros contextos. Para estes autores o aluno não compreenderá proporção se não tiver muitas oportunidades para discutir relações proporcionais em diversos contextos. Spinillo (1997), em um estudo sobre proporções, nas séries iniciais do Ensino Fundamental, afirma que os educadores precisam desenvolver uma compreensão conceitual da proporção para evitar a visão simplista e errônea de que o ensino do algoritmo, a exemplo da regra de três, é o cerne do processo de aprendizagem. Como se pôde observar, os estudos realizados no âmbito da Psicologia Cognitiva, acerca do conceito de proporcionalidade, preocupam-se com a aquisição deste conceito e a forma como ele é tratado no contexto da sala de aula. Tal aquisição caracteriza a passagem do período das operações concretas para as operações formais. Além disso, estes estudos 28 fornecem indícios sobre a aquisição do conceito de proporcionalidade como uma possibilidade para a resolução de diversos problemas matemáticos. A literatura consultada nos permitiu observar que, no que diz respeito ao conceito de proporcionalidade, parece existir uma lacuna no que se refere ao seu desenvolvimento histórico. Observamos, também, evidências de que, na formação inicial de professores, a História da Matemática ainda não é abordada de maneira efetiva para a construção do conhecimento matemático. Tal aspecto pode contribuir para o não uso da História da Matemática na prática pedagógica destes professores. Embora a História da Matemática, como campo de investigação científica, no Brasil tenha apresentado significativo crescimento, ela ainda é pouco explorada na formação inicial do professor de matemática, como afirmam Baroni e Nobre (1999): ainda há pouco empenho em se introduzir a disciplina História da Matemática nos cursos de graduação. Naqueles cursos nos quais há esta disciplina ela é, com raras e honrosas exceções, considerada de “segunda classe”. (BARONI e NOBRE, 1999, p. 130) Em consonância com os autores citados, está a minha experiência vivenciada enquanto estudante de curso de graduação (licenciatura em Matemática), cuja grade curricular apresentava a disciplina História da Matemática acoplada à Lógica Matemática, ou seja, tínhamos a disciplina Lógica e História da Matemática. Além do mais, era dada maior ênfase em Lógica do que em História, tratando de maneira bastante superficial temas relativos à História da Matemática, atendo-se somente a referências de algumas civilizações que deram contribuições ao desenvolvimento da matemática, com destaque a cronologias e biografias. A nossa experiencia enquanto profissional da Educação Matemática aliada aos estudos no campo da História da Matemática: MENDES (2001), FAUVEL e MAANEN (2000), MOREY e MENDES (2005) nos leva a pressupor que parte da dificuldade enfrentada por professores em inserir a História da Matemática em suas aulas, pode está aliada a dois fatores: 29 uma formação inicial deficiente neste campo e uma abordagem inadequada por parte dos livros didáticos de matemática. Neste sentido, Fauvel e Maanen (2000) abriram uma discussão sobre a importância da presença da História da Matemática como ferramenta pedagógica e as dificuldades encontradas neste tipo de opção, os argumentos contra e a favor desta inclusão, as formas em que a História da Matemática aparece no material didático e sobre as fontes utilizadas. Fatores como estes mostram que há, na atualidade, um intenso debate em torno da utilização da História da Matemática como ferramenta pedagógica na prática docente. Cabe também ressaltar a maneira pela qual a História da Matemática vem inserida nos livros didáticos atuais e cuja questão tem servido de base para estudos e pesquisas nos últimos anos no campo da Educação Matemática. A Secretaria de Educação Básica (SEB) analisa os livros didáticos e o Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) elabora o Guia de Livros Didáticos que contém as resenhas dos tais livros. Neste guia estão inseridos os critérios de avaliação propostos aos professores. No que se refere aos aspectos teórico-metodológicos, no item contextualização, o guia determina que os conhecimentos matemáticos terão que ser contextualizados de maneira significativa no que diz respeito à História da Matemática. Esta determinação nos induz a pensar que a História da Matemática deve se fazer presente nos livros didáticos de forma tal que os alunos possam construir um determinado conhecimento matemático de maneira significativa. Alguns autores de livros didáticos, na tentativa de acatar as diretrizes traçadas pela Secretaria de Educação Fundamental, incluem “retalhos históricos” no desenvolvimento de seus textos, de maneira imprópria. Baseados em nossa experiência como educadores matemáticos, percebemos que muitas vezes esta inserção se resume na apresentação de biografias de alguns matemáticos, de datas ou curiosidades históricas, sem a devida 30 compreensão ou adequação desta abordagem. Isto traz como consequência uma abordagem relacionada ao conceito a ser ministrado, utilizando-se de anedotas históricas para o entendimento do conteúdo. Há razões para supor que a questão da inserção da História da Matemática nos livros didáticos ainda não é feita de forma adequada, tendo em vista que não se observa nestes livros a proposta de ensino de um conceito matemático que contemple aspectos históricos do seu desenvolvimento. Nesse sentido, há um problema a ser resolvido no que se refere à utilização da História da Matemática como recurso pedagógico. Os autores de livros didáticos podem incorporar a História da Matemática em suas obras por saber que estas serão avaliadas pela Secretaria de Educação Básica (SEB) e não porque realmente desejam e sabem introduzi-la de forma adequada. Ao lado disso, pode-se refletir também sobre a seguinte questão: os Parâmetros Curriculares Nacionais BRASIL (1998) indicam a História da Matemática como um dos possíveis caminhos para o ensino de matemática em turmas do ensino fundamental e médio. O conhecimento de diversas possibilidades para o trabalho em sala de aula auxiliará o docente na construção da sua prática. A História da Matemática aparece nos Parâmetros Curriculares Nacionais BRASIL (1998) como uma indicação de um recurso didático alternativo à prática pedagógica do professor de matemática e ressalta que esta pode contribuir de maneira significativa para o ensino e aprendizagem dessa área do conhecimento: ao revelar a matemática como uma criação humana, ao mostrar necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente, o professor cria condições para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoráveis diante desse conhecimento. (BRASIL, 1998, p. 42) 31 Alguns estudos já apontam esta questão como um fator relevante e se contrapõem à ausência do tratamento da História da Matemática na sala de aula. Em um dos trabalhos de pesquisa realizados nesta perspectiva, Morey e Mendes (2005) perceberam que os professores de matemática atuantes, principalmente, no ensino fundamental e médio, evidenciam a necessidade de um aprofundamento acerca do desenvolvimento histórico de vários tópicos da matemática abordada nestes dois níveis de ensino. A História da Matemática como recurso pedagógico pode revelar a matemática como um valioso instrumento da humanidade na busca do conhecimento. Esse anseio humano de conhecimento muitas vezes nos leva à história e, no caso da matemática, à História da Matemática. Para Mendes (2001) a Matemática, como qualquer outra área do conhecimento humano, tem seu desenrolar evolutivo capaz de caracterizá-la como uma ciência que também se desenvolve a partir da sua própria história. Porém, tal pressuposto parece não ser levado em consideração na prática pedagógica desenvolvida em nossas salas de aula. Se tomarmos por base os resultados dos estudos realizados na área da Educação Matemática, observaremos que o ensino-aprendizagem da matemática encontra-se desvinculado do seu contexto histórico, além de não considerar também os aspectos sócio-culturais que permeiam essa área do conhecimento. Tal fato pode ser um indicativo da pouca efetividade da História da Matemática como recurso pedagógico nas aulas de matemática. Segundo Mendes (2001), torna-se cada vez mais difícil para os professores buscarem a História da Matemática como recurso de ensino, principalmente porque a maneira como as referências históricas aparecem nos livros didáticos ou como são abordadas durante a formação acadêmica dos professores, não os leva a uma compreensão significativa do assunto para que possam utilizá-los em suas ações docentes. A História da Matemática constitui um dos capítulos mais interessantes do conhecimento humano. Possibilita a compreensão da origem dos conceitos que constituem a 32 matemática conhecida hoje e nos faz refletir sobre o quanto existe de humano no seu desenvolvimento, pois permite conhecer os homens que desenvolveram esses conceitos e as circunstâncias que os originaram. A literatura consultada evidenciou que a necessidade da exploração da História da Matemática na formação de professores não é algo recente. Porém, a sua utilização na prática docente ainda é limitada e, às vezes, não chega a ser abordada. Esta questão conduz muitos estudiosos da Educação Matemática e da História da Matemática a realizarem suas pesquisas neste foco, a fim de dar subsídios teóricos e pedagógicos aos professores. Essa mesma literatura também nos forneceu indícios de que o conceito de proporcionalidade geralmente não é abordado por meio de estratégias que priorizem a sua compreensão e, muito menos, que explorem o seu desenvolvimento histórico. Por outro lado, a nossa experiência enquanto professor de Matemática na Educação Básica indica que no ensino dos conteúdos não é dada oportunidades para que os alunos conheçam os aspectos históricos relacionados a eles. Simplesmente, aplicam os procedimentos indicados pelo professor em sala de aula. Nesta perspectiva, os alunos resolvem os problemas retirando os dados numéricos necessários à busca da solução. No entanto, dificilmente percebem as relações de proporcionalidade envolvidas nas grandezas que compõem o problema dado. Além do mais, trabalhando nesta perspectiva, não se abre espaço para explorar o conceito de proporcionalidade em outras áreas do conhecimento, bem como não se relaciona este conceito a outros conceitos matemáticos. Mais uma vez, a nossa experiência profissional permite afirmar que a maioria dos alunos não consegue estabelecer relações deste conceito com outros, tais como funções, geometria, porcentagens, entre outros. No que se refere ao ensino do conceito de proporcionalidade, nossa experiência profissional permitiu observar níveis elevados de dificuldades dos alunos para perceber a 33 presença deste conceito em outros conceitos matemáticos, bem como uma dificuldade ainda maior quando eles são submetidos à resolução de problemas que envolvam a proporcionalidade. Por exemplo, na geometria, existem dificuldades por parte dos alunos no estudo da semelhança de triângulos, do Teorema de Tales, etc., justamente por não apresentarem domínio com relação à proporcionalidade. Estas dificuldades se mostram ainda maiores quando se trata de proporcionalidade inversa. Apesar dos diversos trabalhos realizados no âmbito da Educação Matemática e da Psicologia Cognitiva, indicar formas adequadas de tratar o tema proporcionalidade nas escolas, existem indícios que na prática que este conceito limita-se apenas ao emprego da regra de três, estudado de maneira pontual, geralmente no 7o ano do ensino fundamental, além de não ser abordado a partir de uma perspectiva histórica. Mendes (2006) considera que a perspectiva histórica da matemática como suporte pedagógico tem como um dos seus objetivos, promover um ensino-aprendizagem da matemática que possibilite uma ressignificação do conhecimento matemático elaborado ao longo dos séculos pela sociedade. Dessa forma, a atribuição de significados relativos aos problemas matemáticos da Antiguidade apresentará a matemática como produto da sociedade, em termos de construção do conhecimento. Esse fato torna-se relevante para a Educação Matemática porque desmistifica a matemática como algo pronto e acabado. Schliemann e Carraher (1997) esclarecem que a escola apenas utiliza a estratégia regra de três para o estudo da proporcionalidade, baseando-se nas propriedades de razões equivalentes, ou seja, dadas duas razões equivalentes x ce b a , as igualdades x c b a  e a.x = b.c são verdadeiras e, portanto, a cbx . . Em síntese, a revisão da literatura apresentada no presente trabalho nos permite afirmar que há indícios de que o conceito de proporcionalidade não é explorado a partir do 34 seu desenvolvimento histórico, sendo tratado de forma pontual, sem o estabelecimento de relações deste conceito com outros conceitos matemáticos. Assim, a História da Matemática como suporte para este tipo de abordagem se apresenta como um tema que merece ser estudado de forma mais minuciosa. 35 Problema a ser investigado De acordo com a nossa experiência profissional e com os resultados indicados pela literatura consultada, é possível inferir que o conceito de proporcionalidade não é explorado de maneira compreensível e, tampouco, é explorado numa perspectiva histórica. Há razões para supor que este conceito é ensinado em momentos pontuais e sem a preocupação com o estabelecimento de relações com nenhum outro conceito matemático. Também é possível supor que a formação inicial não subsidia adequadamente o professor para o ensino do conceito de proporcionalidade numa perspectiva histórica. Diante disso, levantamos a seguinte indagação: que significado o professor de matemática atribui ao conceito de proporcionalidade? Consideramos este um problema que merece ser investigado. Questão de estudos e objetivos Em decorrência do problema apresentado, foi possível formular uma questão norteadora para esse estudo: A utilização de atividades envolvendo o conceito de proporcionalidade mediadas pela História da Matemática, interfere na atribuição de significado desse conceito por parte de professores de Matemática? Tendo em vista a intenção de investigar tal questão, foram definidos os seguintes objetivos:  identificar quais os significados que o professor de matemática atribui ao conceito de proporcionalidade, a partir do uso de atividades mediadas pela Historia da Matemática.  verificar em que medida a exploração do conceito de proporcionalidade, via História da Matemática, pode interferir na atribuição de significado que os professores dão a este conceito. 36 Justificativa Entre os vários conceitos matemáticos, selecionamos a proporcionalidade devido às várias aplicações deste conceito no cotidiano e à sua destacada importância tanto no ensino quanto na aprendizagem da matemática. Os estudos sobre Educação Matemática têm proporcionado embasamento teórico aos profissionais desta área trazendo-lhes indicações para um ensino de matemática de melhor qualidade. Consonante a isto realizam-se estudos, bem como seminários, congressos, simpósios, encontros onde são discutidos os resultados das pesquisas e são apresentadas novas propostas com finalidade de proporcionar um ensino de matemática de qualidade. A Educação Matemática, como área de estudos e pesquisas, apresenta as seguintes finalidades, como explica Mendes (2006, p.15): “desenvolver, testar e divulgar métodos inovadores de ensino; elaborar e implementar mudanças curriculares, além de desenvolver e testar materiais de apoio para o ensino da matemática”. Atualmente a Educação Matemática apresenta algumas tendências metodológicas para o ensino da Matemática tais como: a Resolução de Problemas, a Etnomatemática, a Modelagem Matemática, o uso de novas tecnologias, a utilização de jogos e materiais manipuláveis e a História da Matemática. Cada uma dessas tendências apresenta estratégias e metodologias específicas para o ensino da matemática. No caso da História da Matemática a estratégia mais utilizada é a investigação da construção do conhecimento matemático. Este caráter investigatório, segundo Mendes (2006), pode levar os estudiosos dessa área de pesquisa à elaboração, testagem e avaliação de atividades de ensino centradas na utilização de informações históricas relacionadas aos tópicos que pretendem ensinar. A História da Matemática é considerada por muitos estudiosos da área como uma poderosa ferramenta no processo de ensino-aprendizagem da matemática. Mas, para que este 37 fato possa vir a ser uma prática efetiva, assumida pelos docentes, é necessária a integração da mesma na formação de professores. A literatura que trata de estudos relacionados à formação de professores é ampla. Encontramos alguns estudos que se preocupam em investigar a importância da História da Matemática na formação do professor, a exemplo de Mendes (2001), Fossa (2001), Ferreira (2005), Morey e Mendes (2005), entre outros. A História da Matemática abrange um vasto campo de conhecimento, e se apresenta como fonte de informações para o professor. Contudo, vale destacar a necessidade de sua integração nos cursos de formação de professores. Contudo, a literatura consultada indica a necessidade de encontrar meios adequados para abordar a História da Matemática na formação de professores. Como bem destacou Valente (2002), “que História da Matemática é importante para a formação do educador matemático?”. Outro aspecto que merece destaque é que, em nossa experiência com turmas de 7º ano do Ensino Fundamental, observamos dificuldades apresentadas pelos alunos na compreensão de conceitos relativos a razões e proporções. Essa dificuldade estava relacionada com a interpretação de problemas que envolviam a proporcionalidade, sobretudo, quando se tratava de proporcionalidade inversa. Fato semelhante acontece também em outros níveis do ensino, a exemplo do 1º ano do Ensino Médio, no estudo das funções, onde não se faz relação deste conteúdo com o conceito de proporcionalidade. Com a finalidade de apontar possíveis caminhos para superar tais dificuldades, procuramos nos balizar pela História da Matemática por ver nesta a possibilidade de explorar um determinado conteúdo matemático a partir de contextos diferenciados como o social, o cultural e o histórico. 38 Acreditamos que os aspectos expostos justificam a importância deste estudo, pois investigar o significado que os professores de matemática atribuem ao conceito de proporcionalidade é de suma importância para a Educação Matemática, tendo em vista que esta área do conhecimento busca, por meio de estudos e pesquisas, indicar possibilidades para um ensino de matemática com significado. Além disso, a realização deste estudo poderá contribuir para a construção do conhecimento a respeito do tema em estudo e, consequentemente, poderá fornecer subsídios à prática docente no tratamento do conceito de proporcionalidade, quando se busca a aquisição deste por meio do seu desenvolvimento histórico. 39 1 REFERENCIAL TEÓRICO Apresentamos os principais elementos do quadro teórico adotados neste estudo, os quais nos conduzem a precisar o foco da presente pesquisa. Situamos nossa reflexão numa perspectiva histórica, na medida em que nos interessamos sobre a proporcionalidade na condição de um conceito amplo, tão antigo quanto à própria matemática e que, envolvendo relações entre grandezas, relaciona-se a outros conceitos matemáticos, além de estar presente em várias situações cotidianas. A nossa concepção acerca do conceito de proporcionalidade se aproxima do que Spinillo (1997, p. 41) define como sendo pensamento proporcional: “o pensamento proporcional refere-se basicamente à habilidade de estabelecer relações”, e ainda concordamos com Nunes (2003), quando afirma que o conceito de proporcionalidade, em sua origem bastante simples, nada mais é do que a relação entre duas variáveis. Esta concepção do conceito de proporcionalidade como algo simples em suas origens nos remete a estudar os aspectos históricos que estão relacionados à matemática de povos da Antiguidade, a exemplo dos egípcios, babilônios, gregos, entre outros. Neste estudo o conceito de proporcionalidade está fundamentado, basicamente, na perspectiva da História da Matemática, ou seja, por meio dela estudaremos a origem deste conceito, bem como o seu desenvolvimento. Esta escolha toma como base o fato de que a História da Matemática investiga a Matemática enquanto ciência em construção, levando em consideração aspectos sociais e culturais, os quais exercem forte influência na construção desse conhecimento. Nessa perspectiva, Brolezzi (1991) enfatiza que a ordem lógica mais adequada para o ensino da matemática não é a do conhecimento matemático sistematizado, mas sim aquela que revela a matemática enquanto ciência em construção. Nesse sentido, identificar fatos 40 históricos que envolveram a proporcionalidade poderá ser útil para a compreensão deste conceito e, consequentemente, para o seu ensino. O conhecimento da História da Matemática é essencial não só na formação dos alunos, mas também na formação de professores, no sentido de desmistificar a matemática, mostrando que ela é uma obra humana, feita por homens em tempos historicamente datados, em constante evolução mesmo nos dias atuais e não como se supõe uma obra do espírito humano repleta de misticismo. Além do mais ter conhecimento da História da disciplina que ministra é importante para que o professor possa responder aos muitos porquês colocados pelos alunos nas aulas de matemática. Abordaremos a seguir alguns pressupostos teóricos acerca da utilização da História da Matemática para a compreensão de conceitos matemáticos. 1.1 A importância da compreensão do desenvolvimento histórico do conceito matemático. A História da Matemática possibilita caminhos para a pesquisa em Educação Matemática, sobretudo por aqueles que supomos ainda não claramente esclarecidos, ou melhor, investigados: [...] o estudo da história matemática se apresenta como uma oportunidade para entender tanto problemas que possam motivar a construção de novos conceitos matemáticos quanto a seqüência de esquemas desenvolvidos pelos indivíduos ao procurar uma solução significativa para um problema. (D’AMBROSIO, 2007, p. 402) Ao fazer pesquisa na área da História da Matemática é necessário que o pesquisador se atenha com bastante cautela às fontes históricas de que irá fazer uso, já que nem sempre é possível o trabalho em fontes primárias e, mesmo nestas, corre-se o risco de obter uma informação distorcida da realidade, sobretudo, porque a veracidade dos fatos pode ser manipulada por questões de interesses próprios. 41 Conforme Nobre (2004), existem muitos casos relatados na história, que envolvem a nomeação de determinados conceitos matemáticos por parte de alguns estudiosos da matemática, mas, na verdade, tais conceitos já existiam, a exemplo do Triângulo de Pascal que não é de Pascal, do Teorema de L`Hospital que não pertence ao Marquês de L`Hospital, o que conhecemos por Binômio de Newton não pode ser atribuído a Isaac Newton, o Princípio de Cauchy não é de Cauchy, as coordenadas Cartesianas não foram introduzidas por René Descartes, entres outras histórias. A História da Matemática nos possibilita o conhecimento de grande parte do que foi produzido, desenvolvido e disseminado no campo da matemática em diversas civilizações. São vários os estudiosos que se dedicam a esta área do conhecimento no sentido de descobrir e explorar fatos da matemática no passado, esclarecer questões duvidosas e também promover a História da Matemática como uma proposta pedagógica inovadora para os currículos escolares, inclusive na formação de professores de matemática. No contexto internacional podemos citar pesquisadores como Heath (1993), Wussing (1998), Damerow (2007), Furinghetti (2007), Gerdes (2007), Radford & Empey (2007), entre outros. Em nosso país se destacam no estudo da História da Matemática pesquisadores tais como D’Ambrosio (1996), Nobre (2004), Fossa (2001), Mendes (2006), Bicudo (2007), Valente (2007), Abdounur (2007), Sad (2007), entre outros. Nesse panorama de investigação, tendo a História da Matemática como suporte, diversos trabalhos são desenvolvidos no Brasil e no exterior, muitos deles envolvendo conteúdos matemáticos específicos. A nossa intenção reside justamente neste contexto investigativo, já que procuraremos conhecer como se deu o desenvolvimento histórico do conceito de proporcionalidade. Com esse intuito faremos menção a algumas manifestações desse conceito, em algumas civilizações, em períodos distintos. 42 1.2 Aspectos históricos que envolvem o conceito de proporcionalidade 1.2.1 As proporções no contexto da matemática egípcia A civilização egípcia se forma por volta do ano 4000 a.C. Ela se estabeleceu às margens do Rio Nilo e possuía características de uma sociedade mais evoluída, quando comparada com as comunidades neolíticas. Esta nova forma de sociedade se caracterizou pelo uso da agricultura, do comércio e também por questões ligadas à posse de terra, irrigação, construção de monumentos, entre outros fatores. O Rio Nilo contribuía para o desenvolvimento dessa sociedade através das denominadas “Dádivas do Nilo”, favorecendo a agricultura, a pesca e a irrigação. Por outro lado, traziam-lhes alguns problemas em virtude das enchentes que ocorriam durante um determinado período do ano. Todos estes fatores aliados ao objetivo de facilitar o cálculo do calendário, da organização e administração da colheita, das obras públicas e da cobrança de impostos, fizeram surgir as matemáticas orientais como uma ciência prática. O conhecimento matemático advindo da civilização egípcia deve-se aos papiros que eram usados para registrar a matemática por eles utilizada. Estes documentos resistiram ao tempo, graças ao clima seco daquela região. O mais conhecido e talvez mais importante seja o Papiro de Rhind, descoberto por H. Rhind em 1858 e que foi compilado pelo escriba Ahmes, por volta do ano 1650 a.C. É composto por uma série de tabelas e apresenta 85 problemas, entre os quais, problemas de quantidades, envolvendo equações, atualmente denominadas de equação do 1o grau, resolvidas pelo método da falsa posição. Segundo Boyer (1974) alguns destes problemas podem ser descritos como aritméticos e outros como algébricos. 43 FIGURA 1 FRAGMENTO DO PAPIRO DE RHIND O problema 72 do papiro de Rhind, conforme Boyer (1974, p. 12), é um exemplo de problema aritmético e é descrito da seguinte forma: “qual o número de pães de força 45 que são equivalentes a 100 de força 10”. Já o problema de número 63 pede que sejam repartidos 700 pães entre quatro pessoas, em partes proporcionais a 4 1 3 1, 2 1, 3 2 e . Para Boyer (1974) muitos dos problemas compilados por Ahmes mostram conhecimento de manipulações equivalentes à regra de três. Por exemplo, para o problema 72 é apresentada a seguinte solução: 45 10 100  ou 450 pães. Conforme Boyer (1974), com relação ao problema de número de 63, a solução é obtida calculando o quociente de 700 pela soma das frações na proporção, que resulta em 400, e calculando 4 1 3 1, 2 1, 3 2 e deste valor. Dessa forma, a soma das frações na proporção, 4 7 12 21 12 3468 4 1 3 1 2 1 3 2    corresponde a 4004100 7 4700 4 7 700  , então, um inteiro corresponde a 400. Assim, 3 2 de 400 = ...66,266 3 2266266 3 800 3 4002 3 2   44 2 1 de 400 = 200 3 1 de 400 = ...33,133 3 1133133 3 400 3 1  4 1 de 400 = 100 Temos que 700100133200266 3 1 3 2  Os antigos egípcios já utilizavam, embora de forma implícita, o conceito de proporcionalidade na resolução de problemas práticos, dos quais, alguns aparecem registrados no papiro de Rhind. Este conceito aparece no chamado método da falsa posição, que se caracteriza como uma abordagem algébrica de resolução de problemas. Neste tipo de problema não se faz referência a objetos concretos e também não exige operações entre números conhecidos. O que percebemos é que os problemas foram elaborados de forma que as suas soluções correspondem a equações lineares do tipo x + ax = b ou x + ax + bx = c, onde a, b e c são conhecidos e x é desconhecido. O método da falsa posição, em sua essência, consiste em um procedimento de tentativas e erros. Como exemplo vamos nos ater ao problema de número 24 do Papiro de Rhind, que possui o seguinte enunciado: Sabendo que aha (nome dado ao valor desconhecido) mais um sétimo de aha dá 24, encontre o valor aha. Obviamente, a solução dada por Ahmes não é aquela presente nos atuais livros utilizados nos meios escolares, mas é característica do processo do método da falsa posição. Um valor específico, provavelmente falso, era assumido para aha, e as operações indicadas eram efetuadas sobre esse número suposto. O resultado era então comparado com o resultado que se pretendia obter, e usando proporções eles chegavam à resposta correta. A solução do problema apresentado anteriormente é descrita por Eves (2004, p.73), da seguinte maneira: “o escriba egípcio escolhia um valor para a quantidade desconhecida (aha) 45 que evitasse a fração 7 1 . Uma boa escolha seria o próprio número 7”. Aqui é importante observar que este valor 7 atribuído inicialmente à quantidade desconhecida não tinha a pretensão de ser um palpite verdadeiro; era, realmente, uma tentativa que logo em seguida seria apropriadamente corrigida. Aplicando a esta posição inicial as condições do enunciado do problema, o escriba raciocinava da seguinte forma: se a resposta fosse 7, então 7 + 7 1 de 7 = 8. Como o resultado esperado era igual a 24, a posição inicial assumida para incógnita (7) era claramente falsa. Entretanto, tendo em vista que o resultado obtido (8) precisava ser multiplicado por (3) para se chegar ao valor da soma correta (24), na mesma proporção deveria ser multiplicada a falsa posição inicial (7) para se obter o valor correto da incógnita. Assim, o método da falsa posição apontava para um valor de “aha” igual a 7 x 3 = 21. Para esclarecer um pouco mais o método da falsa posição, decidimos representar os procedimentos utilizados por meio de uma linguagem simbólica atual e da retórica utilizada pelos egípcios. Atribuindo a letra “d” ao valor desconhecido, teremos: 24 7  dd “aha” mais um sétimo de “aha” é igual a 24 Supondo d = 7 Eles supunham que esse valor fosse 7, com o intuito de evitar a fração 8 7 77  Utilizavam o seguinte raciocínio: 7 7 17 de é igual a 8 2438  Como o resultado esperado era 24 eles multiplicavam o resultado por 3 2137  Multiplicavam na mesma proporção a posição inicial 7, obtendo assim o valor correto de “aha” 46 Como se pode observar, o raciocínio proporcional já era usado naquele tempo. Contudo, nossa experiência profissional indica que a regra da falsa posição não é explorada nos meios escolares. À esse respeito D’Ambrosio (2007) explica que alunos que utilizam de técnicas mais modernas para a solução de problemas, apresentam dificuldades em utilizarem ideias mais simples. Dessa forma, ao analisarem a solução egípcia para equações lineares os alunos têm dificuldade em identificarem o uso de proporções no método da falsa posição. A solução deste problema em termos algébricos modernos, presentes nos meios escolares nos quais se enfatiza a simbologia matemática na resolução de equações costuma ser apresentada de maneira formal, simples e direta. Isso pode ser ilustrado da seguinte maneira: dada a equação d + 7 d =24, calcule o valor de “d”. 21 8 1681688 7 168 7 724 7    dddddd 1.2.2 As proporções no contexto da matemática dos Babilônios Por volta do ano 3000 a.C. outra civilização floresce às margens dos rios Tigres e Eufrates. Nessa região, conhecida como Mesopotâmia, tem origem a civilização babilônica. Segundo Eves (2004), em algum momento entre 3000 e 2000 a.C os babilônios desenvolveram um sistema sexagesimal que utilizava o princípio posicional. Tal sistema apresentava característica dupla, ou seja, podia ser considerado um sistema misto, tendo em vista que os 60 primeiros números, isto é, os números do grupo básico eram escritos nos moldes de um sistema de agrupamento simples decimal, enquanto que os números superiores a 60 eram escritos de acordo com o princípio posicional. Todo o conhecimento matemático babilônico provém das tabletas de barro, que eram cozidas ao forno ou secadas sob o sol e, assim, tornavam-se quase indestrutíveis. Segundo Struik (1989), o nosso conhecimento sobre a matemática babilônica foi muito alargado pelas 47 notáveis descobertas de O. Neugebaeur e F. Thureau-Dangin, que decifraram um grande número de placas de argila. O conhecimento da matemática babilônica deu-se graças a esses achados e sua consequente decifração. O sistema numérico babilônio ficou conhecido em virtude da decifração dessas tabletas; grande parte delas está guardada em museus e coleções de vários países. A escrita é chamada cuneiforme, isto é, em forma de cunha, estes símbolos eram marcados por estilete quando a tableta ainda encontrava-se úmida. O sistema numérico babilônio era de base sexagesimal e, de acordo com Aaboe (2002), este sistema teve uma influência generalizada sobre a natureza da matemática babilônica. Com relação às representações simbólicas utilizadas, há indícios de que, quando os acadianos adotaram a escrita suméria, léxicos foram compilados dando equivalentes nas duas línguas, e as formas das palavras e numerais se tornaram menos variadas. [...] O sistema decimal, comum à maioria das civilizações tanto antigas quanto modernas, tinha sido submerso da Mesopotâmia sob uma notação que dava a base sessenta como fundamental. (BOYER, 1974 p. 19) A descoberta deste sistema somente foi possível a partir das descobertas e das decifrações das tabletas de argilas que continham conteúdo matemático. Em uma destas tabletas encontra-se uma tábua de multiplicação, constituída de duas colunas, onde aparecem os símbolos em forma de cunhas verticais ( ) e cunhas angulares ( ). Como podemos observar na figura 2 abaixo, na primeira linha da primeira coluna há uma cunha vertical, na segunda duas, na terceira três; naturalmente interpretada como sendo 1, 2, 3; e assim por diante até a 9a linha. Na décima linha aparece um símbolo novo, uma cunha angular, em posição horizontal. Esta cunha é interpretada como sendo 10, na linha seguinte vê-se uma cunha angular e uma vertical, na décima segunda linha, uma cunha angular e duas verticais e assim por diante, podendo, sem dificuldade, ser interpretado por 11, 12 e assim sucessivamente. 48 FIGURA 2 TABLETA BABILÔNICA DE MULTIPLICAÇÃO Na segunda coluna desta mesma tableta encontram-se na primeira linha nove cunhas verticais; na segunda, uma cunha angular e oito cunhas verticais; na terceira, duas cunhas angulares e sete verticais, constituindo-se numa tábua de multiplicação por nove. Com isto vê- se que os babilônios utilizavam o raciocínio multiplicativo que é um tipo de raciocínio proporcional e este fato evidencia que esta civilização já usava o conceito de proporcionalidade a aproximadamente 4000 anos atrás. A relação entre a primeira e a segunda coluna evidencia indícios de conhecimento do conceito de proporcionalidade contidos no raciocínio multiplicativo exposto no parágrafo acima, o que, em representação moderna, temos: COL I 1 2 3 4 5 6 ... COL II 9 18 27 36 45 54 ... TABELA 1 INTERPRETAÇÃO DA TABLETA BABILÔNICA DE MULTIPLICAÇÃO Ao calcularmos as razões entre a segunda e a primeira coluna, verificamos que: ... 6 54 5 45 4 36 3 27 2 18 1 9  9 49 Na sétima linha da segunda coluna vêem-se uma cunha vertical, um espaço e três cunhas verticais, enquanto que na oitava linha vê-se uma cunha vertical, seguida de uma angular e mais duas verticais. Certamente não podemos interpretar essa primeira cunha como sendo 1 (uma unidade) e, neste contexto, o que faz sentido é supor que representa 60. Portanto, estas linhas foram transcritas como sendo 1,3 e 1,12, supondo que o primeiro 1 é equivalente a 60. Assim: 1,3 = 63603601 0  (7a linha) 1,12 = 726012601 0  (8a linha) Em Aaboe (2002) encontramos um estudo bastante pormenorizado da chamada tableta de recíprocos. Segundo ele, os números da segunda coluna são os recíprocos da primeira, isto é, são seus respectivos inversos. FIGURA 3 TABLETA BABILÔNICA DE RECÍPROCOS Dessa forma, os cálculos implícitos na tábua de recíprocos envolvendo o 2 e o 3 são da seguinte forma: 30 corresponde a 0; 30 = 2 1 60 300  (que no caso é o recíproco de 2) 3 1 60 20020;020 aecorrespond (que no caso é o recíproco de 3). 50 O mesmo cálculo é aplicado para as linhas seguintes de cada coluna. Além disso, observa-se que o produto dos números que aparecem nas duas colunas é uma potência de 60. Na 6a linha desta tableta o número 7,30 não será interpretado como na tableta de multiplicação, isto é, 760 + 30, mas sim como 260 30 60 7  que representa 8 1 e corresponde ao recíproco de 8. Cabe ressaltar que o uso de vírgulas ou de ponto e vírgula não existiam na notação babilônica original. Na notação atual, normalmente usada para representar os números na notação sexagesimal dos babilônios, é que se faz uso da vírgula para separar as posições, enquanto o ponto e vírgula separam a parte inteira da fracionária. Segundo Aaboe (2002), os pontos e vírgulas foram introduzidos na tradução do conteúdo das tabletas; mas, como se pode ver, não há nenhuma dúvida quanto a suas posições. Nos demais cálculos dos números da tábua de recíprocos constatamos que a relação existente entre uma coluna e outra expressa (através do raciocínio multiplicativo) o conceito de proporcionalidade na sua construção, evidenciando-se, mais uma vez, o quanto este conceito é antigo, isto é, apresentando-se como algo inerente a determinados tópicos matemáticos. Outro fato que merece destaque é que no sistema de numeração babilônico não existia um símbolo que representasse o zero. Em alguns momentos o que definia o valor de um determinado número era o contexto. Muitas vezes a falta de uma representação para o zero acabava por gerar confusão em determinadas interpretações. Por este motivo foi introduzido, embora tardiamente, um símbolo, constituído por duas cunhas pequenas, inclinadas, algo parecido com . Mas esse símbolo só era usado para indicar uma potência ausente de 60 no interior de um número. 51 Um exemplo de potência ausente de 60 pode ser representado pela escrita dos números 122 e 7202, neste caso, a representação sexagesimal era muito parecida, pois podia significar     .26022602 2  ou O fato de o sistema numérico sexagesimal ser um sistema posicional é mais uma característica da utilização do conceito de proporcionalidade pelos babilônios, que, por mais implícito que esteja, é este conceito que permite ao sistema o acréscimo ou decréscimo de valores para cada posição. Os números representados após ponto e vírgula estão divididos por potências de 60. Esta representação por ponto e vírgula indica separação entre a parte inteira e a fracionária, assim: 60 30602560130;25,1 0  e 2 0 60 30 60 2560130,25;1  A tableta Plimpton 322 (figura 4) é umas das mais conhecidas e nela também encontram-se indícios da proporcionalidade. Segundo Eves (2004, p. 61), “os babilônios tinham conhecimento de que os lados correspondentes de dois triângulos retângulos semelhantes são proporcionais [...]”. FIGURA 4 TABLETA BABILÔNICA PLIMPTON 322 52 A tableta Plimpton 322 consta de quatro colunas de números, representados na escrita cuneiforme e data de aproximadamente 1900 a 1600 a.C. Segundo Boyer (1974), as tabelas contidas na tableta podiam ser facilmente tomadas por um registro de negócios. No entanto, uma análise minuciosa mostra que há profundo significado matemático na teoria dos números. Tal análise também evidencia que é provável que esse aspecto fosse apenas um auxiliar para o problema de medir áreas de quadrados sobre os lados de um triângulo retângulo. A figura 5 apresenta os valores em notação moderna da tableta Plimpton 322 que representam medidas de lados de triângulos. Segundo Eves (2004, p. 64), “os números correspondentes destas colunas, com quatro infelizes exceções, constituem a hipotenusa e um cateto de triângulos retângulos de lados inteiros”. As quatro exceções estão anotadas entre parênteses na figura abaixo: FIGURA 5 FRAGMENTO DA TABLETA BABILÔNICA PLIMPTON 322 Faremos, em alguns desses triângulos, uma análise com o intuito de observar se existe proporcionalidade entre as medidas de seus lados. 53 Os valores apresentados na 2ª coluna (b) da tabela que aparece na figura 6 se referem às medidas de um dos catetos de triângulos retângulos registrados na Plimpton 322. Os valores do segundo cateto, apresentados na 1ª coluna (a), foram calculados a partir da medida da hipotenusa, 3ª coluna (c), e do outro cateto 2ª coluna (b). Os cálculos assim efetuados determinam, de acordo com Eves (2004), seguintes ternos pitagóricos: FIGURA 6 TABELA DE INTERPRETAÇÃO DA TABLETA BABILÔNICA PLIMPTON 322 Para fins de exame, Eves (2004) incluiu duas colunas que representaram os parâmetros u e v que levam aos termos pitagóricos. Segundo este autor, “um dos grandes feitos matemáticos dos gregos, posterior muito séculos à tábua Plimpton 322, foi mostrar que todos os termos pitagóricos primitivos (a,b,c) são dados parametricamente por 2222,2 vucevubuva  .” (EVES, 2004, p. 64) Os cálculos efetuados com os valores da tabela acima mostram que entre as medidas dos lados dos triângulos existe uma considerável aproximação, o que indica uma possibilidade de que os seus lados são semelhantes. Vejamos essa consideração, através de alguns cálculos: 54 i)   )2(482533673456 1169119120 222 222 linha linha a a   Cálculo das razões para as medidas indicadas nas linhas acima: 035,0 4825 169035,0 3367 119035,0 3456 120  ii) )4(185411270913500 )3(664946014800 22 222 linha linha aa a   Cálculo das razões para as medidas indicadas na 3a e 4a linhas: 36,0 18541 664936,0 12709 460135,0 13500 4800  iii) )6(481319360 )5(976572 222 222 linha linha a a   Cálculo das razões para as medidas indicadas na 5a e 6a linhas: 20,0 481 9720,0 319 6520,0 360 72  iv) )8(1249799960 )7(354122912700 222 222 linha linha a a   Cálculo das razões para as medidas indicadas na 7a e 8a linhas: 35,0 3541 124935,0 2291 79935,0 2700 960  v) )10(816149616480 )9(769481600 222 222 linha linha a a   Cálculo das razões para as medidas indicadas na 9a e 10a linhas: 55 094,0 8161 769096,0 4961 481093,0 6480 600  vi) )12(292916792400 )11(754560 222 222 linha linha a a   Calculo das razões para as medidas indicadas na 11a e 12a linhas: 025,0 2929 75026,0 1679 45025,0 2400 60  vii) )14(322917712700 )13(289161240 22 222 linha linha a a   Cálculo das razões para as medidas indicadas na 13a e 14a linhas: 089,0 3229 289090,0 1771 161088,0 2700 240  viii) )15(1065690 )14(322917712700 222 222 linha linha a a   Cálculo das razões para as medidas indicadas na 14a e 15a linhas: 032,0 3229 106031,0 1771 56033,0 2700 90  Um terno de números inteiros, como (3, 4,5), cujos termos são lados de um triângulo retângulo, é chamado terno pitagórico. Se o único fator inteiro positivo comum aos elementos de um termo pitagórico é a unidade, então esse termo se diz primitivo. Assim (3,4,5) é um termo pitagórico primitivo , ao passo que (6,8,10) não é. Isso significa que um termo pitagórico é primitivo quando os três números são primos entre si. (EVES, 2004, p. 64) Considerando que um termo pitagórico é um primitivo quando os três números que o compõem são primos entre si, na tableta Plimpton 322 verifica-se que, com exceção das linhas 11a e 15a, as demais representam triângulos primitivos. Quando comparamos esses triângulos, verificamos que as razões entre as medidas dos lados destes triângulos primitivos 56 apresentam aproximações consideráveis. Isso é confirmado por Eves (2004), quando afirma que os babilônios tinham conhecimento de que os lados correspondentes de dois triângulos retângulos semelhantes são proporcionais. Por outro lado, ao compararmos os triângulos primitivos com aqueles que não são primitivos, através do cálculo de suas razões, percebemos uma sensível diferença nos resultados: i) Cálculo da razão entre a 11a e 1a linhas: 44,0 169 7537,0 119 455,0 120 60  ii) Cálculo da razão entre a 11a e 5a linhas: 77,0 97 7569,0 65 4583,0 72 60  iii) Cálculo da razão entre 15a e 3a linhas: 016,0 6649 106012,0 4601 56018,0 4800 90  iv) Cálculo da razão entre a 15a e 8a linhas: 08,0 1249 10607,0 799 5609,0 160 90  De acordo com os resultados obtidos, é possível perceber que existe uma aproximação bastante razoável entre as medidas dos lados dos triângulos, o que nos leva a supor que estes a existência certa proporcionalidade nas medidas de seus lados. Este fato reforça a idéia que os babilônios apresentavam indícios de raciocínio proporcional. Outro aspecto que merece destaque é que os antigos babilônios foram superiores na matemática quando comparados com os Egípcios, os quais possuíam uma forma de matemática mais elementar. Por volta de 2000 a.C, os babilônios já resolviam determinadas equações. 57 Segundo Eves (2004), no período mencionado anteriormente, a aritmética babilônica já havia evoluído para uma álgebra retórica bem desenvolvida. Não só se resolviam equações quadráticas, seja pelo método equivalente ao de uma substituição numa fórmula geral, seja pelo método de completar quadrados, como também se discutiam algumas equações cúbicas e algumas biquadradas. Na resolução das equações quadráticas, pelos Babilônios, é possível observar a aplicação do conceito de proporcionalidade, quando faziam o que conhecemos hoje por transformação algébrica. Os casos de equações quadráticas que se encontram mais frequentemente nos registros deixados pelos babilônios, segundo Boyer (1974), foram classificados em três tipos: 1) x2 + px = q 2) x2 = px + q 3) x2 + q = px Ao que tudo indica, esses tipos de equações foram explorados tanto na antiguidade como na Idade Média e também no inicio do período moderno. Em Boyer (1974), encontramos alguns exemplos de resolução destas equações. Um deles é o seguinte: “A área de um quadrado menos o seu lado é 14,30. Qual o lado do quadrado?”. É importante ressaltar novamente que 14,30 é um número expresso por meio da notação sexagesimal. A solução deste problema é equivalente à resolução da equação algébrica x2 – x = 870. Contudo, a solução apresentada pelos babilônios, utilizando-se a representação sexagesimal, é expressa da seguinte maneira: “Tome a metade de 1, que é 0; 30, e multiplique 0,30 por 0; 30 o que dá 0; 15; some isto a 14,30, o que dá 14,30;15. Isto é o quadrado de 29;30. Agora some 0;30 a 29;30 e o resultado é 30, o lado do quadrado”. (BOYER, 1974, p. 23) A respeito destes problemas e a forma como os babilônios resolviam as equações, Struik (1989) considera que eles formulavam esses problemas apenas com valores numéricos 58 específicos para os coeficientes, mas os seus métodos não deixam dúvidas de que conheciam uma regra geral para obter a solução de equações quadráticas. Atualmente, se utilizarmos a fórmula 22 2 pqpx       , que é o equivalente da resolução anteriormente apresentada, chega-se ao resultado obtido pelos Babilônios. Tal fórmula, ao ser desenvolvida, passará a ter certa semelhança com a que atualmente utilizamos para resolver equações do 2o grau, ou seja: 2 4 22 22 qpppqpx        Na resolução da equação x2 – x = 870 não se verifica a aplicação da proporcionalidade. Porém, a apresentação desta equação e do seu respectivo método de resolução neste estudo tem o objetivo de introduzir outro tipo de equação em cuja resolução se utiliza o conceito de proporcionalidade. Os babilônios resolviam equações quadráticas em que o coeficiente de x2 era diferente de 1. Tendo uma equação do tipo ax2 + px = q, logo eles a reduziam ao tipo já conhecido e a resolviam da seguinte maneira: Adicionei sete vezes o lado de meu quadrado a onze vezes sua área, e o resultado é 6;15. Qual é o lado do quadrado? Tome 7 e 11. Multiplique 11 por 6; 15 e [o resultado] é 1,8; 45. Divida 7 por 2 [e obtenha 3;30] Multiplique 3;30 por 3;30. Adicione [o resultado] 12; 25 a 1,8;45 e [o resultado] 1,21 tem raiz quadrada 9. Subtraia 3;30, que você multiplicou por ele próprio, de 9, e você obtém 5;30. O recíproco de 11 não divide. O que devo multiplicar por 11 para que o resultado seja 5;30? 0;30 é o seu fator. 0;30 é [o lado do] quadrado. (AABOE, 2002, p. 25) O que temos aqui é a solução da equação 11x2 + 7x = 6; 15 (o número 6;15 está escrito na forma sexagesimal). Notemos que a multiplicação por 11 tem o objetivo de reduzir a equação ao tipo x2 + px = q, onde o coeficiente do termo quadrático resultante da redução será 1. Na equação 11x2 + 7x = 6;15 multiplicam-se ambos os membros por 11, resultando em (11x)2 + 7. (11x) = 1,8;45. Daí, adota-se 11x = u e por transformação algébrica, chega-se a u2 59 + 7u = 1,8;45. Desse ponto em diante os babilônios resolviam a equação pelo mesmo processo utilizado para as equações do tipo x2 + px = q. Para esclarecer um pouco mais o método utilizado pelos babilônios, decidimos representar os procedimentos utilizados por meio de uma linguagem simbólica atual. Para a equação acima podemos expressar a resolução usando a notação decimal da seguinte forma: 1o multiplicavam ambos os membros por a = 11: 11x2 + 7x = 6,25 ↔ (11x)2 + 7. (11x) = 68,75 2o substituíam ax por outra quantidade desconhecida, ou seja, faziam a mudança de variável: u = ax: (11x)2 + 7. (11x) = 68,75 e fazendo 11x = u, tinha-se u2 + 7u = 68,75. 3o consideravam a metade de b (coeficiente da incógnita x): 5,3 2 7 2  b 4o calculavam o seu quadrado: 25,12 4 49 2 2       b 5o adicionavam o resultado obtido a c (termo independente): 8175,6825,12 2 2       cb 6o calculavam a raiz quadrada do resultado anterior: 981 2 2       cb 7o subtraíam metade de b e obtinham uma solução para a equação: 5,5 2 79 22 2       bcb 60 E assim obtinham u = 5,5 e daí 11x = 5,5. Como o recíproco de 11 não divide o número 5,5, os babilônios buscavam um número que, multiplicado por 11, resultasse em 5,5. Tal número evidentemente era 2 1 e correspondia ao lado do quadrado. Fica claro que na resolução da equação os babilônios utilizavam o conceito de proporcionalidade fundamentado no princípio multiplicativo, que é um raciocínio proporcional. Na multiplicação de ambos os membros de uma equação por um mesmo número, eles obtinham uma equação proporcional à primeira. Assim tornavam possível a aplicação dos seus métodos para a resolução. 1.2.3 As proporções no contexto da matemática grega A civilização grega desempenhou um papel importante no desenvolvimento da matemática e deu significativas contribuições para o processo de modernização dessa ciência, principalmente no que tange ao desenvolvimento do conceito de proporção, pois como poderemos ver, este conceito foi objeto de estudo pelos gregos durante vários séculos. Um fato que sugere o uso de proporções por parte dos gregos diz respeito a Tales de Mileto. Historiadores da Matemática consideram que pouco se sabe sobre a vida e os feitos de Tales, porém vale salientar que ele é considerado um dos sete sábios da Antiguidade. Conforme Lintz (1999), Tales viveu aproximadamente de 630 a.C a 550 a.C, porém quando se trata de Tales de Mileto a única data precisa que conhecemos, refere-se a previsão do eclipse total do Sol de 28 de maio de 585 a.C. Não é do nosso conhecimento que os escritos originais de Tales tenham chegado à atualidade, o que dificulta determinar suas concepções e suas descobertas matemáticas. Segundo Eves (2004), a principal fonte de informações a respeito das suas realizações matemáticas é o chamado Sumário Eudemiano de Proclus Diadocus, que consiste nas primeiras páginas de abertura de seu livro Comentário sobre o primeiro livro de Os Elementos de Euclides. 61 Conta-nos a tradição que Tales teria trazido a Geometria do Egito para a Grécia. Há relatos de que Tales mediu a altura das pirâmides do Egito, observando os comprimentos das sombras no momento em que a sombra de um bastão vertical era igual à sua altura. Em Eves (2004) encontramos duas versões que relatam a medição da altura da pirâmide por Tales: Há duas versões de como Tales calculou a altura de uma pirâmide egípcia por meio da sombra. O relato mais antigo, dado por Hierônimos, um discípulo de Aristóteles, diz que Tales anotou o comprimento da sombra no momento em que esta era igual à altura da pirâmide que a projetava. A versão posterior, dada por Plutarco, diz que ele fincou verticalmente uma vara e fez uso da semelhança de triângulos. Ambas as versões pecam ao não mencionar a dificuldade de obter, nos dois casos, o comprimento da sombra da pirâmide - isto é, a distância da extremidade da sombra ao centro da base da pirâmide. (EVES, 2004, p. 115) Conforme Nobre (2004) não é certo que isto realmente tenha ocorrido, tendo em vista que os períodos do ano em que o Sol encontra-se em posição de oferecer uma sombra privilegiada para se efetuar as medições, de maneira exata da altura da pirâmide, são muito raros. A questão da proporcionalidade era de grande importância para os gregos, principalmente na arquitetura e agrimensura. Por isso, há indícios que a primeira sistematização da geometria pode ter sido em torno da proporcionalidade de segmentos determinados por um feixe de retas paralelas e outro de retas transversais. Esse assunto durante muitos séculos foi denominado por teorema dos segmentos proporcionais. Na literatura disponível sobre o assunto encontramos trabalhos que dão um enfoque específico sobre o teorema de Tales. Pereira (2005) mostra, por exemplo, a aplicação do conceito de proporcionalidade na demonstração deste teorema. A autora apresenta a demonstração do teorema na fase pré-eudoxiana fundamentada no conceito de número da época de Tales, em que número é uma coleção de unidades e, por sua vez, unidade é um ponto sem posição (LINTZ, 1999 apud PEREIRA, 2005, p. 38). 62 A referida autora apresenta também outra tentativa de demonstração baseada na noção de número da época, feita pelos pitagóricos para o problema da proporcionalidade. Além disso, ela apresenta a demonstração do mesmo teorema após a descoberta da teoria das proporções. A demonstração do teorema de Tales, pelos gregos, era voltada para a utilização de grandezas comensuráveis, mantendo a crença de que tudo era medido por números. Este tipo de demonstração, ainda hoje encontrado nos livros didáticos de matemática, tornou-se incompleta com a descoberta dos incomensuráveis. Em todo caso, são poucos os livros didáticos que abordam este tema incluindo a demonstração completa. Alguma evidência do emprego de proporção por parte dos gregos encontra-se na construção da estrela de cinco pontas: figura obtida ao traçar as cinco diagonais de uma face do dodecaedro regular. Tal figura constituía-se em um símbolo especial para os pitagóricos. A construção da estrela de cinco pontas revela algo curioso: os pontos de intersecção das diagonais formam outro pentágono regular. Esses pontos dividem as diagonais de uma forma notável, isto é, cada um destes pontos de intersecção divide uma diagonal em dois segmentos desiguais, de tal forma que a razão da diagonal toda para o maior segmento é igual à deste para o menor. FIGURA 7 FACE PENTAGONAL DO DODECAEDRO REGULAR 63 A demonstração da divisão de um segmento em média e extrema razão é equivalente à resolução de uma equação quadrática. Para isso, tomemos como referência o segmento AC (Figura 8) que representa uma das diagonais da face do pentágono. A x G a - x C a Seja AC = a e AG = x, então pela propriedade da secção áurea xa x x a   . Multiplicando meios e extremos, teremos a equação axax  22 ; esse tipo de equação já era conhecido pelos babilônios e conta-se que Pitágoras pode ter aprendido com eles a resolvê-la algebricamente, o que não é certo, pois se a é um número racional, não haverá um número racional x que satisfaça esta equação. Segundo Boyer (1974), parece improvável que Pitágoras tenha percebido isso, sendo mais sensato supor que, ao invés de usar o método algébrico de resolução dos babilônios, ele tenha utilizado um método geométrico semelhante ao que se encontra em Os Elementos II.11 e VI.30, cuja demonstração apresentaremos mais adiante. Podemos afirmar, com base em estudos realizados por historiadores da matemática, que as subdivisões das diagonais correspondem a “secção áurea”, de um segmento, porém esta não era a denominação usada pelos gregos. Deste fato podemos supor que os gregos desenvolveram a noção de “secção áurea” a partir da construção do pentagrama ou pentágono estrelado, o que sugere o uso de proporções. Na antiga civilização grega o uso das proporções está relacionado aos pitagóricos, apesar de não termos claras evidências sobre isto. Conforme Heath (1993), não se conhece a forma como era exposta a teoria das proporções dos pitagóricos, mas há indícios de que tinham uma teoria de proporções para números, ou seja, para grandezas comensuráveis e números inteiros. Ainda segundo este autor, os pitagóricos descobriram a dependência de 64 intervalos musicais em relações numéricas e daí desenvolveu a teoria das médias com referência para a teoria da música e da aritmética. O desenvolvimento da teoria das médias levou à descoberta da relação existente entre intervalos musicais e razões numéricas. Segundo Boyer (1974), conta-se que Pitágoras soube, na Mesopotâmia, das três médias: aritmética, geométrica e a subcontrária (mais tarde chamada harmônica), sendo a média geométrica considerada como a proporção por excelência. Os pitagóricos também usavam a proporção áurea, ou também chamada proporção musical, costumeiramente denominada por antigos historiadores como a mais perfeita proporção. Esta relacionava duas das anteriores: o primeiro de dois números está para a sua média aritmética como a média harmônica está para o segundo número. Em Heath (1993, p. 87) encontramos a apresentação dessas médias, supondo a>b>c, com a, b e c naturais: Média Aritmética: c c b b a a cb ba    , equivalente a bca 2 Média Geométrica:       c b b a cb ba , equivalente a 2bac  Média Harmônica: c a cb ba    , equivalente a ca acbou bca   2211 Proporção áurea: c ca accaa :2 2 :    Para Boyer (1974), um exemplo da aplicação da teoria das proporções relacionado à geometria que demonstra certa influência dos pitagóricos é o teorema sobre as quadraturas de lúnulas, atribuído a Hipócrates de Chios (430 a.C): segmentos de círculos estão na mesma razão que os quadrados de suas bases. O relato de Eudemo (335 d.C) diz que Hipócrates provou isso, mostrando primeiro que as áreas dos círculos estão entre si como os quadrados dos diâmetros. Aqui Hipócrates usa a linguagem e o conceito de proporção que desempenhou papel tão grande no pensamento pitagórico. (BOYER, 1974, p.49) 65 As chamadas lúnulas (isto é, crescentes) de Hipócrates são obtidas a partir da quadratura de um triângulo. De maneira geral, efetuar a quadratura de uma figura plana significa achar um quadrado cuja área seja igual à da figura dada. Para demonstrar a igualdade de áreas através das quadraturas, Hipócrates utiliza o conceito de proporção e procede da seguinte maneira: partindo de um quadrado ABCD, traça- se um semicírculo sobre a diagonal AC (figura 9a, abaixo) e, com centro em D e raio AD, traça-se um arco circular de A até C. Os segmentos AB e BC (I) são arcos de 90 graus, da mesma forma que o segmento AC (II). Os segmentos AB, BC e AC são segmentos circulares, ou seja, o segmento circular é uma região limitada por uma corda e um arco de círculo. FIGURA 8a SEMICÍRCULO SOBRE A DIAGONAL DE UM QUADRADO Como os dois arcos possuem a mesma medida, então eles são semelhantes e figuras semelhantes, por sua vez, possuem áreas cuja razão é quadrado de seus segmentos circulares, ou seja: 2 22 AC AB AC AB IIsegmento Isegmento       Sendo o triângulo retângulo ABC com AB = BC e, pela aplicação do teorema de Pitágoras, resulta que 2 1 2 2  AC AB ; esta razão significa que o arco II mede duas vezes o arco I, 66 ou expressando essa relação de outra maneira, podemos dizer que a medida do arco II corresponde a duas vezes a medida do arco I. A igualdade 2 1 2 2  AC AB é válida porque se trata de um polígono, nesse caso, o triângulo retângulo isósceles inscrito numa circunferência, cujas relações métricas demonstram que: o lado de um triângulo retângulo isósceles inscrito numa circunferência é igual a medida do raio da circunferência multiplicado pela raiz de 2. Na figura anterior, ao retirarmos os segmentos circulares (I) ou o segmento circular (II) do semicírculo, deveremos obter a mesma área, já que, fazendo assim, retiramos a mesma medida. Porém, cabe ressaltar que, no primeiro caso, obtemos o triângulo ABC (figura 9b), e no segundo caso, obtemos o crescente ou lúnula ABC (figura 9c). Assim o triângulo e a lúnula devem ter a mesma medida de área. FIGURA 8b TRIÂNGULO ISÓSCELES FIGURA 8c CRESCENTE OU LÚNULA DE HIPÓCRATES 67 Esta é a forma que se utiliza para fazer a quadratura da lúnula, e como podemos observar nesta demonstração o grego Hipócrates aplica o conceito de proporção e, através do cálculo da razão, chega à conclusão sobre as medidas das áreas. Ainda num contexto geométrico os matemáticos gregos compreendiam que quatro quantidades estão em proporção quando: dados dois segmentos, existe sempre um segmento que cabe um número inteiro de vezes num deles e um número inteiro de vezes no outro. Essa era a definição para segmentos comensuráveis. Atualmente dizer que dois segmentos são comensuráveis corresponde a que sejam múltiplos de um outro segmento. Em outros termos, sejam AB e CD dois segmentos. Se existir um segmento EF e se existirem inteiros positivos u e v tais que AB = u EF e CD = v EF, então AB e CD são múltiplos do segmento comum EF, e assim se dizem comensuráveis. Os segmentos comensuráveis podem ser visualizados na figura abaixo: FIGURA 9 SEGMENTOS COMENSURÁVEIS Em algum momento da história os números inteiros e suas razões demonstraram-se insuficientes para descrever propriedades geométricas, como a razão da diagonal de um quadrado (ou de um pentágono) com seu lado. Esta descoberta abalou com a escola pitagórica porque a definição pitagórica de proporção, assumindo como comensuráveis duas grandezas quaisquer similares, fazia com que todas as proposições da teoria pitagórica das proporções se limitassem a grandezas comensuráveis, invalidando sua teoria geral das figuras semelhantes. (EVES, 2004, p.107) Os pitagóricos tinham a tendência de expressar tudo através dos números. Segundo Heath (1993), a teoria das proporções dos pitagóricos era uma teoria numérica, aplicável 68 somente às magnitudes comensuráveis, algo semelhante ao que é apresentado no livro VII dos Elementos de Euclides, que versa sobre a teoria dos números. Conforme Bicudo (2009), no livro VII dos Elementos, a definição 2 diz que “número é a quantidade composta de unidades” e mais adiante encontra-se a definição 21 que diz o seguinte: “Números estão em proporção, quando sejam o primeiro do segundo e o terceiro do quarto o mesmo múltiplo ou a mesma parte ou as mesmas partes”. Boyer (1974) explica que existe uma possibilidade de que até então os gregos usavam a idéia que quatro quantidades estão em proporção, a:b = c:d, têm a mesma subtração mútua, isto é, se em cada razão, a quantidade menor cabe um número inteiro de vezes na maior e o resto em cada caso cabe um número inteiro de vezes na menor e o novo resto no precedente o mesmo número inteiro de vezes e assim por diante. Como sabemos, isto é uma aplicação do algoritmo euclidiano, processo para encontrar o máximo divisor comum de dois números inteiros, isto é, dividir o maior dos dois números inteiros positivos pelo menor e então dividir o divisor pelo resto. Continuar este processo de dividir o último divisor pelo ultimo resto, até que a divisão seja exata. O divisor final é o máximo divisor comum procurado. Em Os Elementos livro VII, nas proposições de 1 a 3, o algoritmo euclidiano é apresentado como um tipo de subtração recíproca, levando-nos a supor que os Pitagóricos utilizavam à técnica aqui representada para verificar proporções. Conforme Bicudo (2009, p. 270), a proposição 1 do livro VII é enunciada da seguinte maneira: “sendo expostos dois números desiguais, e sendo sempre subtraído de novo o menor do maior, caso o que restou nunca exatamente o antes dele mesmo, até que reste uma unidade, os números do principio serão primos entre si” 69 Para exemplificar tal técnica vamos utilizar as razões 42 32 e 63 48 e em cada uma delas, ao aplicar o algoritmo euclidiano poderemos verificar que: 0351502510 315348210332 15481631032142    ou 35152510 315348210332 15481631032142    Ao aplicarmos o algoritmo euclidiano para as razões acima, verificamos a proporção entre elas, pois os quocientes 1, 3 e 5, que representam o número inteiro de vezes que as quantidades menores, ou restos, cabem nos maiores, é o mesmo para as duas razões. Deste modo é possível afirmar que 63 48 42 32  . Desta forma, as proporções tendiam a serem relações numéricas. Porém, quando se tentou exprimir duas grandezas de forma numérica, descobriram a impossibilidade para certos casos. Alguns historiadores da matemática atribuem a descoberta da incomensurabilidade aos pitagóricos, quando estes tentavam comparar a medida da diagonal do quadrado com seu lado ou mesmo da diagonal de um pentágono com seu lado. Há ainda outros que supõem que a percepção da incomensurabilidade veio em conexão com a aplicação do teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo isósceles. Segundo Boyer (1974), as circunstâncias que rodearam a primeira percepção da incomensurabilidade são tão incertas quanto à época da descoberta. Há suposições de que, para os gregos antigos, a incomensurabilidade existia a partir do momento que, ao se comparar duas grandezas, não se obtinha uma unidade comum às duas; no caso da diagonal do quadrado e seu lado, verificaram que a medida do comprimento da 70 diagonal do quadrado não cabia um número inteiro de vezes na medida do comprimento do lado do quadrado, ou seja, não existia um número inteiro que representasse aquela medida. A descoberta das grandezas incomensuráveis abalou a filosofia pitagórica porque acabava com a crença na qual estava alicerçada. Tal crença girava em torno de que todas as grandezas (comprimento, área, volume,...) podiam ser associadas a um número inteiro ou a uma razão entre dois números inteiros. A crise dos incomensuráveis solapou as bases da teoria das proporções baseada em grandezas comensuráveis e de outras mais, precipitando uma crise de fundamentos, a primeira da História da Matemática. Essa crise é superada com sucesso através da teoria das proporções de Eudoxo. (ÁVILA, 1985, p. 8) O filósofo Eudoxo (aprox. 408-355 a.C) pertenceu à escola de Platão e desenvolveu uma teoria das proporções que permitiu superar a dificuldade dos incomensuráveis sem a necessidade dos números irracionais. Parece existir um problema em relação à definição de razão entre os gregos, pois a definição apresentada por Euclides, como uma espécie de relação de tamanho entre duas grandezas de mesmo tipo, é inteiramente inadequada. Já para Eudoxo o conceito de razão exclui o zero e expressa o que ele entende por grandezas da mesma espécie da seguinte forma: a medida do comprimento de um segmento de reta, por exemplo, não pode ser comparado, em termos de razão, com a medida da área de uma figura. Do mesmo modo não se pode comparar a medida da área com a medida do volume. Na Grécia antiga a perturbação causada pela descoberta da incomensurabilidade foi tamanha e levou a se evitar razões, o quanto possível, na matemática elementar. A equação linear ax = bc, por exemplo, era considerada como uma igualdade entre as áreas ax e bc e não como uma proporção ou igualdade entre as razões a:b e c:x. [...] Só no Livro V de Os Elementos é que Euclides atacou a difícil questão da proporcionalidade. (BOYER, 1974, p. 57) Após essas primeiras questões apontadas como problema sobre razões, aparece no livro V de Euclides a definição de Eudoxo: 71 diz-se que grandezas estão na mesma razão, a primeira para a segunda e a terceira para a quarta se, quando eqüimúltiplos quaisquer são tomados da primeira e da terceira e eqüimúltiplos quaisquer da segunda e da quarta, os primeiros eqüimúltiplos são ambos maiores que, ou ambos iguais a, ou ambos menores que, os últimos eqüimúltiplos considerados em ordem correspondente. Isto é, d c b a  se, e somente se, dados inteiros m e n sempre que ma < nb, então mc < nd; ou ma = nb, então mc = nd; ou se ma > nb, então mc > nd. (BOYER, 1974, p. 66) A definição dada por Eudoxo para a igualdade de razões se assemelha ao processo que utilizamos para equivalência de frações. Por outro lado, os resultados dessa teoria têm implicações posteriores bastante significativas para a matemática, pois ela serviu, no século XIX, de base para a elaboração da teoria dos números reais. Segundo Boyer (1974), a teoria das proporções de Eudoxo divide a coleção dos números racionais n m em duas classes, conforme manb ou ma>nb. O conhecimento que chegou até nós da matemática de Euclides provém de sua importante obra Os Elementos. Segundo Boyer (1974, p. 76), “Os Elementos não eram, como se pensam às vezes, um compêndio de todo conhecimento geométrico; ao contrário, trata-se de um texto introduzido cobrindo toda matemática.” Euclides apresenta no livro V a teoria das proporções de Eudoxo, como já foi visto, sem atribuir valores às grandezas geométricas. Esta teoria reaparece no livro VI aplicada à geometria plana, com teoremas fundamentais de semelhança de triângulos e a construção de terceiras, quartas e médias proporcionais. A teoria dos números é tratada no livro VII, sob a forma de números inteiros e positivos, sendo representados por segmentos, aos quais aplica a teoria das proporções. Neste livro Euclides apresenta a definição de números proporcionais (def. 21) e cabe ressaltar a proposição 19, que é apresentada atualmente como a propriedade fundamental das proporções: 72 Caso quatro números estejam em proporção, o número produzido do primeiro e quarto será igual ao número produzido do segundo e terceiro; e caso o número produzido do primeiro e quarto seja igual ao do segundo e terceiro, os quatro números estarão em proporção”. (EUCLIDES, 2009, p. 283) Atualmente representamos tal propriedade da seguinte forma: se a:b = c:d então a.d = b.c; e se a.d = b.c então a:b = c:d. Outra aplicação de proporção encontrada em Os Elementos diz respeito a uma construção equivalente a secção áurea baseada na proposição 11 do livro II, introduzindo esta noção com a definição 3 do livro VI. A definição da secção áurea é introduzida por Euclides VI-3 dos elementos, conforme Bicudo (2009, p. 231): “uma reta é dita estar cortada em extrema e média razão, quando como a toda esteja para o maior segmento, assim o maior para o menor”. A B C AB BC BC AC  Esta subdivisão de um segmento era tão familiar para os gregos que não sentiram a necessidade de dar um nome concreto para designá-la, simplesmente chamavam de divisão de um segmento em média e extrema razão ou, de forma mais resumida, a secção áurea. Uma das propriedades mais curiosas da secção áurea é que, pode-se dizer, ela se auto- propaga. Seja um segmento RS e um ponto P1 que o divide de forma áurea, sendo RP1 o segmento maior. Agora se sobre RP1 tomamos um ponto P2 de forma que RP2 = P1S, então o segmento RP1 será subdividido de forma áurea pelo ponto P2. Se tomarmos um novo ponto P3 sobre RP2, de forma que RP3 = P1P2, então o segmento RP2 será dividido por P3 de forma áurea. Segundo BOYER (1974), esse processo é iterativo e pode ser repetido tantas vezes quanto se queira, obtendo-se segmentos RPn cada vez menores, divididos em média e extrema razão por Pn + 1. 73 R S R, P1, S em proporção áurea. P3 P2 P1 Estando R, P1, S em proporção áurea, então: 2 1 1 1 1 RP RP SP RP RP RS  considerando a proposição 19 do livro V, podemos escrever: 12 2 12 1 21 1 PP RP PP SP RPRP RPRS    Dessa forma, 12 2 2 1 PP RP RP RP  , isto é, R, P, S, estão em proporção áurea. Esse processo de dividir um segmento em média e extrema razão como tema da geometria pitagórica aparece de forma notável em Os Elementos de Euclides. Segundo Boyer (1974), não se pode afirmar que os pitagóricos de 500 a.C. sabiam realmente dividir um segmento em média e extrema razão, embora seja provável que sim. A construção da secção áurea corresponde à resolução de uma equação quadrática e Pitágoras pode ter aprendido dos babilônios como resolvê-la algebricamente. Agora apresentaremos aqui a utilização do conceito de proporcionalidade usado pelos pitagóricos na construção da secção áurea tal como ela aparece em Os Elementos. Seja o segmento AB = a, dividido pelo ponto H de forma áurea, sendo AH = x o segmento maior da divisão, HB = a – x o segmento menor da divisão. Pela propriedade áurea segue-se que: xa x x a   de onde se obtém a equação: axax  22 . O procedimento de resolução é análogo ao que encontramos em Os Elementos de Euclides: Livro II proposição 11 e livro VI proposição 30: Euclides II.11: Dividir uma reta em duas partes de modo que o retângulo compreendido pela reta e por uma de suas partes seja equivalente ao quadrado da outra parte. 74 Euclides VI.30: Dividir um segmento em média e extrema razão. F G A H B E C D FIGURA 10 CONSTRUÇÃO DE UM SEGMENTO EM MÉDIA E EXTREMA RAZÃO Para dividir um segmento AB em média e extrema razão, Euclides constrói, de acordo com a proposição 11 do livro II, o quadrado ABCD de lado AB, divide o segmento AC em duas partes iguais pelo ponto E. Traça o segmento EB e estende o segmento CEA até F de modo que EB = EF. Por último obtém o ponto H completando o quadrado AFGH. Comprova que H resolve o problema demonstrando que HB AH AH AB  . A História da Matemática da antiga Grécia nos mostra que a teoria das proporções era aplicada na aritmética ou teoria dos números, valendo ressaltar que tal aplicação se refere aos números naturais; por outro lado, a teoria também era aplicada à geometria, podendo aí ser incluídos os segmentos incomensuráveis. 1.2.4 As proporções no contexto da matemática indiana Na Índia encontram-se indícios do uso da regra de três, porém com algum diferencial de outros povos, pois, como afirma Smith (1958), a regra de três foi dada por Brahmagupta e Bhaskára já com esta denominação e enunciada por eles quase da mesma forma, como uma regra arbitrária sem nenhuma justificação e sem fazer nenhuma relação com proporção. 75 A forma como eles caracterizavam a regra de três é semelhante ao que fazemos hoje, porém a forma de enunciar é bastante diferente do que conhecemos. A regra de três por Brahmagupta era enunciada da seguinte maneira: na regra de três, os nomes dos termos são Argumento, Fruto e Requisito. O primeiro e o último termos devem ser semelhantes. Requisito multiplicado por Fruto e dividido por Argumento é o produto. (EVES, 2004, p. 263) Um exemplo da aplicação da regra de três é dado por Bhaskara, conforme Smith (1958): “Se duas palas e meio de açafrão custam três sétimos de niskas, quantas palas se comprarão com nove niskas?” A solução é apresentada da seguinte forma: Nesta representação os termos 7 3 e 9 são Argumento e Requisito respectivamente; 2 5 é o fruto. O produto é dado pela regra: Requisito multiplicado por fruto, 9 x 2 5 , e dividido pelo Argumento , 7 3 resulta em 52 2 1 . Em representa atual teríamos 2 5 ou 2 12 , ou ainda 2,5 palas de açafrão; 7 3 de niskas e 9 niskas. O procedimento utilizado pelos hindus é familiar a regra de três que diz que se x c b a  , então , a bcx  onde a é o “argumento”, b é o “requisito” e c é o “fruto”. Atualmente resolveríamos simplesmente a proporção 7 3 2 5 9  x . Segundo Eves (2004, p. 263), “as aritméticas européias antigas dedicaram muito espaço à explicação da regra de três; muitas vezes usavam [...] diagramas esquemáticos para tornar perceptível sua natureza mecânica”. 3 5 9 7 2 1 76 1.2.5 As proporções no contexto da matemática árabe Os árabes também deram algumas contribuições para o desenvolvimento da matemática. Particularmente ao que se refere ao conceito de proporcionalidade, os matemáticos árabes não foram além do que já existia produzido por outros povos, como os gregos, por exemplo. Os árabes usavam a regra da falsa posição para resolver problemas algébricos de maneira não algébrica. Segundo Smith (1958), os árabes usavam as formas abaixo para indicar uma proporção, mas não nomeavam os números, isto é, eles não se preocupavam em atribuir nomes aos números, como os hindus faziam; ou como fazemos atualmente, cujos termos da proporção denominamos de antecedentes e consequentes. 1 5 3 15 Por outro lado, observamos um considerável avanço no estudo das proporções realizado pelo cientista e poeta árabe Khayyan que viveu entre os séculos XI e XII. Ele é autor da obra Álgebra e reformulou a teoria das proporções. Segundo Boyer (1974), ele substituiu a teoria das proporções de Euclides por um método numérico, chegando perto da definição de números irracionais, além de lidar com o conceito de número real em geral. Os autores Dalmedico e Peiffer (1986 apud BERNAL, 2004, p. 33), afirmam que Khayyan expôs uma teoria elaborada de proporções, pois, para ele, a teoria apresentada por Euclides, no Livro V, não exprimia a essência de uma razão que é a medida de uma grandeza por outra. No entanto, Khayyan comparava razões, decompondo-as em frações contínuas e verificava se elas eram (ou não) comensuráveis. Conforme D’Ambrosio (1986), o algoritmo das frações contínuas é apenas o algoritmo euclidiano. Para a razão b a , temos o algoritmo euclidiano rqba  , que pode ser escrito 1 5 3 15 77 como r bqb a 1  , o que é aplicado novamente à razão r b e assim por diante. Verificamos como se expressa, por frações contínuas, o algoritmo euclidiano para as razões 42 32 e 63 48 que já foi apresentado, anteriormente, neste estudo: Razão 42 32 : 1032142  ; 210332  ; 02510  )1(02510; 2 10 13 10 32; 10 32 11 42 32  Podemos escrever por substituição das frações: )2( 5 13 11 1 42 32    Para a razão , 63 48 aplicando o mesmo processo, encontraremos o resultado que em (2): 5 13 11 1 63 48    A técnica de aplicar o algoritmo euclidiano nos permite verificar quando duas razões são comensuráveis. No caso das razões acima, verificamos que as duas são comensuráveis e, portanto, existe um número finito de quocientes qn, isto é, os números 1, 3 e 5. Desse modo, Khayyan decompunha razões por meio de frações continuas e analisava sua comensurabilidade. 1.2.6 A proporcionalidade na Idade Média e no Renascimento Na Idade Média (séc. V ao séc. XV aproximadamente) uma obra destacou-se por sua riqueza de conhecimentos matemáticos. Trata-se do livro Liber abaci de Leonardo Fibonacci, que aparece na Europa no século treze, apresentando o conhecimento matemático que Leonardo adquiriu através de seus estudos e viagens pelo mundo mediterrâneo. Ele tomou conhecimento, através de cientistas árabes, do sistema de numeração posicional dos hindus, 78 além dos algoritmos para as operações aritméticas. Segundo Sigler (2003), Leonardo aprendeu o método algébrico baseado principalmente no trabalho de Al- Khwarizmi. Sigler (2003) explica que apesar do título da obra de Leonardo Fibonacci ter sido derivado da palavra ábaco, este não pode ser traduzido por “livro do ábaco”, tendo em vista que ábaco era um dispositivo mecânico usado para cálculo. Os hindus e os árabes utilizaram uma escrita numérica com um sistema posicional e métodos para as operações básicas, como adição, subtração, multiplicação e divisão, que não requeriam o uso do ábaco. No seu livro Liber abaci, Leonardo ensina como realizar estes procedimentos de cálculo. A intenção de Fibonacci ao escrever o seu livro foi trazer para o povo italiano a melhor matemática do mundo de maneira que eles a utilizassem. Assim, boa parte do seu conteúdo passou a ser utilizada não só por aprendizes em idade escolar, como também por negociantes e mercadores do século treze. Sigler (2003) explica que grande parte dos problemas matemáticos do Liber abaci que foi utilizado por mercadores e negociantes envolvia proporção. Um exemplo da aplicação de proporção pode ser visto no seguinte problema: Se dois quilos de cevada custam cinco montantes, então quanto custará sete quilos? Problemas deste tipo revelam a utilização da regra de três. Como procedimento de solução de problemas aparece, no Liber abaci, o método da falsa posição e da falsa posição dupla. O método da falsa posição funciona pela introdução de argumentos significando aproximações, e que posteriormente eram corrigidos para se chegar à solução correta. O método da falsa posição é muito antigo e retorna ao tempo dos antigos egípcios. Segundo Sigler (2003, p. 8, tradução nossa), “o método da falsa posição resolve problemas que equivalem a equações lineares simples do tipo Ax = B, e o da falsa posição dupla é usado em problemas que conduzem a equações do tipo Ax + B = C.” 79 Sigler (2003) aponta que o problema das árvores que aparece no Liber abaci exige a solução da equação Ax = B e é resolvido pelo método da falsa posição. Este mesmo problema é apresentado por Eves (2004) da seguinte maneira: certo rei envia 30 homens a seu pomar para plantar árvores. Se eles podem plantar 1000 árvores em 9 dias, em quantos dias 36 homens plantariam 4400 árvores? Para Eves (2004) este tipo de problema foi elaborado para ilustrar a regra de três. (EVES, 2004, p. 315) No período do Renascimento (séc. XV ao séc. XVI aproximadamente) muitos estudiosos dedicaram-se a escrever sobre questões matemáticas, sendo comum encontrar, nas suas obras, comentários e emprego das proporções. Em 1487, Luca Pacioli (1445-1514), italiano, escreveu a obra Summa de Aritmetica Geometrica Proportioni et Proportionalitá, cuja tradução do título aparece em Capra (2008, p. 113) como Sumário de Aritmética, Geometria de proporção e proporcionalidade. De acordo Boyer (1974) era uma compilação de aritmética, álgebra, geometria euclidiana e contabilidade. Pacioli trata da regra de três e da falsa posição. Segundo Eves (2004), matemáticos como Chuquet (1445-1498), Stifel (1486-1567) e Tartaglia (1499-1557) estudaram cálculos com números racionais e irracionais, abordam a teoria das equações, proporções e discutem a regra de três. O emprego de proporções durante o período do Renascimento foi de grande relevância para as artes. Neste contexto, destaca-se o uso de proporções através da razão áurea, cujas medidas encantavam os artistas daquela época. A proporção áurea possui origem bastante remota. Segundo Arteaga (2001), foram os gregos que estabeleceram as bases desta proporção e a mantiveram na dimensão exclusivamente geométrica. Tal proporção possui uma dimensão estética e filosófica, de orientação Platônico-Pitagórica, desde a sua primeira formulação. 80 Parece existir na literatura sobre o tema uma ligeira confusão quanto ao nome a utilizar ao referir-se a citada proporção. Talvez este fato decorra da aparente disparidade entre as dimensões geométricas e aritméticas da própria proporção. Os termos utilizados para a proporção estão em consonância com o espírito de cada época; sendo assim, na antiguidade, era conhecida por proporção áurea. Já no período mais recente, o Renascimento, a mesma passa a ser chamada por divina proporção, designação dada por Leonardo da Vinci. Uma obra considerada importante da época do Renascimento é o livro Divina Proportione de Luca Pacioli. A obra de Pacioli, segundo Sá (2005), foi inspirada nas obras O Timeu de Platão e Os Elementos de Euclides, sendo concluída em 1498 e dedicada ao seu protetor, o duque Ludovico Sforza. O Divina Proportione tem sua versão impressa na cidade de Veneza, 1509. A primeira página da obra é uma belíssima ilustração de Leonardo da Vinci. Apesar do titulo está relacionado à proporção, o conteúdo da obra refere-se, a um exaustivo trabalho sobre poliedros. Com relação a esse aspecto, Cruz (2001) esclarece que Pacioli justifica o título dado à obra e à proporção que trata, (estabelecendo numerosas correspondências) da semelhança entre a proporção e Deus. A próxima figura ilustra uma das páginas do exemplar original da obra Divina Proportione que se encontra digitalizada e acessível em um endereço na internet. 81 FIGURA 11 FRAGMENTO DO LIVRO DIVINA PROPORÇÃO Segundo Cruz (2001), o capítulo V da referida obra traz as cinco correspondências feitas por Pacioli para justificar o título atribuído ao seu trabalho: A primeira correspondência é que ela é uma só e não mais, e não é possível atribuir outras espécies nem diferenças. Somente existe uma forma de dividir o segmento em média e extrema razão. A segunda correspondência refere-se à Santíssima Trindade, assim como no divino existe uma mesma substancia entre três pessoas, Pai, Filho e Espírito Santo, do mesmo modo uma mesma proporção se encontrará sempre entre termos, e nunca mais ou menos. A terceira correspondência é que, assim como Deus não se pode propriamente definir, nem dar-se a nos entender mediante palavras, nossa proporção não pode nunca determinar-se como um número inteligível nem expressar-se mediante alguma quantidade racional,... e é chamada de irracional pelos matemáticos. A quarta correspondência é que [...] Deus nunca pode mudar e está em tudo, assim também é a Divina Proporção. A quinta correspondência assinala como afeta a proporção na construção do pentágono e, conseqüentemente, ao corpo sólido do dodecaedro, que é atribuído ao céu, quintessência, segundo O Timeu de Platão (CRUZ, 2001, p.14) 82 Luca Pacioli e Leonardo da Vinci eram conterrâneos, fato que pode ter facilitado o inicio de uma amizade. Leonardo mantinha um profundo interesse pela matemática e, juntamente com Pacioli, passou a aprofundar seus estudos. Ambos resolveram colaborar no livro Divina Proportione, escrito por Pacioli e ilustrado por Leonardo da Vinci. A obra Divina Proportione de Pacioli foi considerada como uma das obras mais importantes do final do período renascentista, tanto no âmbito cientifico quanto artístico, servindo de ponto de partida para vários estudos sobre as proporções no corpo humano e nas produções artísticas que foram produzidas ao longo do Renascimento. Em seus estudos matemáticos Leonardo da Vinci dedicou-se ao estudo das proporções e logo passou a utilizá-las em algumas de suas obras de artes, a exemplo do quadro da Mona Lisa, que, de acordo com muitos estudos realizados, têm suas medidas em proporção áurea. Segundo Atalay (2007), o busto da Mona Lisa (ligeiramente virado, com o ombro direito e a face esquerda recuada em relação ao ombro esquerdo e à face direita) pode ser inserido num triangulo áureo (de ângulos internos iguais a 72o – 36o – 72o). FIGURA 12 PINTURA DA MONALISA O triângulo áureo é um triângulo isósceles onde os ângulos da base representam o dobro do ângulo do ápice e, traçando uma bissetriz de um dos ângulos da base ao lado oposto, obteremos um novo triângulo que possui os mesmos ângulos do anterior, como mostra a figura abaixo: 83 FIGURA 13 TRIÂNGULO ISÓSCELES ÁUREO Ao traçarmos a bissetriz DC, obtemos um novo triângulo, também áureo, por ter os ângulos iguais ao anterior, sendo, portanto, semelhantes. O fato desse triângulo ser considerado áureo decorre justamente dessa propriedade de semelhança, que resultará na razão áurea. No triângulo da figura 13, os ângulos ADC e DAC possuem a mesma medida, assim como os lados AC e CD também possuem a mesma medida de comprimento. Denominemos a medida AD de y e a medida de DB=DC=AC=x. Pela semelhança de triângulos, temos que xy x x y   . Desenvolvendo, chegamos à equação: 022  xxyy . Resolvendo a equação quadrática na variável y:     2 14 22 xxx y   2 4 22 xxxy  84 2 5 2xxy  2 5xxy  Desconsideramos o valor negativo de y, tendo em vista que este representa uma medida de comprimento. Dessa forma, obtemos: 2 5xxy    2 15   xy e a razão   618,1 2 15    x y que é a razão áurea. Logo, o triângulo em questão é áureo. Portanto, o uso das proporções na obra Monalisa foi demonstrado pela semelhança de triângulos, que, neste caso especifico, denomina-se triangulo áureo. Segundo Atalay (2007), é nestes padrões de medidas que o quadro da Monalisa está inserido, conforme mostra a figura 12. A análise realizada por ele teve o objetivo de confirmar algumas hipóteses levantadas ao longo dos séculos, ou seja, a presença da razão áurea em obras consideradas extremamente perfeitas. O desenvolvimento do conceito de proporcionalidade prolongou-se por muitos séculos e não foi tarefa fácil estabelecê-lo como o conhecemos hoje. Ainda na Idade Média a compreensão acerca de razão e proporção apresentava significados ainda não muito precisos: A palavra razão é uma palavra latina e foi costumeiramente usada na aritmética da Idade Média para significar cálculo. Para expressar a idéia a: b, os escritores medievais latinos geralmente usavam a palavra proportion, não a ratio; enquanto para a idéia de igualdade de razões, a: b = c: d, eles usavam a palavra proporcionalitas. (SMITH, 1958, p. 478, tradução nossa) Os trabalhos de Campanus (1260), Jordanus Nemorarius (1225), Leonardo de Cremona (1425), Chuquet (1484), Rudolf (1526), Barrow (1670), incluídos aí o período da Idade Média e do Renascimento são citados por Smith (1958) como trabalhos em que a 85 palavra proporção foi utilizada para significar razão. Mas, ressalta que outros autores usavam estes termos como utilizamos atualmente. Os termos que envolvem o conceito de proporcionalidade, que são atualmente designados por meios, antecedente e consequente derivaram-se das traduções latinas de Os Elementos de Euclides. Desde os antigos gregos até o século XVII, foram utilizados muitos termos antigos relacionados com razão, tais como razões múltiplas, duplas, triplas, superparticulares. Segundo Smith (1958), estes termos foram resultados do desenvolvimento de uma teoria geral das frações, quando na época ainda não existia um simbolismo algébrico bem desenvolvido para isto. Muitos destes termos foram desaparecendo, a partir da introdução da nossa notação atual, que é resultado do simbolismo algébrico que estava sendo desenvolvido. Podemos citar os trabalhos de Pacioli (1494) e Stifel (1546) que faziam uso de uma simbologia que muito se aproxima da nossa notação usual. Segundo Smith (1958), foi na Idade Média que a diferença entre razões e frações, ou razão e divisão, tornou-se menos acentuada, e no período da Renascença estas diferenças quase desapareceram, com exceção dos casos de incomensurabilidade. A palavra proportion, de acordo com Smith (1958), foi utilizada para designar séries, a exemplo de Pacioli (1494). O uso da palavra proportion para este tipo de designação era restrito a séries de quatro termos. Este tipo de série aparecia em registros feitos por antigos escritores como uma proporção aritmética, b – a = d – c, como 2, 3, 4 e 5 e também de uma proporção geométrica, a: b = c: d, como em 2, 4, 5 e 10. Ademais destas proporções, os gregos acrescentaram a proporção harmônica. Se, por um lado, a palavra proporção passou por variações no processo de desenvolvimento simbólico, até o seu definitivo estabelecimento, assim também aconteceu com outros termos relacionados, a exemplo da regra de três. A regra de três foi chamada 86 assim pelos hindus e árabes, além de certos escritores latinos. Esta regra foi largamente utilizada por mercadores orientais para a resolução de determinados problemas numéricos. Foi também denominada “regra de ouro”, “chave dos mercadores” e “regra dos mercadores”. Neste levantamento histórico sobre o conceito de proporcionalidade apresentamos alguns pontos do desenvolvimento deste conceito, bem como a maneira como ele foi compreendido por diferentes povos em diferentes épocas. Passemos, agora, a discutir algumas perspectivas teóricas que envolvem a resolução de problemas de proporcionalidade na área de Educação Matemática. 1.3 Resolução de problemas de proporcionalidade A proporcionalidade é um conceito de considerável relevância para a matemática e costuma aparecer em várias situações cotidianas tais como: na compra e venda, nas receitas de cozinha, na construção civil e nos demais ramos da atividade da ciência e tecnologia. Além disso, o conceito de proporcionalidade está relacionado a muitos outros conceitos matemáticos, como porcentagem, fração, função linear, taxas, inclinação do gráfico de uma função etc. O conceito de proporcionalidade tem sido estudado com muito interesse pela psicologia no que se refere ao desenvolvimento cognitivo de sujeitos escolarizados e também não escolarizados. Esses estudos são realizados porque a proporcionalidade possui a propriedade da resolução de problemas matemáticos abrangerem diversos contextos, não se restringindo unicamente a problemas matemáticos de sala de aula. Resolver problemas que envolvem o conceito de proporcionalidade vai muito além da mera aplicação de algoritmos, a exemplo da regra de três, costumeiramente associada à proporcionalidade. A compreensão de problemas que envolvem a proporcionalidade requer inicialmente, o estabelecimento das relações que existem entre as grandezas ou variáveis. 87 Segundo Spinillo (1997), o pensamento proporcional refere-se basicamente à habilidade em estabelecer relações. Para Schliemann e Carraher (1997) o estudo da proporcionalidade na escola se restringe apenas à estratégia regra de três, baseando-se nas propriedades de razões equivalentes, ou seja, dadas duas razões equivalentes x ce b a , as igualdades x c b a  e cbxa  são verdadeiras e, portanto, a cbx  . Se o professor em seu trabalho com proporcionalidade utiliza apenas este tipo de procedimento, deixa de explorar as relações existentes entre as grandezas consideradas, consequentemente perde a oportunidade de desenvolver juntos aos seus alunos o pensamento proporcional. Dessa forma, entendemos que a resolução de problemas de proporcionalidade deve explorar as relações existentes entre as grandezas em questão, bem como enfatizar a relação deste conceito com outros conceitos matemáticos. Historicamente a resolução de problemas já fazia parte da vida das pessoas, cuja utilização possuía cunho prático, ou seja, resolviam problemas de acordo com as suas necessidades de sobrevivência. Para a resolução de determinados problemas as pessoas utilizavam métodos e estratégias de solução, e, através destes procedimentos, os conceitos, mesmo que implícitos, são atualmente reconhecidos por aqueles que se dedicaram a estudos históricos. Na concepção de Stanic & Kilpatrick (1990 apud HUANCA, 2006, p. 23), “os métodos particulares de resolução de problemas têm uma longa história”. Eles dizem que Vera Sanford, em seu trabalho de 1927 - A história de problemas de álgebra -, dá um exemplo da aplicação da regra da falsa posição, usando um problema do século XV, trabalhado pelo matemático Phillipo Calandri: 88 A cabeça de um peixe pesa 3 1 do peso total dele, seu rabo pesa 4 1 e o que restou pesa 30 onças. Qual é o peso total do peixe? Para a solução deste problema é aplicado o método da falsa posição: Supondo que o peso total do peixe seja 12 (posição inicial) 1212 4 112 3 1  x 1234  x 5x Mas, sabemos que o restante do peixe pesa 30 onças, ou seja: 30x . Temos que 30 é múltiplo de 6, assim como 12 também o é. Deste modo, para que seja mantida a proporcionalidade, multiplica-se 12 por 6, que resulta em 72. Conclui-se que o peso total do peixe é 72. Esse problema demonstra que, para a resolução do problema acima, fez-se necessário que o sujeito recorresse ao raciocínio proporcional. A compreensão de um determinado conceito matemático pode ser verificada através das estratégias da resolução de problemas, tendo em vista que, em momentos da busca da solução do problema proposto, o sujeito submetido à resolução poderá utilizar habilidades matemáticas para encontrar uma solução. A respeito da compreensão em matemática, Skemp considera dois tipos de compreensão em matemática: a compreensão instrumental e a compreensão relacional. A compreensão instrumental refere-se à aquisição de regras ou métodos e à capacidade de usá-las na resolução de problemas. Neste caso, atribui-se ênfase ao saber como sem saber por quê. O objetivo é procurar uma regra que permita dar uma resposta satisfatória para o problema. Por outro lado, a compreensão relacional fundamenta-se em princípios que têm uma aplicação mais geral. Assenta no princípio de saber, ao mesmo tempo, o como e o porquê, permitindo não só perceber o método que funciona e porquê, como ajuda a relacioná-lo com o problema e possibilita a sua adaptação para a resolução de novos problemas. (SKEMP, 1978 apud DOMINGOS, 2003, p. 14) 89 A resolução de problemas tem sido estudada por diversos pesquisadores em Educação Matemática e, com frequência, estes estudos iniciam-se por definir o que vem a ser problema, e qual o significado de resolver um problema. Onuchic (1999, p. 215) entende que por problema “é tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que se está interessado em resolver”[...], ou seja, qualquer situação que estimule o sujeito a pensar, que possa interessá-lo, que lhe seja desafiadora e não trivial. Polya (2006) assinala que resolver um problema consiste em encontrar um caminho previamente não conhecido, uma saída para uma situação difícil, para vencer um obstáculo, para alcançar um objetivo desejado que não pode ser imediatamente alcançado por meios adequados. Compreender os dados de um problema, tomar decisões para resolvê-lo, estabelecer relações, comunicar os resultados e possuir capacidade para utilizar estratégias conhecidas são características que devem ser estimuladas e exploradas no processo de investigação, através da resolução de problemas. O foco pretendido na resolução de problemas é considerar “o que fazer”, “o como fazer” ou “o que pensar”, e só posteriormente discutir os aspectos da formalização, da simbologia e das técnicas envolvidas no processo de resolução. No presente estudo, a compreensão do que seja um problema matemático corresponde àquilo que González (1998) considera como uma Tarefa Intelectualmente Exigente (TIE), ou seja, “aquela que propicia um esforço de raciocínio e que não se realiza com o mero exercício de recordação e memória, nem com a utilização mecânica de esquemas algorítmicos, nem com a aplicação de receitas pré-concebidas; ao contrario, deve propiciar a realização de certo esforço intelectual”. (GONZÁLEZ, 1998, p. 67) Frequentemente problema é concebido como toda e qualquer situação que exige a descoberta de informação desconhecida para alguém que busca resolvê-lo ou a criação de uma demonstração de um resultado dado. 90 A resolução de um problema matemático geralmente apresenta características de resolução baseadas em um modelo bastante antigo. Mais especificamente, a resolução que envolve a proporcionalidade está relacionada à teoria das proporções de Eudoxo (408-355 a.C) cujo princípio matemático é a igualdade de razões. Este modelo matemático possui bastante influência no ensino de proporcionalidade até os dias de hoje. As concepções sobre a proporcionalidade fundamentadas no modelo da igualdade de razões são classificadas atualmente como uma abordagem puramente tradicional e geralmente difundida pela maioria dos livros didáticos de matemática, cuja atenção principal é dada a problemas de valor desconhecido, enfatizando o uso do algoritmo da regra de três para resolução: [...] grande ênfase tem sido dada apenas aos problemas de valor desconhecido e ao algoritmo da “regra de três”, tornando-se um algoritmo mecanizado que, muitas vezes, é erroneamente empregado. [...] Parece que, muitas vezes, no trabalho com proporcionalidade, o produto final desejado é a regra de três em si e não o raciocínio proporcional. (BOTTA, 1997, p. 126). Para a resolução de problemas de proporcionalidade, considerando-se uma abordagem tradicional difundida geralmente pela maioria dos livros didáticos, encontra-se uma sequência que consiste em: a) Definição de razão; b) Definição de proporção; c) Definição de grandezas proporcionais: A grandeza A é diretamente proporcional à grandeza B, se ambas variam na mesma razão, isto é, se dados os valores, a, b de A e os valores correspondentes c, d de B, os quatro valores formarem a proporção d c b a  . 91 Por outro lado, A é inversamente proporcional a B, se ambas variam em razões inversas, ou seja, se os valores a, b, c e d, formarem a proporção c d b a  . O modelo mencionado anteriormente descreve de forma adequada o conceito de proporcionalidade, porém ele não deve ser apresentado nestes padrões para se introduzir o estudo sobre proporcionalidade. O desenvolvimento do raciocínio proporcional requer um amplo leque de situações que priorizem o campo multiplicativo, tendo em vista que o raciocínio proporcional depende das estruturas multiplicativas já desenvolvidas pelo sujeito. Para isso julgamos necessário o conhecimento, por parte do professor, de alternativas diferenciadas para a exploração da proporcionalidade no contexto da sala de aula. Nesse sentido, cabe destacar a concepção de Ávila: [...] com a fundamentação dos números reais [...] em bases sólidas e mais confiáveis do que as da antiga geometria, a teoria das proporções de Eudoxo passa a ter apenas valor histórico. [...] E não precisamos mais usar a superada teoria das proporções, muito menos os resquícios que dela ficaram na terminologia, na notação e, sobretudo, na maneira de apresentar fatos, como os problemas de regra de três. (ÁVILA, 1986a, p. 2) Alguns autores, a exemplo de Imenes e Lellis (2005), julgam que concepções baseadas na abordagem tradicional, apresentada anteriormente, além de serem inadequadas para o tratamento do conceito de proporcionalidade para o nível fundamental de ensino, estão ultrapassadas do ponto de vista matemático. Encontramos em Lima et. al (2005, p. 2) definições mais modernas para a proporcionalidade, às quais estão relacionadas ao conceito de função, como podemos ver a seguir: sejam x e y dois tipo de grandezas. Diz-se que y é proporcional a x quando: 1) As grandezas x e y acham-se de tal modo relacionadas que a cada valor de x corresponde um valor bem determinado de y. Diz-se, então, que existe uma correspondência x  y e que y é função de x. 92 Quando escrevemos x y estamos querendo dizer que y é o valor que corresponde a x. 2) Quanto maior for x, maior será y. Em símbolos: se x y e x’ y’ então x. DAMEROW, P. Socrates in Babylon. 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Madrid: Siglo XXI de España Editores, 1998. 208 ANEXOS ANEXO 1 MODELO PARA O REGISTRO DAS NOTAS DE CAMPO Título Data Horário Local da observação Registro descritivo Registro reflexivo 209 ANEXO 2 QUESTIONÁRIO As informações a seguir são solicitadas com o objetivo de permitir que conheçamos melhor o corpo docente de matemática e que fará parte deste estudo. Mesmo solicitando a identificação dos participantes, esclareci que as análises serão realizadas sem identificação. As informações contidas neste questionário serão analisadas de maneira geral. Solicitamos que as respostas sejam as mais precisas possíveis. Por favor, responda atentamente a cada uma das questões. Obrigado. Data:___/___/___ INFORMAÇOES PESSOAIS Nome: ______________________________________________________ Telefone: _________ Email: ____________________________________ 1. Sexo: 1. ( ) Masculino 2. ( ) Feminino 2. Idade: 1. ( ) Até 20 anos 2. ( ) 21 – 30 anos 3. ( ) 31 – 40 anos 4. ( ) Mais de 40 anos Escolaridade: 3. O ensino fundamental foi feito em escola: 1. ( ) Pública 2. ( ) Privada 4. O ensino médio foi feito em escola: 1. ( ) Pública 2. ( ) Privada 5. O ensino médio foi: 1. ( ) Curso de magistério (antigo curso normal) 2. ( ) Curso Técnico 3. ( ) Ensino Médio – regular 4. ( ) Supletivo 210 5. ( ) Outros. Especifique: ________________________________________ 6. O curso superior foi feito (está sendo feito) em instituição: 1. ( ) Pública 2. ( ) Privada 7. Fez (ou está fazendo) curso superior no período: 1. ( ) Diurno 2. Noturno Nome da instituição:_____________________________________________ Cidade: ______________________ Ano da conclusão: _________________ Observação: Caso tenha mais de um curso superior cite apenas um deles. Cite aquele que estiver mais relacionado ao exercício do magistério. 8. Tipo de curso no qual é graduado (ou está se graduando) 1. ( ) Licenciatura Plena em Matemática 2. ( ) Bacharelado em Matemática 3. ( ) Licenciatura em \Ciências, habilitação Matemática 4. ( ) Licenciatura em Ciências, habilitação ___________________________ 5. ( ) Outro curso superior. Qual? ___________________________________ 9. Qual a razão de ter escolhido esse curso superior? _________________________ ______________________________________________________________________ 10. Você trabalhava (trabalha) enquanto fazia (faz) o curso superior? 1. ( ) Sim 2. ( ) Não INFORMAÇÕES PROFISSIONAIS 11. Atualmente você dá aulas de Matemática: 1. ( ) Na Educação Infantil 2. ( ) Do 1o ao 5o ano do Ensino Fundamental 3. ( ) Do 6o ao 9o ano do Ensino Fundamental 4. ( ) De 1a a 3a série do Ensino Médio 5. ( ) Curso Superior 6. ( ) Outro. Especifique: ________________________________________________ 12. Há quanto tempo você é professor de Matemática? 1. ( ) De 1 a 5 anos 211 2. ( ) De 6 a 10 anos 3. ( ) De 11 a 15 anos 4. ( ) Mais de quinze anos Escola onde você leciona a maior quantidade de aulas de matemática: Nome: ________________________________________________________________ Cidade: ____________________________________ Estado: ____________________ Esta escola é: 1. ( ) Pública 2. ( ) Privada Você mora na mesma cidade onde leciona? 1. ( ) Sim 2. ( ) Não 13. Há quanto tempo você leciona nesta escola? 1. ( ) De 1 a 5 anos 2. ( ) De 6 a 10 anos 3. ( ) De 11 a 15 anos 4. ( ) Mais de 15 anos 14. Você tem curso de especialização, mestrado ou doutorado? 1. ( ) Sim. 2. ( ) Não Se a resposta for afirmativa, especifique: Nome do curso: _________________________________________________________ Instituição: _____________________________________________________________ Local: __________________________________ Ano de conclusão: _______________ 15. Você utiliza os documentos oficiais como referência para ao ensino da matemática? 1. ( ) Sim 2. ( ) Não Se sua resposta for afirmativa, cite quais: _____________________________________ ______________________________________________________________________ 16. Você utiliza livro didático para ensinar Matemática? 1. ( ) Sim 2. ( ) Não 17. Você conhece e utiliza outros recursos para o ensino da Matemática? 1. ( ) Sim 2. ( ) Não Se sua resposta for afirmativa, cite quais: _____________________________________ ______________________________________________________________________ 212 18. Você prefere ensinar: 1. ( ) Aritmética 2.( ) Álgebra 3. ( ) Geometria 4. Não tenho preferência 19. Você já estudou História da Matemática? 1. ( ) Sim 2. ( ) Não Se sua resposta for afirmativa, cite em que circunstâncias: _______________________ _____________________________________________________________________ INFORMAÇÕES CONCEITUAIS 20. Para você o que significa Proporcionalidade?__________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _______________________________________________________ 21. Para você o conceito de Proporcionalidade está relacionado a outros conceitos matemáticos? 1. ( ) Sim 2. ( ) Não Se sua resposta for afirmativa, cite quais: __________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________________________________________________ 22. Para você o conceito de Proporcionalidade está relacionado a outras áreas do conhecimento? 1. ( ) Sim 2. ( ) Não Se sua resposta for afirmativa,cite algumas dessas relações ____________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ____________________________________________________________ 23. Você teve a oportunidade de estudar o conceito de Proporcionalidade via História da Matemática? 1. ( ) Sim 2. ( ) Não 213 Se sua resposta for afirmativa, cite em que circunstâncias: ____________________________ ___________________________________________________________________________ _________________________________________________________________ 24. Você acredita que a História da Matemática poderia contribuir para a sua compreensão a respeito do conceito de Proporcionalidade? 1. ( ) Sim 2. ( ) Não Se sua resposta for afirmativa, cite as principais contribuições ____________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ____________________________________________________________ 214 ANEXO 3 ROTEIRO PARA A ENTREVISTA 1) Qual o significado de proporcionalidade para você? 2) Você já tinha conhecimento acerca do sistema de numeração babilônico e egípcio? 3) Em que medida a atividade realizada contribuiu para o conhecimento destes sistemas? 4) Nas atividades desenvolvidas foi abordado o conceito de proporcionalidade. De que maneira ele foi abordado? 5) Você utilizaria atividades deste tipo para ensinar proporcionalidade aos seus alunos? Por quê? 6) Em sua opinião a História da Matemática pode contribuir para a compreensão de um conceito matemático? De que maneira? 215 ANEXO 4 Tableta de multiplicação babilônica impressa para os professores ANEXO 5 MATERIAL IMPRESSO PARA OS PROFESSORES CONTENDO QUESTIONAMENTO SOBRE O MÉTODO DE RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DOS EGÍPCIOS Observando a resolução da equação feita acima, você poderia afirmar que 21 é realmente a solução da equação? Justifique sua resposta. 216 ANEXO 5 MATERIAL IMPRESSO PARA OS PROFESSORES CONTENDO QUESTIONAMENTO SOBRE O MÉTODO DE RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DOS EGÍPCIOS Observando a resolução da equação feita acima, você poderia afirmar que 21 é realmente a solução da equação? Justifique sua resposta. 217 ANEXO 6 NOTAS DE CAMPO Título Visita à escola para planejamento dos encontros Data 25/07/08 Horário 15h30min Local da observação Colégio Municipal Padre Galvão Registro descritivo Por volta das 15h30min me reuni com os professores de matemática na tela sala. Esta sala é destinada a reuniões e aulas quando os professores necessitam apresentar algum vídeo ou usar recursos computacionais. Neste dia estavam cinco professores. Eles foram chegando aos poucos. Pareciam está preocupados ou algo semelhante, mas logo entendi que se tratava de preocupações com relação às atividades rotineiras, já que se encontrava em período de avaliação de recuperação da segunda unidade e tinham prazo determinado para entregar as notas dos alunos para a coordenação. Reunimos-nos em círculo e os professores conversavam entre si antes que eu iniciasse a minha fala. Registro reflexivo O encontro com os professores durou em média 1h e foi bem mais centrado que o anterior ocorrido em Maio. Falei sobre a minha intenção de pesquisa na área de ensino de matemática e da importância de estudos desse tipo para a educação matemática, enfatizando sobre a minha responsabilidade em desenvolver este estudo em contribuição de elevar a qualidade do ensino no País. Após estes esclarecimentos os professores concordaram em participar do estudo e me pareceram, inclusive, curiosos e interessados. Este é um tipo de trabalho que os referidos professores nunca participaram e um dos motivos de mostrara-se interessados, segundo alguns falaram é que sabem que em muitas escolas pesquisadores das universidades realizam estudos e nessa escola isso nunca tinha acontecido. Para finalizar me fizeram algumas perguntas sobre a pesquisa, tais como: duração da pesquisa, se envolveria os seus alunos, que tema ou conteúdo matemático iria estudar, como seria a participação deles no estudo. Esclareci todas essas questões. Ao esclarecer que pretendia trabalhar com proporcionalidade, um dos professores me questionou? Por que proporcionalidade? Não poderia ser um tema mais fácil de estudar não? Respondi para o professor: porque a proporcionalidade é um conteúdo muito importante no processo de ensino da matemática, tendo em vista que ele está relacionado a outros conceitos matemáticos, bem como a outras áreas do conhecimento. Esse questionamento me deu indícios que o professor já possui uma posição definida sobre o estudo com proporcionalidade, considerando-o difícil. Decidimos que nos encontraríamos na primeira sexta- feira de cada mês e caso fosse necessário me disponibilizaria uma outra sexta- feira. 218 Título Encontro com os professores Data 01.08.08 Horário 13h30min Local da observação Colégio Municipal Padre Galvão Registro descritivo Reunimos-nos na biblioteca da escola, pois a sala de reuniões estava ocupada neste dia. Os professores pareciam está mais calmos em relação ao encontro anterior. Estavam presentes seis professores e o encontro teve duração apenas de meia hora, pois neste dia os professores iam se reunir com a coordenação da escola para o planejamento. Durante este tempo conversamos sobre as pesquisas desenvolvidas pelas universidades e o fato de muitas delas não chegarem à escola, pois é consenso do grupo que o acesso as tais pesquisas poderiam trazer contribuições para a melhoria do ensino – aprendizagem no nosso país, tendo em vista que a maioria dos professores não dispõem de condições de ingressar em cursos de pós-graduação em nível de mestrado e doutorado. Esclareci que no próximo encontro aplicaria um questionário e ficou acertado que esta etapa seria realizada no dia 05.09.08, primeira sexta-feira de setembro a partir das 13h30min. Registro reflexivo A discussão do grupo revela aquilo que de certa forma já se sabe, que é o fato de desenvolver metodologias variadas e adequadas para que o aluno atinja a aprendizagem, mas isso se torna difícil, pois sendo provientes de uma formação tradicional, muitas vezes fica difícil trabalhar de outra forma, além do mais existe uma sobrecarga de trabalho muito grande dos professores, o que dificulta ainda mais o acesso ao ingresso em cursos de pós-graduação e até mesmo disponibilidade de tempo para estudos individuais. Especificamente neste grupo percebi através de suas falas que eles na maioria das suas aulas trabalham os conteúdos de forma tradicional, tal qual foi formado. Esse fato me parece uma barreira muito forte a ser modificada. 219 Título Encontro com os professores para aplicação do questionário Data 05.09.08 Horário 13h30min Local da observação Colégio Municipal Padre Galvão Registro descritivo O encontro com os professores para a aplicação do questionário iniciou às 13h40min na tela sala. Estavam presentes seis professores e três deles me avisaram com antecedência que não poderiam ir até à escola naquele dia, me solicitando outro encontro no qual eu pudesse aplicar o questionário para eles. Inicialmente esclareci que os dados ali contidos bem como as análises não seriam identificados. Solicitei dos presentes que as suas respostas fossem as mais precisas possíveis e que respondesse atentamente a cada uma das questões. Alguns professores apresentaram dúvida com relação a décima quinta questão, que tratava sobre documentos oficiais e tiveram dificuldades na vigésima questão que perguntava sobre as estratégias por eles utilizadas para ensinar o conceito de proporcionalidade. Para as demais questões não houve dúvidas ou dificuldades. Esclareci que a próxima etapa do estudo seria a aplicação das atividades e que necessitaria que este momento fosse filmado, mas para isso precisava da autorização de todos. Não houve nenhuma rejeição, sendo assim ficou certo que no inicio do próximo semestre com a data a definir nos reuniríamos para a realização das atividades. Registro reflexivo No momento da aplicação do questionário os professores pareciam ansiosos. Um fato particular chamou-me atenção: a maioria deles teve dificuldade para responder a questão sobre as estratégias utilizadas para ensinar o conceito de proporcionalidade. Alguns me questionaram: como assim? Você quer que eu escreva a forma como eu ensino esse conceito? Com alguns comentários feitos por eles pude perceber que eles não conheciam ou não aplicavam estratégias diferentes daquelas que os livros didáticos trazem e arriscando um pouco mais na dedução: alguns parece não ensinar esse conceito aos seus alunos, pois o julga complexo e que os seus alunos não têm base matemática para aprender o conceito de proporcionalidade. 220 Título Retorno à escola para aplicação do questionário Data 10.09.08 Horário 15h30min Local da observação Colégio Municipal Padre Galvão Registro descritivo Reuni-me com os três professores que faltavam responder o questionário. Neste dia tive que ficar a tarde inteira na escola, pois tinha que esperar pelos horários vagos de cada um deles. Apliquei o questionário na tela sala que estava disponível e era um lugar tranqüilo. Inicialmente fiz os mesmos esclarecimentos que já tinha feito aos outros professores. O desenvolvimento desta etapa foi tranqüilo, porém eles também apresentaram dúvidas quanto à décima quinta e vigésima questão. Informei sobre o período de aplicação das atividades e sobre os procedimentos que eu adotaria, havendo concordância por partes deles. Registro reflexivo Os professores encontravam tranqüilos no momento da aplicação do questionário, o que fizeram em aproximadamente meia hora. Com relação a dúvida apresentada na décima quinta questão, me pareceu que os professores não utilizam os documentos oficiais (Parâmetros Curriculares Nacionais) como suporte teórico na sua prática docente. Já com relação a vigésima questão, me pareceu que estes professores ao ensinar o conceito de proporcionalidade utilizam apenas o livro didático como recurso para este fim. 221 Título Aplicação das atividades históricas Data Maio de 2009 Horário 14h00min Local da observação Colégio Municipal Padre Galvão Registro descritivo A aplicação das atividades realizou-se na tela sala com início às 14 horas. A sala estava preparada com aparelhos de multimídia, além de uma pessoa que se encontrava presente para fazer a filmagem. Estavam presentes todos os professores envolvidos no estudo. Sentaram-se formando um semicírculo e demos início as atividades. Iniciei com a atividade sobre os babilônios, apresentando os slides que continham as questões sobre o sistema de numeração destes povos. A apresentação foi acompanhada de pequenas discussões, elaboração de argumentos e lançamento de hipóteses. Em seguida apresentei uma tableta babilônica e lancei algumas questões sobre a mesma. No segundo momento apliquei a atividade sobre os egípcios, mantendo para esta o mesmo procedimento da anterior. Também entreguei aos professores algumas folhas com a impressão da tableta babilônica e da equação dos egípcios. O desenvolvimento das atividades durou aproximadamente duas horas e meia. Registro reflexivo No momento da aplicação das atividades os professores encontravam-se tranqüilos, porém curiosos com o conteúdo das atividades. Ao vivenciar o desenvolvimento das atividades percebi que o grupo apresentava pouco conhecimento sobre o conhecimento matemático daquelas civilizações, o que reflete certa carência em História da Matemática. Alguns comentários reforçam essa hipótese: não conheço esse sistema; não conheço essa tableta babilônica; os livros didáticos às vezes falam dos sistemas antigos, mas não mostram como são estruturados. Quanto a interpretação da tableta babilônica, os professores apresentaram relativa facilidade para reconhecer o conceito de proporcionalidade ali implícito: se a gente relacionar uma coluna com a outra vamos ver que existe proporção aí. Por outro lado, o mesmo não aconteceu com o processo de resolução de equação pelo método da falsa posição, em que nem todos eles conseguiram deduzir que este método nada mais é do que a aplicação de proporções e sendo assim contém o conceito de proporcionalidade. Não estou vendo proporção nessa resolução da equação. Mas levando em consideração a quantidade de professores que deduziram em ambas as atividades que o conceito de proporcionalidade estava presente, posso pressupor que as atividades históricas contribuíram para a compreensão de um conceito e este fato nos dá indícios que a História da Matemática dá suporte teórico para o ensino de conceito matemático. 222 Título Realização das entrevistas Data Julho de 2009 Horário A partir das 14 h Local da observação Colégio Municipal Padre Galvão Registro descritivo Inicialmente esclareci sobre o procedimento adotado para esta fase da pesquisa, pedindo aos professores que respondessem às perguntas de forma clara e atenta, prestando atenção a cada uma das perguntas. Também lhes informei que os dados não seriam divulgados sem a autorização dos mesmos. A entrevista do tipo semi-estruturada foi aplicada individualmente e de acordo com a disponibilidade de horários vagos dos professores, assim tive que ir à escola várias vezes até que entrevistasse todo o grupo. A entrevista foi gravada em áudio e o desenvolvimento destas se deu forma satisfatória. Os professores estavam bem à vontade e foram respondendo às perguntas de maneira natural. Registro reflexivo A par das respostas, mesmo sem fazer a análise das mesmas, posso pressupor que houve certa modificação na compreensão do conceito de proporcionalidade por parte destes sujeitos. Tendo em vista que antes da aplicação das atividades, estes professores quando falavam em proporcionalidade logo se reportavam a regra de três. Agora eles já dão indícios da compreensão deste conceito por meio de estratégias diferentes da regra de três. Posso pressupor agora com mais consistência que através de atividades mediadas pela História da Matemática é possível compreender um conceito matemático. Esta pressuposição encontra respaldo na experiência da realização de tais atividades e na própria fala dos sujeitos envolvidos na pesquisa. 223 ANEXO 7 Conteúdo das entrevistas na íntegra Transição de entrevista realizada com o Professor A Tempo de docência: de 6 a 10 anos Gênero: Masculino Legenda E – entrevistador R – entrevistado E - Qual o significado de proporcionalidade para você? R - É uma igualdade entre razões, que através dela você descobre o quanto uma grandeza está se relacionando com a outra em matéria de tamanho, etc. E - Você já tinha conhecimento acerca do sistema de numeração babilônico e egípcio? R – Pouco. Com relação ao que a gente adquiriu naquele dia abrangiu bem mais coisa, pois eu só tinha noções básicas. E - Em que medida a atividade realizada contribuiu para o conhecimento destes sistemas? R – Bastante porque ampliou aquele nível básico que a gente tinha e “acrescentou” vários outros fatores né! Assim a gente passou a dar importância maior de se trabalhar isso. Trabalhar isso tem sido um pouco esquecido nos livros didáticos. E – O que você quis dizer com isso? R – Me refiro aos sistemas de numeração estudados nas atividades. E - Nas atividades desenvolvidas foi abordado o conceito de proporcionalidade. De que maneira ele foi abordado? R – Através do reconhecimento. Eu me lembro daquela questão da “tábua”, a gente percebe que houve a construção da numeração segundo uma proporção; eles já trabalhavam com a proporção naquelas “tábuas”, a gente percebeu dentro da construção do sistema sempre está inserido ali a idéia de proporcionalidade. Já com relação aos egípcios, a idéia de proporcionalidade [...] é [...] a questão da falsa posição. Testava-se um valor e aquele valor 224 chegava a uma resposta que não era a que se queria, mas fazia-se uma proporção daquilo para o valor que se quer, quantas vezes o valor que se quer é maior ou menor e a partir daí se conseguir a resposta que era desejada, fazendo a proporção de quanto é mais ou menos do que aquilo. E - Você utilizaria atividades deste tipo para ensinar proporcionalidade aos seus alunos? Por quê? R – Sim. Ai vem justamente é [...] o enfoque sobre uma questão de a gente ver mais essa grade, usar essa grade porque se trabalha o sistema de numeração na 5ª, já pode introduzir essa idéia no 5º e não deixar para o 6º, 7º ano que é aquela questão que a gente que a gente tem de rigidez de seguir a grade. Também é porque a gente é muito “vidrado” na questão do livro didático e como a maioria segue a gente acaba[...] E – Em que sentido você está utilizando o termo grade? R – Quero dizer trabalhar de uma forma diferenciada da tradicional, pois no ensino tradicional raramente se utiliza atividades deste tipo. E - Em sua opinião a História da Matemática pode contribuir para a compreensão de um conceito matemático? De que maneira? R – Sim. Pode contribuir estimulando mais, porque determinadas coisas que a gente tem de decorar, aceitar a gente ver que tem uma origem, teve um fator histórico, teve todo um processo histórico, toda uma construção para se chegar ali. Acho que se o aluno passasse a perceber que aquilo não é uma coisa pronta, ele também não ia ter que pensar que tinha que decorar e pronto! Ele ia perceber que é uma construção, então ele pode ser capaz de refazer essa construção, né, pode ir refazer essa construção, talvez isso facilite o aprendizado do que ele só decorar, do que já pegar pronto e decorar. A História da Matemática mostra que tudo ou praticamente tudo teve basicamente uma construção, não foi assim do dia para a noite que surgiu aquilo ou tipo decore e pronto, como muitas vezes o livro didático estimula que a gente faça, já tudo pronto sem mostrar a construção que teve para aquilo. E – Você poderia me explicar melhor o sentido que você esta empregando para o termo construção, ou seja, o que é esta construção? E o que você quer dizer quando se refere à aquilo? 225 R – Me refiro a construção do conhecimento matemático e quando falei a palavra aquilo me referi à matemática. Transcrição da entrevista realizada com o Professor B Tempo de docência: de 1 a 5 anos Gênero: Masculino E - Qual o significado de proporcionalidade para você? R – Proporcionalidade [...] é [...] se a gente for comparar com [...] acho que é uma pequena parte que a gente vai pegar como, com relação a outra, como por exemplo, [...] é aquela história, que a gente usou [...] posso usar a história da abelha? Uma abelha come mais que um elefante, né, isso. É aquela história da proporção, do tamanho ta certo? Com relação a abelha come mais, mas dependendo da proporção do tamanho dela com relação ao tamanho do elefante. E - Você já tinha conhecimento acerca do sistema de numeração babilônico e egípcio? R – Não. Para ser sincero não. Naquele dia que a teve a aula foi que eu vim saber da cunha. Não cunha eu já tinha uma noção! Porque a gente ver nos livros que ele fala, mas não tinha se aprofundado como a gente. A gente deu olhadinha naquela parte da [...] é de como elas se agrupavam para formar os números e, mas os egípcios a gente tinha uma noção porque a gente usa mais no dia a dia da aula. E - Em que medida a atividade realizada contribuiu para o conhecimento destes sistemas? R – Ah! Isso aí contribuiu muito, né, porque se a gente for pensar numa coisa que eu não conhecia; conhecia só de ouvir falar, não levava, não dava tanta relevância nas aulas para passar para os alunos. A gente dava só uma olhadinha e geralmente os números que a gente usava era só os romanos, né, e isso aí não, a gente aprendeu, se aprofundou mais, com relação aquela maneira do formato e o jeito que ia se formando o número 1, o número 2, [...] e [...] como é que se diz? A posição da cunha ia diferenciar no valor do número. Por isso que eu digo que a gente conheceu muito. Uma coisa que a gente não sabia, eu mesmo não sabia e aprendi bastante. E - Nas atividades desenvolvidas foi abordado o conceito de proporcionalidade. De que maneira ele foi abordado? 226 R – Eu lembro que a gente comparou uma tabela com a outra e viu que os números iam até o nove, depois ia até o dezoito, ia numa seqüência de 1 para 9, nessa proporção a gente chegou até o 60 ou 59? Falo do 9, depois 18, 81, [...] aquela coisa lá. A gente só fez comparar [...] proporção de 1 para 9. Na dos egípcios a gente usou como forma de fração. Eu resolvi a equação por fração, não me lembro bem. E - Você utilizaria atividades deste tipo para ensinar proporcionalidade aos seus alunos? Por quê? R – Sim. Até porque o arraribá traz. Não só utilizaria como utilizo. O arraribá traz algumas histórias. Na parte de ensino a distancia a gente está estudando, ou melhor, a gente estudou na parte que fala da história traz muito essas questões, ele diz que mexe com a mente do aluno e fica mais fácil de aprender. E – Por que você acredita que usando atividades deste tipo fica mais fácil de aprender? R – Porque usando a história eu acredito que os alunos se sentirão mais motivados para estudar e consequentemente aprenderão. E - Em sua opinião a História da Matemática pode contribuir para a compreensão de um conceito matemático? De que maneira? R – Pode sim. Até porque essa história de proporção, né isso, da cunha, aquela parte do 1 para o 9, tá influenciando, ta ajudando a gente resolver aquelas outras questões. Então se a pessoa for pensar dessa maneira, influencia; é tanto que a equação a gente resolve por isso aí, usando aquela formula dá [...] não estou lembrado [...] o método que a gente usou para resolver a equação, ou seja, que os meninos usaram, eu usei fração. E – A questão da proporção na está influenciando em que? R – Eu quis dizer que a identificação do conceito de proporção influencia nas características do sistema de numeração babilônico e egípcio . 227 Transcrição da entrevista realizada com o professor C Tempo de docência: de 6 a 10 anos Gênero: Masculino E - Qual o significado de proporcionalidade para você? R – Para mim proporcionalidade é tudo que tá ligado a proporção. E - Você já tinha conhecimento acerca do sistema de numeração babilônico e egípcio? R – Já tinha conhecimento. Inclusive na sala de aula eu gosto muito de fazer aqueles exercícios. Muitas vezes as pessoas acham sem importância, mas eu gosto, pois fundamenta melhor a matemática. E – De que tipo de exercícios você fala? R – Exercícios que trazem elementos sobre a História da Matemática, mas que tenham relação com o conteúdo que eu esteja trabalhando. E - Em que medida a atividade realizada contribuiu para o conhecimento destes sistemas? R – Eu achei que fundamenta melhor o sistema, porque até então a gente “pega” nos livros e é uma coisa muito solta e aquela atividade que foi lá deixou a gente mais inteirado com o assunto, levando mais a sério; porque a gente ver que no livro vem duas páginas apenas muito soltas e a gente não tem nem tanto estímulo assim de pesquisar, procurar e essa atividade deu uma abertura para a gente ir mais fundo nesses sistemas. E – O que tem no livro que você acha tão solto? R – O que trata sobre a História da Matemática, pois nunca vi algo que ligasse a História da Matemática com o um conceito da matemática. E - Nas atividades desenvolvidas foi abordado o conceito de proporcionalidade. De que maneira ele foi abordado? R – Nas tabletas. Eu me lembro que tinha um número na 1ª coluna que estava ligado diretamente ao número da 2ª coluna, diretamente proporcional; era aí que estava a proporcionalidade. A dos egípcios eu não identifiquei, tinha muitos símbolos e agora não lembro. 228 E - Você utilizaria atividades deste tipo para ensinar proporcionalidade aos seus alunos? Por quê? R – Ah com certeza. Porque da forma que foi bom para a gente é [...] e foi esclarecedor para a gente e “puxou” a curiosidade, então eu acho que da mesma forma a gente pode fazer em sala de aula e “puxar” ainda mais a atenção do aluno. A princípio parece simples, só símbolos, aí quando a gente começa a ver a importância de conteúdo tão rico quanto esse, então é mais uma forma de conquistar o aluno. É uma coisa curiosa e interessante. E – Você poderia explicar melhor o que a princípio pareceu simples? R – É [...] pareceu que íamos estudar somente as representações da matemática do passado, depois vimos que ali estudamos um conceito da matemática muito usado atualmente. E - Em sua opinião a História da Matemática pode contribuir para a compreensão de um conceito matemático? De que maneira? R – Eu acho que sim. Posso falar até por mim, assim, eu tive professores que antes de iniciar o conteúdo ele contava a história, de onde vinha aquilo; então quando a gente ia ver o conceito em si do assunto ficava muito mais claro, então da mesma forma a gente pode fazer na sala de aula para que a matemática deixe de ser um pouco seca como é passada, de forma muito mecânica e começar a criar outros aspectos em torno do assunto para poder ficar mais gostoso de aprender, entendeu? E – De que outros aspectos você fala? R – Procurar usar outras estratégias para as aulas, que possam gerar mais interesse por parte dos alunos. 229 Transcrição da entrevista realizada com o Professor D Tempo de docência: de 6 a 10 anos Gênero: Masculino E - Qual o significado de proporcionalidade para você? R – É [...] para mim o significado de proporcionalidade é uma relação que existe entre as variações de duas grandezas, ou [...] é de duas grandezas; se uma varia numa determinada razão a outra para proporcionar a primeira tem que variar na mesma razão. Então, segundo o caso: se uma for aumentar o dobro, a outra tem que ser o dobro ou se uma diminuir pela metade, a outra do mesmo jeito, pela metade. Então, para mim, é mais ou menos isso. E - Você já tinha conhecimento acerca do sistema de numeração babilônico e egípcio? R – Muito remotamente, só[...] eu acho o que me recorda são os estudos da universidade, mesmo assim superficial. Muito pouco tempo. E mais ainda os livros didáticos não trabalham, então no nosso dia a dia, a gente não se detém muito a isso. Além do mais o MEC exige muito outras coisas e acaba não dando tempo cumprir tudo. E - Em que medida a atividade realizada contribuiu para o conhecimento destes sistemas? R – Eu acho o seguinte: como eu já estava é [...] muito assim é [...] sem noção dos conteúdos, eu acho que [...] é [...] eu nem sabia de determinadas coisas né, e aquela atividade trouxe algumas recordações, inclusive algumas novidades. É como eu já tinha dito na [...] como a gente não trabalha no dia a dia, a gente vai esquecendo e esquecendo da história a gente pode esquecer do futuro né!. Então contribui sim, com curiosidades e futuramente a gente pode usar com os alunos, mostrando que antigamente os povos escreviam assim, porque boa parte dela nem os livros didáticos trazem mais, é muito difícil de encontrar. E – Que tipo de novidade a atividade trouxe e o que é difícil de encontrar nos livros didáticos? R – A novidade que achei foi trabalhar um conteúdo através da História da Matemática, como foi o caso da proporção. E é muito difícil encontrar nos livros didáticos a História da Matemática desse jeito. E - Nas atividades desenvolvidas foi abordado o conceito de proporcionalidade. De que maneira ele foi abordado? 230 R – Era em relação ao [...] a forma como os antigos escreviam os números, que era no caso, tinha umas tabelas que aumentavam [...] uma coluna em relação a outra, os números era [...] como é que eu posso dizer? Eram multiplicados por 3 eu acho, de 3 em 3 e assim ia. Os egípcios [...] se não me engano eles usavam uma estratégia [...] não consegui entender. E - Você utilizaria atividades deste tipo para ensinar proporcionalidade aos seus alunos? Por quê? R – Dependendo da turma, acho que sim. Porque como achei curioso, então creio eu que os alunos também vão ter uma mesma mentalidade, porque sinceramente é bem diferente da nossa realidade; instiga os alunos a comparar como antigamente eram feitas as coisas e agora, né; eu acho que eles iam ficar curiosos como as coisas de antigamente eram arcaicas e hoje a gente ta muito desenvolvido e mesmo assim, eu acho que a gente tem muito a avançar. E do mesmo jeito que a gente ta vendo os conteúdos hoje, daqui a um certo tempo, os povos do futuro dirão a mesma coisa. Eu acho que a história geralmente contribui para a gente refletir sobre nosso passado e futuro. E - Em sua opinião a História da Matemática pode contribuir para a compreensão de um conceito matemático? De que maneira? R – Eu acredito que sim. No caso da razão e proporção a gente ver como os antigos faziam; é o sistema de numeração deles, então eles seguiam uma certa razão, né, onde os números iam de 10 em 10 ou então de 3 em 3 e assim por diante. É [...] deixa eu ver aqui [...] Eu acho que em relação a História da Matemática tem um que eu utilizo bastante, que é o jeito que os egípcios mediam as terras, né, em torno do rio, esta eu geralmente trago para as minhas aulas para poder iniciar o assunto de geometria e falar sobre o Teorema de Pitágoras, como eles faziam antigamente, é os cálculos de medida da hipotenusa no triângulo retângulo, para medir terrenos. Eu utilizo e acredito que a História da Matemática contribui. 231 Transcrição da entrevista realizada com o Professor E Tempo de docência: de 11 a 15 anos Gênero: Feminino E - Qual o significado de proporcionalidade para você? R – Proporcionalidade [...] é uma igualdade entre duas razões. O que mais que eu posso dizer? Eu acho que é isso, uma igualdade entre duas razões. E - Você já tinha conhecimento acerca do sistema de numeração babilônico e egípcio? R – Não. Não tinha conhecimento. Não conhecia nenhum dos dois. E - Em que medida a atividade realizada contribuiu para o conhecimento destes sistemas? R – Foi muito bom porque eu aprendi, tomei conhecimento de uma coisa que eu desconhecia. E – Você poderia me explicar melhor sobre o que aprendeu? R – Aprendi um pouco da estrutura do sistema de numeração babilônico e egípcio, além de ver um pouco da matemática que ensinamos hoje sendo utilizada na antiguidade. E - Nas atividades desenvolvidas foi abordado o conceito de proporcionalidade. De que maneira ele foi abordado? R – Ele foi abordado aqui na forma de resolver equação, só que acho que eles usavam essa proporcionalidade de maneira inconsciente, não sabia bem que era proporção. Era uma forma que eles conseguiam para resolver equação, usando proporção. E – E com relação aos babilônios? R – É porque a 1ª coluna está sempre multiplicada por 9 para construir a 2ª coluna. São números proporcionais. E - Você utilizaria atividades deste tipo para ensinar proporcionalidade aos seus alunos? Por quê? R – Sim. Até para eles entenderem onde surgiu a proporção. Até para entender o desenvolvimento, até onde ele chegou no momento de hoje. 232 E - Em sua opinião a História da Matemática pode contribuir para a compreensão de um conceito matemático? De que maneira? R – Sim. Porque eles conservam a origem da matemática, de onde começou até os dias atuais e como ela ta evoluindo, né, historicamente. A gente “pega” só aqueles conteúdos, fica só naqueles [...] já prontinhos, talvez eles não tenham nem noção de como [...] para eles compreenderem toda evolução, nesse sentido a História da Matemática pode contribuir. Transcrição da entrevista realizada com o Professor F Tempo de docência: de 1 a 5 anos Gênero: Masculino E - Qual o significado de proporcionalidade para você? R – É [...] eu entendo assim a proporcionalidade quando uma grandeza é [...] dobra de valor a outra grandeza cai para a metade, por exemplo [...] é [...] por exemplo, se a velocidade de um carro era de 10km/h e aumentar para 20km/h, o tempo de chegada, né, por exemplo, quando o carro tava em 10km/h o tempo era de 5 horas [...] 6 horas e dobrou de 10km/h para 20km/h, então o tempo vai “cair” de 6 horas para 3 horas. É o que eu entendo. E - Você já tinha conhecimento acerca do sistema de numeração babilônico e egípcio? R – Não. Assim eu via em livros, mas nunca parei para estudar o assunto e nem ensinar o assunto para o aluno. Eu já vi em livros, mas nos planejamentos nunca coloquei como um assunto para trabalhar com o aluno. E - Em que medida a atividade realizada contribuiu para o conhecimento destes sistemas? R – Assim [...] é [...] eu acredito que contribuiu assim para a gente ver como os egípcios faziam né, como era a numeração deles, como eles faziam as operações, né, acho que contribuiu também para mostrar outro tipo de numeração. E - Nas atividades desenvolvidas foi abordado o conceito de proporcionalidade. De que maneira ele foi abordado? R – Eu lembro que tinha uma tabuada [...] e [...] quando ia dobrando os valores poderia cair para a metade ou quando fosse triplicando o outro ia sendo dividido por três. Eram os múltiplos. Com relação a atividade dos egípcios não identifiquei como era. 233 E - Você utilizaria atividades deste tipo para ensinar proporcionalidade aos seus alunos? Por quê? R – É poderia usar também ou outras mais fáceis, né! Como um problema do dia a dia. É usaria para eles verem como aqueles povos tinham a idéia de proporcionalidade. E - Em sua opinião a História da Matemática pode contribuir para a compreensão de um conceito matemático? De que maneira? R – Eu acredito que pode porque tal assunto surgiu porque lá atrás se originou um problema e aquele matemático foi pensando naquele problema e foi desenvolvendo um cálculo que resolvesse aquela situação, né. A História da Matemática pode ajudar a entender tal assunto que hoje a gente tem dificuldade. Transcrição da entrevista realizada com o Professor G Tempo de docência: acima de 15 anos Gênero: Masculino E - Qual o significado de proporcionalidade para você? R – Proporcionalidade é um conceito da matemática que relaciona grandezas e variáveis. Através dela podemos resolver vários tipos de problemas da matemática, além de problemas de outras áreas do conhecimento. É [...] na matemática existem vários conceitos que estão relacionados à proporcionalidade. E - Você já tinha conhecimento acerca do sistema de numeração babilônico e egípcio? R – Sim. Sempre tive curiosidade em estudar coisas da matemática de antigamente, mas não conheço muito, pois nunca me aprofundei em leituras desse tipo. E - Em que medida a atividade realizada contribuiu para o conhecimento destes sistemas? R – Na verdade aquela atividade contribuiu muito, pois eu [...] é [...] conheci sobre a estrutura dos sistemas, como eles eram estruturados e como funcionava e isso os livros didáticos não mostra. Ainda percebi que muito do que usamos hoje tem ligação direta com essa matemática do passado. E – Você poderia me falar sobre essa ligação da matemática do passado com a que utilizamos hoje? 234 R – É [...] que nessas atividades eu vi que os babilônios usavam um sistema de numeração posicional, como utilizamos hoje, só que no caso deles era de base 60, né, então tem uma semelhança e também porque essa base 60 ainda utilizamos hoje com a nossa medida de tempo, onde 1 hora corresponde a 60 minutos, etc. E - Nas atividades desenvolvidas foi abordado o conceito de proporcionalidade. De que maneira ele foi abordado? R – Na dos babilônios eu lembro que tinha uma tabela onde os números da primeira coluna estavam relacionados com a segunda tabela como uma multiplicação, pois era assim [...] 1 e 9, 2 e 18, 3 e 27, e assim por diante, então posso tirar disso uma razão 9. Já os egípcios tinham uma equação resolvida usando proporção, era [...] para encontrar a solução eles colocavam um número que logo depois via que não era o correto, em seguida usando proporção eles chegavam ao valor correto. E - Você utilizaria atividades deste tipo para ensinar proporcionalidade aos seus alunos? Por quê? R – Sim. Porque o conteúdo de proporcionalidade sempre é visto como muito difícil e os livros didáticos contribui muito para isso, porque geralmente apresenta esse conteúdo e forma muito seca e com tarefas dificieis, [...] então utilizaria porque achei uma forma simples de introduzir esse assunto com meus alunos. E - Em sua opinião a História da Matemática pode contribuir para a compreensão de um conceito matemático? De que maneira? R – Sim pode. Eu acredito que da maneira como foi abordada nessas atividades. Porque nelas estudamos a matemática feita na antiguidade e nela encontramos o conceito de proporcionalidade. Assim eu acho que [...] é [...] a História da Matemática pode ser usada na introdução de muitos conteúdos que trabalhamos em sala para que o aluno compreenda o conceito estudado, né! Podemos colocar atividades desse tipo para o aluno explorar e ele mesmo chegar a conclusão de qual conceito está ali, assim ele vai através da História aprender um conceito, [...] como aconteceu com a gente, né! 235 Transcrição da entrevista realizada com o Professor H Tempo de docência: de 1 a 5 anos Gênero: Masculino E - Qual o significado de proporcionalidade para você? R – O sentido matematicamente falando? Proporcionalidade quando a gente vai explicar para o aluno, normalmente a gente trabalha com uma comparação, uma coisa que está relacionada a outra. É onde entra o significado de proporção. E - Você já tinha conhecimento acerca do sistema de numeração babilônico e egípcio? R – Conhecimento sim, lembrar não. Eu já tinha estudado, visto, lido sobre o assunto, mas lembrar não. Não tava lembrado de detalhes que foram apresentados, é [...] que você apresentou nas atividades, não lembrava e alguns detalhes eu não sabia, nunca tinha visto. E – O que você nunca tinha visto? R – A forma como era estruturado o sistema de numeração daquelas cunhas, eu até já tinha visto aqueles símbolos em algum livro, mas eu não sabia o que significava. E - Em que medida a atividade realizada contribuiu para o conhecimento destes sistemas? R – Permitiu saber detalhes da História, de onde vinha e até mesmo como a gente é [...] quando for dá uma aula sobre o conteúdo para a gente facilitar mais a apresentação da origem e de onde possivelmente se originou os números. E - Nas atividades desenvolvidas foi abordado o conceito de proporcionalidade. De que maneira ele foi abordado? R – A maneira como abordado? Foi através da numeração [...] foi uma maneira prática de mostrar o conceito, mas não lembro. E - Você utilizaria atividades deste tipo para ensinar proporcionalidade aos seus alunos? Por quê? R – Sim. Facilita muito para mostrar, transmitir a origem dos sistemas de numeração. Porque facilitaria tanto a aprendizagem como nosso trabalho na hora de transmitir. Além de tornar mais prazeroso para nós e para os alunos é uma maior facilidade para transmitir. 236 E - Em sua opinião a História da Matemática pode contribuir para a compreensão de um conceito matemático? De que maneira? R – Sem dúvida. É [...] a própria maneira como foi apresentada para a gente a história, dentro da história já vinha questionamentos, é [...] maneira de apresentar problemas e isso facilitou, porque não ficou uma coisa solta, mas uma matemática apresentada com objetividade. Transcrição da entrevista realizada com o Professor I Tempo de docência: de 1 a 5 anos Gênero: Masculino E - Qual o significado de proporcionalidade para você? R – O significado é que toda proporção é [...] alguma coisa que pode ser comparada com outra; um exemplo bem prático é quando a gente vai fazer um suco em que iremos colocar açúcar na proporção que fique agradável ao paladar. E - Você já tinha conhecimento acerca do sistema de numeração babilônico e egípcio? R – Já mais eu não recordava bem como era esse sistema não. O momento que me lembrei desses conceitos, desse sistema de numeração foi quando a gente se encontrou naquele dia para discutir essas questões sobre esses tópicos. E - Em que medida a atividade realizada contribuiu para o conhecimento destes sistemas? R – É que [...] apesar, né da gente esta usando símbolos, tanto babilônicos quantos egípcios, é [...] usando símbolos mas nem assim em cima dessa simbologia, né, de uma forma direta ou indireta lá se mostrava a proporcionalidade entre os números também, né. Então a atividade contribuiu para o conhecimento dos sistemas de numeração. E - Nas atividades desenvolvidas foi abordado o conceito de proporcionalidade. De que maneira ele foi abordado? R – Nos babilônios tinha um crescimento entre os números [...] quanto aos egípcios eu não identifiquei. E – Você poderia me explicar melhor esse crescimento entre os números? R – É que naquela tabela lá da atividade os números iam crescendo sempre de 9 em 9, assim [...] 1 na primeira coluna e 9 na segunda, 2 na primeira e 18 na segunda, 3 na primeira e 27 237 na segunda, seguindo sempre na mesma razão. Daí se eu for tirar a razão entre a segunda e primeira coluna vou achar uma razão igual a 9. É isso. E - Você utilizaria atividades deste tipo para ensinar proporcionalidade aos seus alunos? Por quê? R – Sim. Porque no momento em que estamos trabalhando sobre esses tópicos, estamos trabalhando a parte prática, não é? A Parte prática, não só a parte teórica e sim mostrando como foi feito todo esse sistema de numeração, tanto dos babilônios quantos dos egípcios, né. E - Em sua opinião a História da Matemática pode contribuir para a compreensão de um conceito matemático? De que maneira? R – Sim. Contribui bastante porque mediante a História da Matemática, ela pode dá subsídios, aliás, suporte ao professor para ele poder modelar mais suas aulas ministradas em sala.