UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA UMA ORIGEM MULTIFRACTAL PARA A TURBULÊNCIA NO MEIO INTERESTELAR PEDRO RICARDO VASCONCELOS DE MORAES JUNIOR NATAL-RN 2017 PEDRO RICARDO VASCONCELOS DE MORAES JUNIOR UMA ORIGEM MULTIFRACTAL PARA A TURBULÊNCIA NO MEIO INTERESTELAR Dissertação de mestrado apresentada ao programa de pós-graduação em Física do Departamento de Física Teórica e experimental da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial para obtenção do grau de mestre em Física. Orientador: Prof. Dr. Daniel Brito de Freitas Co-orientador: Prof. Dr. Caio Fabio Texeira Correia NATAL-RN 2017 Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN Sistema de Bibliotecas – SISBI Catalogação da Publicação na Fonte - Biblioteca Central Zila Mamede Moraes Junior, Pedro Ricardo Vasconcelos de. Uma Origem Multifractal Para a Turbulência no Meio Interestelar / Pedro Ricardo Vasconcelos de Moraes Junior. - 2017. 111 f. : il. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de ciências exatas e da terra, Programa de Pós-Graduação em Física. Natal, RN, 2017. Orientador: Prof. Dr. Daniel Brito de Freitas. Coorientador: Prof. Dr. Caio Fabio Texeira Correia. 1. Análise multifractal - Dissertação. 2. Simulações MHD - Dissertação. 3. Turbulência - Dissertação. 4. Meio interestelar - Dissertação. I. Freitas, Daniel Brito de. II. Correia, Caio Fabio Texeira. III. Título. RN/UFRN/BCZM CDU 524.7 AGRADECIMENTOS • Primeiramente gostaria de agradecer a Deus pela oportunidade que me foi dada para cursar esta pós-graduação; • Aos meus familiares que me apoiaram e me incentivaram durante todo o percurso; • Agradecer e dedicar especialmente ao meu Professor e orientador Daniel Brito de Frei- tas, por toda a dedicação, paciência e método de trabalho; • Ao meu co-orientador Caio Fábio Teixeira Correia por todo apoio, ajuda e disponibili- dade; • Agradecer aos meus colegas e companheiros da sala Mario Schenberg ; • Aos professores das disciplinas cursadas durante o curso e do departamento de física teórica e experimental da UFRN; • A capes pelo apoio financeiro. i “Procure a melhor versão de si mesmo !” . ii UMA ORIGEM MULTIFRACTAL PARA A TURBULÊNCIA NO MEIO INTERESTELAR RESUMO Nos últimos anos o estudos sobre sistemas complexos vem ganhando força e ferramentas para poder simula-lo e verificar seu comportamento estatisticamente. Grande parte disso se deve a muitos sistemas que passaram a se comportar de forma não-linear e dissipativo. Para esses casos as geometrias convencionais como a euclidiana não é possível para a proeza de explica-lo, com isso a geometria dos fractais surgiu como alternativa importante para o trato desse meio, sendo leis de escalas (potência) se aplicando muito bem para esse sistema sendo exemplificado em forma de séries temporais e superfícies( geometrias bidimensionais e tridimensionais). As- sim uma variedade de métodos foram contabilizados para esse tratamento, entre eles estão a análise via expoente de Hurst e análise multifractal. Nosso trabalho tem como objetivo propor um novo método para analisar multifractalmente imagens bidimensionais, sendo essas imagens advindas de simulações de nuvens do meio interestelar. Primeiro passo foi gerar 12 simulações MHD em que se diferenciavam a partir de valores de pressão e campo magnético, depois gerado a imagem em 2D que é aplicado sobre elas o método de tratamento multifractal MFDMA. Com a aplicação desse método é possível avaliar as imagens através de um quadro contendo os ex- poentes de análise multifractal, sendo possível avaliar o comportamento de escala nas imagens e verificar o grau de complexidade, e ainda descobrir quais as fontes causadoras da multifrac- talidade, usando dois métodos de análise multifractal que são embaralhamento dos dados da imagem original e substituição dos dados originas a partir da transformada de Fourier . Os resultados mostram que para todas as imagens o método de embaralhamento consegue destruir a fonte de multifractalidade da imagem original e ainda se comportar como um monofractal, enquanto o outro método é ineficaz, concluindo que os fatores não -lineares não estão incluídos dentre as fontes e indicando como fonte de multifractalidade as correlações de longo alcance. Outros resultados importantes é a relação do grau de multifractalidade ∆h com a pressão , número sônico de Mach e número de Alfvén. Palavras-Chave: Análise multifractal; Simulações MHD; Turbulência; Meio interestelar. iii A MULTIFRACTAL ORIGIN FOR THE TURBULENCE IN THE INTERSTELLAR MEDIUM ABSTRACT In recent years studies on complex systems have been gaining strength and tools to be able to simulate and verify their behavior statistically.Much of this is due to many systems that have come to behave in a nonlinear and dissipative way.For these cases conventional geometries such as Euclidean is not possible for the prowess of explaining it, with this the geometry of the frac- tals emerged as an important alternative for the treatment of this medium,being laws of scales (power) applying very well for this system being exemplified in the form of time series and surfaces (two-dimensional and three-dimensional geometries).Thus a variety of methods were counted for this treatment, among them are the analysis via exponent of Hurst and multifractal analysis.Our work aims to propose a new method to analyze two-dimensional images multi- fractally, being these images coming from clouds simulations of the interstellar medium.First step was to generate 12 MHD simulations in which they differed from values of pressure and magnetic field, then generated the 2D image that is applied on them the multifractal MFDMA treatment method.With the application of this method it is possible to evaluate the images th- rough a frame containing the exponents of multifractal analysis, being possible to evaluate the scale behavior in the images and verify the degree of complexity, and to find out which sources cause multifractality,using two methods of multifractal analysis that are shuffling the original image data and replacing the original data from the Fourier transform.The results show that for all images the shuffling method can destroy the multifractal source of the original image and still behave like a monofractal,While the other method is ineffective, concluding that nonlinear factors are not included among the sources and indicating as a source of multifractality the long-range correlations. Other important results are the relation of degree of multifractity ∆h with pressure, sonic number of Mach and number of Alfvén. Keywords: Multifractal analysis; MHD simulations; Turbulence; Interstellar medium. iv LISTA DE FIGURAS 1.1 Exemplo de sistema linear no caso a usina hidrelétrica, e sistema não-linear como a avalanche (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1 Criação de um mapa PPV a partir de simulações MHD. Fonte : Autor. . . . . . 19 3.1 Conjunto de cantor. Fonte: (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2 Construção da curva de Koch. Fonte: (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3 Diagrama para o espectro multifractal descrevendo os parâmetros D(h) e h. Fonte :(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4 Funções de estrutura Sq(r) (canto superior esquerdo) calculado a partir de um magnetograma Da região ativa NOAA 0501 pela Equação (3.20). Inferior es- querdo: - Função planice F (r) calculada a partir das funções estruturais pela Equação (3.21). As linhas pontilhadas vertical marcam o intervalo da multifractalidade,∆r, onde cresce como Potência quando r diminui. O intervalo ∆r também está mar- cado na parte superior esquerda do Quadro. K É o índice de potência de F (r) determinado dentro de r. A inclinação de Sq(r), definida para cada q dentro de ∆r, a função ζ(q) (superior direita),sendo uma côncava Para uma linha multi- fractal e reta para um monofractal. Inferior direito: A função h(q) é um deri- vado de (q). O intervalo entre os valores máximos e mínimos deh(q) é definido como um grau de multifracialidade, ∆h(4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 v 3.5 Funções de estrutura Sq(r), função F (r) e função ζ(q) a partir de um magne- tograma para as regiões activas NOAA 9077 e 0061 (inferior direita) K é um índice de lei de potência de F (r) calculado dentro de r.O grau de multifrac- talidade para a região NOAA 9077 é de δh = 0.48 e para a região 0061 de ∆h = 0, 058 (4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.6 Análise multifractal da medida multifractal bidimensional utilizando os três al- goritmos MFDMA E a abordagem do MFDFA. (A) Dependência da lei de po- tência das funções de flutuação Fq(n) em relação à escala n para q = −4, q = 0 e q = 4. As linhas retas são a melhor lei de potência que se encaixa aos dados. Os resultados foram traduzidos verticalmente para melhor visibilidade. (B) o expoente de massa multifracional τ(q) obtidos a partir dos métodos MFDMA e MFDFA com os valores teóricos mostrados na curva como uma linha contínua. (C) Diferenças entre os expoentes τ(q) de massa estimados e seus valores teó- ricos para os quatro algoritmos. (D) Espectro multifractal f(α) com respeito à força de singularidade α para os quatro métodos. A curva contínua é o espectro multifractal teórico(5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.7 função de flutuação multifractal fq(n) obtida a partir de MFDMA para o sol ativo e silencioso,Cada curva corresponde a diferentes valores fixos de q = −5, ..., 5 de cima para baixo, enquanto as linhas em negrito superior, médias e inferiores correspondem a q = 5,q = 0 e q = −5 respectivamente, as linhas pretas são os dados embaralhados e os dados originais são representados pelas linhas vermelhas. Comparação do expoente de escala multifractal τ(q) dos da- dos originais em vermelho, dados embaralhados em verde e dados substitutos em azul, da serie de tempo(parte esquerda inferior) espectro multifractal f(α) dos dados originais em vermelho, dados embaralhados em verde e os dados substituto em azul da serie temporal Fonte: (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.8 O mesmo procedimento proposto pela figura 3.7 sobre os expoentes multifrac- tais, agora aplicados para a amostra de novos soís: CoRoT ID 102709980 (pai- nel da esquerda) e 105693572 (Painel direito). Conforme citado por de Freitas et al. (2013b)(7), CoRoT ID 105693572 é o melhor candidato para um novo sol Fonte: (6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 vi 3.9 O mesmo procedimento proposto pela figura 3.7 sobre os expoentes multi- fractais, agora aplicado para a amostra super-solar designadas por CoRoT ID 105284610 (figura da esquerda) e 105367925 (figura da direita) Fonte: (6). . . 48 3.10 Os valores traçados do grau de multifractalidade (∆α), derivados com base na análise multifractal, em função de Período de rotação Fonte:(6). . . . . . . . . 49 3.11 Relação entre os parâmetros calculados através da aplicação do método MFDMA na série temporal completa H1data (dados da serie temporal de Hanfold) ori- ginal (em vermelho), quando aplicado o procedimento shuffled (em verde) e quando aplicado o procedimento surrogate (em azul). Esta figura apresenta a investigação do comportamento de escala da função de flutuação média Fq(s) para valores de q no intervalo de [-5; 5] (painel superior esquerdo), a depen- dência em q do expoente de Hurst generalizado h(q) (painel superior direito) e do expoente de Renyi τ(q) (painel inferior esquerdo), bem como o espectro multifractal (painel inferior direito). Fonte: (8). . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.12 Relação entre os parâmetros calculados através da aplicação do método MFDMA na série temporal completa L1data (dados da serie temporal de Livingston) ori- ginal (em vermelho), quando aplicado o procedimento shuffled (em verde) e quando aplicado o procedimento surrogate (em azul). Esta figura apresenta a investigação do comportamento de escala da função de flutuação média Fq(s) para valores de q no intervalo de [-5; 5] (painel superior esquerdo), a depen- dência em q do expoente de Hurst generalizado h(q) (painel superior direito) e do expoente de Renyi τ(q) (painel inferior esquerdo), bem como o espectro multifractal (painel inferior direito). Fonte: (8). . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.1 Representação das características do gráfico da função de flutuação. Fonte : Autor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2 Espectro multifractal obtido a partir da relação entre a dimensão fractal genera- lizada D(h) em função do expoente de Hurst generalizado h(q) para valores de q no intervalo 5-< q < 5. Fonte:(8) Mackson(2016). . . . . . . . . . . . . . . . 55 vii 4.3 Figura representando os dados originais(painel da esquerda),após o procedi- mento shuffled(painel do centro) e surrogates (painel da direita) da simulação referente a simulação b.05p.01.Fonte :Autor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.4 Análise dos parâmetros multifractais através da aplicação do método MFDMA sobre a simulação b.05p.01, contendo o comportamento de escala da função de flutuação média Fq(s) para valores de q no intervalo de [−5; 5] (painel superior esquerdo), a dependência em q do expoente de Hurst generalizado h(q) (pai- nel superior direito) do expoente de Renyi τ(q) (painel inferior esquerdo), e o espectro multifractal (painel inferior direito), com os dados originais (em ver- melho), quando aplicado o procedimento shuffled (em verde) e quando aplicado o procedimento surrogate (em azul). Fonte : Autor. . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.5 Figura representando os dados originais(painel da esquerda),após o procedi- mento shuffled(painel do centro) e surrogates (painel da direita) da simulação referente a simulação b.05p.1 Fonte: Autor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.6 Análise dos parâmetros multifractais através da aplicação do método MFDMA sobre a simulação b.05p.1, contendo o comportamento de escala da função de flutuação média Fq(s) para valores de q no intervalo de [−5; 5] (painel superior esquerdo), a dependência em q do expoente de Hurst generalizado h(q) (pai- nel superior direito) do expoente de Renyi τ(q) (painel inferior esquerdo), e o espectro multifractal (painel inferior direito), com os dados originais (em ver- melho), quando aplicado o procedimento shuffled (em verde) e quando aplicado o procedimento surrogate (em azul). Fonte : Autor. . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.7 Figura representando os dados originais(painel da esquerda),após o procedi- mento shuffled(painel do centro) e surrogates (painel da direita) da simulação referente a simulação b.05p1.Fonte :Autor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 viii 4.8 Análise dos parâmetros multifractais através da aplicação do método MFDMA sobre a simulação b.05p1, contendo o comportamento de escala da função de flutuação média Fq(s) para valores de q no intervalo de [−5; 5] (painel superior esquerdo), a dependência em q do expoente de Hurst generalizado h(q) (pai- nel superior direito) do expoente de Renyi τ(q) (painel inferior esquerdo), e o espectro multifractal (painel inferior direito), com os dados originais (em ver- melho), quando aplicado o procedimento shuffled (em verde) e quando aplicado o procedimento surrogate (em azul). Fonte : Autor. . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.9 Figura representando os dados originais(painel da esquerda),após o procedi- mento shuffled(painel do centro) e surrogates (painel da direita) da simulação referente a simulação b2p.01 Fonte: Autor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.10 Análise dos parâmetros multifractais através da aplicação do método MFDMA sobre a simulação b2p.01, contendo o comportamento de escala da função de flutuação média Fq(s) para valores de q no intervalo de [−5; 5] (painel superior esquerdo), a dependência em q do expoente de Hurst generalizado h(q) (pai- nel superior direito) do expoente de Renyi τ(q) (painel inferior esquerdo), e o espectro multifractal (painel inferior direito), com os dados originais (em ver- melho), quando aplicado o procedimento shuffled (em verde) e quando aplicado o procedimento surrogate (em azul). Fonte : Autor. . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.11 Figura representando os dados originais(painel da esquerda),após o procedi- mento shuffled(painel do centro) e surrogates (painel da direita) da simulação referente a simulação b2p.1. Fonte : Autor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.12 Análise dos parâmetros multifractais através da aplicação do método MFDMA sobre a simulação b2p.1, contendo o comportamento de escala da função de flutuação média Fq(s) para valores de q no intervalo de [−5; 5] (painel superior esquerdo), a dependência em q do expoente de Hurst generalizado h(q) (pai- nel superior direito) do expoente de Renyi τ(q) (painel inferior esquerdo), e o espectro multifractal (painel inferior direito), com os dados originais (em ver- melho), quando aplicado o procedimento shuffled (em verde) e quando aplicado o procedimento surrogate (em azul). Fonte : Autor. . . . . . . . . . . . . . . . 66 ix 4.13 Figura representando os dados originais(painel da esquerda),após o procedi- mento shuffled(painel do centro) e surrogates (painel da direita) da simulação referente a simulação b2p1. Fonte : Autor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.14 Análise dos parâmetros multifractais através da aplicação do método MFDMA sobre a simulação b2p1, contendo o comportamento de escala da função de flu- tuação média Fq(s) para valores de q no intervalo de [−5; 5] (painel superior esquerdo), a dependência em q do expoente de Hurst generalizado h(q) (pai- nel superior direito) do expoente de Renyi τ(q) (painel inferior esquerdo), e o espectro multifractal (painel inferior direito), com os dados originais (em ver- melho), quando aplicado o procedimento shuffled (em verde) e quando aplicado o procedimento surrogate (em azul). Fonte : Autor. . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.15 Figura representando os dados originais(painel da esquerda),após o procedi- mento shuffled(painel do centro) e surrogates (painel da direita) da simulação referente a simulação b3p.01 . Fonte : Autor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.16 Análise dos parâmetros multifractais através da aplicação do método MFDMA sobre a simulação b3p.01, contendo o comportamento de escala da função de flutuação média Fq(s) para valores de q no intervalo de [−5; 5] (painel superior esquerdo), a dependência em q do expoente de Hurst generalizado h(q) (pai- nel superior direito) do expoente de Renyi τ(q) (painel inferior esquerdo), e o espectro multifractal (painel inferior direito), com os dados originais (em ver- melho), quando aplicado o procedimento shuffled (em verde) e quando aplicado o procedimento surrogate (em azul). Fonte : Autor. . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.17 Figura representando os dados originais(painel da esquerda),após o procedi- mento shuffled(painel do centro) e surrogates (painel da direita) da simulação referente a simulação b3p.1. Fonte : Autor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 x 4.18 Análise dos parâmetros multifractais através da aplicação do método MFDMA sobre a simulação b3p.1, contendo o comportamento de escala da função de flutuação média Fq(s) para valores de q no intervalo de [−5; 5] (painel superior esquerdo), a dependência em q do expoente de Hurst generalizado h(q) (pai- nel superior direito) do expoente de Renyi τ(q) (painel inferior esquerdo), e o espectro multifractal (painel inferior direito), com os dados originais (em ver- melho), quando aplicado o procedimento shuffled (em verde) e quando aplicado o procedimento surrogate (em azul). Fonte : Autor. . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.19 Figura representando os dados originais(painel da esquerda),após o procedi- mento shuffled(painel do centro) e surrogates (painel da direita) da simulação referente a simulação b3p1. Fonte : Autor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.20 Análise dos parâmetros multifractais através da aplicação do método MFDMA sobre a simulação b3p1, contendo o comportamento de escala da função de flu- tuação média Fq(s) para valores de q no intervalo de [−5; 5] (painel superior esquerdo), a dependência em q do expoente de Hurst generalizado h(q) (pai- nel superior direito) do expoente de Renyi τ(q) (painel inferior esquerdo), e o espectro multifractal (painel inferior direito), com os dados originais (em ver- melho), quando aplicado o procedimento shuffled (em verde) e quando aplicado o procedimento surrogate (em azul). Fonte : Autor. . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.21 Figura representando os dados originais(painel da esquerda),após o procedi- mento shuffled(painel do centro) e surrogates (painel da direita) da simulação referente a simulação b5p.01. Fonte : Autor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.22 Análise dos parâmetros multifractais através da aplicação do método MFDMA sobre a simulação b5p.01, contendo o comportamento de escala da função de flutuação média Fq(s) para valores de q no intervalo de [−5; 5] (painel superior esquerdo), a dependência em q do expoente de Hurst generalizado h(q) (pai- nel superior direito) do expoente de Renyi τ(q) (painel inferior esquerdo), e o espectro multifractal (painel inferior direito), com os dados originais (em ver- melho), quando aplicado o procedimento shuffled (em verde) e quando aplicado o procedimento surrogate (em azul). Fonte : Autor. . . . . . . . . . . . . . . . 76 xi 4.23 Figura representando os dados originais(painel da esquerda),após o procedi- mento shuffled(painel do centro) e surrogates (painel da direita) da simulação referente a simulação b5p.1.Fonte :Autor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.24 Análise dos parâmetros multifractais através da aplicação do método MFDMA sobre a simulação b5p.1, contendo o comportamento de escala da função de flutuação média Fq(s) para valores de q no intervalo de [−5; 5] (painel superior esquerdo), a dependência em q do expoente de Hurst generalizado h(q) (pai- nel superior direito) do expoente de Renyi τ(q) (painel inferior esquerdo), e o espectro multifractal (painel inferior direito), com os dados originais (em ver- melho), quando aplicado o procedimento shuffled (em verde) e quando aplicado o procedimento surrogate (em azul). Fonte : Autor. . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.25 Figura representando os dados originais(painel da esquerda),após o procedi- mento shuffled(painel do centro) e surrogates (painel da direita) da simulação referente a simulação b5p1.Fonte :Autor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.26 Análise dos parâmetros multifractais através da aplicação do método MFDMA sobre a simulação b5p1, contendo o comportamento de escala da função de flu- tuação média Fq(s) para valores de q no intervalo de [−5; 5] (painel superior esquerdo), a dependência em q do expoente de Hurst generalizado h(q) (pai- nel superior direito) do expoente de Renyi τ(q) (painel inferior esquerdo), e o espectro multifractal (painel inferior direito), com os dados originais (em ver- melho), quando aplicado o procedimento shuffled (em verde) e quando aplicado o procedimento surrogate (em azul). Fonte : Autor. . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.27 Relação do grau de multifractalidade com a pressão. Fonte : Autor . . . . . . . 82 4.28 Relação do grau de multifractalidade com o número sônico de Mach. Fonte : Autor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.29 Relação do grau de multifractalidade com o número de Alfvén. Fonte : Autor . 84 xii LISTA DE TABELAS 4.1 Relação das simulações 2D com o grau de multifractalidade (∆h) , número de Alfvén(MA) e o número de Mach (MS) . Fonte : Autor . . . . . . . . . . . . 83 xiii LISTA DE SIGLAS MA Número de Alfvén MS Número de Mach RE Número de Reynolds DFA Detrended Fluctuation Analysis DMA Detrending moving average MFDFA Multifractal Detrended Fluctuation Analysis MFDMA Multifractal Detrending Moving Average MHD Magnetohidrodinâmica MIE meio interestelar PCA Velocity Channel Analysis PDF Função Densidade de Probabilidade PPV Posição-Posição-velocidade VCA Velocity Channel Analysis VCS Velocity Coordinate Spectrum WTMM Wavelet Transform Modulus Maxima xiv SUMÁRIO Agradecimentos i Epígrafe ii Resumo iii Abstract iv Lista de Figuras xii Lista de Tabelas xiii Lista de Siglas xiv Lista de Siglas xiv Sumário xvii 1 Introdução 1 1.1 Desenvolvimento histórico do meio interestelar . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Turbulência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 xv 1.3 Sistemas complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Objetivo e Estrutura do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 O Meio Interestelar 9 2.1 O Gás Interestelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 A Poeira Interestelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Turbulência no Meio Interestelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4 A Turbulência de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5 A função densidade de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.6 Espectro de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.7 Simulações MHD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 Métodos estatísticos 20 3.1 leis de escala(Potência), Auto- similaridade e Auto-afinidade . . . . . . . . . . 21 3.2 Fractais e Multifractais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2.1 Dimensão Fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3 Multifractais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.4 Função de Autocorrelação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.5 Expoente de Hurst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.6 O Estado da Arte do tratamento multifractal em Astrofísica . . . . . . . . . . . 35 3.7 Método MFDMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.7.1 Aplicação do método MFDMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4 Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 52 4.1 Aplicação do método multifractal MFDMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.1.1 discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5 Conclusões 85 xvi 5.1 Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Referências Bibliográficas 87 Referências Bibliográficas 87 xvii CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO . 1.1 Desenvolvimento histórico do meio interestelar Fazendo observações a noite, percebemos que entre uma estrela e outra, existe um grande e escuro espaço entre elas, que se formos tirar conclusões somente pelas observações a olho nu durante uma noite de céu limpo,chegaremos a um ponto de afirmar, que se trata de um espaço vazio e transparente, como já afirmaram astrônomos, principalmente antes da era dos telescópios. Contudo, esta ideia já foi derrubada, e trata-se de um meio rico em interações e fenômenos, sendo constituído principalmente de gás e poeira, e esse meio recebe o nome de meio interestelar. Os estudos sobre a existência do meio interestelar começaram assim a serem afirmadas no final do século 19 e no começo do século 20, trabalhos importantes como Huggins & Miller (1863) que observaram um espectro da nebulosa de Órion e descobriram que esse espectro era característico de um gás e Edward Emerson Barnard (1985) com o estudo sobre nebulosas escu- ras ajudaram a confirmar a existência desse meio. Podemos dividir os avanços na descoberta de um meio interestelar entre os desenvolvimento históricos nos estudos da existência de nuvens brilhantes, nebulosas escuras e o gás interestelar difuso. As características das nebulosas brilhantes começaram a serem conhecidas a partir da 1 Capítulo 1. Introdução 2 segunda metade do século XIX, porem observações de objetos brilhantes no espaço seja tão antiga como a existência do ser humano. os estudos regulares começaram com Nicolas Louis de la caille (1713 − 1762), quando em uma expedição ao cabo da Boa esperança na África do sul (1750−1754) ele pôde observar alguns destes objetos brilhantes. Outro astrônomo Francês, Charles Messier (1730 − 1817) organizou um catalogo em 1781 com as posições de mais de cem nebulosas, com o objetivo de evitar confusões destas com os cometas em que estava inte- ressado (9). Estudos mais efetuados sobre nebulosas foram investigadas por Frederick William Hershel (1738−1822), que ficou conhecido com a descoberta de Urano em 1781, e teve grande influência na determinação e chegou até a alterar o catálogo de Messier devido a caracteriza- ção entre nebulosas e estrelas. Uma visão mais teórica sobre a formação de estrelas através de contração de uma nuvem foi proposta por Immanuel Kant (1724− 1804) em 1755, e depois foi mais elaborada por Pierre Simon Laplace (1749− 1827). Outros fatos importantes foram o trabalho de John Frederick William Herschel (1792- 1871) que continuou o trabalho do seu pai e em 1833 apresentou um catalogo contendo 2500 objetos, e depois em 1864 fez um grande catálogo contendo 5079 objetos incluindo todas nebu- losas e aglomerados conhecidos. A solução sobre a natureza das nebulosas teve inicio no seculo XIX pela analise espectral dada por William Huggins (1824-1910). No seculo XX, o progresso no estudo das nebulosas foi rápido e constate. em 1913, Vesto Melvin Spliter (1975-1969) demonstrou a existência de uma classe de nebulosas, chamadas nebulosas de reflexão, cujo espectro é continuo, com linhas de absorção idênticas as estrelas associada, fato corroborado mais tarde por otto Struve (1897− 1963) (9). Um dos grandes passos no desenvolvimento teórico das nebulosas associadas a estrelas quentes foi dado por Bengt Georg Daniel Stromgren (1908-1987), cujas investigações demons- traram a existência de regiões de H ionizado (regiões H II) separadas das regiões de H neutro ( regiões H I) por uma casca relativamente fina (9). No caso de nebulosas escuras, já teve sua existência percebida pelos povos antigos,sendo relatadas como "sendo sacos de carvão"e parecida com as nebulosas brilhantes teve seu inicio no século XVIII, já na época dos telescópios. Edmond Halley (1656 − 1742) foi o primeiro a mencionar que um material interestelar que tornava tênue as luzes das estrelas, que ficou famoso pelos estudos do cometa que recebe seu nome, depois uma teoria sobre o fenômeno de absorção interestelar foi apresentada por Frederick Georg Wilhelm Struve (1793− 1864). 2 Capítulo 1. Introdução 3 Outros eventos importantes para os estudos de nebulosas escuras surgiram como em 1877, quando padre Angelo Secchi (1818 − 1878) publicou um trabalho sobre massas escuras , e seguindo essa ideia Arthur Cowper Ranyard (1845−1894) e Heber Doust Curtis (1872−1942) , se oposeram com a ideia de que nebulosas eram buracos no céu. A aplicação de técnicas fotograficas ao estudo das nebulosas foi iniciada em 1880, com as fotografias da nebulosa de Órion de Henry Draper (1837−1882). Neste campo , merecem destaques as observaçoes feitas em 1919 por Edward Emerson Barnard (1857 − 1923). Em seu atlas, publicado em 1927, é incluído um catálogo de nebulosas escuras,o único do gênero ate 1960 (9). Outro trabalho importante foi as investigações de Max Wolf (1863−1932) , fazendo uma comparação do número de estrelas pela unidade de área do céu em relação do brilho das estrelas para as regiões com e sem obscurecimento. Bart Jan Bok (1906−1983) teve boa influencia nos estudos de nebulosas escuras e regioes de formação estelar, e por seus que ficaram conhecidos como glóbulos de bok. Evidências realmente conclusivas sobre a extinção interestelar só foram fornecidas em 1930 por Robert Julius Trumpler (1886 − 1956), com base em observações de aglomerados galácticos. Além da extinção, outro efeito importante da poeira interestelar é a polarização da luz das estrelas, acidentalmente descoberta em 1949 por Wlliam Albert Hiltner (1914 − 1991) e John scoville hall (1908− 1991 (9). Para o gás interestelar, a ideia de seu surgimento é mais recente se comparada com a época das nebulosas, as primeiras evidencias sobre a existência de um gás interestelar foram observadas por Johannes Franz Hartmann (1865 − 1936) quando fez observações da binaria espectroscópica δ Orionis em 1904 revelando a presença de linhas de absorção de CaII que não fazia parte do sistema binário, e depois concluiu a existência de uma nuvem de cálcio na linha de visada de δ Orionis. Apos isso outros elementos foram sendo encontrados em seguida como o NaI, Ti, Ca,K e Fe, também moléculas como CH,CN e CH+. Estudos teóricos das propriedades físicas do gás interestelar foram iniciados já em 1926 por Arthur Stanley Eddington (1882 − 1914), com a estimativa da temperatura cinética e do estado de ionização dos átomos presentes na matéria difusa do espaço. Talvez a contribuição mais importante para o estudo do gás interestelar difuso na primeira metade do século XX seja devida a hendrik Christoffel van de hulst (1918 − 2000), que, em 1945, previu teoricamente a possibilidade de observação da radiação em 21 cm do H neutro, presumivelmente o principal 3 Capítulo 1. Introdução 4 componente das nuvens interestelares. Esta radiação foi descoberta em 1951 e seu estudo siste- mático permitiu o mapeamento de enormes regiões da galaxia, tornando evidente a associação do gás interestelar com os braços interestelares (9). 1.2 Turbulência Turbulência é usado cientificamente para descrever movimentos involuntários e complexos dos fluidos, e sua palavra surgiu do latim como turbulentia e tem como conceito o movimento desordenado de uma multidão. Na idade média já foi usada para significar problema, e nos dias atuais pode significar um comportamento social ou pessoal. O conceito começou a ser usado por lucrécios quando ele descreveu o movimento de um turbilhão no seu trabalho De rerum natura. Posteriormente Leonardo da vinci há 5 séculos atrás nos anos 1508− 1513 , foi o primeiro a usar a palavra turbulência para os conceitos conhecidos hoje em dia , para descrever a decadência dos redemoinhos que se formavam atrás dos pilares de uma ponte, posteriormente ha 4 séculos atrás, Euler desenvolveu as equações para um fluxo incompressível ou zero de viscosidade, 70 anos depois Navier fez uma generalização das equações de Euler e adicionou viscosidade. Logo depois e graças aos trabalhos de Stokes essas equações ficaram conhecidas como as equações de Navier-Stokes, e essas equações representam uma evolução não-linear e não-local para a velocidade tridimensional. Sendo considerada a 1a lei de Newton a elementos de um fluido arbitrário temos: ∂tv + v.∇ = −∇p + v∇2v (1.1) Sendo p a pressão e v a viscosidade cinemática. Outra equação veio a partir de d’Alembert expressando incompressibilidade: ∇.v = 0 (1.2) Kelvin estudou de forma inédita a turbulência de modo aleatório das equações de Navier-Stokes. Depois Reynolds desenvolveu que para uma determinada geometria do fluxo os diferentes fenô- menos que podiam acontecer, como fluido laminar e turbulência , são agora controlados pelo que foi chamado de número de Reynolds Re. Re = LV/v (1.3) 4 Capítulo 1. Introdução 5 Com os avanços da aeronáutica, meteorologia , astrofísica, física do plasma e nuclear, o estudo do fluido turbulento se tornou importante. Após isso o conceito de turbulência veio a ter um grande avanço com kolmogorov, quando foi utilizado de argumentos dimensionais e escalas,pelo menos considerando os números de Reynolds muito grande, uma turbulência totalmente desenvolvida. No contexto da mecânica dos fluidos, um escoamento, fluxo ou qualquer fenômeno rela- cionado com a turbulência, é descrito como o escoamento de um fluido em que as partículas se embaralham e se misturam de uma forma não-linear de modo caótico e formando redemoinhos de forma oposto ao fluido laminar. Para um escoamento ser considerado turbulento em ondas mais altas, se o transporte do momento por convecção for importante e a pressão, densidade, velocidade apresentarem uma distribuição aleatória. Para o nosso trabalho temos que levar em conta a grande importância que a turbulência tem para os fenômenos e desenvolvimento do meio interestelar e demais aspectos do universo. Estrelas se formam dentro de nuvens moleculares, e estas nuvens exibem larguras supersônica que são interpretadas como evidencias de turbulência supersônica. Estudos iniciais conside- raram esta propriedade como Mecanismo de apoio de nuvens moleculares contra a gravidade. Após Anos, entretanto, percebeu-se que a turbulência é um Ingrediente de nuvens moleculares, determinando propriedades como Sua morfologia, vida, taxa de formação de estrelas, etc (? ).A turbulência é conhecida por ser um ingrediente de Fenômenos astrofísicos que ocorrem no espaço interestelar , tais como formação de estrelas, dispersão de raios cósmicos, Formação e evolução do (também muito importante) Campo magnético e praticamente todos os processos de transporte(10). Neste contexto nos referimos a turbulência magnetohidrodinâmica. A magnetohidrodinâ- mica compreende a estrutura física-matemática da dinâmica de campos magnéticos em fluidos, plasmas e metais líquidos condutores de eletricidade. Grande estudioso na área e ganhador do prêmio nobel de física (1970) Hannes Alfvén (1908 − 1995) fez descobertas na magnetohi- drodinâmica aplicando em frutíferas e na física do plasma. O foco principal da magnetohidro- dinâmica está relacionado a fluidos condutores que suportam campos magnéticos, os campos magnéticos provocam o surgimento de forças que atua sobre o fluido alterando a sua geometria. No caso da turbulência MHD ela irá descrever o comportamento da turbulência em um fluido magnetizado e condutor eletricamente. 5 Capítulo 1. Introdução 6 1.3 Sistemas complexos O intuito dos estudos sobre sistemas complexos está em entender como as partes de um sistema se interagem entre si gerando um certo comportamento e como esse comportamento se interage com o ambiente. As principais questões de sistemas complexos esta relacionado com a física estatística, teorias da informação e dinâmica não-linear caracterizando sistemas críticos organi- zados. Uma forma de representa tal sistema seria usar o exemplo de uma rede , sendo os nós os componentes e as ligações suas interações.O clima da terra, ecossistema e todo o universo são exemplos de sistemas complexos. O termo sistema complexo pode ser usado em diversas áreas como na física , química, informática, economia , inteligência artificial, biologia molecular e meteorologia. Esse tipo de sistema se caracteriza pela não-linearidade dissipativa e pela auto-organização crítica. O termo complexo denota um estado que intermediá um sistema completamente regular de um aleatório, Assim Complexidade pode ser uma das medidas mais importantes para a aná- lise de dados de séries temporais; ela abrange, pelo menos, ou é estreitamente relacionado com diferentes características de dados dentro da teoria de sistemas não-lineares (11).O universo é regido por uma dinâmica não-linear, que ao contrário de um sistema linear que descreve prin- cipalmente relações de aditividade e homogeneidade, haverá interações que durante o processo que ocorre fora e dentro do sistema percorre um caminho complexo e caótico acarretando em dissipação, uma não homogeneidade, e esse sistema não pode ser dividido em sistemas menores sem adulteração e corrupção de suas propriedades. Nesse tipo de ambiente a dinâmica é bem descrita pelas leis de escala. Alguns exemplos de sistemas complexos são : sistemas não-lineares , sistemas caóticos e sistemas complexos adaptativos. Estes fenômenos vão apresentar um comportamento linear ou não-linear dependendo da forma de entrada da energia no sistema,este processo de transição está associado a entidades que interagem de uma maneira complexa e exige (I) uma fonte de entrada de energia contínua e (II) um sistema dissipador não-linear(? ).A energia de saída ou dissipada em um sistema linear cresce linearmente com o tempo, para uma taxa de entrada constante , enquanto a saída é altamente imprevisível e não correlacionada com a taxa de entrada em sistema dissipativo não- linear . Um exemplo prático de um sistema linear é uma usina hidrelétrica, onde A energia elétrica produzida é proporcional à entrada de água, conforme representado pela represa de armazenamento de água em Yaotsu, Gifu, Japão. Um exemplo 6 Capítulo 1. Introdução 7 clássico de um sistema não-linear dissipativo é uma avalanche de neve, Como mostrado na grande avalanche de neve úmida no Deadman Canyon, na Serra Nevada(1) figura 1.1. Figura 1.1: Exemplo de sistema linear no caso a usina hidrelétrica, e sistema não-linear como a avalanche (1) 1.4 Objetivo e Estrutura do trabalho O nosso trabalho tem como objetivo, analisar imagens 2D a partir de simulações do meio inte- restelar verificando se tal imagens fazem parte de um grupo de sistemas complexos e buscando como resultado a aplicação da geometria fractal, através dos expoentes de multifractalidade. Para tal feito utilizamos o método MFDMA bidimensional como uma nova proposta para o trato de imagens na astrofísica. O trabalho está dividido da seguinte maneira: No capítulo 2, fazemos uma conceituali- zação do que é o meio interestelar, argumentando sobre sua composição e sobre as principais características que fazem parte desse meio, falamos ainda sobre a poeira interestelar, o gás in- terestelar , a descrição sobre a influência da turbulência sobre a dinâmica interestelar, função densidade de probabilidade, as estatísticas utilizadas para o estudo e caracterização da turbulên- cia no meio interestelar e por fim falamos um pouco sobre simulações magnetoidrodinâmicas. No capítulo 3, começamos a introduzir a geometria utilizada para o tratamento de sistemas complexos, e descrever o método utilizado para o tratamento multifractal de imagens 2D, o capítulo copete ainda sobre leis de potência, descreve a geometria dos fractais, fala sobre a função de autocorrelação e descreve o expoente de Hurst, por fim mostra os passos do método MFDMA e faz alguns exemplos do uso desse método. 7 Capítulo 1. Introdução 8 No capítulo 4 é descrito as características dos expoentes de análise multifractal e as re- lações entre eles, falamos um pouco sobre as fontes de multifractalidade e como os métodos shuffled e surrogates tem importância na forma de se analisar e identificar as fontes de multi- fractalidade sobre as imagens, o capítulo ainda contempla os resultados e discussão do trabalho. Finalmente o capitulo 5 é utilizado para detalhar as conclusões do trabalho e como pers- pectiva de utilização do mesmo para trabalhos futuros. Ainda destacamos a importância do método MFDMA para analise de estruturas multifractais e como proposta para estudos de sis- temas complexos como simulações de imagens 2d. 8 CAPÍTULO 2 O MEIO INTERESTELAR Embora a maior parte da massa da nossa Galáxia esteja concentrada em estrelas, o meio interestelar não é completamente vazio(12). Ele está em constante interação, sendo composto por matéria , principalmente gás , poeira e radiação , de fundamental importância para formação e estudos das características das estrelas, devido aos movimentos dinâmicos que existem nesse meio, determinando onde e quando essas estrelas se formaram. Mesmo com toda essa com- posição, podemos ainda citar outros componentes do meio interestelar, como : raios cósmicos que são partículas de altas energias que percorrem o universo com velocidade próxima à da luz, campos magnéticos e restos de supernovas. A característica mais marcante desse meio é, provavelmente, sua densidade. Embora facilmente observado em grandes distâncias, o material que preenche o espaço entre as estrelas é extremamente tênue, em comparação com as densidades comuns de laboratório e mesmo com relação a outros objetos astronômicos (9). Podemos então afirmar que esse espaço é formado por regiões densas e difusas, atravessadas por um meio rarefeito. Mesmo difuso, o espaço interestelar contém um vácuo de melhor magnitude dos obtidos nos melhores laboratórios da Terra. Em laboratórios da Terra as densidades mais baixas giram em torno de 10 000 cm−3 partículas ,já no meio interestelar com sua densidade baixa, em torno de 1 a 10 átomos por centímetro cúbico, encontramos 1 000 cm−3 para regiões densas e 10 cm−3 para regiões difusas. 9 Capítulo 2. O Meio Interestelar 10 A temperatura do meio interestelar vai variar dependendo do objeto que esteja contido nesse meio, variando de poucos Kelvin a milhares de kelvin, como exemplo, podemos usar o fato de que o material interestelar está contido principalmente no disco da galáxia, e neste local habitam estrelas muito brilhantes e quentes do tipo O e B, tendo em vista que as estrelas do tipo O tem uma temperatura entre 28.000 e 50.000 K e as do tipo B entre 10.000 e 28.000 K, concluindo que nesse local o meio interestelar estará a uma elevada temperatura, e seu material estará sendo aquecido, nesse caso o gás interestelar será aquecido e ionizado, liberando elétrons e formando nebulosas de emissão, como também as regiões frias como as regiões de nuvens escuras, com temperatura entre 10 e 30 Kelvin , que será mais detalhado a frente no trabalho nas sessões 2.1 e 2.2 . Em média uma região escura do meio interestelar tem uma temperatura que pode chegar a 10 kelvin. Outro componente importante do meio interestelar (MIE)a se destacar é o campo mag- nético que pode permear este meio, com uma intensidade média de ∼ 10−6 Gauss um campo bastante fraco, se comparado com o campo magnético da terrestre em torno de 0, 5 Gauss. 2.1 O Gás Interestelar O Gás interestelar além de ser bem rarefeito, ocupa 99% da matéria interestelar, e cerca de 10% da massa da via láctea(12), seu principal componente é o hidrogênio, tanto na forma atômica como na forma molecular, veremos mais na frente, que o hidrogênio possui um papel importante em vários aspectos do meio interestelar, como na formação de nebulosas. Há também uma pequena quantidade de hélio e traços de alguns elementos mais pesados que compõem a matéria interestelar. Esse gás, principalmente o hidrogênio neutro, que preenche o espaço estelar, não é espa- lhado de forma uniforme na galáxia, ele se concentra principalmente em regiões densas e frias, formando nuvens, mais conhecidas como nebulosas que são aglomerados de gás e poeira, essas nuvens além de serem um dos mais belos objetos do espaço, ainda desempenham um papel importante na formação de estrelas. Por ser uma região fria, as transições quânticas não são excitadas ,tanto no óptico quanto no ultravioleta, com isso, a forma para se detectar e estudar nuvens de hidrogênio neutro, é a partir de uma transição no comprimento de onda em radio de 21cm, chamada de radiação de 21cm, que ocorre devido a uma mudança de orientação entre os 10 Capítulo 2. O Meio Interestelar 11 Spins do elétron e do próton que estão presentes em níveis de energia de um átomo de hidro- gênio neutro. Apesar de ter uma grande quantidade de hidrogênio neutro, podemos identificar regiões que esse hidrogênio passará a ficar ionizado, chamada de regiões H II, devido a proxi- midade de estrelas quentes com temperatura efetiva > 25 000 K. A energia liberada por essas estrelas ioniza o gás próximo, criando uma nuvem de gás luminosa chamada de nebulosa difusa ou de emissão. A energia dessas estrelas é suficiente para arrancar elétrons do átomo de hidro- gênio, os elétrons livres, que após serem arrancados, colidem com outros átomos na nebulosa e são capturados por um processo chamado de recombinação, e assim que são capturados por um átomo de hidrogênio ou hélio, estes elétrons primeiramente ocupam o nível de maior energia do átomo,e como os elétrons tendem a ficar em um nível fundamental do átomo, enquanto vão descendo de nível, vão liberando a energia extra, energia em forma de fótons, radiação visível, deixando o gás da nebulosa fluorescente. 2.2 A Poeira Interestelar A poeira Interestelar desempenha um papel importante em influenciar a física e estado químico do meio interestelar(13). É composta principalmente de grafite, silicatos e gelo de água, em grãos de vários tamanhos, mas muito menores (∼1µm) do que a poeira aqui na Terra (12). A quantidade desta poeira é muito menor que a de gás, representando cerca de 1% de todo mate- rial interestelar. A poeira, por causa da sua grande opacidade, influencia o campo de radiação interestelar difuso e sem dúvida, tem um efeito direto e fundamental sobre os processos pelos quais as nuvens interestelares entram em colapso para formar estrelas (13). Devido as caracte- rísticas de opacidade e por ser bem densa, a poeira pode provocar dois importantes fenômenos, como a extinção interestelar e o avermelhamento de estrelas, isso acontece porque a poeira espalha e obscurece boa parte da luz advinda das estrelas. Na extinção interestelar, a poeira di- minui(obscurece), a intensidade da luz de objetos celestes na linha de visada de um observador, fazendo com que tenhamos que realizar alguns cálculos para determinar essa luminosidade. As partículas de poeira conseguem espalhar ou desviar, a faixa de menor comprimento de onda da luz, pelo fato do tamanho de uma partícula de poeira se aproximar do tamanho do menor comprimento de onda do espectro da luz visível,neste caso se aproximando da luz azul, como a luz vermelha tem um comprimento de onda maior, a poeria espalha a luz azul com mais eficiên- cia e gerando um aspecto avermelhado na luz vinda das estrelas, sendo assim conhecido como 11 Capítulo 2. O Meio Interestelar 12 avermelhamento interestelar. Caso a poeira esteja perto a estrelas quentes com temperatura efetiva de ∼ 25.000K, os grãos de poeira irão espalhar a radiação proveniente dessas estrelas, formando uma nebulosa de reflexão, que devido a facilidade de espalhar o comprimento de onda do azul, apresentará uma cor peculiar azulada. Essas nebulosas são importantes para a determinação das propriedades físicas dos grãos interestelares, pois a radiação observada tem origem conhecida( a própria estrela), de modo que sua análise nos dá informações diretas sobre a natureza dos grãos (9). O espectro dessas nebulosas é o mesmo da estrela que a ilumina (12). Podemos indicar também regiões no espaço onde existe uma maior concentração de poeira e gás interestelar, caso nesta região o gás e a poeria que formam a nuvem não estejam relacionados a estrelas brilhantes, os grãos absorverão a radiação do campo interestelar, e formarão nebulosas escuras. Existe um tipo importante de nebulosa escura, chamada de nuvens moleculares, são nu- vens de gás e poeira com densidade alta e tem como base a presença do hidrogênio na forma molecular, por serem bem densas e empoeiradas, as moléculas dentro dessas nuvens conse- guem se proteger da radiação ultravioleta das estrelas, essas nuvens são frias, com temperatura cinética1 em torno de Tc∼ 10 e 100K, sua detecção só é possível graças a técnicas radioas- tronômicas, como a detecção em microondas de moléculas como CO, OH e NH3. Podemos ainda citar a nebulosa planetária,que é formada pelo material ejetado no espaço por uma estrela de baixa massa que não é capaz de formar uma supernova , a estrela entra em um estágio final de sua existência, posteriormente explode e todo seu material é ejetado no meio interestelar formando a nebulosa planetária. 2.3 Turbulência no Meio Interestelar O meio interestelar trata-se de um meio complexo constituído de gás, poeira e sendo permeado por um campo magnético, a sua dinâmica provocada pela força gravitacional e por fenômenos como explosões de supernovas, jatos e ventos solares, choques de nuvens moleculares e raios cósmicos, tornam esse meio basteante turbulento, e essa turbulência na qual se estende a vários Kpc2 , é muito importante e crucial para vários processos astrofísicos,tais como a formação 1Temperatura cinética está relacionada com a velocidade das partículas em um gás, no caso quanto maior a velocidade das partículas maior a temperatura, enquanto a temperatura efetiva de um corpo negro está relacionada com a luminosidade por unidade de área. 2Kpc = Quiloparsec 12 Capítulo 2. O Meio Interestelar 13 de estrelas, a dispersão de raios cósmicos, formação e evolução do (também muito importante) campo magnético(10). A turbulência é responsável por movimentos complexos, caóticos e sem previsibilidade dos fluidos, como ocorre boa parte dos fenômenos ocorridos em meios astrofísi- cos, por ser um fenômeno bastante presente no espaço, boa parte de sua matéria interestelar(Gás e poeria) está em um estado turbulento, encontrada principalmente em forma de plasma, essa matéria gasosa contendo átomos e moléculas ionizados, se enquadra na categoria de fluido con- dutor elétrico, e grande parte da matéria em sistemas espaciais e astrofísicos está no estado de plasma, um gás ou fluido eletricamente condutor que se desenvolve em resposta tanto mecânica e forças eletromagnéticas(14). Quando o fluido é eletricamente condutor, os movimentos tur- bulentos são acompanhados por flutuações de campo magnético(15), plasmas astrofísicos com interação de campos magnéticos são considerados fluidos em larga escala , podemos assim con- cluir,que essa matéria (plasma) , trata-se de um fluido magnetizado,sendo o gás ionizado um exemplo perfeito desse tipo de plasma. Partindo deste desfecho, o modelo mais apropriado para esse tipo de fluido é a Mag- netohidrodinâmica (MHD), que basicamente compreende a dinâmica de campos magnéticos em fluidos condutores elétricos, e como esse fluido se encontra em um ambiente turbulento, o modelo de estudo que descreve melhor esses fenômenos astrofísicos é a turbulência MHD. Devido aos avanços computacionais e tendo o reconhecimento que a turbulência tem um papel importante no meio interestelar, grandes avanços foram feitos na teoria da turbulência MHD e observação nos últimos anos, e mesmo sendo um problema aberto no campo astrofísico, vamos mostrar os principais parâmetros para se caracterizar o grau de turbulência e magnetização dos fluidos. Nosso primeiro parâmetro para investigação de turbulência na mecânica dos fluidos é o número de ReynoldsRE ,utilizado no fluxo de um fluido, para prever a velocidade de fluxo que ocorrerá turbulência, descreve a relação entre a resistência inercial e a resistência viscosa em um fluido que escoa. definido como : RE = LV/ν , (2.1) Com L a escala de medida característica do sistema, V a velocidade média da parte que so- fre escoamento em relação ao restante do fluido e ν a viscosidade dinâmica do fluido. Para baixos números de Reynolds, o comportamento do fluido será dominado pela viscosidade, o 13 Capítulo 2. O Meio Interestelar 14 fluxo será constante, suave, viscoso, sendo considerado um escoamento laminar. Quando o nú- mero de Reynolds é elevado, o fluxo do fluido é instável, sendo considerado um escoamento turbulento.Em meios astrofísicos, o numero de Reynold é alto, chegando aRE > 108. Outro parâmetro é o número de Mach turbulentoMS ,que mede a razão do desvio padrão do campo de velocidade pela velocidade do som naquele meio , e é definido como : MS = Vturb Cs (2.2) Sendo Vturb o desvio padrão do campo de velocidade do meio e Cs a velocidade do som, definido como sendo Cs = √ KbT µm H , (2.3) Onde Kb é a constante de Boltzmann, T é a temperatura e µmH a massa molecular média do gás interestelar. O número sônico é um parâmetro importante, pois com ele podemos classificar a nuvem de gás como tendo uma turbulência supersônica ou subsônica, quando o número de Mach apresentar MS > 1, o fluido estará recebendo bastante energia, gerando variações de densidade com regiões diluídas e densas do gás, gerando ondas de choque, assim temos uma turbulência supersônica, no caso do número de Mach apresentar MS < 1, a nuvem não irá apresentar grandes variações de densidade, com a energia sendo dissipada antes de gerar ondas de choque, nessa situação a nuvem apresentará uma turbulência subsônica. Por fim outro parâmetro importante principalmente para os estudos da turbulência MHD é o Número Alfvénico de Mach. O ponto principal da MHD é que fluidos condutores conseguem suportar campos magnéticos, a presença desses campos geram forças que atuam sobre o fluido alterando sua topologia, com isso torna importante o estudo da turbulência magnética através do numero de AlfvénMA, que descreve a importância do campo magnético na propagação de energia das ondas de choque dentro do fluido, e é definido como : MA = Vturb vA ; vA = |B|/ρ , (2.4) Sendo vA a velocidade de Alfvén, |B| a magnitude do campo magnético local e ρ a densidade do meio. Quando o Número de Alfvén apresentar MA < 1, a nuvem de gás apresentará um forte campo magnético, limitando o movimento do gás e da poeira, classificando como uma turbulência Sub-Alfvénica, sendo inversamente proporcional a intensidade de campo magné- 14 Capítulo 2. O Meio Interestelar 15 tico, quando apresentarMA > 1 o campo magnético não terá força suficiente para limitar os movimentos das moléculas, sendo representado por uma turbulência super-Alfvénica, com o campo magnético não influenciando muito no desenvolvimento de nuvens moleculares. 2.4 A Turbulência de Kolmogorov Os trabalhos de (16) foram de extrema importância para o desenvolvimento dos conceitos mo- dernos da turbulência, principalmente para homogêneo, isotrópico, incompressível e estável fluido turbulento com baixa viscosidade( grande Reynolds)(17). A sua teoria se refere a uma turbulência que abrange varias escalas, e se comporta como se estivesse descendo uma cascata, e nesse fenômeno a energia que é injetada inicialmente no fluxo turbulento vai sendo transfe- rida de uma escala maior ate atinge as micro escalas, basicamente a energia é fornecida á um fluido com grandes turbilhões em larga escala e vai cascateando através de interações cinéticas de conservação de energia para escalas menores, até chegar numa escala em que a viscosidade do fluido se torna importante e ocorre a dissipação de energia. A energia vai sendo sequenci- almente transferida pela interação de vórtices(redemoinhos) maiores com os vórtices menores, dentro de um fluido turbulento, tem como uma característica a formação de redemoinhos de vários tamanhos e velocidades orbitais. A dissipação de energia se torna quase desprezível ou muito baixa, nas escalas intermediárias, pois a taxa de dissipação de energia τ−1dis = ν/L 2 é muito menor que a taxa de revolução dos vórtices τ−1vort = V/L. Com essa teoria pode-se assumir homogeneidade e isotropia, estabelecendo que a turbu- lência é estável com a transferência de energia de uma escala para outra para todas as dimensões, resultando que a taxa de energia injetada na grande escala é a mesma que se dissipou em escalas menores.É importante ter a idéia que os maiores vórtices contemplam de maiores velocidades e energia cinética do que os menores vórtices. Tendo em vista que espaços de escalas de turbulên- cia está relacionado a um número de Reynolds, deve se concluir que quanto maior for o número de Reynolds maior será o número de turbilhões, como em meios astrofísicos apresentam gran- des números de Reynolds, haverá uma dissipação viscosa desprezível dos grandes vórtices, pois o tempo da cascata τcasc é igual a o tempo do vórtice τvort. 15 Capítulo 2. O Meio Interestelar 16 2.5 A função densidade de probabilidade No ramo da estatística e teoria das probabilidades, a função densidade de probabilidade PDF3 ou apenas função densidade, é uma ferramenta importante para aplicação em variáveis conti- nuas aleatórias, que é uma variável quantitativa que depende de fatores aleatórios. Esta PDF é uma função que descreve a probabilidade de uma variável aleatória continua assumir um valor. Estudar as distribuições de densidade e velocidade do gás interestelar fornece informa- ções essenciais sobre praticamente todos os processos físicos relevantes para a evolução do meio interestelar(18), a gravidade, campos magnéticos , termodinâmica do gás e a turbulência supersônica, são os principais influenciadores na determinação da densidade e da velocidade estatísticas do meio interestelar. Conseguir compreender a função densidade com sua origem turbulenta, é de suma im- portância para estudos de modelos de formação de estrelas, com isso é possível explicar a função de massa inicial estelar (19; 20; 21), a taxa de formação de estrelas (22; 23; 24), A eficiência da formação estelar (25) e a relação Kennicutt-Schimidt em escalas galáticas (26; 27; 28).Considerando um volume com uma certa densidade de gás, a probabilidade de encontrar esse volume no intervalo [ρ,ρ + dρ] é dada por uma integral da função de densidade de probabilidade da densidade do gás: ∫ ρ+dp ρ Pp(ρ ′ )dρ ′ , com isso a PDF descreve uma densidade de probabilidade que tem dimensões de probabilidades dividida pela densidade do gás no caso Pp(ρ)(18), com a mesma definição, Ps(s) denota a PDF de densidade logarítmica : s = ln( ρ<ρ>). A função de densidade também é muito utilizada em dados de densidades de coluna para es- tudar a gravidade e turbulência em nuvens moleculares,baseando-se no fato de que a PDF da densidade em simulações de meios com turbulência supersônica apresentam uma distribuição log-normal: p(x) = 1 σlnx √ 2pix exp− lnx− µ 2σ2lnx , (2.5) onde x = ρ/ρ0 é a densidade volumétrica normalizada pela média; e µ e lnx são a média e o desvio padrão em unidades logarítmicas, respectivamente. No caso da turbulência MHD do meio interestelar, o PDF pode desviar-se do log-normal e depender do número de Mach e número de Alfvén. 3PDF, da sigla em inglês Probability Density Function 16 Capítulo 2. O Meio Interestelar 17 2.6 Espectro de potências Já é comprovado que o meio interestelar é tanto magnetizado como turbulento, e essa turbu- lência MHD está diretamente envolvida nos principais processos físicos no meio da astrofísica, como a formação de estrelas(29), a estrutura, formação e evolução das diferentes fases do meio interestelar(30; 31; 32; 33; 34; 35) e reconexão magnética (36).Por isso algumas técnicas e fer- ramentas são de grande importância para o estudo da turbulência MHD no âmbito de dados e simulações observacionais que se assemelham com o meio interestelar.Uma dessas ferra- mentas é o espectro de potência, o espectro é uma medida estatística da turbulência, podendo ser usada para comparar simulações numéricas e previsões, essas estatísticas são fundamen- tais para lidar com a turbulência, um exemplo de estatística é a turbulência incompressível de Kolmogorov, prevendo que a diferença de velocidade em diferentes pontos do fluido turbu- lento aumenta, em média, com a separação entres os pontos quanto uma raiz cubica de separa- ção, |δv| ∼ l 13 (37). O espectro de energia neste casoresulta na famosa escala de kolmogorov E(K) ∼ 4piK2P (K) ∼ K 53 . No entanto, a importância da obtenção de espectro de turbulência a partir de observações vai muito além de testar a precisão de modelagem numérica. Por exemplo, o espectro de energia E(K)dK caracteriza quanta energia reside no intervalo de escalas K, K + dK, em grandes escalas l que correspondem para baixos números de onda K (isto é l ∼ 1 k ), se espera observar características que refletem a injeção de energia, em pequenas escalas deve-se ver as escalas correspondentes a dissipadores de energia.Em geral, a forma do espectro é determinada por um processo complexo de transferência de energia não-linear e dissipação(37). O estudo do espectro da turbulência pode determinar fontes de turbulência astrofísica. O meio molecular, incluindo nuvens moleculares gigantes, representa a parte mais densa de cascata turbulenta(38), muitos autores têm mostrado que as nuvens moleculares são, de fato dominadas por movimentos turbulentos magnetizados(38), observado por (39; 40) através de re- lações de tamanho da largura da linha, espectro de potência e da natureza fractal da morfologia observada. Sendo o espectro de potência importante para obtenção de informações de transfe- rências de energia em escalas, não fornece uma imagem completa de turbulência, em virtude que ele contém apenas informações sobre amplitudes de Fourier. Com isso existe outras técni- cas para se estudar observação de turbulência magnética . Técnicas como função densidade(41), 17 Capítulo 2. O Meio Interestelar 18 traçadores de densidade de coluna(42), Análise de canais de velocidade(VCA4),Espectro coor- denado de velocidades (VCS5) (43; 44; 45; 46) . Várias dessas técnicas podem ser aplicadas em dados observacionais como os mapas Posição-Posição-velocidade(PPV). Esses mapas PPV são imagens espectroscópicas de regiões do céu , boa parte dessas regiões são regiões do rádio, sendo possível encontrar linhas de emis- são de moléculas de nuvens moleculares frias. Sendo assim, são cubos de dados W (x, y, v), onde as coordenadas x e y representam coordenadas na região do céu e v um canal de velo- cidade do espectro, assim o nome dos mapas PPV. As informações mais detalhadas sobre a velocidade turbulenta observacionalmente disponíveis a partir de uma emissão Ou absorção de volume turbulento é um cubo de dados Posição-Posição-Velocidade (PPV) (37). Outra técnica a se destacar no âmbito de dados observacionais, é a técnica chamada de Análise de Componentes Principais(PCA6), introduzida por(47) e usada desde então para o es- tudo da turbulência(48; 49; 50; 51; 52);a anisotropia de velocidades(53); estimativas de desvio para o vermelho(redshift)(54); jatos protoestelares (55). A análise de componentes principais utiliza canais diferentes de uma observação (séries temporais de um mesmo objeto) e realiza uma transformação linear que recombina os canais de forma que maximize a variância dos da- dos, podendo assim identificar as estruturas que mais contribuem para a variância destes dados. Isto permite, por exemplo, separar o sinal oriundo de ruído, também eliminando automatica- mente dados redundantes,como dois canais com os mesmos dados. O que se pode destacar no contexto da turbulência do meio interestelar da técnica PCA é o expoente α, que faz uma ligação empírica das escalas características das funções de autocor- relação relacionadas a variações na velocidade e na escala,δv = v0δLα. Este α da ferramenta PCA possui uma relação com o índice espectral β da velocidade, assim como para a função de estrutura da nuvem(49; 50). 2.7 Simulações MHD Simulações numéricas das equações hidrodinâmicas ou MHD fornecem o único meio pelo qual podemos realmente "observar"a turbulência interestelar em ação, embora o que vemos depende 4VCA, da sigla em inglês Velocity Channel Analysis. 5VCS, da sigla em inglês Velocity Coordinate Spectrum. 6PCA, da sigla em inglês Principal Component Analysis. 18 Capítulo 2. O Meio Interestelar 19 dos processos físicos incluídos, se e como uma força externa é aplicada, a dimensionalidade das simulações, condições iniciais e de contorno, a técnica de discretização, e a resolução espacial(32). No nosso trabalho foram utilizadas 12 mapas PPV gerados a partir de simulações de turbulência MHD. Dessas 12 simulações, dez possuem MS < 20 e duas com MS >20, con- sultar (56; 57) para mais detalhes. Para as simulações com MS < 20 foi utilizado o código demonstrado em (58), e para MS > 20 é utilizado o código detalhado em (59). Estes mapas foram gerados desprezando qualquer efeito de auto absorção, temperatura e poeira, gerando um mapa PPV ideal da distribuição de densidades e velocidades da nuvem, com resolução de 25037. Na criação desses mapas é utilizada a densidade e as componentes do campo magnético e velocidade local da nuvem gerando um mapa PPV perfeito. As 12 imagens que são geradas pelas simulações estão denominadas da seguinte forma: simulação b.05p.01, simulação b.05p.1, simulação b.05p1, simulação b2p.01, simulação b2p.1, simulação b2p1, simulação b3p.01 , si- mulação b3p.1, simulação b3p1 ,simulação b5p.01, simulação b5p.1 e simulação b5p1 e são diferenciadas pelos valores de campo magnético e pressão (b e p). Figura 2.1: Criação de um mapa PPV a partir de simulações MHD. Fonte : Autor. 7em unidades das simulações 19 CAPÍTULO 3 MÉTODOS ESTATÍSTICOS Neste capítulo vamos introduzir as técnicas estatísticas necessárias para o tratamento de sistemas complexos, como é o caso do meio interestelar. Nessas situações as geometrias clás- sicas como a geometria euclidiana já não são suficientes e se tornam incompletas para explicar essas estruturas, as descobertas de novas geometrias não-euclidianas foram de suma importân- cia para explicar algumas formas reais da natureza. Com isso a abordagem de fractais como mono e multifractais são importantes para caracterizar geometrias com formas irregulares e fracionárias. Com o uso dessas técnicas no âmbito da dinâmica , formas geométricas e séries temporais do universo, quando os mesmos são regidos por apenas um expoente de escala, dize- mos que o objeto se comporta como um monofractal, por outro lado se a dinâmica for regida por um conjunto de expoentes de escala, dizemos agora que a estrutura se comportará como um objeto multifractal. O capítulo ainda contemplará a análise da técnica R/S de Hurst, conhecido como expo- ente de Hurst responsável por caracterizar persistência a longo prazo,e muito importante para tratar séries temporais para identificar persistência, aleatoriedade ou reversão média. Para fer- ramentas multifractais vamos da uma ênfase na técnica MFDMA 1 método de média móvel destendenciada para multifractais, utilizada para detectar correlação de longo alcance e identi- ficar a natureza multifractal em séries temporais estacionárias e não-estacionárias e superfícies, 1 MFDMA, da sigla em inglês Multifractal detrended moving average analysis. 20 Capítulo 3. Métodos estatísticos 21 essa técnica tem uma importância ímpar para o nosso trabalho, utilizada para o tratamento de imagens de simulações do meio interestelar. 3.1 leis de escala(Potência), Auto- similaridade e Auto-afinidade As leis de escala ganharam notoriedade graças aos avanços da mecânica estatística, com a per- cepção de que sistemas aparentemente distintos podem apresentar um comportamento comum, ou ter um mesmo expoente, abrindo o caminho para o estudo da universalidade. O conceito de escala é utilizado para dimensionamento espacial e temporal em que ocorre um fenômeno.Neste tipo de lei, quando uma certa quantidade ou variável sofre uma mudança relativa, a outra quanti- dade ou variável sofrerá proporcionalmente uma mudança relativa, evoluindo fora do equilíbrio e muitas vezes de forma dissipativa,muitos fenômenos na natureza descritos por uma lei de es- cala seguem uma lei de potência, matematicamente podemos representar uma lei de potência na forma : A = c Bx (3.1) Onde A e B são as duas variáveis ou quantidades ( observações), c é uma constante de norma- lização e x o expoente de escala. Algumas propriedades são importantes para se identificar e observar se dados de séries seguem uma lei de potência, a primeira é tomar o logaritmo, usando por exemplo a equação 3.1, assumindo a forma : log(A) = log(c) + xlog(B) e representando os valores dos logaritmos deA e B em um gráfico, sendo uma ferramenta importante para saber até quando esses valores das séries de dados podem ser ajustados como uma reta, identificando uma lei de potência. Outra propriedade é a invariância de escala, nessa situação qualquer va- riação na escala é de certo ponto absorvida na constante de normalização, os fenômenos que normalmente seguem esse modelo são descritos como sendo livres de escala. Uma das formas de estudar a formação de leis de potência, é através da natureza geo- métrica de conjuntos auto-similares e auto-afins. Um objeto é dito auto-similar quando uma parte dele representa o seu todo, o que significa que cada porção pode ser considerada uma ima- gem em escala reduzida do conjunto(60).A auto-similaridade é uma ferramenta poderosa no estudo dos fenômenos casuais, muito aplicada na geoestatística, economia e física, considera- ções muito semelhantes aplicam-se no estudo da turbulência em que os tamanhos característicos dos "recursos"(que são os turbilhões) são igualmente muito dispersos(60), a auto-similaridade 21 Capítulo 3. Métodos estatísticos 22 é uma característica dos fractais. Por outro lado se tratando em auto-afinidade, pode ser en- tendida como sendo um fractal cujas suas partes são dimensionadas em quantidades diferentes em direções como exemplo X e Y . Para se observar uma auto-similaridade nesse caso, se- ria necessário um redimensionamento através de uma função afim anisotrópica. Os termos de auto-similaridade e auto-afinidade são aplicados a conjuntos limitados e ilimitados. Um conjunto limitado S é considerado auto-similar em relação ao raio de escala r, quando S é a união de N subconjuntos não sobrepostos (S1, ..., Sn), no qual cada subconjunto de S é obtido por meio de uma transformação do tipo Si = ri . S, sendo i = (1, ..., n). No outro caso um conjunto limitado S é dito auto-afim em relação ao vetor raio de escala r = (r1, ...rn), sendo S a união de N subconjuntos não sobrepostos (S1, ..., Sn), com Si = ri . S, com i = (1, ..., n), sendo obtido de S, por uma transformação auto-afim. Os conceitos de auto-similaridade e auto- afinidade são importantes para se construir uma visão sobre fractais e multifractais, a auto- similaridade torna uma fractal invariante a partir de uma transformação geométrica isotrópica, alguns fractais são formados por várias cópias iguais, mas as proporções originais não são fixas, sendo invariantes a partir de uma transformação anisotrópica, considerados fractais auto-afins. Tendo uma regra para poder distinguir um do outro, é que na auto-similaridade exige somente um fator de escala, enquanto na auto-afinidade exige no mínimo dois fatores de escala distintos. 3.2 Fractais e Multifractais O termo fractal começou a ser usado por volta do ano de 1975, quando Benoit Mandelbrot precisava explicar uma geometria que representasse algumas formas reais da natureza, como descrito em um dos seus primeiros trabalhos(61). O nome fractal vem do latim significando irregular ou fragmentado, na natureza os fractais são originados de processos dinâmicos auto- organizados críticos,nuvens não são esferas, montanhas não são cones , litorais não são círculos , e a casca não é lisa , nem relâmpago viaja em uma linha reta(61). Falando tecnicamente, um objeto fractal apresenta uma invariância em sua forma à medida em que a escala é alterada e quando analisada mantém a sua estrutura idêntica à original. As principais características dos fractais são a sua alto-semelhança, complexidade infinita e sua dimensão. A auto-semelhança se configura quando uma porção ou contorno de um objeto se parece com o todo visto em escalas menores. A complexidade infinita refere-se pela geração de uma figura, que se tratando de um fractal, é recursivo. Significando que no caso de um determinado procedimento, no 22 Capítulo 3. Métodos estatísticos 23 decorrer do mesmo encontra-se um sub-procedimento sendo o próprio procedimento executado anteriormente. Matematicamente dispõe-se de um número infinitos de procedimentos a serem executados, gerando uma estrutura infinitamente complexa(2). Em relação à sua dimensão, tem como característica ter um valor fracionário, contrariando a geometria euclidiana que contém valores inteiros, e esses valores fracionários representam o grau de ocupação da estrutura no espaço que a contém. O uso dessa geometria tornou-se bem vista nos últimos anos, na física, pelo fato de que um grande número de sistemas físicos tendem a apresentar comportamentos semelhantes em diferentes escalas de observação(62). Na astrofísica estruturas fractais são encontradas em fenômenos da magnetosfera, explosões solares, sistemas planetários, poeiras estelares e estruturas galácticas. A principal atratividade da geometria fractal deriva de sua capacidade de descrever a forma irregular ou fragmentada de recursos naturais bem como outros objetos complexos que a tradicional geometria euclidiana falha ao analisar(62). Este tipo de fenômeno é expresso espa- cialmente e no domínio do tempo pelas leis de escalas, caracterizada por uma lei de potência em sistemas físicos. A discussão sobre fractais precisa levar em consideração o tipo de fractal bem como as características matemáticas que os definem, como o comprimento, área e a dimensão fractal. Uma característica associada aos fractais gerados por sistemas de funções iterativas é a auto-similaridade exata, ou seja, a variação do comprimento de escala, sob a qual o fractal é analisado, o que leva sucessivamente a configurações idênticas a configuração inicial. Existem, contudo, fractais que são igualmente formados por minicópias, mas estas são anisotrópicas, ou seja, não são mantidas fixas as proporções originais em todas as direções. Ao se passar de uma escala para outra, observa-se que o tamanho destas cópias não varia uniformemente em todas as direções do espaço. Neste caso, os fractais são chamados de auto-afins (2). Um exemplo de fractal auto-afim é o conjunto de cantor. No conjunto de cantor , é retirada a parte do meio de uma barra e as partes que sobram se ampliarmos representam uma cópia da imagem original, dizemos então que é um fractal alto-semelhante. 3.2.1 Dimensão Fractal Se considerarmos a dimensão euclidiana, vemos que ela representa o número de coordena- das para representar uma forma euclidiana. Sendo assim podemos citar que uma coordenada 23 Capítulo 3. Métodos estatísticos 24 Figura 3.1: Conjunto de cantor. Fonte: (2) (comprimento) representa uma linha, duas coordenadas(comprimento e largura) representam um plano, enquanto três coordenadas( comprimento, largura e altura) podem representar um volume. No caso da dimensão fractal ela visa calcular o espaço de ocupação de um fractal ou de uma figura. Conceituada por Benoit Mandelbrot para descrever estruturas irregulares e não homogêneas, objetos cujo geometria complexa não pode ser caracterizada por uma dimensão integral(62). A dimensão fractal é uma quantidade de livre escala que descreve o preenchimento fracionário de uma estrutura sobre alguma faixa de escala , mas normalmente não se estende ao infinito microscópico ou escalas macroscópicas (1). Um fractal é , por definição, um conjunto na qual a dimensão Hausdorff Besicovitch estri- tamente excede a dimensão topológica(61), A dimensão Dh Hausdorff-Besicovitch é definido como a relação logarítmica entre o número N de um objeto de interna homotetia e o recíproco da relação r comum desta homotetia(62), definido como: Dh = ln (N) ln (1/r) (3.2) Homotetia está relacionado a um termo de redução, na equação 3.2 o fractal é constituído de N padrões na qual o tamanho será reduzido por um fator de r,no caso por homotetia. A dimensão topológica de um objeto corresponde ao número de variáveis independentes necessários para descreve-lo(62), por exemplo: um ponto tem uma dimensão zero, uma superfície duas dimen- sões e um cubo terá três dimensões. Então se precisarmos obter a dimensão fractal fazemos uso dos seguintes passos, Sendo S um certo conjunto com dimensão D, sendo o comprimento D = 1, para uma superfície temos D = 2 e volume D = 3, sendo comprimentos finitos. Seja N(s) o número de esferas de raio s, para encobrir totalmente o conjunto S. Assim temos 24 Capítulo 3. Métodos estatísticos 25 N(s) ∼ S−D (3.3) sendo D = − lim s→ 0 logN(s) log s (3.4) Nesse caso a dimensão fractal do conjunto S é uma generalização da equação (3.4),sendo defi- nido como D = − logN(s) log s (3.5) Como exemplo vamos calcular a dimensão fractal de dois fractais, sendo eles o conjunto de cantor e a curva de Koch. No conjunto de cantor figura 3.1 também chamado poeira de cantor, uma barra é subdividida em duas barras apagando o meio, nesse caso o numero de elementos aumenta numa proporção 2n, enquanto o comprimento decresce com s = (1 3 )n, Assim temos as relações, N(s) = 2n e s = 3−n, como resultado temos D = − logN(s) log s = log 2 log 3 ≈ 0, 630930... (3.6) No caso da curva de koch, um segmento de reta é dividido em três segmentos iguais, após isso substituímos o terço médio por um triângulo equilátero e depois apaga a base. O processo iterativo vai sendo aplicado para cada segmento de reta que sucede da iteração anterior. Para a curva de Koch temos que o número de segmentos aumenta com um fator de 4 no caso 4n, enquanto o comprimento decresce com s = (1 3 )n, portanto N(s) = 4n e s = 3−n, como resultado temos D = − logN(s) log s = log 4 log 3 ≈ 1.26186... (3.7) A chave dos fractais está na sua auto-similaridade, que implica que uma parte ampliada dele se confunde com o todo, descrevendo também a relação entre os componentes parciais com o sistema como um todo, e são classificados auto-afins se a variação de escalas forem diferentes em uma direção do que a variação em outra direção. Podemos caracterizar fractais como mono e multifractais. 25 Capítulo 3. Métodos estatísticos 26 Figura 3.2: Construção da curva de Koch. Fonte: (2) 3.3 Multifractais No caso de monofractais a estrutura é caracterizada por apenas uma dimensão fractal, No en- tanto, não existe uma estrutura no universo que exibe a mesma dimensão fractal em todas as escalas do microscópico ao limite macroscópico. Estruturas geométricas são geradas por dife- rentes processos físicos que operam dentro de uma faixa de escala preferida, e portanto, as es- truturas resultantes têm um diferente grau de não homogeneidade ou fractalidade em diferentes escalas (61). O conceito de multifractais tenta caracterizar o grau de complexidade geométrica com vários expoentes de escala ou dimensões fractais , que, no limite do contínuo resulta num 26 Capítulo 3. Métodos estatísticos 27 espectro de dimensões fractais(61). A principal característica de multifractais é que a dimensão fractal não é a mesma em todas as escalas (6). A multifractalidade trata-se de uma extensão dos fractais, essa generalização dos fractais faz com que a dinâmica não seja possível ser descrita por apenas uma dimensão fractal e sim representada por um espectro contínuo de expoentes, esses sistemas são bem comuns na natureza, em destaque na geofísica, também bem aplicada em costas de continentes, turbulência, como é o foco do nosso trabalho, séries temporais finan- ceiras e ultimamente em séries astrofísicas e muito mais. Esse tipo de análise se iniciou a partir do modelo de Mandelbrot(1974)(63) para cascatas no contexto de dissipação de energia para turbulência, em seguida, foi aplicado para a medição da velocidade de escoamento turbulento na década de 1980(62),neste caso a velocidade tem um comportamento muito complexo, que ocorre irregularmente em lugares não tão frequentes, foi desenvolvido um tratamento de sinal para estudar a regularidade de um sinal com uma velocidade V , O objetivo consiste em definir, em cada ponto de sinal x0 a lei de variação de velocidade para deduzir o pontual expoente Höl- der h(x0)(62), pontos com o mesmo expoente h são agrupados em um conjunto Sh, e assim os físicos buscaram calcular a dimensão Hausdorff Dh de Sh, a função h → Dh foi chamado de espectro de singularidade(62). Um fator importante da multifractalidade quanto a o expoente de escala é a relação entre a função de flutuação e a escala de tempo representado por uma lei de potência na forma F (q) ∼ sh(q), que inicialmente é ajustado para calcular o expoente de escala local h(q) para cada q, e depois o expoente de escala de Renyi τ(q) = q.h(q) − 1 e o espectro de singularidade f(α) transformado a partir de τ(q) usando uma transformação de legendre : f(α) = qα− τ(q) (3.8) α = dτ(q)/dq (3.9) Onde α é a singularidade ou expoente de Holder, e f(α) denota a dimensão da subsérie que se caracteriza por α(11). dados de séries temporais apresentam um comportamento multifractal quando o expoente de Renyi τ(q) e o valor de q seguirem uma relação não linear, ou quando o expoente de hurst h(q) é dependente de q. além disso, a característica de multifractalidade pode também ser estimado em termos de ∆h(q) ou ∆α (11): ∆h(q) = max[h(q)]−min[h(q)] (3.10) 27 Capítulo 3. Métodos estatísticos 28 ∆α = max(α)−min(α) (3.11) Geralmente , quanto maior a diferença ∆h(q) ou ∆α que é medido, maior o grau de multifrac- talidade a série de tempo pode exibir(11). Para o nosso trabalho a grande relevância vai ser em relação ao trato de imagens 2D a par- tir de analises multifractais utilizando a técnica MFDMA que vai ser demonstrada no próximo capítulo, assim temos que observar algumas características que a imagem irá nos mostrar em relação ao trato multifractal. Figura 3.3: Diagrama para o espectro multifractal descrevendo os parâmetros D(h) e h. Fonte :(3) De acordo com a imagem acima (figura 3.3) podemos caracterizar o espectro multifrac- tal, nesse caso vamos destacar o comportamento do espectro de singularidade. Para q > 0 uma cauda mais pesada para esquerda significa que teremos uma singularidade forte, enquanto uma cauda maior para a direita q < 0 exibe uma singularidade mais fraca. A largura de h vai contri- buir para o grau de multifractalidade, quanto mais largo for mais multifractal será, a largura de ∆h é definida como sendo ∆h = hmax − hmin, ∆h pode indicar a complexidade do sinal, para maiores valores de ∆h a estrutura do sinal demonstra ser mais rico e mais complexo, para valo- 28 Capítulo 3. Métodos estatísticos 29 res menores tende a representar um monofractal. A assimetria de h pode ser configurado como A = hmax−ho h0−hmin , em que h0 é o valor quando ∆h assume valor máximo. Nesse contexto A pode assumir três formas: para (A > 1) teremos uma assimetria, para (0 < A < 1) uma inclinação para esquerda e uma simetria para (A = 1).Uma assimetria para uma cauda esquerda longa indica uma estrutura multifractal que é insensível a flutuações locais com Pequenas magnitu- des, enquanto uma cauda direita longa se refere a uma estrutura que é insensível para grandes Magnitudes (6). Em geral, um conjunto multifractal S, o comportamento em torno de cada ponto é repre- sentado por uma lei de potência que atua sobre cada local em que se localiza qualquer ponto: s(~x+ ~a)− s(~x) ∼ ah(~x) (3.12) O expoente h(~x) é conhecido como o espectro de singularidade, ele descreve o grau local de singularidade(regularidade) em torno de cada ponto ~x. o conjunto de todos os pontos que confi- guram o mesmo expoente de singularidade é denominado múltiplo de singularidade do expoente h, sendo um fractal com dimensão fractalD(h). A curva representada porD(h) vs h é chamado de espectro de singularidade descrevendo toda a distribuição estatística da variável S. Um sistema físico χ apresenta um comportamento multifractal não apenas pelo espectro de singularidade D(h), ao se fazer a observação dos dados é possível ver os expoentes multies- calas ζ(q), onde q pertence aos reais. A multifractalidade apresenta em seus sinais em algumas oportunidades uma invariância de escala que se configura em um comportamento como uma lei de potência para certas quantidades de multi-resolução (multiescala aproximada) dependendo da escala a, em relação ao objeto de estudo essas quantidades de multi-resolução, configurada por Tχ(a), podem ser consideradas como média locais em uma caixa com tamanho a, o gra- diente ao longo da distância a ou coeficiente wavelet em escala a. os objetos multifractais apresentam uma escala global em forma de uma lei de potência com a forma: (Tχ(a) q) ∼ aζ(q) (3.13) A geometria dos fractais também são bem aplicadas em séries temporais, Mandelbrot foi o primeiro cientista a aplicar fractais em séries temporais naturais, incluindo precocemente as abordagens de Hurst(64) para sistemas hidrológicos.Na última década, o comportamento 29 Capítulo 3. Métodos estatísticos 30 de escala fractal e multifractal foi relatado em muitas séries temporais naturais geradas por sistemas complexos(65), dentro desses sistemas naturais podemos incluir. • geofísica ( registros de temperatura, precipitação,níveis de ozônio, velocidade do vento, eventos sísmicos, padrões de vegetação e dinâmica climática), • médica e fisiológica( registros de batimentos cardíacos, respiração,Pressão arterial, fluxo de sangue, intervalos do ponto do nervo, marcha humana,níveis de glicose e dados de expressão do gene), • sequências de DNA ( não são realmente séries temporais) • séries temporais astrofísicas ( fontes de luz de raios-x e números de manchas solares), • técnicas de séries temporais ( tráfego de internet, trânsito rodoviário e potência de um reator), • séries temporais sociais ( finanças e economia, características linguísticas, fatalidades em conflitos) • dados de física (além de series temporais) Rugosidade da superfície, espectros caóticos de átomos e gravações de espectroscopia de correlação de fótons(65). Os dados das séries temporais que são geradas pelos sistemas complexos exibem flutua- ções em um intervalo amplo de escalas de tempo ou distribuições de valores. Sendo em equi- líbrio ou não-equilíbrio, muitas vezes encontrados numa direção para ser caracterizada como relação de escala em várias ordens de grandeza. Essas leis de escala permitem que os dados e o sistema complexo gerador desses dados, sejam caracterizados por expoentes de escala fractal ou multifractal, e podem ser úteis para ser uma forma de impressão digital de um sistema para comparar com outro sistema e com modelos.Embora as causas subjacentes de escala não são conhecidos em detalhes, a caracterização fractal ou multifractal pode ser usada para gerar dados substitutos (teste), modelando a Série temporal, e derivando previsões sobre eventos extremos ou comportamentos futuros. A aplicação principal, entretanto, é ainda a caracterização de esta- dos diferentes ou fases do sistema complexo com base no comportamento da escala observada (65). Para dados de séries temporais, a análise mono e multifractal medem a memorização do sistema ou uma persistência a longo prazo, sendo em relação ao comportamento da escala. Com isso varias técnicas foram desenvolvidas para realizar o tratamento dos dados das séries 30 Capítulo 3. Métodos estatísticos 31 temporais, nas quais serão listadas para mono e multifractais. Para análise monofractal, desde o trabalho seminal do expoente de Hurst proposto Por Hurst , vários expoentes mono-fractal foram desenvolvido e aplicado às medidas de complexi- dade Para dados de séries temporais(11). A análise de monofractal descreve a Estrutura global da dinâmica das séries temporais em termos dos Expoentes de escala que representam persistên- cia a longo prazo, auto-similaridade ou memorização do sistema(11). Nesse caso um expoente de escala longe do nível desordenado de 0,5 representa que o sistema tem uma forte memoriza- ção uma auto-semelhança, com isso os dados que são observados vão compreender um baixo nível de complexidade. A análise fractal esta embutida de dois fatores principais, a destendên- cia2 aproximada(para descrever a flutuação nos dados das séries de tempo), e o expoente de escala (para estimar o comportamento da escala ajustando a relação de lei de potência entre a função de flutuação e escala de tempo). Com isso usando diferentes destendências aproximadas ( ou descrições de flutuações), vários métodos de teste de monofractalidade foram formulados, entre os quais a análise R/S(vamos abordar mais adiante), DFA3 e DMA 4são os mais conven- cionais e populares. Para análise multifractal, a principal diferença para a análise monofractal que busca a es- trutura global, é explorar os dados do sistema a partir de estruturas locais. nesse caso um fator q é introduzido na função de flutuação, para poder modelar o comportamento local da escala, podendo oferecer uma análise mais abrangente e específica. semelhante a análise monofrac- tal, se o expoente de escala está longe do nível desordenado de 0.5 representa que o sistema tem uma forte memória, com os dados observados em um baixo nível de complexidade, obe- decendo a uma persistência de longo prazo ou auto-similaridade. também é observado dois fatores importantes, a destendência aproximada (ou descrição de flutuação) e o expoente de escala. Se baseando de diferentes destendências aproximadas para descrever flutuações, foram implementados algums mmétodos para testar a multifractalidade do sistema, os mais populares e convencionais são o WTMM5, MFDFA6 e MFDMA 7. 2Elementos de longo alcance 3Do inglês :Detrended Fluctuation Analysis 4Do inglês :Detrending Moving Average 5Do inglês :Wavelet Transform Modulus Maxima 6Do inglês :Multifractal Detrended Fluctuation Analysis 7Do inglês :Multifractal Detrending Moving Average 31 Capítulo 3. Métodos estatísticos 32 3.4 Função de Autocorrelação Autocorrelação é uma correlação cruzada do sinal com ele mesmo, na matemática é utilizada para encontrar padrões que se repetem, e frequentemente para processar sinais e se fazer análise de funções e ate mesmo séries de valores e no domínio do tempo. Em algumas áreas a função de autocorrelação pode ser comparada com o sinônimo de autocovariância, e na estatística tem como função informar o quanto uma variável aleatória pode influenciar seus vizinhos. Um objetivo importante da autocorrelação está em observar o grau de correlação dos componentes de uma série temporal em relação a uma persistência dos dados, uma persistência pode ser considerada em um conjunto de dados se um grande valor for seguido de um grande valor e se um pequeno valor for seguido também por um pequeno valor, assim se um valor positivo(negativo) de uma série temporal apresentar uma 50% de probabilidade de ser sucedido por um valor positivo(negativo), e antipersistência quando um valor positivo(negativo) suceder também um valor positivo(negativo). Os incrementos ∆xi = xi − xi−1 de uma serie temporal (xi) sendo i = 1, ..., N com N valores medidos com a mesma distância no tempo, nesse caso ∆xi pode ser observado como persistente, independente ou anti persistente. Para dados estacionários com media constante e desvio padrão a função de autocovariância dos incrimentos, podem ser usados para determinar a persistência (65), sendo definido como, C(s) = 〈∆xi∆xi+s〉 = 1 N − s N−s∑ i=1 ∆xi∆xi+s (3.14) Se C(s) é dividido pela variância 〈(∆xi)2〉, ele se torna a função de autocorrelação, ambos são idênticos se os dados são idênticos se os dados são normalizados com a variância unitária(65). Para análise da função de autocorrelação, é considerado um registro (xi) com i = 1, ..., N com medições a mesma distância, podendo i sendo correspondido pelo tempo das medições, para tanto o interesse sera em correlacionar xi e xi+s para atrasos de tempo diferente, correla- ções para diferentes escala de tempo s. Para remover um desvio constante nos dados, a média 〈x〉 = 1 n ∑N i=1 xi é normalmente subtraído, x˜i = xi− 〈x〉. Alternativamente as propriedades de correlação dos incrementos x˜i = ∆xi = xi − xi−1 pode ser estudada(65).As correlaçoes entre os valores de x˜− valores separados por etapas são definidas pela função de autocovariância C(s) = 〈∆xi∆xi+s〉 ou função de autocorrelação C(s)〈x−2i 〉 (65). 32 Capítulo 3. Métodos estatísticos 33 Os x˜i são correlacionados a curto prazo quando C(s) declina exponencialmente, C(s) ∼ exp(−s tx ), e são correlacionados a longo prazo se C(s) declina como uma lei de potência C(s) ∝ S−γ , com o expoente de correlação 0 < γ < 1(65). 3.5 Expoente de Hurst Vamos agora iniciar o estudo de um importante parâmetro estatístico muito significativo para o trato de séries temporais, trata-se do expoente de Hurst, descendendo dos estudos realizados pelo hidrologista britânico Harold Edwin Hurst em meados 1951, quando ele estudou um tipo de série temporal do tipo caminhada aleatória com uma tendência a longo prazo. Hurst estudou sobre como medir a capacidade de armazenamento dos reservatórios para longo prazo e perce- beu a presença de uma dependência a longo alcance, nesse caso verificou flutuações no nível da água no rio nilo Egito.A partir disso criou um método para redimensionamento de escala para verificar a dependência de longo alcance. Com o intuito de trabalhar com os controles dos reservatórios de água do Rio Nilo ele viajou para o Egito em 1906. Para se obter um reservatório ideal ele precisa não transbordar e nem secar. Para manter o reservatório em um nível aceitável para atender a população, o governo do cairo se responsabilizou a depositar uma quantidade de água por ano para manter o nível do reservatório. O problema estava em determinar qual a quantidade de água o governo precisava colocar no reservatório para atender o nível de não transbordar e manter um nível mínimo de água, tendo em vista que o fluxo do Rio nilo estando muito fraco o reservatório ficaria abaixo do nível. Para montar o modelo matemático, Hurst levou em conta todo ecossistema do Rio Nilo, levando em consideração a parte do Sistema que não se tinha controle, que era o fluxo da água da chuva, sugerindo que seguia uma caminhada aleatória. Para provar tal fato, ele apresentou um parâmetro estatístico para incluir os efeitos a longo prazo, sendo assim conhecido como expoente de Hurst, H. De inicio Hurst fez uma medida para saber como o nível do reservatório flutuava em relação do nível médio com o passar do tempo. foi observado que o intervalo de flutuação tendia a uma mudança, levando em consideração o período de tempo escolhido para a mediação. A série temporal decorrente dos valores medidos apresentasse uma aleatoriedade, o intervalo de flutuação iria aumentar com o intervalo de tempo escolhido para as medidas através 33 Capítulo 3. Métodos estatísticos 34 de uma raiz quadrada seguindo a regra √ n. Para criar um padrão da medida do tempo, Hurst criou uma relação sem dimensão que dividia o intervalo da amplitude de flutuação pelo desvio padrão dos valores observados. Após isso, essa análise ficou sendo conhecida como análise R/S. foi verificado por Hurst que vá- rios fenômenos naturais seguiam uma caminhada aleatória, e para a medida do seu parâmetro estatístico aplicado ao reservatório foi encontrado um valor de H = 0,9. Para o nosso trabalho, vamos enfatizar e descrever o método R/S para determinar o expo- ente de Hurst, que tem como finalidade determinar como a varição de uma série temporal muda com o comprimento do intervalo de tempo especulado. o calculo dessa análise e feita dividindo o intervalo dos valores observados para uma porção de série temporal pelo desvio padrão dos valores pela mesma porção da série temporal. vamos agora determinar os passos necessários para determinar o expoente de hurst via o método R/S, seja uma série temporal original X(i) (i = 1, 2, ...., N), primeiro ela é dividida em NS = [N/S] segmentos sem sobreposição com tamanho S, Então, obtém-se o perfil (dados integrados) Yv(j) (j = 1, 2....S) no segmento v é obtido subtraindo a média local(11): Yv(j) = j∑ j=1 (x(vs+ i)− < x(vs+ i) >s) = j∑ j=1 (x(vs+ i)− j s s∑ i=l x(vs+ i) (3.15) Assim a flutuação sobre os dados das séries temporais podem ser calculada pela média de escala sobre todos os segmentos: F (s) = 1 Ns Ns−1∑ v=0 Rv(S) Sv(S) (3.16) Sendo Sv(s) o desvio padrão e Rv(s) a diferença entre o valor mínimo e máximo de Yv(j), ou seja : Rv(s) = max[Yv(j)]−min[Yv(j)] (3.17) Sv(s) = √√√√1 s s∑ i=l Y 2v (j) (3.18) Para medir o expoente de escala, repita os passos acima Com tamanhos diferentes de s para ajustar a relação lei de potência Entre a função de flutuação e a escala de tempo, isto é, F (s) ∼ SH . Na prática, o expoente de Hurst H pode ser obtido Ajustando a inclinação do 34 Capítulo 3. Métodos estatísticos 35 gráfico log − log de F (s) versus s baseado na estimação de mínimos quadrados (LS). quando o expoente de escala for inferior a 0,5, isto é, 0 < H < 0, 5, a série temporal pode conter Um comportamento de anti-persistência a longo prazo; Enquanto 0, 5 < H < 1, um compor- tamento de persistência a longo prazo pode ser investigado; e se H = 0, 5, a série exibe um comportamento randômico aleatório sem persistência a longo prazo ou auto-similaridade(11) Podemos ainda citar uma relação do expoente de Hurst com a dimensão fractal, nessa relação medimos a rugosidade do sistema escolhido, assim essa relação é definida como: Df = 2−H (3.19) Assim quanto maior o expoente de Hurst menor o valor da dimensão fractal, e virse e versa. 3.6 O Estado da Arte do tratamento multifractal em Astrofí- sica Neste capítulo vamos mostrar um trabalho e um método para tratamento de de fractais 2D na Astrofísica. Para isso vamos nos concentrar no trabalho realizado por (4), com o avanço nas técnicas de observação da superfície solar, várias estruturas complexas do sol como manchas e granulação não podem serem representada por apenas um parâmetro(dimensão fractal ou lei de potencia), com isso funções que envolvem varias escalas devem esta relacionadas, criando assim a possibilidade de multifractalidade, e para o trabalho é usado o dimensionamento de funções estruturais para fazer análise multifractal. Aplicação da abordagem para os magnetogramas SOHO / MDI de alta resolução de regiões ativas mostram que as funções estruturais funcionam para todas as regiões ativas estudadas. Para uma determinada Região ativa, as funções podem manter a sua forma durante várias horas,porém eles podem mudar significativamente durante um dia. As regiões ativas silenciosas tendem a Possuem um menor grau de multifractalidade do que as regiões ativas . O Aumento da multifractalidade é um sinal de que uma estrutura magnética é dirigido para um Estado crítico, ganhando assim descontinuidades tangenciais de várias escalas de comprimento(4). tendo em vista as varias formas de se investigar a multifractalidade como em magne- togramas da superfície do sol, e a relação de multifractalidade e intermitência, o trabalho da 35 Capítulo 3. Métodos estatísticos 36 determinada autora demonstra como as funções de estruturas podem ser usadas na avaliação do grau de multifractalidade e como resultado obter benefícios acerca de processamentos de imagens solares e sobre o campo magnético do sol. Uma função de estrutura pode ser definida como sendo momentos estatísticos do incremento de um campo e é uma ferramenta para estu- dar multifractalidade e intermitência. No trabalho de (4) o campo que é analisado é a linha de visada do componente da campo magnético fotosférico, B ‖, sendo uma função de estrutura sendo definida como sendo : Sq(r) = 〈|B ‖ (x+ r)−B ‖ (x)|q〉 (3.20) Onde x é cada ponto em um magnetograma, r é o vetor de separação, E q é a ordem de um momento estatístico, que assume real Valores. Os suportes angulares indicam uma média sobre o magnetograma. Dentro de alguma alcance de escalas, quando plotadas em um duplo logarít- mico , as funções estruturais são lineares. A inclinação,ζ(q), é então uma função Do momento estatístico, q. A Figura 3.4 mostra um exemplo de função de estrutura (quadro superior es- querdo) e a correspondente ζ(q) função (quadro superior direito) calculado a partir da linha de visada do Magnetograma de uma região ativa. Neste caso o campo que é estudado apresentar ζ(q) como uma reta é dito um monofractal, mais para o caso da multafractalidade ζ(q) tende a ser uma cuva, a derivada h(q) = dζ(q)/dq não é uma Constante, de modo que h varia dentro de algum intervalo∆h. Para cada Valor de h há um fractal com uma dimensão h−dependente,D(h). Assim, a multifractalidade do campo se manifesta com a Concavidade da função ζ(q). Aceitando o valor ∆h = hmax−hmin (Figura3.4, painel inferior direito) como uma estimativa do grau de multifractalidade do campo. De fato, quanto maior alargura de ∆h, mais ampla é o Conjunto de monofractais que juntos formam o multifractal resultante(4). A técnica utilizada por (4) tem um ponto fraco para determinar o intervalo de escala ∆r onde a inclinição de ζ(q) é calculado, sendo assim é proposto para se visualizar a multifractali- dade do intervalo δr é ultilizada a função de planicidade : F (r) = S6(r)/(s2(r)) 3 (3.21) que para monofractais a função F (r) nao depende da esla r, já para multifractais a função F (r) 36 Capítulo 3. Métodos estatísticos 37 Figura 3.4: Funções de estrutura Sq(r) (canto superior esquerdo) calculado a partir de um mag- netograma Da região ativa NOAA 0501 pela Equação (3.20). Inferior esquerdo: - Função planice F (r) calculada a partir das funções estruturais pela Equação (3.21). As linhas pontilha- das vertical marcam o intervalo da multifractalidade,∆r, onde cresce como Potência quando r diminui. O intervalo ∆r também está marcado na parte superior esquerda do Quadro. K É o índice de potência de F (r) determinado dentro de r. A inclinação de Sq(r), definida para cada q dentro de ∆r, a função ζ(q) (superior direita),sendo uma côncava Para uma linha multifractal e reta para um monofractal. Inferior direito: A função h(q) é um derivado de (q). O intervalo entre os valores máximos e mínimos deh(q) é definido como um grau de multifracialidade, ∆h(4) . se comporta como uma lei de potência quando a escala r. O código foi aplicado sobre magnetogramas de diferentes regiões ativas do sol a partir do modo de alta resolução (HR) pelo instrumento Michelson Doppler imagem (MDI) a bordo do sistema solar e pelo observatório heliosférico(SOHO). Para o tamanho dos pixeis foi usado nos magnetogramas é de 0.58 × 0.58 arcsec. como exemplo de resultados obtidos pela au- tora , sera mostrado resultado de cálculos realizados para duas regiões ativas no caso a NOAA 9077 e 0061, representadas nas figuras abaixo: a figura da esquerda representa a região NOAA 9077 e a da direita a 0061, é verificado uma diferença no comportamento de escala da fun- ções de estrutura, para a região NOAA 9077 é verificado uma estrutura multifractal do campo magnético, já para a região 0061 a função F(r) oscila em torno de uma linha horizontal o que 37 Capítulo 3. Métodos estatísticos 38 Figura 3.5: Funções de estrutura Sq(r), função F (r) e função ζ(q) a partir de um magnetograma para as regiões activas NOAA 9077 e 0061 (inferior direita) K é um índice de lei de potência de F (r) calculado dentro de r.O grau de multifractalidade para a região NOAA 9077 é de δh = 0.48 e para a região 0061 de ∆h = 0, 058 (4). implica em um monofractal de caráter do campo magnético, e demonstrando um menor grau de multifractalidade. O trabalho de (4) tem como objetivo analisar propriedades da multifractalidade de mag- netogramas solares, essa abordagem se da nos cálculos da função de estrutura Sq(r) que são definidas como os momentos estatísticos do incremento do campo em estudo. as caracterís- ticas de escalas das funções estruturais permitem estimar o grau de multifractalidade,∆h do campo. no estudo em questão foi a caracterização das funções estruturais, no caso a função F (r) proposta para a analise da multifractalidade. Tendo em vista a técnica abordada por (4), o nosso trabalho tem como intuito o tratamento de fractais 2D, mais como proposta iremos utilizar o método MFDMA, que será demonstrado e exemplificado no próxima sessão.. 38 Capítulo 3. Métodos estatísticos 39 3.7 Método MFDMA Nessa sessão vamos abordar um método para estudar a natureza multifractal de séries temporais e superfícies, trata-se da MFDMA (Média móvel detendenciada para multifractais) que é uma extensão do método DMA (média móvel destendenciada), que é utilizada para correlações de longo prazo de séries temporais e correlações de longo alcance para superfícies fractais(5), o método MFDMA foi desenvolvido e aplicado no trabalho de (5), e neste trabalho foi aplicado o parâmetro θ, definindo como a media móvel será calculada utilizada em varias dimensões , fazendo uso de medidas multifractais sintéticas a partir do uso do algorítimo θ para resultados analíticos, com os seguintes parâmetros com θ = 0 para medida no passado dos dados, θ = 0, 5 para medida considerando os dados do passado e futuro de cada medida e para uma medida no futuro com θ = 1. foi descoberto que o expoente de escala multifractal τ(q) e o espectro de singularidade f(α) ficaram com boa concordância com os valores teóricos. De acordo com (5) o método MFDMA se saiu melhor que o método MFDFA, fornecendo um melhor desempenho e com estimativas mais precisas dos expoentes de escala com as barras de erro mais baixas. Vários métodos foram desenvolvidos para tratar fractais e multifractais, como já foi ci- tado na seção anterior, podemos destacar o método clássico de Hurst R/S para tratamento de series temporais e superfícies fractais, temos também o método de módulo de transformada wavelet(WTMM), que é um método mais voltado para abordar multifractalidade, sendo bem visto para tratar medidas multifractais de alta dimensão em tecnologias de imagens e no es- tudo de turbulência tridimensional. Temos ainda DFA(análise de flutuação destendenciada) e MFDFA (análise de flutuação destendenciada para multifractais), o primeiro fornece implemen- tação e estimativa robusta ate mesmo para sinais curtos, e teve como motivo para sua criação estudar dependência de longo alcance na codificação e para a não codificação de sequencia de nucleotídeos de DNA ( trabalho realizado por (66)), e depois sendo utilizada para outras series temporais, depois foi estendida para analisar séries temporais multifractais, que é conhecida como a MFDFA. Vamos agora detalhar os passos necessários para montagem do algoritmo de análise MFDMA multifractal que foi aplicada em nosso trabalho, para tratar a natureza multifractal de imagens 2d de simulações interesterales, vamos descrever o método tanto para uma dimen- são quanto para duas dimensões, utilizando os procedimentos detalhados do trabalho de (5; 6). Em primeiro lugar vamos considerar uma série temporal, que é composta por uma função 39 Capítulo 3. Métodos estatísticos 40 determinista p(t, ~P ), onde o vetor P é uma serie de fourier, e um termo estocástico caracterizado por um ruído astrofísico(sem viés instrumental) dado por η(t) (6). Sendo assim uma série temporal pode ser representada como : x(t) = p(t, ~P ) + η(t) (3.22) Em geral, todos os procedimentos que envolvem um fundo multifractal geram três pa- râmetros cruciais para propriedades estruturais de uma série temporal para descrever a propri- edade estrutural de uma série temporal x(t): (i) uma função de flutuação Fq(n) de q-ésima ordem, (ii) o expoente de escala multifractal τ(q) ( o expoente de Renyi), e (iii) o espectro multifractal f(α)(6). sendo obtidos pelos seguintes passos: • Primeiro, a série temporal é reconstruída como uma sequência de somas cumulativas y(t) = t∑ i=1 x(t), t = 1, 2, ..., N, (3.23) Com N sendo o comprimento do sinal. • Segundo, a função de média móvel y˜(t) da equação 3.15, é calculado numa janela em movimento: y˜(t) = 1 n d(n−1)(1−θ)e∑ k=−b(n−1)θc y(t− k) (3.24) Onde n é o tamanho da janela, d(.)e é o maior inteiro não maior que o argumento (.),b(.)c é o menor inteiro não menor que o argumento (.), e θ é o índice de posição com valores entre 0 e 1 (6). Para mais detalhes (5). • Terceiro, a tendência é removida da série temporal reconstruída y(t) usando a função y˜(t) e a sequência restante (t) é obtido :  = y(i)− y˜(i), n− b(n− 1)θc ≤ i ≤ N − b(n− 1)θc (3.25) Onde , esta série temporal residual (i) é subdividida em Nn segmentos deslocados com o mesmo tamanho n dado por bN n − 1c. assim a sequência restante (t) para cada segmento é denotado por v, onde v(i) = (l + 1) para 1 ≤ i ≤ n e l = (v − 1)n (6) • Em quarto lugar,calculamos a função raiz quadrada média(rms) Fv(n) para um seg- 40 Capítulo 3. Métodos estatísticos 41 mento de tamanho n, Fv(n) = { 1 n n∑ i=1 2v(i) } 1 2 (3.26) • Em quinto lugar a função geradora Fq(n) é determinada como Fq(n) = { 1 Nn Nn∑ v=1 F 2v (n) } 1 q (3.27) para todo q 6= 0 e para q = 0,consequentemente , Fq(n) = exp { 1 2Nn Nn∑ v=1 ln[F 2v (n)] } (3.28) Onde o comportamento de escala Fq(n) segue um tipo de lei de potência dado por Fq(n) ∼ nh(q) e h(q) representa o expoente de Hurst ou Holder local(6). • Sabendo de h(q) podemos derivar o expoente τ(q) atraves de τ(q) = qh(q)− 1; (3.29) • E por último, obtemos o expoente α(q) e o espectro multifractal f(α), que tem uma relção com τ(q) via transformação de Legendre: α(q) = dτ(q) dq , (3.30) onde o espectro multifractal é definido por: f(α) = qα− τ(q) (3.31) nesse caso descrevemos os passos para técnica unidimensionalmente, que para os trabalhos Vamos agora descrever os passos para descrever a técnica MFDMA em duas dimen- sões.O algorítimo bidimensional MFDMA é usado para investigar possíveis propriedades mul- tifractais de superfícies, Que pode ser denotado por uma matriz bidimensional X(i1, i2) com i1 = 1, 2, ..., N1 e i2 = 1, 2, ..., N2(5) . O algorítimo é então descrito de acordo com os passos a seguir. 41 Capítulo 3. Métodos estatísticos 42 • Primeiro, calcule a soma Y (i1, i2) em uma janela deslizante com tamanho n1×n2 onde n1 ≤ i1 ≤ N1 − b(n1 − 1)θc e n2 ≤ i2 ≤ N2 − b(n2 − 1)θc. A posição dos dois parâmetros θ1 e θ2 variam no alcance [0, 1], especificamente,foi extraído uma sub-matriz Z(u1, u2) com tamanho n1 × n2 a partir da matrix X , onde i1 − n1 + 1 ≤ u1 ≤ i1 e i2 − n2 + 1 ≤ u2 ≤ i2(5). podemos assim calcular a soma Y (i1, i2) de Z da seguinte forma, Y (i1, i2) = n1∑ j1=1 n2∑ j2=1 Z(j1, j2) (3.32) • Segundo, Determine a função de média móvel Y˜ (i1, i2) onde n1 ≤ i1 ≤ N1 − b(n1 − 1)θ1c e n2 ≤ i2 ≤ N2 − b(n2 − 1)θ2c. Foi extraído uma sub-matriz W (k1, K2) com tamanho n1 × n2 a partir da matriz X ,onde K1 − d(n1 − 1)(1 − θ1)e ≤ k1 ≤ K1 + b(n1 − 1)θ1c e k2 − d(n2 − 1)(1 − θ2)e ≤ k2 ≤ k2 + b(n2 − 1)θ2c. Então calculamos a soma cumulativa W˜ (m1,m2)deW (5). W˜ (m1,m2) = m1∑ d1=1 m2∑ d2=1 W (d1, d2) (3.33) onde 1 ≤ m1 ≤ n1 e 1 ≤ m2 ≤ n2. A função de média móvel Y˜ (i1, i2) pode ser calculada dessa forma, Y˜ = 1 n1n2 n1∑ m1=1 n2∑ m2=1 W˜ (m1,m2). (3.34) • Terceiro, elimina a tendência da matriz removendo a função de média móvel Y˜ (i1, i2) de Y (i1, i2) e obter a matriz residual (i1, i2) como segue (i1, i2) = Y (i1, i2)− Y˜ (i1, i2), (3.35) com n1 ≤ i1 ≤ N1 − b(n1 − 1)θ1c e n2 ≤ i2 ≤ N2 − b(n2 − 1)θc. • Quarto passo, a matriz residual (i1, i2) é dividida em Nn1 ×Nn2 segmentos de retân- gulos disjuntos do mesmo tamanho N1 × N2, onde Nn1 = b(N1 − n1(1 + θ1))/n1c e Nn2 = c(N2 − n2(1 + θ2))/n2c. cada segmento pode ser denotado por v1,v2 tal que v1,v2(i1, i2) = (l1 + i1, l2 + i2) para 1 ≤ i1 ≤ n1 e 1 ≤ i2 ≤ n2, sendo l1 = (v1 − 1)n1 e l2 = (v2 − 1)n2. A flutuação de destendência Fv1,v2(n1 + n2) do segmento v1,v2 pode ser calculada como se 42 Capítulo 3. Métodos estatísticos 43 segue(5) F 2v1,v2(n1, n2) = 1 n1n2 n1∑ i1=1 n2∑ i2=1 2v1,v2(i1, i2) (3.36) • Em quinto, a função de flutuação Fq(n) de q-ésima ordem local d é calculado da seguinte forma, Fq(n) =  1Nn1 , Nn2 Nn1∑ v1=1 Nn2∑ v2=1 F qv1,v2(n1, n2)  1 q (3.37) Onde n2 = 1 2 (n21 + n 2 2) e q pode tomar quaisquer valores reais exceto q = 0. quando q = 0, temos(? ) ln[F0(n)] = 1 Nn1Nn2 Nn1∑ v1=1 Nn2∑ v2=1 ln[Fv1,v2(n1, n2)], (3.38) • Sexto passo, fazendo variações de tamanhos nos segmentos n1 e n2, podemos determi- nar a relação de lei de potência entre a função de flutuação Fq(n) e a escala n, Fq(n) ∼ nh(q) (3.39) No artigo (5) é considerado n = n1 = n2 e θ = θ1 = θ2 para aplicar a isotropia para o algorítimo bidimensional. usando e aplicando as equações τ(q) = qh(q) − Df , α(q) = dτ(q)/dq e f(q) = qα− τ(q), é possível obter o expoente de escala multifractal τ(q), a função de força de singularidade α(q) e o espectro multifractal f(α). E para o caso de multifractalidade em duas dimensões vamos ter da equação τ(q) = qh(q)−Df , Df = 2. 3.7.1 Aplicação do método MFDMA Nessa subseção vamos mostrar algumas aplicações do método MFDMA, e como esse método pode ser um diferencial em trato de séries temporais e superfícies. No trabalho de (5) afim de investigar o método MFDMA para duas dimensões, foi adotado o processo de multiplicação de cascata para sintetizar o processo bidimensional da medida multifractal. O processo se inicia dividindo um quadrado em quatro sub-quadrados com o mesmo tamanho. Após isso é atribuído quatro parâmetros de medida identificadas por P1,P2,P3 e P4 sendo (P1+P2+P3 + P4=1). Cada sub- quadrado é dividido em quatro quadrados menores E a medida é reatribuída com as mesmas proporções. O procedimento é repetido 10 vezes e 43 Capítulo 3. Métodos estatísticos 44 finalmente gerar a medida multifractal bidimensional com Tamanho 1024 ×1024. No papel, os parâmetros do modelo são P1 = 0, 1, P2 = 0, 2, P3 = 0, 3 e P4 = 0, 4(5). Figura 3.6: Análise multifractal da medida multifractal bidimensional utilizando os três algorit- mos MFDMA E a abordagem do MFDFA. (A) Dependência da lei de potência das funções de flutuação Fq(n) em relação à escala n para q = −4, q = 0 e q = 4. As linhas retas são a melhor lei de potência que se encaixa aos dados. Os resultados foram traduzidos verticalmente para melhor visibilidade. (B) o expoente de massa multifracional τ(q) obtidos a partir dos métodos MFDMA e MFDFA com os valores teóricos mostrados na curva como uma linha contínua. (C) Diferenças entre os expoentes τ(q) de massa estimados e seus valores teóricos para os quatro algoritmos. (D) Espectro multifractal f(α) com respeito à força de singularidade α para os quatro métodos. A curva contínua é o espectro multifractal teórico(5). Na parte superior esquerda da figura 3.6 foi descrita a função de flutuação Fq(n) da me- dida multifractal bidimensional para três algorítimos de MFDMA sendo θ = 0, θ = 0, 5 e θ = 1 e o método MFDFA bidimensional. foi descoberto pelos autores que cada função de escala Fq(n) é um excelente como uma lei de potência de n. as regressões lineares de mínimos quadrados de lnFn(q) contra lnn para cada q dão as estimativas de h(q). como visto no re- sultado para o caso unidimensional para MFDMA e MFDFA, é verificado também que os três algorítimos bidimensionais proporcionam as melhores relações de lei de potencia de escala do que o algorítimo MFDFA, com erros de padrão menores exceto para MFDMA com θ = 1 e 44 Capítulo 3. Métodos estatísticos 45 q = −4. o MFDMA com θ = 0 foi o que forneceu a melhor performance. Na parte superior direita da figura 3.6 é traçado os expoentes de escala multifractal para comparação e são calculados usando a seguinte equação: τth(q) = − ln(P q 1 + P q 2 + P q 3 + P q 4 ) ln2 (3.40) No painel (b) da figura é encontrado que os quatro curvas com os valores de τ(q) dos métodos MFDMA e MFDFA são próximos do valor teórico. Para uma melhor visibilidade foi traçado a diferença ∆τq = τ(q) − τth(q). Para Valores positivo de q, os algoritmos subestimam os valores de (q) val- . É claro que o MFDMA com θ = 0 obtem o melhor desempenho, , o MFDMA com θ = 1 possui a Pior perfomance, e o MFDFA supera o MFDMA com θ = 0, 5. Para valores negativos de q, a maioria dos Valores deδτsão maiores do que 0. foi constatado que os valores para tras de MFDMA tem o me- lhor desempenho, o MFDFA tendo o Pior desempenho, e a performance do MFDMA centrado e para frente E os métodos MFDMA avançados são comparáveis aos outros. Estas conclu- sões são ainda confirmadas pelos resultados Ilustrado na parte (d) da figura para o espectro multifractal(5) . Na Astrofísica um trabalho importante utilizando esse método foi o trabalho realizado por de Freitas et al. 2016(6), no artigo foi utilizado assinaturas multifractais na procura de novos sóis. Foi utilizada séries temporais do banco de dados da missão CoRoT, pretendendo veri- ficar se séries temporais astrofísicas podem fazer parte de um grupo de processos complexos e dinâmicos, nesse caso seria necessário diagnósticos de variabilidade fotométrica para fazer a caracterização de suas estruturas e topologia, com isso foi verificado se tinha contribuições devido a correlação temporal não-linear e efeitos causados por caudas mais pesadas que a gaus- siana, usando exatamente o método MFDMA. foi observado que a estrutura de correlação é a principal fonte de multifractalidade, além disso o trabalho mostra que o período de rotação de estrelas esta ligado intricicamente ao grau de multifractalidade. No artigo de Freitas et all.(2016)(6) examinou a correlação entre as assinaturas de mul- tifractalidade e a variabilidade estelar em séries temporais com menos de 150 dias, estudo que já vinha sendo investigado por de Freitas et al.(2013b)(7) e utilizando as próprias séries tempo- rais desse trabalho para investigar o comportamento da variabilidade. Com isso foi analisado a multifractalidade para os dados originais, aleatórios e randomizados por fase, para verificar se 45 Capítulo 3. Métodos estatísticos 46 esses processos são afetados pela não-linearidade e por fortes correlações. Os resultados do trabalho realizado por de Freitas et al.(2013b)(7) indica uma correlação entre o expoente de Hurst e o período de rotação(incluindo o sol), sendo também um ótimo parâmetro para identificar estrelas do tipo solar, nesse trabalho identificou-se estrelas com rota- ção parecida com a do sol,utilizando arquivos públicos da missão CoRot. A seleção das estrelas levou em conta o período de rotação e a posição delas no diagrama período versus teff (tempera- tura efetiva), com isso as estrelas CoRoT IDs 100746852, 102709980 e 105693572 se mostraram ótimas candidatas para novos sóis. depois foi considerado as flutuações das características as- sociadas a modulação fotométrica em diferentes intervalos de tempo e os traços de fractalidade na curva de luz solar e presentes nessas estrelas. Motivados pela existência de atividades estelares incluindo manchas e flares, tornando as curvas de luz não-estacionárias, e caracterizando a fractalidade nas séries temporais, foi realizado o calculo do expoente de Hurst para 17 estrelas com período de rotação com um longo intervalo e o sol nas suas fase ativa e inativa, com isso foi aplicado o método R/S.descobrindo que o expoente de Hurst pode ser um forte discriminador para um comportamento parecido com o do sol, como resultado foi descoberto que a estrela CoRoT ID 105693572 foi a que mais se aproximou das características de rotação do sol, e as estrelas CoRoT IDs 100746852, 102709980 obteve valores para o expoente de Hurst menores que o do sol, mas com rotações semelhantes com a do sol. O trabalho citado acima obteve uma correlação para o expoente de Hurst e o período de rotação das estrelas, sendo que a fonte dessa correlação não foi identificada, com isso de Freitas et al.(2016)(6) revisou toda essa amostra aplicando agora a análise multifractal, destacando as diferentes características que ocorrem nas pequenas e grandes escalas de tempo. Os resultados foram gerados em função da função de flutuação Fq(n) com o uso da técnica MFDMA para amostra de estrelas e para o sol, sendo localizado na parte superior das figuras(figuras 3.7 , 3.8 e 3.9), com as linhas vermelhas para os dados originais e as linhas pretas para os dados mistu- rados, o expoente de escala multifractal τ(q) para os dados originais, misturados e substitutos são descritos na parte inferior esquerda das figuras, e o espectro multifractal f(α) para os dados originais substitutos e misturados são mostrados para a parte inferior direita. Com o resultado das figuras , o sol ativo e o melhor candidato para um novo sol (CoRot ID 105693572), se diferem a partir de uma perspectiva multifractal. de Freitas et al. (2013b)(7) 46 Capítulo 3. Métodos estatísticos 47 observou que os paramtros como o expoente de Hurst, período de rotação e temperatura , são ótimos parâmetros para selecionar os candidatos para novos soís, sendo que para esse caso a estrela 105693572 obteve os resultados mais próximos do sol. Figura 3.7: função de flutuação multifractal fq(n) obtida a partir de MFDMA para o sol ativo e silencioso,Cada curva corresponde a diferentes valores fixos de q = −5, ..., 5 de cima para baixo, enquanto as linhas em negrito superior, médias e inferiores correspondem a q = 5,q = 0 e q = −5 respectivamente, as linhas pretas são os dados embaralhados e os dados originais são representados pelas linhas vermelhas. Comparação do expoente de escala multifractal τ(q) dos dados originais em vermelho, dados embaralhados em verde e dados substitutos em azul, da serie de tempo(parte esquerda inferior) espectro multifractal f(α) dos dados originais em vermelho, dados embaralhados em verde e os dados substituto em azul da serie temporal Fonte: (6) Figura 3.8: O mesmo procedimento proposto pela figura 3.7 sobre os expoentes multifrac- tais, agora aplicados para a amostra de novos soís: CoRoT ID 102709980 (painel da esquerda) e 105693572 (Painel direito). Conforme citado por de Freitas et al. (2013b)(7), CoRoT ID 105693572 é o melhor candidato para um novo sol Fonte: (6). Outro resultado importante foi a correlação entre os parâmetros estelares e os parâmetros 47 Capítulo 3. Métodos estatísticos 48 Figura 3.9: O mesmo procedimento proposto pela figura 3.7 sobre os expoentes multifractais, agora aplicado para a amostra super-solar designadas por CoRoT ID 105284610 (figura da es- querda) e 105367925 (figura da direita) Fonte: (6). extraído do método, na figura 3.7 mostra os valores do grau de multifractalidade ∆α com base na análise multifractal em função do período de rotação(6). A linha contínua denota a regressão linear obtida através de um ajuste semelhante ao obtido por de Freitas et al. (2013b). neste con- texto, o período está relacionado não apenas com um único expoente, mas também o espectro de diversidade multifractal Fonte:(6). O método MFDMA desenvolvido para correlações de longo alcance de séries temporais não-estacionarias, foi aplicado e foi demonstrado que series temporais de uma amostra de estre- las do banco de dados da missão CoRot, foram caracterizados por fortes correlações de longo alcance devido a modulação rotacional.Com isso os resultados propostos por de Freitas et al. (2016) (6) sugere que a amostra exibe recursos que podem ser invocados em termos de abor- dagens de multifractalidade. A principal contribuição desse trabalho foi estimar os diferentes níveis de multifractalidade presentes nas flutuações decorrentes da variabilidade. Conforme ilustrado nas figuras, as longas caudas esquerdas estão relacionadas com a am- plitude de ruído dominante, enquanto as longas caudas direitas estão associadas à dominância da amplitude de modulação rotacional. Além disso, os resultados sobre a variabilidade devido à modulação rotacional é ainda mais complexa e dinâmica do que Métodos estatísticos, como a análise de Fourier e a função de autocorrelação. A análise do comportamento do período de rotação em função do grau de multifractalidade sugere que o período de rotação das estrelas é inerentemente escalado por uma mudança dinâmica de homogeneidade em direção a hete- rogeneidade, reciprocamente, de períodos mais curtos para maiores, conforme enfatizado pelo 48 Capítulo 3. Métodos estatísticos 49 Figura 3.10: Os valores traçados do grau de multifractalidade (∆α), derivados com base na análise multifractal, em função de Período de rotação Fonte:(6). crescimento da multifractalidade mostrado na Figura 3.7 Esse comportamento pode estar rela- cionado à forte atividade magnética, indicando assim que o grau multifractal é um indicador de atividade (6). Ainda dentro da astrofísica podemos também citar um trabalho de tese de doutorado que faz um estudo importante utilizando o método MFDMA, e trata-se da tese de doutorado de Mackson (2016)(8). Neste trabalho é investigada a natureza fractal e multifractal da defor- mação de uma série temporal produzida pela onda gravitacional GW150914 pertencente a um sistema de buracos negros binários coalescentes, medido pelos detectores do LIGO (do inglês significando : Observatório de Ondas Gravitacionais por Interferometria a Laser). O método MFDMA além dos procedimentos Wavelet e R/S foram aplicados sobre os dados dos detectores tanto de Hanfold e de Livingston. Os resultados do trabalho indicaram uma persistência e memorização de longa duração graças a analise fractal pelo expoente de Hurst, e uma flutuação com uma dependência de esca- las através do procedimento R/S indicando multifractalidade. Já para o método MFDMA foram identificadas singularidades predominantes fracas em relação as fortes resultando em uma as- 49 Capítulo 3. Métodos estatísticos 50 simetria no espectro de singularidade D(h).Tendo em vista a multifractalidade encontrada na serie temporal complexa da deformação da onda gravitacional, foi utilizado dois métodos , para identificar as fontes desta multifractalidade. As figuras 3.11 e 3.12 mostram alguns resultados do trabalho de Mackson (2016) (8), em que o método MFDMA foi aplicado para a série temporal completa , para parte inicial e parte final dos dados de tanto os detectores de Hanfold quanto os de livingston. Figura 3.11: Relação entre os parâmetros calculados através da aplicação do método MFDMA na série temporal completa H1data (dados da serie temporal de Hanfold) original (em verme- lho), quando aplicado o procedimento shuffled (em verde) e quando aplicado o procedimento surrogate (em azul). Esta figura apresenta a investigação do comportamento de escala da função de flutuação média Fq(s) para valores de q no intervalo de [-5; 5] (painel superior esquerdo), a dependência em q do expoente de Hurst generalizado h(q) (painel superior direito) e do expo- ente de Renyi τ(q) (painel inferior esquerdo), bem como o espectro multifractal (painel inferior direito). Fonte: (8). Para estas duas figuras o autor obteve como resultado que as duas fontes de multifracta- lidade estão presentes nas duas séries temporais para os dois detectores.No geral a multifrac- 50 Capítulo 3. Métodos estatísticos 51 Figura 3.12: Relação entre os parâmetros calculados através da aplicação do método MFDMA na série temporal completa L1data (dados da serie temporal de Livingston) original (em verme- lho), quando aplicado o procedimento shuffled (em verde) e quando aplicado o procedimento surrogate (em azul). Esta figura apresenta a investigação do comportamento de escala da função de flutuação média Fq(s) para valores de q no intervalo de [-5; 5] (painel superior esquerdo), a dependência em q do expoente de Hurst generalizado h(q) (painel superior direito) e do expo- ente de Renyi τ(q) (painel inferior esquerdo), bem como o espectro multifractal (painel inferior direito). Fonte: (8). talidade foi evidenciada devido aos diversos expoentes e no comportamento de escalas e na dependência dos expoentes multifractais nos valores de q, e o Método MFDMA se mostrou eficaz em identificar as fontes de multifractalidade. 51 CAPÍTULO 4 TRATAMENTO MULTIFRACTAL PARA SIMULAÇÕES DE TURBULÊNCIA DO MEIO INTERESTELAR Neste capítulo vamos mostrar os resultados da aplicação do método MFDMA bidimensional, que foi explicada no capitulo anterior, sobre imagens 2D de simulações de turbulência interes- telar já mencionada na seção 2.7 do capitulo 2. Os resultados do trabalho se inicia estudando o comportamento dos expoentes de natureza multifractal (h(q)), (τ(q)), (D(h)) e a função de flutuação Fq(n) com diferentes valores da escala n para diferentes q − momentos sobre as imagens. A aplicação sobre as 12 imagens das simulações levaram em conta o campo magné- tico e pressão da simulação da nuvem variando os valores para diferentes imagens. Além do tratamento do método sobre os dados originais, foi aplicado a mesma para os dados shuffled1 e sobre os dados surrogates 2, e são utilizados para verificar a origem e estudar a natureza da multifractalidade. Para geração das simulações foi utilizado o código de (Cho & lazarian 2003) (58) citado na sessão 2.7 do capitulo 2 sobre simulações MHD, o software IDL Versão: 7.0.6 foi usado para simular as imagens de nuvens frias perfeitamente translucidas, e para o trato das imagens e geração dos resultados com os painéis contendo os expoentes multifractais junta- mente com a função de auto-correlação, dados da imagens originais , shuffled e surrogates foi usado o software MATLABr R2015a. Primeiro vamos identificar o comportamento dos expoentes multifractais e como eles são relacionados.A análise dos expoentes se inicia pela função de flutuação média que foi mostrada 1 do inglês significando embaralhados 2do inglês significando substitutos 52 Capítulo 4. Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 53 na demonstração do método no capitulo 3 e é definida como sendo: Fq(n) ∼ nh(q) (4.1) O gráfico da função de flutuação irá se localizar no painel superior esquerdo das imagens dos resultados, como mostrado em um dos resultados do trabalho configurado na figura 4.1 , para o comportamento de flutuação de escala Fq(n) teremos q = −5 para o limite inferior e q = 5 para o limite superior, a linha tracejada em preto no centro do resultado do gráfico representará a q = 0. A função de flutuação pode ter como resultado um dos indícios de Figura 4.1: Representação das características do gráfico da função de flutuação. Fonte : Autor. multifractalidade sobre as imagens, se o resultado da flutuação apresentasse apenas um valor para o expoente de Hurst H após o ajuste linear do gráfico, seria então considerado um fractal, porém após fazer o ajuste, a flutuação denota para vários valores de H para diferentes escala. Sendo assim essa análise nos mostra os diferentes valores de escala a ser denotado pela função de flutuação, identificando multifractalidade. Outra observação importante é na relação de dependência entre o valor do expoente de Hurst e os q −momentos, essa relação será estudada a partir de um gráfico de h(q) vs q e será 53 Capítulo 4. Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 54 identificada no painel superior direito das figuras, se esse gráfico apresentasse um comporta- mento fractal e os valores dos expoentes de Hurst não dependesse de q, era esperado uma reta como resultado, no entanto com a dependência que os valores de h tem sobre os valores de q, é percebido uma curva no gráfico e reforçando o fator de multifractalidade. A relação do expoente de Renyi τ(q) com o expoente de Hurst h(q): τ(q) = qh(q) − 1 também é relacionado e com uma dependência com os valores de q, nesse caso e como expli- cado nos casos anteriores, se o gráfico da relação e evolução do expoente de Renyi τ(q) vs q contemplasse uma reta, o objeto no caso seria dito fractal, no entanto qualquer curva que desvie de uma reta, já é constatado como sendo multifractal. Por último abordaremos outra importante Relação para a analise multifractal, que com- preende a relação entre a dimensão generalizada D(h) com o expoente de Hurst generalizado h(q), definido com sendo o espectro multifractal. Este é um dos gráficos mais importante pois apresenta mais informações sobre o comportamento multifractal sobre a serie temporal ou su- perfícies fractais . Para uma imagem 2d fractal espera-se apenas um valor do expoente de Hurst, contudo é verificado uma variedade de valores para h, um exemplo desse comportamento é visto na figura 4.2, sendo assim obtendo um comportamento multifractal, com isso essa faixa de vá- rios valores de hq demonstra um parâmetro importante para o estuda de análises multifractais, que é o grau multifractal ∆h da imagem da simulação, e tem como definição como mostrado na equação 3.10 do capitulo 3 : ∆h = h(q)max − h(q)min (4.2) Após esta análise, o comportamento multifractal é bem nítido nas imagens de simulações de turbulência interestelar. Porém para a imagem 4.2 é possível obter outras informações como as já adiantas na figura 3.3 do capitulo 3. o valor h(q) = h0 é representado como sendo o valor máximo da dimensão fractal generalizada D(h). A diferença dos máximos e mínimos de D(h) sendo a direita e a esquerda de h0 representa a diversidade lateral esquerda ∆DL(h) = [1 − DminL (h)] e a diversidade lateral direita ∆DR(h) = [1−DminR (h)] respectivamente. Se o gráfico apresentar uma cauda maior para a esquerda do valor de h0, uma diversidade esquerda alta, implica que a imagem 2D da simulação apresentará grandes flutuações em pequenas escalas, já para uma alta diversidade direita , a imagem 2D apresentará grandes flutuações em grandes escalas. 54 Capítulo 4. Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 55 Figura 4.2: Espectro multifractal obtido a partir da relação entre a dimensão fractal generalizada D(h) em função do expoente de Hurst generalizado h(q) para valores de q no intervalo 5-< q < 5. Fonte:(8) Mackson(2016). Sendo constatado o comportamento multifractal nas imagens de simulações, vamos agora trabalhar na identificação das formas que causa essa multifractalidade, que no caso será devido a duas fontes, sendo elas : (1) presença de correlações de longo alcance e (2) alargamento da cauda da função de distribuição. Para fazer o estudo dessas fontes de multifractalidade, é necessário aplicar dois proce- dimentos nas imagens 2D originais, sendo que a presença de uma fonte está associada na eli- minação de uma destas fonte. O primeiro método tem como intuito quebrar as correlações de longo alcance da imagem original através de um embaralhamento dos dados da imagem, que no caso trata-se do método shuffled(embaralhar). Se a fonte (1) for a única presente na imagem, aplicando novamente o método de analise a imagem se comportará como um monofractal. E mesmo depois do embaralhamento e da nova aplicação do método indicar sinal de multifracta- lidade, nesse caso só será possível devido a duas casualidades, o grau de multifractalidade ∆h não sofrer alteração e a fonte (2) ser o motivo da multifractalidade, e se houver mudança no valor de ∆h(uma redução), o motivo da multifractalidade será devido a presença das duas fon- 55 Capítulo 4. Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 56 tes. Para garantir,o método surrogate(substituto) é utilizado para destruir a segunda fonte . Os termos de não linearidade são destruídos das imagens 2D, através de uma substituição das ima- gens originais, por sua transformada de Fourier, preservando as amplitudes e aleatorizando as fases. Ao analisar essa nova imagem e obter um comportamento monofractal, então a imagem original apresentava somente multifractalidade devido a fonte (2). 4.1 Aplicação do método multifractal MFDMA Tendo como base todos esses conceitos de expoentes, métodos e fontes de multifractalidade.Vamos agora mostrar os resultados do método MFDMA sobre as imagens 2D das 12 simulações de turbulência interestelar. Para todos os casos é primeiro gerado uma imagem obtendo os dados originais , dados shuffled(embaralhados) e surrogates(substituto)da simulação da nuvem. Nosso primeiro caso de aplicação dos métodos é sobre a imagem imgb.05p.01, que ini- cialmente é gerada a figura obtendo com a imagem original, embaralhada e substituta, como mostrado na figura 4.3. Conforme o método MFDMA é aplicado , é gerado os painéis de expoentes de análise multifractais referentes a figura 4.3, e sendo demonstrados na figura figura 4.4. Assim já é possível tirar algumas conclusões, como a quebra das correlações a longo alcance com o pro- cedimento shuffled, sendo assim a fonte de multifractalidade recuperada pelo método surrogate advinda de efeitos não lineares. •O painel superior esquerdo é demonstrado a função de flutuação para a imagem original, revelando vários valores do expoente de husrt. • No painel superior direito, denota que as flutuações de h(q) em torno de q é observado um monofractal para os dados shuffled(embaralhados) e uma descorrelação dos dados. • No painel inferior esquerdo um comportamento linear de τ(q) indicando somente um valor para o expoente de Hurst para os dados embaralhados. • No painel inferior direito , demonstra mais uma vez para os dados embaralhados um único valor para o expoente h(q), identificando monofractalidade. • Tendo como resultado para o número de Alfvén 14.7963 e número de Mach 7.39814, sendo considerada uma simulação super-Alfvénica e Supersônica. 56 Capítulo 4. Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 57 Figura 4.3: Figura representando os dados originais(painel da esquerda),após o procedimento shuffled(painel do centro) e surrogates (painel da direita) da simulação referente a simulação b.05p.01.Fonte :Autor. Sendo assim mesmo após a aplicação do método shuffled a imagem apresentou um com- portamento fractal significando que as correlações de longo alcance foi a fonte de multifracta- lidade da imagem original.É percebido também uma cauda maior diversificada no lado direito, identificando flutuações com grandes magnitudes em grandes escalas. Agora a análise será feita para a simulação b.05p.1, com sua determinada figura com imagem original, embaralhada e dados substitutos figura 4.6. Depois da aplicação dos métodos de análise multifractal, é gerado os painéis contendo os expoentes de comportamento multifractal figura 4.7. È percebido que após o embaralhamento da imagem original feito a partir do método shuffled, que a imagem tende a um monofractal, reforçando a ideia de correlações de longo alcance, e quebrando os fatores não lineares. •O painel superior esquerdo é demonstrado a função de flutuação para a imagem original, 57 Capítulo 4. Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 58 Figura 4.4: Análise dos parâmetros multifractais através da aplicação do método MFDMA sobre a simulação b.05p.01, contendo o comportamento de escala da função de flutuação média Fq(s) para valores de q no intervalo de [−5; 5] (painel superior esquerdo), a dependência em q do expoente de Hurst generalizado h(q) (painel superior direito) do expoente de Renyi τ(q) (painel inferior esquerdo), e o espectro multifractal (painel inferior direito), com os dados ori- ginais (em vermelho), quando aplicado o procedimento shuffled (em verde) e quando aplicado o procedimento surrogate (em azul). Fonte : Autor. revelando multifractalidade. • No painel superior direito, denota que as flutuações h(q) de em torno de q, sendo ob- servado um monofractal para os dados shuffled(embaralhados) e uma descorrelação dos dados para os dados originais. • No painel inferior esquerdo um comportamento linear de τ(q) indicando somente um valor para o expoente de Hurst para o método shuffled. • No painel inferior direito , mostra os dados embaralhados com um só valor para o expoente h(q). 58 Capítulo 4. Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 59 Figura 4.5: Figura representando os dados originais(painel da esquerda),após o procedimento shuffled(painel do centro) e surrogates (painel da direita) da simulação referente a simulação b.05p.1 Fonte: Autor. • Tendo como resultado para o número de Alfvén 15.6621 e número de Mach 2.47007 sendo considerada uma simulação Super-Alfvénica e Supersônica. Mais uma vez é verificado que as correlações de longo alcance são responsáveis pela origem da fonte de multifractalidade devido ao método shuffled destruir a multifractalidade dos dados originais. É percebido que os dados originais apresentam grandes magnitudes em pequenas escalas, e o procedimento surrogates (substitutos) exibiu grandes magnitudes para grandes escalas. Para a simulação b.05p1 como para os casos anteriores é gerado a figura contendo os dados para a simulação com imagem original, método suffled( embaralhadas) e surrogates (substitutas) figura 4.9 Agora vamos ver os resultado da aplicação dos métodos multifractais através dos painéis 59 Capítulo 4. Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 60 Figura 4.6: Análise dos parâmetros multifractais através da aplicação do método MFDMA sobre a simulação b.05p.1, contendo o comportamento de escala da função de flutuação média Fq(s) para valores de q no intervalo de [−5; 5] (painel superior esquerdo), a dependência em q do expoente de Hurst generalizado h(q) (painel superior direito) do expoente de Renyi τ(q) (painel inferior esquerdo), e o espectro multifractal (painel inferior direito), com os dados ori- ginais (em vermelho), quando aplicado o procedimento shuffled (em verde) e quando aplicado o procedimento surrogate (em azul). Fonte : Autor. contendo os expoentes multifractais figura 4.10, é possível ver pequenas flutuações na função de flutuação Fq(n) e o método shuflled destruindo a multifractalidade da imagem original. •O painel superior esquerdo é demonstrado a função de flutuação para a imagem original, revelando pouca flutuação em torno dos valores de q. • No painel superior direito, denota que as flutuações h(q) de em torno de q sendo obser- vado um monofractal para os dados shuffled(embaralhados). • No painel inferior esquerdo um comportamento linear de τ(q) indicando somente um valor para o expoente de Hurst para todos os dados. 60 Capítulo 4. Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 61 Figura 4.7: Figura representando os dados originais(painel da esquerda),após o procedimento shuffled(painel do centro) e surrogates (painel da direita) da simulação referente a simulação b.05p1.Fonte :Autor. • No painel inferior direito , demonstra mais uma vez para os dados embaralhados um único valor para o expoente h(q), identificando monofractalidade, e pouca flutuação para os outros dois dados. • Tendo como resultado para o número de Alfvén 15.0509 e número de Mach 0.752546 sendo considerada uma simulação super-Alfvénica e Subsônica. A imagem mostra pouca flutuação em relação aos valores de q, possivelmente pela pouca diferença entre os valores das escalas, é possível ver novamente que os dados embaralhados se comportam como monofractal eliminando fatores não-lineares como fonte de multifractalidade. A próxima imagem a ser analisada é sobre a simulação b2p.01, primeiro é gerada a ima- gem contendo os dados originais, embaralhados e substitutos da simulação da nuvem figura 4.12. 61 Capítulo 4. Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 62 Figura 4.8: Análise dos parâmetros multifractais através da aplicação do método MFDMA sobre a simulação b.05p1, contendo o comportamento de escala da função de flutuação média Fq(s) para valores de q no intervalo de [−5; 5] (painel superior esquerdo), a dependência em q do expoente de Hurst generalizado h(q) (painel superior direito) do expoente de Renyi τ(q) (painel inferior esquerdo), e o espectro multifractal (painel inferior direito), com os dados ori- ginais (em vermelho), quando aplicado o procedimento shuffled (em verde) e quando aplicado o procedimento surrogate (em azul). Fonte : Autor. Após a aplicação dos métodos multifractais , vamos observar os resultados através dos painéis contendo os expoentes de analise fractal figura 4.13.Para essa simulação fica bem clara que os dados embaralhados consegue destruir a fonte de multifractalidade da imagem original. •O painel superior esquerdo é demonstrado a função de flutuação para a imagem original, revelando multifractalidade. • No painel superior direito, denota que as flutuações h(q) de em torno de q, sendo obser- vado um monofractal para os dados shuffled(embaralhados) . • No painel inferior esquerdo um comportamento linear de τ(q) indicando somente um 62 Capítulo 4. Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 63 Figura 4.9: Figura representando os dados originais(painel da esquerda),após o procedimento shuffled(painel do centro) e surrogates (painel da direita) da simulação referente a simulação b2p.01 Fonte: Autor. valor para o expoente de Hurst para o método shuffled. • No painel inferior direito , mostra os dados embaralhados a um só valor para o expoente h(q). • Tendo como resultado para o número de Alfvén 0.444781 e número de Mach 8.89563 sendo considerada uma simulação Sub-Alfvénica e Supersônica. Mais uma vez os dados shuffled conseguiu destruir a fonte de multifractalidade da imagem original, sendo assim as correlações de longo alcance sendo a única fonte de multifractalidade. Agora é a vez da simulação referente a simulação b2p.1, que inicialmente é também ge- rada a imagem contendo os dados originais, embaralhados e substitutos, figura 4.15. Após a aplicação dos métodos de análise multifractal sobre a imagem 4.15, foi gerado 63 Capítulo 4. Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 64 Figura 4.10: Análise dos parâmetros multifractais através da aplicação do método MFDMA sobre a simulação b2p.01, contendo o comportamento de escala da função de flutuação média Fq(s) para valores de q no intervalo de [−5; 5] (painel superior esquerdo), a dependência em q do expoente de Hurst generalizado h(q) (painel superior direito) do expoente de Renyi τ(q) (painel inferior esquerdo), e o espectro multifractal (painel inferior direito), com os dados ori- ginais (em vermelho), quando aplicado o procedimento shuffled (em verde) e quando aplicado o procedimento surrogate (em azul). Fonte : Autor. os resultados dos expoentes multifractais representadas na figura 4.16. Para essa simulação também é observado a o método shuffled como um monofractal. •O painel superior esquerdo é demonstrado a função de flutuação para a imagem original, revelando multifractalidade. • No painel superior direito, denota que as flutuações h(q) em torno de q, representa um monofractal para os dados shuffled(embaralhados) . • No painel inferior esquerdo um comportamento linear de τ(q) indicando somente um valor para o expoente de Hurst para o todos os dados. 64 Capítulo 4. Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 65 Figura 4.11: Figura representando os dados originais(painel da esquerda),após o procedimento shuffled(painel do centro) e surrogates (painel da direita) da simulação referente a simulação b2p.1. Fonte : Autor. • No painel inferior direito , mostra para os dados embaralhados a um só valor para o expoente h. • Tendo como resultado para o número de Alfvén 0.459829 e número de Mach 2.90822 sendo considerada uma simulação Sub-Alfvénica e Supersônica. Como visto para figuras anteriores , o método surrogates falha na eliminação da fonte de multifractalidade, contudo o método shuffled é bem eficaz, e demonstra que a fonte de multi- fractalidade é devida a correlações a longo alcance. É possível ver uma diminuição no grau de multifractalidade pelo método surrogates. Agora a análise é sobre a simulação b2p1, que primeiro é gerado a figura contendo os dados da imagem original, embaralhadas e substitutos, figura 18. 65 Capítulo 4. Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 66 Figura 4.12: Análise dos parâmetros multifractais através da aplicação do método MFDMA sobre a simulação b2p.1, contendo o comportamento de escala da função de flutuação média Fq(s) para valores de q no intervalo de [−5; 5] (painel superior esquerdo), a dependência em q do expoente de Hurst generalizado h(q) (painel superior direito) do expoente de Renyi τ(q) (painel inferior esquerdo), e o espectro multifractal (painel inferior direito), com os dados ori- ginais (em vermelho), quando aplicado o procedimento shuffled (em verde) e quando aplicado o procedimento surrogate (em azul). Fonte : Autor. Após a aplicação dos métodos de análise multifractal sobre a figura 4.18, foi gerada a figura contendo os painéis de expoentes multifractais, figura 4.19. É percebido pouca flutuação na função de flutuação e os dados embaralhados se comportando como um monofractal . •O painel superior esquerdo é demonstrado a função de flutuação para a imagem original, revelando pouca flutuação em torno dos valores de q. • No painel superior direito, denota que as flutuações h(q) em torno de q, representa um monofractal para os dados shuffled(embaralhados). • No painel inferior esquerdo um comportamento linear de τ(q) indicando somente um 66 Capítulo 4. Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 67 Figura 4.13: Figura representando os dados originais(painel da esquerda),após o procedimento shuffled(painel do centro) e surrogates (painel da direita) da simulação referente a simulação b2p1. Fonte : Autor. valor para o expoente de Hurst para o todos os dados. • No painel inferior direito , mostra para os dados embaralhados um só valor para o expoente h. • Tendo como resultado para o número de Alfvén 0.490320 e número de Mach 0.980641 sendo considerada uma simulação Sub-Alfvénica e Subsônica. Mais uma vez é observado que a fonte multifractalidade foi devido a correlações de longo alcance, já que o método surrogates falhou e o método shuffled se comportou como um mono- fractal. Verificado também pouca flutuação de escalas e valor baixo para o grau de multifracta- lidade. Agora a análise é sobre a simulação b3p.01, primeiro sendo gerado a figura contendo os 67 Capítulo 4. Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 68 Figura 4.14: Análise dos parâmetros multifractais através da aplicação do método MFDMA sobre a simulação b2p1, contendo o comportamento de escala da função de flutuação média Fq(s) para valores de q no intervalo de [−5; 5] (painel superior esquerdo), a dependência em q do expoente de Hurst generalizado h(q) (painel superior direito) do expoente de Renyi τ(q) (painel inferior esquerdo), e o espectro multifractal (painel inferior direito), com os dados ori- ginais (em vermelho), quando aplicado o procedimento shuffled (em verde) e quando aplicado o procedimento surrogate (em azul). Fonte : Autor. dados originais , embaralhados e substitutos figura 4.21. Com a aplicação dos métodos de análise multifractal sobre a imagem 4.21, é possível ver como resultado a figura contendo os resultados dos expoentes multifractais figura 4.22. É observado que o método surrogates falha na tentativa de destruir a fonte de multifractalidade, e o método shuffled se comportando como monofractal. •O painel superior esquerdo é demonstrado a função de flutuação para a imagem original, revelando multifractalidade. • No painel superior direito, denota que as flutuações h(q) em torno de q, representa um 68 Capítulo 4. Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 69 Figura 4.15: Figura representando os dados originais(painel da esquerda),após o procedimento shuffled(painel do centro) e surrogates (painel da direita) da simulação referente a simulação b3p.01 . Fonte : Autor. monofractal para os dados shuffled(embaralhados). • No painel inferior esquerdo um comportamento linear de τ(q) indicando somente um valor para o expoente de Hurst para o método shuffled (embaralhados). • No painel inferior direito , mostra para os dados embaralhados a tendencia para um só valor para o expoente h. • Tendo como resultado para o número de Alfvén 0.340266 e número de Mach 10.2080 sendo considerada uma simulação Sub-Alfvénica e Supersônica. É observado que a fonte multifractalidade foi devido a correlações de longo alcance, já que o método surrogates falhou e o método shuffled se comportou como um monofractal. É verificado também que para os dados originais as grande s magnitudes são devida a pequenas 69 Capítulo 4. Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 70 Figura 4.16: Análise dos parâmetros multifractais através da aplicação do método MFDMA sobre a simulação b3p.01, contendo o comportamento de escala da função de flutuação média Fq(s) para valores de q no intervalo de [−5; 5] (painel superior esquerdo), a dependência em q do expoente de Hurst generalizado h(q) (painel superior direito) do expoente de Renyi τ(q) (painel inferior esquerdo), e o espectro multifractal (painel inferior direito), com os dados ori- ginais (em vermelho), quando aplicado o procedimento shuffled (em verde) e quando aplicado o procedimento surrogate (em azul). Fonte : Autor. escalas, e para os dados substitutos para grandes escalas. Próxima imagem a ser analisada e correspondente a imagem imgb3p.1, sendo gerada a imagem contendo os dados originais, embaralhados e substitutos figura 4.24. Como resultado da aplicação dos métodos de análise multifractal sobre a figura 4.24, é gerada a figura com os painéis contendo os expoentes multifractais figura 4.25. O método shuffled foi bem eficaz para a quebra da fonte de multifractalidade. •O painel superior esquerdo é demonstrado a função de flutuação para a imagem original. • No painel superior direito, denota que as flutuações h(q) em torno de q, representa um 70 Capítulo 4. Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 71 Figura 4.17: Figura representando os dados originais(painel da esquerda),após o procedimento shuffled(painel do centro) e surrogates (painel da direita) da simulação referente a simulação b3p.1. Fonte : Autor. monofractal para os dados shuffled(embaralhados). • No painel inferior esquerdo um comportamento linear de τ(q) indicando somente um valor para o expoente de Hurst para o método shuffled (embaralhados). • No painel inferior direito , mostra para os dados embaralhados um só valor para o expoente h. • Tendo como resultado para o número de Alfvén 0.326591 e número de Mach 3.09832 sendo considerada uma simulação Sub-Alfvénica e Supersônica. É observado que a fonte multifractalidade foi devido a correlações de longo alcance, já que o método surrogates falhou e o método shuffled se comportou novamente como um mono- fractal. 71 Capítulo 4. Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 72 Figura 4.18: Análise dos parâmetros multifractais através da aplicação do método MFDMA sobre a simulação b3p.1, contendo o comportamento de escala da função de flutuação média Fq(s) para valores de q no intervalo de [−5; 5] (painel superior esquerdo), a dependência em q do expoente de Hurst generalizado h(q) (painel superior direito) do expoente de Renyi τ(q) (painel inferior esquerdo), e o espectro multifractal (painel inferior direito), com os dados ori- ginais (em vermelho), quando aplicado o procedimento shuffled (em verde) e quando aplicado o procedimento surrogate (em azul). Fonte : Autor. A próxima imagem é relacionada a simulação b3p1, de inicio é gerada a imagem contendo os dados originais , embaralhados e substitutos figura 4.27. Após a aplicação do método MFDMA sobre a imagem 4.27, é gerado a figura contendo os painéis com os expoentes de analise multifractal figura 4.28.Já é possível perceber que o método shuffled foi eficaz na destruição da fonte de multifractalidade enquanto o método surrogate falhou. •O painel superior esquerdo é demonstrado a função de flutuação para a imagem original, revelando pouca flutuação em torno dos valores de q 72 Capítulo 4. Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 73 Figura 4.19: Figura representando os dados originais(painel da esquerda),após o procedimento shuffled(painel do centro) e surrogates (painel da direita) da simulação referente a simulação b3p1. Fonte : Autor. • No painel superior direito, denota que as flutuações h(q) em torno de q, representa um monofractal para os dados shuffled(embaralhados). • No painel inferior esquerdo um comportamento linear de τ(q) indicando somente um valor para o expoente de Hurst. • No painel inferior direito , mostra para os dados embaralhados um só valor para o expoente h, e para os dados originais e substitutos pequena variação para o valor de h. • Tendo como resultado para o número de Alfvén 0.326669 e número de Mach 0.980006 sendo considerada uma simulação Sub-Alfvénica e Subsônica. Como nos outros casos, o método shuffled foi bem no plano de destruir a fonte de mul- tifractalidade e se comportando como um monofractal, e indicando que as fontes multifractali- 73 Capítulo 4. Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 74 Figura 4.20: Análise dos parâmetros multifractais através da aplicação do método MFDMA sobre a simulação b3p1, contendo o comportamento de escala da função de flutuação média Fq(s) para valores de q no intervalo de [−5; 5] (painel superior esquerdo), a dependência em q do expoente de Hurst generalizado h(q) (painel superior direito) do expoente de Renyi τ(q) (painel inferior esquerdo), e o espectro multifractal (painel inferior direito), com os dados ori- ginais (em vermelho), quando aplicado o procedimento shuffled (em verde) e quando aplicado o procedimento surrogate (em azul). Fonte : Autor. dade são responsáveis por correlações de longo alcance. E como é verificado pouca flutuação nos valores das escalas , é observado um valor pequeno para o grau de multifractalidade. Vamos agora analisar a imagem resultante da simulação imgb5p.01, primeiramente ge- rando a figura contendo os dados originais, embaralhados e substitutos figura 4.30. Depois é aplicado o método MFDMA sobre a figura 4.30 e depois é gerado uma figura representando os resultados de análise multifractal como mostrado na figura 4.31. Observando a figura já fica bem claro que o método shuffled foi bem eficaz no seu propósito de eliminar a fonte de multifractalidade. 74 Capítulo 4. Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 75 Figura 4.21: Figura representando os dados originais(painel da esquerda),após o procedimento shuffled(painel do centro) e surrogates (painel da direita) da simulação referente a simulação b5p.01. Fonte : Autor. •O painel superior esquerdo é demonstrado a função de flutuação para a imagem original, revelando multifractalidade. • No painel superior direito, denota que as flutuações h(q) em torno de q, representa um monofractal para os dados shuffled(embaralhados). • No painel inferior esquerdo um comportamento linear de τ(q) indicando somente um valor para o expoente de Hurst para os dados embaralhados. • No painel inferior direito , mostra para os dados embaralhados um só valor para o expoente h. • Tendo como resultado para o número de Alfvén 0.174106 e número de Mach 8.70532 sendo considerada uma simulação Sub-Alfvénica e Supersônica. O método shuffled foi eficaz 75 Capítulo 4. Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 76 Figura 4.22: Análise dos parâmetros multifractais através da aplicação do método MFDMA sobre a simulação b5p.01, contendo o comportamento de escala da função de flutuação média Fq(s) para valores de q no intervalo de [−5; 5] (painel superior esquerdo), a dependência em q do expoente de Hurst generalizado h(q) (painel superior direito) do expoente de Renyi τ(q) (painel inferior esquerdo), e o espectro multifractal (painel inferior direito), com os dados ori- ginais (em vermelho), quando aplicado o procedimento shuffled (em verde) e quando aplicado o procedimento surrogate (em azul). Fonte : Autor. em destruir a fonte de multifractalidade e se comportar como um monofractal, e indicando que as fontes multifractalidade são responsáveis por correlações de longo alcance, enquanto o método surrogates falhou. É possível ver uma grande flutuação nos valores das escalas e o método surrogates diminuindo o valor do grau de multifractalidade. A análise agora será feita para a imagem da simulação b5p.1, que inicialmente é gerada uma figura contendo os dados da imagem original, embaralhados e substitutos sendo represen- tada na figura 4.33. Após a geração da figura com a simulação original, embaralhada e com os dados emba- 76 Capítulo 4. Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 77 Figura 4.23: Figura representando os dados originais(painel da esquerda),após o procedimento shuffled(painel do centro) e surrogates (painel da direita) da simulação referente a simulação b5p.1.Fonte :Autor. ralhados. o método de multifractal MFDMA é aplicado sobre a figura 4.33 resultando na figura contendo os expoentes de análise multifractal sendo demonstrados na figura 4.34. •O painel superior esquerdo é demonstrado a função de flutuação para a imagem original, revelando multifractalidade. • No painel superior direito, denota que as flutuações h(q) em torno de q, representa um monofractal para os dados shuffled(embaralhados). • No painel inferior esquerdo um comportamento linear de τ(q) indicando somente um valor para o expoente de Hurst para todos os dados. • No painel inferior direito , mostra para método shuffled (embaralhados) um só valor para o expoente h. 77 Capítulo 4. Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 78 Figura 4.24: Análise dos parâmetros multifractais através da aplicação do método MFDMA sobre a simulação b5p.1, contendo o comportamento de escala da função de flutuação média Fq(s) para valores de q no intervalo de [−5; 5] (painel superior esquerdo), a dependência em q do expoente de Hurst generalizado h(q) (painel superior direito) do expoente de Renyi τ(q) (painel inferior esquerdo), e o espectro multifractal (painel inferior direito), com os dados ori- ginais (em vermelho), quando aplicado o procedimento shuffled (em verde) e quando aplicado o procedimento surrogate (em azul). Fonte : Autor. • Tendo como resultado para o número de Alfvén 0.167323 e número de Mach 2.64560 sendo considerada uma simulação Sub-Alfvénica e Supersônica. O método shuffled executou bem o plano de destruir a fonte de multifractalidade e depois se comportando como um mo- nofractal, indicando que as fontes multifractalidade são responsáveis por correlações de longo alcance, enquanto o método surrogates falhou. Por ultimo temos a imagem referente a simulação b5p1, como nas imagens anteriores, pri- meiro geramos a figura contendo a imagem da nuvem original, embaralhada e dados substitutos figura 4.36. 78 Capítulo 4. Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 79 Figura 4.25: Figura representando os dados originais(painel da esquerda),após o procedimento shuffled(painel do centro) e surrogates (painel da direita) da simulação referente a simulação b5p1.Fonte :Autor. O passo seguinte é aplicar o método MFDMA sobre a figura 4.36, e obter a figura con- tendo os painéis com os expoentes de analise multifractal figura 4.37. E como nas figuras anteriores o método shuffled é bem eficaz no seu papel de eliminar a fonte de multifractalidade. •O painel superior esquerdo é demonstrado a função de flutuação para a imagem original, revelando pouca flutuação em torno dos valores de q . • No painel superior direito, denota que as flutuações h(q) em torno de q, representa um monofractal para os dados shuffled(embaralhados). • No painel inferior esquerdo um comportamento linear de τ(q) indicando somente um valor para o expoente de Hurst para todos os dados. • No painel inferior direito , mostra para método shuffled (embaralhados) um só valor 79 Capítulo 4. Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 80 Figura 4.26: Análise dos parâmetros multifractais através da aplicação do método MFDMA sobre a simulação b5p1, contendo o comportamento de escala da função de flutuação média Fq(s) para valores de q no intervalo de [−5; 5] (painel superior esquerdo), a dependência em q do expoente de Hurst generalizado h(q) (painel superior direito) do expoente de Renyi τ(q) (painel inferior esquerdo), e o espectro multifractal (painel inferior direito), com os dados ori- ginais (em vermelho), quando aplicado o procedimento shuffled (em verde) e quando aplicado o procedimento surrogate (em azul). Fonte : Autor. para o expoente h. e pouca variação de h para os demais métodos. • Tendo como resultado para o número de Alfvén 0.151925 e número de Mach 0.759626 sendo considerada uma simulação Sub-Alfvénica e Subsônica. O método shuffled foi eficaz em destruir a fonte de multifractalidade e depois se com- portando como um monofractal, indicando que as fontes multifractalidade são responsáveis por correlações de longo alcance, enquanto o método surrogates falhou. É possível ver pouca di- versidade nos valores dos expoentes de Hurst generalizados e indicando pouca flutuação entre flutuações em pequenas e grandes escalas. 80 Capítulo 4. Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 81 4.1.1 discussão Após a análise sobre todas as imagens 2D das 12 simulações, é percebido que o método shuf- fled se comporta como um monofractal em quase todas as imagens, e não sendo recuperada a multifractalidade da imagem original, revelando que a fonte de multifractalidade das imagens originais teve uma proporção maior com ênfase nas correlações a longo alcance, não sendo ob- servados então termos não lineares já que o método surrogates não consegue eliminar a outra fonte de multifractalidade, e após a aplicação do método é apresentado como um sinal multi- fractal. Outros pontos importantes a serem tocados é na relação do grau de multifractalidade com a pressão , número sônico de Mach e número de Alfvén da nuvem mostrados nas figuras 4.27, 4.28 e 4.29 e com os valores representados na tabela 4.1 . No caso da pressão da nuvem, as diversidades relacionadas aos valores do grau de multifractalidade , ficou observado que esses parâmetros estão totalmente correlacionados, apontando um cenário de variação de escalas na simulação. Foi verificado que quanto maior for a diferença nos valores máximos e mínimos dos valores de Hurst h(q) generalizado menor será a pressão apresentada na nuvem, devido a presença de uma maior variação de escalas, sendo percebido que quanto maior o grau de mul- tifractalidade menor será a pressão e a nuvem apresentará uma maior multifractalidade, sendo maior o número de objetos com dimensões fractais, e quanto menor o grau de multifractali- dade maior será a pressão apresentada na nuvem e menor a caracterização do espectro de vários fractais na nuvem. Na figura 4.28 em que apresenta o grau de multifractalidade versus o número de Mach é possível ver uma tendência em que a medida que o grau de turbulência aumenta, ou seja a nuvem vai se tornando mais supersônica, o grau de multifractalidade também aumenta. Assim uma nuvem supersônica tende a um espectro multifractal maior. Como na turbulência supersô- nica é fornecido ao gás muita energia gerando ondas de choque, obtendo regiões com o gás comprimido e outras com o próprio diluído, é possível obter esse gás em várias escalas com seus determinados expoentes de Hurst , gerando um objeto multifractal. Na simulação subsô- nica a energia é dissipada antes da geração das ondas de choque limitando as variações das escalas que o gás se encontra , provocando um espectro multifractal menor, neste caso quanto menor o número de Mach maior a chance da nuvem ser um fractal. Já na figura 4.29 em que apresenta o grau de multifractalidade em função do número de Alfvén, não é possível ver ne- 81 Capítulo 4. Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 82 nhuma tendência em relação ao grau de magnetismo, ou seja o grau de turbulência da nuvem se sobressai, e não conseguindo observar uma influência do grau de magnetização no expoente de Hurst. Portanto, Fazendo uma comparação com o número de Alfvén versus número de Mach , é possível perceber uma leve tendência da simulação com o número do grau multifractal alto ser ao mesmo tempo uma simulação ser um objeto multifractal Supersônico e Sub-Alfvénico . Sendo assim, o grau de multifractalidade depende mais da turbulência e pouco influenciada pelo grau de magnetização da nuvem. Figura 4.27: Relação do grau de multifractalidade com a pressão. Fonte : Autor 82 Capítulo 4. Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 83 Figura 4.28: Relação do grau de multifractalidade com o número sônico de Mach. Fonte : Autor Simulações ∆h MA MS Simulação b.05p.01 0.4363 14.7963 7.39814 Simulação b.05p.1 0.2502 15.6221 2.47007 Simulação b.05p1 0.0219 15.0509 0.752546 Simulação b2p.01 0.3862 0.444781 8.89563 Simulação b2p.1 0.2539 0.459829 2.90822 Simulação b2p1 0.0323 0.490320 0.980641 Simulação b3p.01 0.4629 0.340266 10.2080 Simulação b3p.1 0.1938 0.326591 3.09832 Simulação b3p1 0.0564 0.326669 0.980006 Simulação b5p.01 0.6275 0.174106 8.70532 Simulação b5p.1 0.2539 0.167323 2.64560 Simulação b5p1 0.0242 0.151925 0.759626 Tabela 4.1: Relação das simulações 2D com o grau de multifractalidade (∆h) , número de Alfvén(MA) e o número de Mach (MS) . Fonte : Autor 83 Capítulo 4. Tratamento Multifractal para simulações de turbulência do Meio Interestelar 84 Figura 4.29: Relação do grau de multifractalidade com o número de Alfvén. Fonte : Autor 84 CAPÍTULO 5 CONCLUSÕES Em relação ao tratamento de imagens no cenário da astrofísica, este trabalho se mostrou inovador e propôs um método moderno para o quadro de ferramentas estatísticas para o trato de imagens de sistemas complexos. Mostramos que para imagens bidimensionais geradas a partir de simulações de turbulência MHD do meio interestelar são possíveis serem analisadas fractal- mente e detectar presença de multifractalidade nessas imagens através do método MFDMA . Nós geramos 12 figuras 2D de simulações MHD e aplicamos o método MFDMA e foi possível ver a presença de multifractalidade graças aos painéis contendo os expoentes de análise multi- fractal, verificando uma variação nos valores das escalas e principalmente no espectro formado por vários valores do expoente de Hurst e na sua dependência nos valores de q. O método também foi eficaz em identificar as causas dessas fontes de multifractalidade graças aos proce- dimentos shuffled e surrogates , e nesse caso no geral todas as imagens teve como a maior causa dessa multifractalidade devido as correlações de longo alcance, uma periodicidade dos dados, o método shuffled se comportou como um fractal em todas as imagens , assim quebrando a pre- sença de multifractalidade, enquanto o método surrogates mesmo após a aplicação do método apresentou sinal multifractal, distanciando da análise os fatores não-lineares. Outro ponto importante a ser tocado é na relação do grau de multifractalidade com a pres- são, número sônico de Mach e número de Alfvén da nuvem. Sendo observado que quanto maior a pressão menor será o grau de turbulência da nuvem e consequentemente menor o número de 85 Capítulo 5. Conclusões 86 Mach e uma tendência da nuvem em ser um fractal, e com um menor valor na pressão , maior será o grau de turbulência e o numero de Mach, obtendo um espectro de escalas e chance de ser um multifractal. Para os números de Mach e Alfvén , foi percebido que quanto mais supersô- nica e sub-Alfvénica a simulação for, mais a simulação se comportará como um multifractal, e sendo observado que o grau multifractal depende somente da turbulência e não do grau de magnetização da nuvem. 5.1 Perspectivas Nessa parte vamos propor as principais perspectivas para o nosso trabalho. • Aplicar este método para análise multifractal em dados 3D, como os mapas PPV; • Utilizar desse procedimento para aplicação dessa análise em dados observacionais do meio interestelar, não somente simulações. • Verificar se mais simulações com diferentes números de Alfvén poderiam obter alguma correlação do grau de magnetização da nuvem com o grau multifractal. • Calibrar um procedimento ou relação direta , relacionando o número de Mach com o grau de multifractalidade em dados observacionais reais do meio interestelar, com a perspectiva de descobrir o número de Mach da nuvem somente pelo grau multifractal. 86 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] Aschwanden, M. 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