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Title: Séries de potência formais para as distribuições estáveis de Lévy: o caso simétrico
Authors: Costa Neto, José Crisanto da
Keywords: Distribuições estáveis;Teorema do Limite Central;Séries hipergeométricas;Séries divergentes;Regularização;Somabilidade;Aproximação em séries
Issue Date: 17-Aug-2018
Citation: COSTA NETO, José Crisanto da. Séries de potência formais para as distribuições estáveis de Lévy: o caso simétrico. 2018. 106f. Tese (Doutorado em Física) - Centro de Ciências Exatas e da Terra, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2018.
Portuguese Abstract: Um problema relevante na Física Estatística e na Física Matemática consiste em derivar expressões numericamente precisas e formas analíticas exatas para calcular as distribuições de Lévy α-estáveis Pα(x; β). Na prática, estas distribuições são usualmente expressas em termos da integral de Fourier de sua função característica. De fato, expressões na forma fechada são relativamente escassas, dado o enorme espaço de parâmetros: 0 < α ≤ 2 (´ındice L´evy), −1 ≤ β ≤ 1 (assimetria), σ > 0 (escala) e −∞ < µ < ∞ (deslocamento). No âmbito formal, importantes resultados exatos dependem de funções especiais, tais como as funções Meijer-G, Fox-H e somas finitas de funções hipergeométricas, com apenas alguns casos excepcionais expressos em termos de funções elementares (distribuições gaussiana e de Cauchy). De um ponto de vista mais prático, métodos como expansões em séries, por exemplo, permitem uma estimativa das distribuições de Lévy com alta precisção numérica, porém a maioria das abordagens estão restritas a um pequeno subconjunto dos parâmetros, além de fazerem o uso de algoritmos sofisticados relativamente demorados. Como contribuição adicional a este problema, propomos novos métodos para descrever as distribuições estáveis simétricas, com parâmetros β = 0, µ = 0, σ = 1. Obtemos uma descrição através de uma forma fechada analítica, via séries de potência formais fazendo uso do procedimento da soma de regularização de Borel (para α = 2/M, M = 1, 2, 3...). Também obtemos uma expressão aproximada (para 0 < α ≤ 2) que foi desenvolvida por meio da divisão do domínio da variável de integração em subintervalos (janelas), construindo a expansão em séries adequada dentro de cada uma delas, em seguida, calculando as integrais termo a termo.
Abstract: A relevant problem in Statistical Physics and Mathematical Physics is to derive numerically precise expressions and exact analytical forms to calculate the distributions of Lévy α-stable Pα(x; β). In practice, these distributions are usually expressed in terms of the Fourier Integral of its characteristic function. In fact, known closed-form expressions are relatively scarce given the huge space of parameters: 0 < α ≤ 2 (L´evy index), −1 ≤ β ≤ 1 (asymmetry), σ > 0 (scale) and −∞ < µ < ∞ (offset). In the formal context, important exact results rely on special functions, such as the Meijer-G, Fox-H functions and finite sum of hypergeometric functions, with only a few exceptional cases expressed in terms of elementary functions (Gaussian and Cauchy distributions). From a more practical point of view, methods such as, e.g., series expansions allow an estimation of the Lévy distributions with high numerical precision, but most of the approaches are restricted to a small subset of the parameters and, although sophisticated, these algorithms are time-consuming. As an additional contribution to this problem, we propose new methods to describe the symmetric stable distributions, with parameters β = 0, µ = 0, σ = 1. We obtain a description through a closed analytical form, via formal power series making use of the Borel regularization sum procedure (for α = 2/M, M = 1, 2, 3... ). Furthermore we obtain an approximate expression (for 0 < α ≤ 2) by dividing the domain of the integration variable into sub-intervals (windows), performing proper series expansion inside each window, and then calculating the integrals term by term.
URI: https://repositorio.ufrn.br/jspui/handle/123456789/26218
Appears in Collections:PPGFIS - Doutorado em Física

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