Recuperação de sinais esparsos. Investigação numérica sobre a quantidade de medidas necessárias para recuperar um sinal esparso

dc.contributor.advisorBielschowsky, Roberto Hugopt_BR
dc.contributor.advisorIDpor
dc.contributor.advisorLatteshttp://lattes.cnpq.br/2481613790501364por
dc.contributor.authorSilva, Catia Regina dos Santospt_BR
dc.contributor.authorIDpor
dc.contributor.authorLatteshttp://lattes.cnpq.br/4528498079597924por
dc.contributor.referees1Nonato, Luis Gustavopt_BR
dc.contributor.referees1IDpor
dc.contributor.referees1Latteshttp://lattes.cnpq.br/3794241680729178por
dc.contributor.referees2Cohen, Nirpt_BR
dc.contributor.referees2IDpor
dc.contributor.referees2Latteshttp://lattes.cnpq.br/7895700958229353por
dc.contributor.referees3Medeiros, Walter Eugênio dept_BR
dc.contributor.referees3IDpor
dc.contributor.referees3Latteshttp://lattes.cnpq.br/2170299963939072por
dc.date.accessioned2015-03-03T15:28:33Z
dc.date.available2013-07-25pt_BR
dc.date.available2015-03-03T15:28:33Z
dc.date.issued2012-11-27pt_BR
dc.description.resumoUm dos temas mais populares no tratamento de dados nos últimos dez anos gira em torno da descoberta que a recuperação de sinais esparsos em sistemas lineares, pode ser feita com um número de equações bem menor que o número de variáveis. Em linhas gerais, se A = AmN, queremos resolver Ax = b e procuramos soluções esparsas, ou seja, com apenas s << N entradas n~ao-nulas em algum sistema de coordenadas, isto pode ser feito com um número de equações m << N, minimizando a norma l1 de x, sujeito à restrição Ax = b + r, sob determinadas condições (8). Vale dizer, com muito menos equações que incognitas. Dá o nome de Magica l1" para esta possibilidade de recuperar um sinal esparso, resolvendo um problema de otimização convexa com relativamente poucas restrições. Para algumas poucas matrizes A, de grande importância em aplicações, ha teorias razoavelmente estabelecidas indicando esta possibilidade, para muitas não. O objetivo desta dissertação e situar e discutir casos nos quais a Magica l1" funciona, com foco nas relações entre a esparsidade s, o número de linhas m e o número de variáveis N, para algumas matrizes importantes e associadas à codificação de imagens 2D. Em particular, realizamos testes numéricos com três matrizes A, visando encontrar empiricamente relações entre s, m e N para as quais a Magica l1 e bem sucedida. Em duas delas, ha teorias matematicas, ainda em construção, indicando condic~oes de sucesso, grosso modo, na forma de m=s C log(N=s), sempre com alguma probabilidade de insucesso associada. Listamos inicialmente A = G, formada por entradas aleatorias com distribuição gaussiana i.i.d., de media zero e colunas aproximadamente unitarias. A segunda e a transformada de Fourier, que usaremos numa vers~ao de transformada de cossenos 2D. A denotamos por A = DCT. Para probabilidades esmagadoras" de sucesso na recuperação de sinais esparsos com G, usando a Magica l1", os resultados teóricos estabelecem regiões menores, vale dizer, valores mais elevados para a constante C. Se relaxamos um pouco esta exigência de sucesso, obtemos regiões mais amplas, conforme teremos oportunidade de discutir na disserta ção. m=s C log(N=s) ainda e uma conjectura no caso de Fourier, se queremos probabilidades esmagadoras" de sucesso na recuperação de sinais esparsos pela via da otimização convexa acima prescrita. Os resultados empíricos por nos obtidos para iv estas duas matrizes ainda s~ao muito preliminares, mas se ajustam bem , via quadrados míínimos, a m=s C log(s=N), com C em 1:6 e em 1, correspondendo aos resultados mais otimistas encontrados na literatura para G e DCT, nos quais a eficacia da Magica l1" e assumida num sentido mais fraco, no sentido de permitir alguma taxa de insucesso n~ao totalmente desprezíível, porem de forma probabilisticamente controlada. No caso da matriz da transformada de Radon, não ha previs~ao teorica consolidada para o funcionamento daMagica l1" e sequer encontramos conjecturas sobre o que se pode esperar. Em nossos testes com matrizes de Radon, encontramos uma regi~ao para a validade da Magica l1", cujo ajuste de quadrados míínimos a m=s C log(s=N) se deu com 2; 5 e C 0; 29por
dc.description.sponsorshipCoordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superiorpt_BR
dc.formatapplication/pdfpor
dc.identifier.citationSILVA, Catia Regina dos Santos. Recuperação de sinais esparsos. Investigação numérica sobre a quantidade de medidas necessárias para recuperar um sinal esparso. 2012. 116 f. Dissertação (Mestrado em Probabilidade e Estatística; Modelagem Matemática) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2012.por
dc.identifier.urihttps://repositorio.ufrn.br/jspui/handle/123456789/18645
dc.languageporpor
dc.publisherUniversidade Federal do Rio Grande do Nortepor
dc.publisher.countryBRpor
dc.publisher.departmentProbabilidade e Estatística; Modelagem Matemáticapor
dc.publisher.initialsUFRNpor
dc.publisher.programPrograma de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Estatísticapor
dc.rightsAcesso Abertopor
dc.subjectEquivalência l0 &#1048576por
dc.subjectl1. Compressed Sensing. Magica l1. Propriedade da Isometria Restrita (RIP). Politopos s-neighborlypor
dc.subjectl0&#1048576eng
dc.subjectl1 equivalence. Compressed Sensing. l1 Magic. Restricted Isometry Property (RIP). s-neighbourly politopeseng
dc.subject.cnpqCNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA::MATEMATICA APLICADApor
dc.titleRecuperação de sinais esparsos. Investigação numérica sobre a quantidade de medidas necessárias para recuperar um sinal esparsopor
dc.typemasterThesispor

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